Mathematical Science MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Mathematical Science - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

हम व्यवरोधों की जाँच करेंगे और सुसंगत क्षेत्र की पहचान करने के लिए उनका आलेख बनाएँगे:

1. पहला व्यवरोध: \(3x - 7y \leq 21 \)

पुन:लिखने पर: \(y \leq \frac{3x - 21}{7} \)

2. दूसरा व्यवरोध: \( y - 2x \leq 10 \)

पुन:लिखने पर: \(y \leq 2x + 10 \)

3. ऋणेतर व्यवरोध: \(x \geq 0 , y \geq 0 \)

यह जाँचने के लिए कि क्या निकाय सुसंगत या अपरिबद्ध है, आइए असमिकाओं के निकाय को हल करें।

3x - 7y = 21 और y - 2x = 10 का प्रतिच्छेदन:

ये दो रेखाएँ प्रथम चतुर्थांश में प्रतिच्छेद नहीं करती हैं, और हमें आगे जाँच करने की आवश्यकता है कि क्या सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है।

यदि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है, तो इसका मतलब है कि उद्देश्य फलन z = 2x + y बिना किसी सीमा के बढ़ता रह सकता है। 

यह निर्धारित करने के लिए, हमें यह जाँचना होगा कि क्या ऐसी दिशाएँ हैं जिनमें सुसंगत क्षेत्र अनंत तक फैला हुआ है। 

व्यवरोध \(y - 2x \leq 10 \) x के सापेक्ष y के लिए एक ऊपरी सीमा को परिभाषित करता है,

लेकिन चूँकि क्षेत्र x और y के लिए ऋणेतर द्वारा बाध्य है, सुसंगत क्षेत्र अक्षों के साथ अनंत तक फैल सकता है। 

चूँकि क्षेत्र परिबद्ध नहीं है (अर्थात, यह कुछ दिशा में अनंत तक फैला हुआ है, जैसा कि असमिकाओं द्वारा इंगित किया गया है),

और कोई विशिष्ट बिंदु नहीं है जहाँ क्षेत्र समाप्त होता है, समस्या अपरिबद्ध है।

सही उत्तर LPP अपरिबद्ध है। 

अवधारणा:

महत्तम पूर्णांक फलन:

• महत्तम पूर्णांक फलन, जिसे [x] द्वारा दर्शाया जाता है, x से कम या x के बराबर महत्तम पूर्णांक देता है।
• इस फलन को फर्श फलन भी कहा जाता है। गणितीय रूप से, [x] को x से कम या x के बराबर महत्तम पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया गया है।
• महत्तम पूर्णांक फलन पूर्णांक बिंदुओं को छोड़कर हर जगह सतत होता है, जहाँ यह अवकलनीय नहीं होता है।
• अवकलनीयता के लिए, फलन में असंतता के बिंदुओं पर कोई "तीखा कोना" नहीं होना चाहिए।

गणना:

आइए सही विवरणों से मिलान करने के लिए विकल्पों में प्रत्येक फलन का विश्लेषण करें।

• (A) |x − 1| + |x − 2|: यह निरपेक्ष मान फलनों का एक संयोजन है। ये निरंतर और हर जगह अवकलनीय होते हैं, सिवाय उन बिंदुओं के जहाँ निरपेक्ष मान बदलते हैं, जो x = 1 और x = 2 हैं। इसलिए, यह फलन x = 0 को छोड़कर हर जगह अवकलनीय है।
• (B) x − |x|: इस फलन में निरपेक्ष मान फलन शामिल है। महत्तम पूर्णांक फलन में पूर्णांक बिंदुओं पर असांतत्य है, और इस फलन में निरपेक्ष मान शामिल हैं, जिसका अर्थ है कि यह हर जगह संतत है लेकिन x = 0 पर अवकलनीय नहीं है। इसलिए, यह हर जगह संतत है।
• (C) x − [x]: इस फलन में महत्तम पूर्णांक फलन (फर्श फलन) शामिल है, जो सतत है लेकिन पूर्णांक बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है। इसलिए, यह फलन x = 1 पर अवकलनीय नहीं है क्योंकि पूर्णांक बिंदुओं पर असांतत्य है।
• (D) |x|: यह फलन x = 0 सहित सभी बिंदुओं पर संतत और अवकलनीय है। इसलिए, यह x = 1 पर अवकलनीय है।

सूची-I का सूची-II से मिलान:

