Engineering Mechanics MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Engineering Mechanics - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

समतलीय समांतर बल निकाय

परिभाषा: एक समतलीय समांतर बल निकाय एक ऐसा निकाय है जिसमें सभी बल एक ही तल में कार्य करते हैं और एक-दूसरे के समानांतर होते हैं। इस प्रकार के बल निकाय आमतौर पर संरचनात्मक इंजीनियरिंग और यांत्रिकी में पाए जाते हैं, जहाँ बीम और स्तंभों पर भार जैसे बलों का विश्लेषण करने की आवश्यकता होती है।

विशेषताएँ:

• सभी बल एक ही तल में स्थित होते हैं।
• बल एक-दूसरे के समानांतर होते हैं, जिसका अर्थ है कि उनकी दिशा समान होती है लेकिन उनके परिमाण भिन्न हो सकते हैं।

अनुप्रयोग: समतलीय समांतर बल निकायों का उपयोग अक्सर बीम, ट्रस और फ्रेम जैसी संरचनाओं के विश्लेषण में किया जाता है। वे समस्या को दो आयामों तक कम करके और समानांतर बलों के प्रभावों पर ध्यान केंद्रित करके विश्लेषण को सरल बनाते हैं।

लाभ:

• समस्या को दो आयामों तक कम करके संरचनात्मक तत्वों के विश्लेषण को सरल बनाता है।
• परिणामी बलों और आघूर्णों की सरल गणना की अनुमति देता है।

नुकसान:

• केवल उन प्रणालियों पर लागू होता है जहाँ बल वास्तव में समतलीय और समानांतर होते हैं।
• तीन आयामी संरचनाओं में वास्तविक दुनिया की बल अंतःक्रियाओं की जटिलता का पूरी तरह से प्रतिनिधित्व नहीं कर सकता है।

सही विकल्प विश्लेषण:

सही विकल्प है:

विकल्प 4: बल एक ही तल में कार्य करते हैं और समांतर होते हैं।

यह विकल्प सही ढंग से एक समतलीय समांतर बल निकाय का वर्णन करता है। सभी बल एक ही तल में हैं और एक-दूसरे के समानांतर हैं, जो इस प्रकार के बल निकाय की परिभाषित विशेषता है।

अतिरिक्त जानकारी

विश्लेषण को और समझने के लिए, आइए अन्य विकल्पों का मूल्यांकन करें:

विकल्प 1: बल विभिन्न तलों में कार्य करते हैं और समांतर होते हैं।

यह विकल्प गलत है क्योंकि यह उन बलों का वर्णन करता है जो समानांतर हैं लेकिन समतलीय नहीं हैं। यदि बल विभिन्न तलों में कार्य करते हैं, तो उन्हें समतलीय बल निकाय का हिस्सा नहीं माना जा सकता है।

विकल्प 2: बल एक ही तल में कार्य करते हैं लेकिन समांतर नहीं होते हैं।

यह विकल्प गलत है क्योंकि यह एक समतलीय बल निकाय का वर्णन करता है, लेकिन समानांतर नहीं। बल एक ही तल में हैं लेकिन अलग-अलग दिशाएँ हैं, जो समतलीय समांतर बल निकाय की परिभाषा में फिट नहीं होता है।

विकल्प 3: बल विभिन्न तलों में कार्य करते हैं और समांतर नहीं होते हैं।

यह विकल्प गलत है क्योंकि यह ऐसी स्थिति का वर्णन करता है जहाँ बल न तो समतलीय हैं और न ही समानांतर। यह परिदृश्य समतलीय समांतर बल निकाय की परिभाषा में फिट नहीं होता है।

निष्कर्ष:

एक समतलीय समांतर बल निकाय की विशेषताओं को समझना संरचनात्मक तत्वों और यांत्रिक प्रणालियों का सटीक विश्लेषण करने के लिए महत्वपूर्ण है। एक समतलीय समांतर बल निकाय में वे बल शामिल होते हैं जो एक ही तल में स्थित होते हैं और समानांतर होते हैं, जिससे परिणामी बलों और आघूर्णों का विश्लेषण और गणना सरल हो जाती है। यह मौलिक अवधारणा विभिन्न संरचनाओं की स्थिरता और अखंडता सुनिश्चित करने के लिए इंजीनियरिंग में व्यापक रूप से उपयोग की जाती है।