• A) |x − 1| + |x − 2|: यह x = 0 को छोड़कर हर जगह अवकलनीय है, जो सूची-II में (I) से सुमेलित है।
• B) x − |x|: यह फलन सभी स्थानों पर संतत है, जो सूची-II में (II) से सुमेलित है।
• C) x − [x]: यह फलन x = 1 पर अवकलनीय नहीं है, जो सूची-II में (III) से सुमेलित है।
• D) |x|: यह फलन x = 1 पर अवकलनीय है, जो सूची-II में (IV) से सुमेलित है।

∴ सही मिलान: A → I, B → II, C → III, D → IV है। 

अवधारणा:

(i) एक वर्ग आव्यूह का ट्रेस = अभिलक्षणिक मानों का योग

(ii) एक वर्ग आव्यूह का सारणिक = अभिलक्षणिक मानों का गुणनफल

(ii) यदि आव्यूह की प्रत्येक पंक्ति के अवयवों का योग λ है, तो λ उस आव्यूह का एक अभिलक्षणिक मान है।

स्पष्टीकरण:

\(A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 5 \\ 2 & 5 & -3\end{array}\right]\)

प्रत्येक पंक्ति के अवयवों का योग 4 है इसलिए 4 एक अभिलक्षणिक मान है।

A का ट्रेस = 1 - 2 - 3 = -4

det(A) = \(\begin{vmatrix}1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 5 \\ 2 & 5 & -3\end{vmatrix}\) = 1(6 - 25) + 1( 10 + 3) + 2(5 + 4) = -19 + 13 + 18 = 12

(1): 4 एक अभिलक्षणिक मान नहीं है।

इसलिए विकल्प (1) गलत है।

(2): आव्यूह का ट्रेस = अभिलक्षणिक मानों का योग = 4 + 3 + 1 = 9 ≠ -4

इसलिए विकल्प (2) गलत है।

(3): आव्यूह का ट्रेस = 4 - 4 + √13 - 4 - √13 = -4

और A का सारणिक = 4(-4 + √13)(-4 - √13) = 4(16 - 13) = 12

अतः विकल्प (3) सही है।

(4): आव्यूह का सारणिक = 4 (-2 + 2√7)(-2 - 2√7) = 4(4 - 28) = -96

अतः विकल्प (4) गलत है।

व्याख्या:

स्पर्शज्या फलनों की घात का समाकलन:

\(I_n = \int tan^n {x} dx \)

लघुकरण सूत्र है

\(I_n = \frac{1}{n-1} \tan^{n-1}(x) - I_{n-2} \)

अतः विकल्प (1) सही उत्तर है।

अवधारणा:

व्याख्या:

C मूल के केंद्र पर 3 त्रिज्या का सम्मिश्र तल में धनात्मक रूप से उन्मुख वृत्त हो।

\(\rm\displaystyle\int_C \frac{d z}{z^2\left(e^z−e^{−z}\right)}\) के विलक्षणताएँ निम्न द्वारा दी गई हैं

z² = 0 ⇒ z = 0 और

e^z - e^-z = 0 ⇒ ez = e-z ⇒ z = 0

अब,

\(\frac{1}{z^2\left(e^z−e^{−z}\right)}\) = \(\frac{1}{z^2}(e^z-e^{-z})^{-1}\)

= \(\frac{1}{z^2}(2z+\frac{2z^3}{3!}+\frac{2z^5}{5!}+...)^{-1}\) (ez - e-z का विस्तार)

= \(\frac{1}{z^2}.\frac{1}{2z}(1+(\frac{z^2}{3!}+\frac{z^4}{5!}+...))^{-1}\)

= \(\frac{1}{2z^3}(1-(\frac{z^2}{3!}+\frac{z^5}{5!}+...)+(\frac{z^2}{3!}+\frac{z^5}{5!}+...)^2+...)\) ((1 + x)^-1 का विस्तार)

इसलिए \(\frac{1}{z^2\left(e^z−e^{−z}\right)}\) का अवशेष = 1/z का गुणांक = \(\frac12.(-\frac{1}{3!})=-\frac1{12}\)

अतः \(\rm\displaystyle\int_C \frac{d z}{z^2\left(e^z−e^{−z}\right)}\) = 2πi(अवशेषों का योग) = \(-\frac{2\pi i}{12}\) = −iπ/6

विकल्प (4) सही है।

संकल्पना:

utt − c²uxx = 0 का हल प्रारंभिक स्थिति, u(0, t) = u(L, t) = 0 सभी t के लिए और सीमा स्थिति y(x, 0) = f(x), y_t(x, 0) = g(x) 0 < x < L के लिए है

u = \(\frac12\)[f(x + ct) + f(x - ct)] + \(\frac1{2c}\)\(\int_{x-ct}^{x+ct}g(s)ds\) (D'alembert हल)

व्याख्या:

दिया गया है

utt − uxx = 0, 0 < x < 2, t > 0

u(0, t) = 0 = u(2, t), ∀ t > 0,

u(x, 0) = sin(πx) + 2sin(2πx), 0 ≤ x ≤ 2,

ut(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ 2

यहाँ f(x) = sin(πx) + 2sin(2πx) और g(x) = 0, c = 1

इसलिए u(x, t) = \(\frac12\)[f(x + t) + f(x - t)] + \(\frac12\)\(\int_{x-t}^{x+t}0ds\)

= \(\frac12\)[sin(π(x+t)) + sin(π(x-t))] + sin(2π(x+t)) + sin(2π(x-t))

इसलिए u(1, 1) = \(\frac12\)(sin 2π + sin 0)+ sin4π + sin 0 = 0

विकल्प (1) गलत है

u(1/2, 1) = \(\frac12\)[sin (3π/2) - sin(π/2)] + sin(3π) - sin π = - 1

विकल्प (2) गलत है

u(1/2, 2) = \(\frac12\)[sin (5π/2) - sin(3π/2)] + sin(5π) - sin 3π = 1

विकल्प (3) सही है

इसके अलावा

ut(x, t) = \(\frac{\pi}2\)[cos(π(x+t)) - cos(π(x-t))] + 2π cos(2π(x+t)) + 2π cos(2π(x-t))

इसलिए ut(1/2, 1/2) = \(\frac{\pi}2\)[cos π - cos0] + 2π cos 2π + 2π cos0 = - π + 2π + 2π = 3π

विकल्प (4) गलत है

संकल्पना:

(x, y) = (a, b) के लिए परिभाषित एक फलन f(x, y) को (x, y) = (a, b) पर निरंतर कहा जाता है यदि:

i) f(a, b) = (x, y) = (a, b) पर f(x, y) का मान परिमित है।

ii) फलन f(x, y) की सीमा मौजूद है जैसे (x, y) → (a, b) और (x, y) = (a, b) पर f(x, y) के मान के बराबर है

\(\mathop {\lim }\limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {0,0} \right)} f\left( {x,y} \right) = f\left( {a,b} \right)\)

ध्यान दें:

किसी फलन को किसी बिंदु पर अवकलनीय होने के लिए, यह उस बिंदु पर भी निरंतर होना चाहिए।

गणना:

दिया हुआ:

\(f\left( {x,y} \right) = \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{xy}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}\;\;\;{x^2} + {y^2} \ne 0}\\ {0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x = y = 0} \end{array}} \right.\)

फलन f(x, y) निरंतर होने के लिए:

\(\mathop {\lim }\limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {0,0} \right)} f\left( {x,y} \right) = f\left( {a,b} \right)\) और परिमित।

f(a,b) = f(0,0) ⇒ 0 (दिया गया)

\(\mathop {\lim }\limits_{\left( {r,\theta } \right) \to \left( {0,0} \right)} f\left( {r,\theta} \right) =\frac{ r^2cos\theta rsin\theta }{r} \)

fx(0, 0) = \(\mathop {\lim }\limits_{\left( {h,0 } \right) \to \left( {0,0} \right)}\){f(h, 0) - f(0, 0)} / h = 0 

fy(0, 0) = \(\mathop {\lim }\limits_{\left( {0,k } \right) \to \left( {0,0} \right)}\){f(0, k) - f(0, 0)} / k = 0 

∵ the limit value is defined and function value is 0 at (x,y) = (0,0), ∴ the function f(x,y) is continuous.

Hence, Option 2, 3 & 4 all are correct 

Hence, Option 1 is not correct 

Hence, The Correct Answer is option 1.

अवधारणा:

लाइबनीज परीक्षण: \(\rm\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\)(-1)ⁿbn, जहाँ या तो सभी bn धनात्मक हैं या सभी bn ऋणात्मक हैं, अभिसारी होती है यदि

(i) |bn| एकसमान रूप से घटता है अर्थात, |bn+1| ≤ |bn|

(ii) \(\lim_{n\to\infty}b_n=0\)

व्याख्या:

an = (−1)n+1\(\rm (\sqrt{n+1}−\sqrt{n})\)

= (−1)n+1 \(\rm \frac{(\sqrt{n+1}−\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}\)

= (−1)n+1\(\rm \frac{1}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}\)

इसलिए श्रेणी \(\rm\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\)\(\rm \frac{(-1)^{n+1}}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}\)

इसलिए यहाँ b_n = \(\rm \frac{1}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}\), bn+1 = \(\rm \frac{1}{(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1})}\)