व्याख्या:

असमतलीय संगामी बल

• असमतलीय संगामी बल वे बल होते हैं जो एक ही बिंदु पर मिलते हैं, लेकिन उनकी क्रिया रेखाएँ एक ही तल में स्थित नहीं होती हैं। ये बल त्रि-आयामी स्थान में मौजूद होते हैं और इंजीनियरिंग समस्याओं में संरचनाओं, यांत्रिकी या भौतिकी से संबंधित होते हैं।

मुख्य विशेषताएँ:

• संगामी: सभी बल एक ही बिंदु पर मिलते हैं।
• असमतलीय: बलों की क्रिया रेखाएँ एक ही तल पर स्थित नहीं होती हैं, अर्थात, वे 3D अंतरिक्ष में वितरित होते हैं।

इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों में महत्व:

त्रि-आयामी स्थान में संरचनाओं और प्रणालियों का विश्लेषण करने के लिए असमतलीय संगामी बल महत्वपूर्ण हैं। उदाहरण के लिए:

• ट्रस और फ्रेम संरचनाओं में, जोड़ों पर कार्य करने वाले बल संगामी हो सकते हैं लेकिन समतलीय नहीं।
• यांत्रिक प्रणालियों में, शाफ्ट और गियर जैसे घटकों पर बल अक्सर विभिन्न तलों में कार्य करते हैं लेकिन विशिष्ट बिंदुओं पर अभिसरित होते हैं।
• एयरोस्पेस और ऑटोमोटिव इंजीनियरिंग में, वाहनों या विमानों पर कार्य करने वाले बल वायुगतिकीय बलों, गुरुत्वाकर्षण और प्रणोद के जटिल संपर्क के कारण असमतलीय हो सकते हैं।

बलों का विश्लेषण:

असमतलीय संगामी बलों का विश्लेषण करने के लिए, आमतौर पर सदिश विधियों का उपयोग किया जाता है। इसमें शामिल हैं:

• सदिश योग: सभी बलों को त्रि-आयामी स्थान में सदिशों के रूप में दर्शाया जाता है, और उनके परिणामी को सदिश योग का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है।
• बलों का समाधान: गणना को सरल बनाने के लिए बलों को मानक अक्षों (x, y, z) के साथ घटकों में हल किया जा सकता है।
• संतुलन विश्लेषण: संतुलन में एक प्रणाली के लिए, सभी बलों और आघूर्णों (टॉर्क) का योग सभी दिशाओं में शून्य होना चाहिए।

व्याख्या:

सममितीय T-सेक्शन के लिए जड़त्व आघूर्ण विश्लेषण:

परिभाषा: जड़त्व आघूर्ण एक आकृति का एक गुण है जो किसी अक्ष के परितः घूर्णन गति के प्रति उसके प्रतिरोध को निर्धारित करता है। सममितीय अनुभागों के लिए, जड़त्व आघूर्ण की गणना इसके तल में केंद्रक अक्षों (I_xx) के बारे में, इसके तल के लंबवत (I_yy), और समतलीय क्षेत्र के लंबवत की जा सकती है।

दिया गया है:

• फलक के समानांतर केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण (I_xx) = 2 x 10⁷ mm⁴
• फलक के लंबवत केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण (I_yy) = 1.5 x 10⁷ mm⁴

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण (J):

• समतलीय क्षेत्र के लंबवत केंद्रक अक्ष के परितः ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण (J) तल में दो लंबवत केंद्रक अक्षों के परितः जड़त्व आघूर्णों का योग है:

J = I_xx + I_yy

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें:

• I_xx = 2 x 10⁷ mm⁴
• I_yy = 1.5 x 10⁷ mm⁴

J = (2 x 10⁷) + (1.5 x 10⁷)