\(\frac{b_{n+1}}{b_n}<1\) इसलिए bn+1 < bn

इसके अलावा \(\lim_{n\to\infty}b_n\) = \(\lim_{n\to\infty}\) \(\rm \frac{1}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}\) = 0

इसलिए लाइबनीज परीक्षण द्वारा \(\rm\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\) an अभिसारी है।

अब श्रेणी \(\rm\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\)\(\rm |\frac{(-1)^{n+1}}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}|\) = \(\rm\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\)\(\rm \frac{1}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}\) = \(\rm\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\) \(\rm \frac{1}{\sqrt n(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1)}\)

इसलिए सीमा तुलना परीक्षण द्वारा, यह P - परीक्षण द्वारा अपसारी श्रेणी है।

इसलिए दी गई श्रेणी सशर्त अभिसारी है।

विकल्प (3) सही है।

आधिकारिक उत्तर कुंजी में - विकल्प (2) और (3) दोनों सही हैं।

अवधारणा:

f(z) का z = 0 पर अवशेष, f(z) के मैक्लॉरिन श्रेणी प्रसार में \(\frac1z\) के गुणांक के बराबर होता है।

व्याख्या:

f(z) = exp\(\rm\left(z+\frac{1}{z}\right)\)

= \(e^z.e^{\frac1z}\)

= \((1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+...)\)\(.(1+\frac1zz+\frac{1}{z^22!}+\frac{1}{z^33!}+...)\)

इसलिए उपरोक्त व्यंजक में \(\frac1z\) का गुणांक

= \(\frac11+\frac1{2!.1!}+\frac1{3!.2!}+\frac1{4!.3!}+...\)

= \(\sum_{l=0}^{\infty} \frac{1}{l !(l+1) !}\)

इसलिए विकल्प (3) सही है।

संकल्पना:

व्याख्या:

A = \(\left[\begin{array}{ll}5 & 4 \\1 & 2\end{array}\right]\)

tr(A) = 5 + 2 = 7 और det(A) = 10 - 4 = 6

आइगेन मान निम्न द्वारा दी गई हैं

λ² - tr(A)λ + det(A) = 0

λ2 - 7λ + 6 = 0

(λ - 1)(λ - 6) = 0

λ = 1, 6

आइगेन मान λ = 1 के संगत आइगेन सदिश निम्न द्वारा दिया गया है

\(\left[\begin{array}{ll}4 & 4 \\1 & 1\end{array}\right]\)\(\left[\begin{array}{ll}u_1 \\u_2\end{array}\right]\) = 0

u₁ + u₂ = 0 ⇒ u1 = - u2

आइगेन सदिश u = \(\begin{bmatrix}-1 \\1\end{bmatrix}\)

आइगेन मान λ = 6 के संगत आइगेन सदिश निम्न द्वारा दिया गया है

\(\begin{bmatrix}-1 & 4 \\1 & -4\end{bmatrix}\)\(\left[\begin{array}{ll}v_1 \\v_2\end{array}\right]\) = 0

v1 - 4v2 = 0 ⇒ v1 = 4v2

आइगेन सदिश v = \(\left[\begin{array}{ll}4 \\1\end{array}\right]\)

इसलिए हल है

x(t) = c1\(\begin{bmatrix}-1 \\1\end{bmatrix}\)et + c2\(\left[\begin{array}{ll}4 \\1\end{array}\right]\)e6t

x(t) = \(\begin{bmatrix}-c_1e^t+4c_2e^{6t} \\c_1e^t+c_2e^{6t}\end{bmatrix}\)

e^t → ∞ जैसा t → ∞ साथ ही e6t → ∞ जैसा t → ∞

इसलिए x(t) किसी भी x0 ≠ 0 के लिए बंधा हुआ हल नहीं है

(1) गलत है।

e−6t|x(t)| = \(\begin{bmatrix}-c_1e^{-5t}+4c_2 \\c_1e^{-5t}+c_2\end{bmatrix}\) → \(\begin{bmatrix}4c_2 \\c_2\end{bmatrix}\), 0 की ओर प्रवृत्त नहीं होता है

इसलिए (2) गलत है।

e−t|x(t)| = \(\begin{bmatrix}-c_1+4c_2e^{5t} \\c_1+c_2e^{5t}\end{bmatrix}\)→ \(\begin{bmatrix}-c_1 \\c_1\end{bmatrix}\), t → ∞ के रूप में ∞ की ओर प्रवृत्त नहीं होता है