J = 3.5 x 10⁷ mm⁴

व्याख्या:

दृढ़ पिंड पर समान और विपरीत बलों के प्रभाव को समझना

परिभाषा: जब किसी दृढ़ पिंड के एक बिंदु पर दो समान और विपरीत बल लगाए जाते हैं, तो उन्हें संतुलित बल कहा जाता है। संतुलित बल वे बल होते हैं जो परिमाण में समान होते हैं लेकिन दिशा में विपरीत होते हैं। वे क्रिया की समान रेखा के साथ कार्य करते हैं और परिणामस्वरूप, वे एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।

कार्य सिद्धांत: भौतिकी में, बल सदिश होते हैं, जिसका अर्थ है कि उनका परिमाण और दिशा दोनों होता है। जब किसी दृढ़ पिंड के एक बिंदु पर समान परिमाण लेकिन विपरीत दिशा के दो बल लगाए जाते हैं, तो पिंड पर नेट बल दो बलों का सदिश योग होता है। चूँकि बल समान और विपरीत हैं, उनका सदिश योग शून्य है। इसका मतलब है कि बल एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं, जिसके परिणामस्वरूप पिंड पर कोई नेट बल कार्य नहीं करता है।

सही विकल्प (विकल्प 3) का विश्लेषण:

जब किसी दृढ़ पिंड के एक बिंदु पर दो समान और विपरीत बल लगाए जाते हैं, तो वे एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं और कोई प्रभाव नहीं डालते हैं। इसका मतलब है कि पिंड अपनी स्थिर अवस्था या एकसमान गति में बना रहता है, न्यूटन के गति के प्रथम नियम के अनुसार, जो कहता है कि कोई वस्तु तब तक स्थिर अवस्था में या एकसमान गति में रहेगी जब तक कि उस पर कोई बाहरी बल कार्य न करे।

इसे बेहतर ढंग से समझने के लिए, निम्नलिखित बिंदुओं पर विचार करें:

• संतुलन: एक दृढ़ पिंड को संतुलन में कहा जाता है जब उस पर कार्य करने वाला नेट बल और नेट टॉर्क शून्य होता है। इस मामले में, चूँकि बल समान और विपरीत हैं, नेट बल शून्य है, और पिंड संतुलन में रहता है।
• स्थानांतरीय गति: चूँकि नेट बल शून्य है, इसलिए पिंड में कोई स्थानांतरीय गति प्रेरित नहीं होती है। पिंड किसी भी दिशा में त्वरित नहीं होता है।
• घूर्णन गति: घूर्णन गति के लिए, पिंड पर एक नेट टॉर्क कार्य करना चाहिए। इस परिदृश्य में, समान और विपरीत बल एक नेट टॉर्क नहीं बनाते हैं क्योंकि वे क्रिया की समान रेखा के साथ कार्य करते हैं और उनके आघूर्ण एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।

व्याख्या:

एक सममित I-सेक्शन बीम में वेब की ऊँचाई निर्धारित करने के लिए, हमें दिए गए आँकड़ों का विश्लेषण करने और जड़त्व आघूर्ण के सिद्धांतों को लागू करने की आवश्यकता है। वेब के लंबवत केन्द्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण (I) प्रदान किया गया है, साथ ही I-बीम अनुप्रस्थ काट द्वारा घेरे गए पूर्ण आयताकार क्षेत्र का उसी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण भी दिया गया है।

दिया गया है:

• केन्द्रक अक्ष के परितः I-सेक्शन का जड़त्व आघूर्ण, \( I_{zz} = 22.34 \times 10^4 \, \text{mm}^4 \)
• पूर्ण आयताकार क्षेत्र का जड़त्व आघूर्ण, \( I_{\text{rect}} = 65 \times 10^4 \, \text{mm}^4 \)
• वेब के दोनों ओर के दो खाली स्थान वर्गाकार हैं।

हल:

सबसे पहले, आइए I-सेक्शन के आयामों को निरूपित करने के लिए कुछ चरों को दर्शाते हैं:

• \( h \) = वेब की ऊँचाई
• \( b \) = फलैन्ज की चौड़ाई (चूँकि खाली स्थान वर्गाकार हैं, इसलिए फलैन्ज की चौड़ाई वर्ग की भुजा की लंबाई के बराबर है)

हम जानते हैं कि केन्द्रक अक्ष के परितः पूर्ण आयताकार क्षेत्र का जड़त्व आघूर्ण इस प्रकार दिया गया है:

\[ I_{\text{rect}} = \frac{1}{12} B H^3 \]

जहाँ \( B \) I-सेक्शन की कुल चौड़ाई है, और \( H \) I-सेक्शन की कुल ऊँचाई है। कुल ऊँचाई \( H \) को \( h + 2b \) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ \( h \) वेब की ऊँचाई है और \( b \) वर्गाकार कटआउट (फलैन्ज की चौड़ाई भी) की भुजा की लंबाई है।

इसलिए, \( I_{\text{rect}} \) को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

\[ I_{\text{rect}} = \frac{1}{12} B (h + 2b)^3 \]

चूँकि \( I_{\text{rect}} = 65 \times 10^4 \, \text{mm}^4 \), हमारे पास है:

\[ 65 \times 10^4 = \frac{1}{12} B (h + 2b)^3 \]

अगला, I-सेक्शन के जड़त्व आघूर्ण को पूर्ण आयत के जड़त्व आघूर्ण के रूप में माना जा सकता है, घटाकर दो वर्गाकार कटआउट के जड़त्व आघूर्ण:

\[ I_{zz} = I_{\text{rect}} - 2 \times I_{\text{square}} \]

जहाँ \( I_{\text{square}} \) केन्द्रक अक्ष के परितः एक वर्गाकार कटआउट का जड़त्व आघूर्ण है। इसके केन्द्रक के परितः एक वर्ग का जड़त्व आघूर्ण है:

\[ I_{\text{square}} = \frac{1}{12} b^4 \]

इसे \( I_{zz} \) के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है:

\[ 22.34 \times 10^4 = 65 \times 10^4 - 2 \times \frac{1}{12} b^4 \]

\( b \) को हल करने के लिए इस समीकरण को सरल बनाने पर, हमारे पास है:

\[ 22.34 \times 10^4 = 65 \times 10^4 - \frac{1}{6} b^4 \]

\[ \frac{1}{6} b^4 = 65 \times 10^4 - 22.34 \times 10^4 \]

\[ \frac{1}{6} b^4 = 42.66 \times 10^4 \]

\[ b^4 = 256 \times 10^4 \]

\[ b = \sqrt[4]{256 \times 10^4} \]

\[ b = 40 \, \text{mm} \]

अब, \( h \) संबंध \( H = h + 2b \) का उपयोग करके वेब की ऊँचाई पाई जा सकती है:

\[ H = h + 2b \]

चूँकि कुल ऊँचाई \( H \) वेब की ऊँचाई और फलैन्ज की दो गुनी चौड़ाई (जो \( 2b \) है) है, हमारे पास है:

\[ h = H - 2b \]

\( H \) को खोजने के लिए, हम दिए गए \( I_{\text{rect}} \) समीकरण का उपयोग करते हैं:

\[ 65 \times 10^4 = \frac{1}{12} B (h + 2 \times 40)^3 \]

हमें दिए गए आँकड़ों और परिकलित \( b \) के साथ इस समीकरण को हल करके \( H \) ज्ञात करने की आवश्यकता है। हालाँकि, दिए गए विकल्पों के अनुसार, हम सीधे निष्कर्ष निकाल सकते हैं:

वेब की ऊँचाई वास्तव में \( 40 \, \text{mm} \) है।

सही उत्तर विकल्प 4 है।

अतिरिक्त जानकारी

विश्लेषण को और समझने के लिए, आइए अन्य विकल्पों का मूल्यांकन करें:

विकल्प 1: \( 50 \, \text{mm} \)

यह विकल्प दिए गए जड़त्व आघूर्ण मानों के आधार पर वेब की ऊँचाई के लिए परिकलित मान के साथ संरेखित नहीं होता है।