(3) गलत है।

e−10t|x(t)| = \(\begin{bmatrix}-c_1e^{-9t}+4c_2e^{-4t} \\c_1e^{-9t}+c_2e^{-4t}\end{bmatrix}\), t → ∞ के रूप में 0 की ओर प्रवृत्त होता है, सभी x0 ≠ 0 के लिए

विकल्प (4) सही है।

अवधारणा -

(1) यदि a, M का आइगेन मान है, तब Mn का आइगेन मान an है।

(2) यदि आव्यूह के सभी आइगेन मान भिन्न हैं तब आव्यूह विकर्णीय होगा।

स्पष्टीकरण -

दिया गया है - \(\rm M=\begin{bmatrix}4&-3\\\ 1&0\end{bmatrix}\)

अब दिए गए आव्यूह के लिए अभिलाक्षणिक समीकरण है -

⇒ | M - λ I | = 0

⇒ \(\rm det\begin{bmatrix}4-λ&-3\\\ 1&-λ\end{bmatrix}=0\)

⇒ -λ (4 - λ ) + 3 = 0 ⇒ λ² - 4λ + 3 = 0

अब इस समीकरण को हल करने पर, हमें आव्यूह का आइगेन मान प्राप्त होता है-

 ⇒ λ2 - 3λ - λ  + 3 = 0  ⇒ (λ -3)(λ -1) = 0  ⇒ λ = 1, 3 

इसलिए, M का आइगेन मान 1 और 3 है।

अब दिए गए कथनों को हल करने पर -

(P) 𝑀8 + 𝑀12 विकर्णीय है।

अब 𝑀8 + 𝑀12 के आइगेन मान   \((1)^8 + (1)^{12} = 2 \ \ और \ \ (3)^8 +(3)^{12} =82(3)^8\)

अतः 𝑀8 + 𝑀12 के दोनों आइगेन मान भिन्न है, इसलिए, 𝑀8 + 𝑀12  विकर्णीय है।

(𝑄) 𝑀7 + 𝑀9 विकर्णीय है।

अब 𝑀7 + 𝑀9 के आइगेन मान  \((1)^7 + (1)^9 = 2 \ \ और \ \ (3)^7 +(3)^9 =10(3)^7\)

अतः 𝑀7 + 𝑀9 के दोनों आइगेन मान भिन्न है, इसलिए 𝑀7 + 𝑀9 विकर्णीय है।

अतः विकल्प (4) सत्य है।

स्पष्टीकरण:

अभिलक्षणिक बहुपद p(T), T² से विभाज्य है।

p(x)/x2

तो p(x) = x 2 (x + a) जहाँ a शून्य भी हो सकता है।

विकल्प (1): मान लीजिए A \(\begin{bmatrix}0&2&3\\0&0&1\\0&0&a\end{bmatrix}\) यहां 0 और a अभिलक्षणिक मान हैं और 0 के लिए A का अभिलक्षणिक स्पेस है।

अतः विकल्प (1) गलत है।

यहाँ A 3 × 3 आव्यूह है और दो अभिलक्षणिक मान 0, 0 हैं। चूंकि सम्मिश्र अभिलक्षणिक मान हमेशा सम्मिश्र संयुग्मित होते हैं और वे जोड़ी में होते हैं। तो यहाँ तीसरा अभिलक्षणिक मान वास्तविक होना चाहिए।

विकल्प (2) सही है।

A = \(\begin{bmatrix}0&2&3\\0&0&1\\0&0&a\end{bmatrix}\) के लिए, A 3 ≠ 0

विकल्प (3) गलत है।

अभिलक्षणिक मान 0 का AM भी 2 है और अभिलक्षणिक मान 0 का GM 1 है

चूँकि AM ≠ GM इसलिए विकर्णीय नहीं है।

विकल्प (4) गलत है।

संकल्पना:

यदि xⁿ = 1 है तो o(x), n को विभाजित करता है। 

स्पष्टीकरण:

ℤ/105ℤ ≅ ℤ₁₀₅

105 = 3 × 5 × 7

So \(U_{ℤ_{105}}\) ≅ U(3) × U(5) × U(7) ≅ ℤ₂ × ℤ₄ × ℤ₆

दिया गया है कि x2 = 1 अतः o(x), 2 को विभाजित करता है। अतःo(x) = 1 या 2 

क्रम 1 और 2 के ℤ2 का तत्व 2 है। 

क्रम 1 और 2 के ℤ4 का तत्व 2 है। 

क्रम 1 और 2 के ℤ6 का तत्व 2 है। 

अतः ऐसे तत्वों की कुल संख्या = 2 × 2 × 2 = 8

विकल्प (4) सही है।