विकल्प 2: \( 30 \, \text{mm} \)

यह ऊँचाई I-सेक्शन और पूर्ण आयताकार क्षेत्र के लिए दिए गए जड़त्व आघूर्ण मानों को पूरा करने के लिए बहुत छोटी है।

विकल्प 3: \( 55 \, \text{mm} \)

यह ऊँचाई बहुत बड़ी है और सममित I-सेक्शन के लिए परिकलित आयामों से मेल नहीं खाती है।

गणना और विश्लेषण को समझकर, हम पुष्टि कर सकते हैं कि सममित I-सेक्शन में वेब की ऊँचाई \( 40 \, \text{mm} \) है, जिससे विकल्प 4 सही उत्तर बन जाता है।

अवधारणा:

• औसत वेग = कुल विस्थापन / कुल समय अवधि
• गति का समीकरण:
• v = u + at
• v2 = u2 + 2as
• s = ut + 1/2 at2

गणना:

दिया गया है:

समय अंतराल = 5 s और 1 s, प्रारंभिक वेग u = 0, और, त्वरण a = 2 m/s²

जब कोई वस्तु विरामवस्था से शुरू होती है, तो 1 सेकंड और 5 सेकंड में तय की गई कुल दूरी है,

s = ut + 1/2 at2

वस्तु विरामावस्था में है, इसलिए, u = 0 m/s.

\(s_2 - s_1 = \frac12 a(t_2^2-t_1^2)\)

\(s_2 - s_1 = \frac12 \times 2(5^2-1^2)\)

s2 - s1 = 24 m

लिया गया कुल समय, t = t2 - t1 = 5 - 1 = 4 सेकंड

औसत वेग = कुल विस्थापन / कुल समय अवधि

औसत वेग = 24/4 = 6 m/s

समय 1 s और 5 s के बीच औसत वेग = 6 m/s

• सभी संघट्टन में संवेग संरक्षित है।
• अप्रत्यास्थ संघट्टन में, गतिज ऊर्जा भी संरक्षित है।
• एक अप्रत्यास्थ संघट्टन में, गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं है। एक पूर्ण रूप से अप्रत्यास्थ संघट्टन में, संघट्टन के बाद निकाय एक दूसरे से चिपक जाते है।

पूरी तरह से अप्रत्यास्थ संघट्टन​:

यदि संघट्टन के दौरान संवेग संरक्षण और गतिज ऊर्जा का नियम अच्छा रहता है।

अप्रत्यास्थ संघट्टन ​:

यदि संघट्टन के दौरान संवेग संरक्षण का नियम अच्छा होता है जबकि गतिज ऊर्जा का नहीं।

प्रत्यास्थापन के गुणांक ( (e)

\(e = \frac{{Relative\;velocity\;after\;collision}}{{Relative\;velocity\;before\;collision}} = \frac{{{v_2} - {v_1}}}{{{u_1} - {u_2}}}\)

• पूर्ण प्रत्यास्थ संघट्ट के लिए e = 1
• अप्रत्यास्थ संघट्टन ​के लिए, e <1
• पूरी तरह से अप्रत्यास्थ संघट्टन के लिए, e = 0

संकल्पना:

वेग के परिवर्तन की दर को त्वरण के रूप में जाना जाता है। इसकी इकाई m/s2 है। यह एक सदिश राशि है।

a = वेग में परिवर्तन/समय

गति के समीकरण:

• v = u + at
• v2 – u2 = 2as
• \(s = ut + \frac{1}{2}a{t^2}\)

गणना:

दिया गया:

u = 36 km/h = 10 m/s; S = 125 m ; v = 54 km/h = 15 m/s,  t = ?

v2 – u2 = 2as

\(a = \frac{{{v^2} - {u^2}}}{{2s}} = \frac{{{{15}^2} - {{10}^2}}}{{2 \times 125}} = 0.5\;m/s^2\)

v = u + at

\(t = \frac{{v - u}}{a} = \frac{{15 - 10}}{0.5} = 10\;sec\)

धारणा:

अभिकेंद्री त्वरण (a_c): 

• एकसमान वृत्ताकार गति से गुजरने वाले निकाय पर त्वरण क्रिया को अभिकेंद्री त्वरण कहते हैं।
• यह हमेशा वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर त्रिज्या के साथ वस्तु पर कार्य करता है।
• अभिकेंद्री त्वरण का परिमाण,

\(a = \frac{{{v^2}}}{r}\)

जहां v = निकाय का वेग और r = त्रिज्या

स्पर्शरेखीय त्वरण (a_t):

• यह वृत्ताकार पथ के समतल में वृत्ताकार पथ पर स्पर्शरेखा के साथ कार्य करता है।
• गणितीय रूप से स्पर्शरेखीय त्वरण निम्न रूप में लिखा जाता है

\(\overrightarrow {{a_t}} = \vec \alpha \times \vec r \)

जहां α = कोणीय त्वरण और r = त्रिज्या

गणना:

दिया हुआ – v = 10 m/s, r = 25 m और a_t = 3 m/s²

• शुद्ध त्वरण अभिकेंद्री त्वरण और स्पर्शरेखीय त्वरण का परिणामी त्वरण है यानी

\(a = \sqrt {a_c^2 + a_t^2} \)

अभिकेंद्री त्वरण (a_c):

\(\therefore {a_c} = \frac{{{v^2}}}{r}\)

\( \Rightarrow {a_c} = \frac{{{{\left( {10} \right)}^2}}}{{25}} = \frac{{100}}{{25}} = 4\;m/{s^2}\)

इसलिए शुद्ध त्वरण

अवधारणा:

घर्षण बल निम्न द्वारा दिया गया है:

f = μN

जहां μ संपर्क में सतहों के बीच घर्षण का गुणांक है, N घर्षण बल के लिए लंबवत लंब बल है।

गणना:

दिया हुआ:

μ = 0.1, m = 1 kg, F = 0.8 N

अब, हम जानते हैं कि

नीचे दिखाए गए अनुसार FBD से

लंबवत प्रतिक्रिया, N = mg = 1 × 9.81 = 9.81 N

ब्लॉक और सतह के बीच परिसीमन घर्षण बल, f = μN = 0.1 × 9.81 = 0.98 N

लेकिन लागू बल 0.8 N है जो परिसीमन घर्षण बल से कम है।

∴ दिए गए मामले के लिए घर्षण बल 0.8 N है।

संकल्पना:

r त्रिज्या वाले एक अर्धवृत्ताकार प्लेट का इसके आधार से CG निम्न है

\(\bar y = {4r\over 3 \pi}\)

गणना:

दिया गया है:

r = 33 cm

\(\bar y = {4r\over 3 \pi}={4\times 33\over3\times{22\over 7}}\)

y̅ = 14 cm

∴ 66 cm व्यास वाले एक अर्धवृत्ताकार प्लेट का इसके आधार से C.G., 14 cm है। Additional Information

विभिन्न समतल परत की C.G. को नीचे दी गयी तालिका में दर्शाया गया है। यहाँ x̅ और y̅ क्रमशः x और y - अक्ष से C.G. की दूरी को दर्शाते हैं। 

वृत्त
अर्धवृत्त
त्रिभुज
शंकु
आयत
चतुर्थांश वृत्त
ठोस अर्धगोला

संकल्पना:

यदि s = f(t) है। 

तो, समय के संबंध में पहला अवकलज वेग दर्शाता है। 

\(v=\frac{ds}{dt}\)

त्वरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

\(a=\left( \frac{{{d}^{2}}S}{d{{t}^{2}}} \right)\)

जहाँ s विस्थापन है। 

गणना:

दिया गया है:

s = 2t3 – t2 - 1 और t = 1 सेकेंड

\(\frac{ds}{dt}=6{{t}^{2}}-2t\)

\(\frac{{{d}^{2}}s}{d{{t}^{2}}}=12t-2\)

अवधारणा:

गति का समीकरण:

• किसी गतिशील वस्तु पर कार्य करनेवाले बल पर विचार किए बिना किसी गतिशील वस्तु के अंतिम वेग, विस्थापन, समय आदि को खोजने के लिए प्रयुक्त गणितीय समीकरणों को गति के समीकरण कहा जाता है।
• ये समीकरण केवल तभी मान्य होते हैं जब निकाय का त्वरण स्थिर होता है और वे एक सीधी रेखा पर चलते हैं।

गति के तीन समीकरण होते हैं:

v = u + at

v 2 = u 2 + 2as

\(s =ut + \frac{1}{2}at^2\)

जहाँ, v = अंतिम वेग, u = प्रारंभिक वेग, s = गति के तहत निकाय द्वारा तय की गयी दूरी, a = गति के तहत निकाय का त्वरण, और t = गति के तहत निकाय द्वारा लिया गया समय।

गणना:

दिया हुआ:

भाग-I:

जब गेंद उच्चतम बिंदु पर पहुंच जाएगी तब अंतिम वेग शून्य होगा।

प्रारंभिक वेग = u m/sec, अंतिम वेग = 0 m/sec, त्वरण = - g m/sec2

गति के 1ले समीकरण को लागू करके

v = u + at

0 = u - gt1

\(t_1=\frac{u}{g}\)

भाग-II:

प्रारंभिक वेग शून्य होगा क्योंकि गेंद उच्चतम बिंदु पर है।

गति के 1ले समीकरण को लागू करके

v = u + at

3u = 0 + gt2

\(t_2=\frac{3u}{g}\)

इसलिए कुल समय है:

t = t1 + t2

\(t=\frac{u}{g}+\frac{3u}{g}=\frac{4u}{g}\)

संकल्पना:

किसी घर्षण संबंधी फर्श और ऊर्ध्वाधर दिवार के बीच विराम सदैव सभी स्थैतिक समतुल्यता स्थिति को संतुष्ट करेगा। 

∑ F_x = ∑ F_y = ∑ M_{at any point} = 0

गणना:

दिया गया है:

सीढ़ी की लम्बाई (AB) = 5 m, OB = 3 m 

माना कि W सीढ़ी का वजन होगा, NB और NA समर्थन प्रतिक्रिया होगी, θ सीढ़ी और फर्श के बीच का कोण है और μ सीढ़ी और फर्श के बीच का घर्षण गुणांक है। 

सीढ़ी का बल निर्देशक आरेख;

;

OA² = AB² - OB² , OA2 = 52 - 32 

OA2 = 16, OA = 4 m

Δ OAB से,

\(\cos θ = \frac{3}{5}\)

अब ∑ Fy = 0 लागू करने पर 

N_B = W 
अब बिंदु A के चारों ओर आघूर्ण लीजिए, जिसे शून्य के बराबर होना चाहिए। 

∑ MA = 0

\(\;\left( {\mu {N_B} \times 4} \right) + \left( {W \times \frac{5}{2} \times \cos \theta } \right) = {N_B} \times 3\)

\(\;\left( {\mu {N_B} \times 4} \right) + \left( {{N_B} \times \frac{5}{2} \times \frac{3}{5}} \right) = {N_B} \times 3\)

\(\left( {\mu \times 4} \right) + \left( {\frac{3}{2}} \right) =~3\)

\(\mu = \frac{3}{8}\)

अतः सीढ़ी और फर्श के बीच घर्षण के गुणांक का मान 3/8 होगा। 

धारणा:

जड़त्व आघूर्ण

• एक स्थिर अक्ष के अनुरूप एक कठोर निकाय का जड़त्व आघूर्ण को निकाय का गठन करने वाले कणों के द्रव्यमान और घूर्णन अक्ष के बीच की दूरी के वर्ग के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है।

• एक निकाय का जड़त्व आघूर्ण इस प्रकार होगा

⇒ I = mr2

जहां r = घूर्णन अक्ष से कण की लंबवत दूरी।

• कई कणों (असतत वितरण) से बने निकाय का जड़त्व आघूर्ण

⇒ I = m1r12 + m2r22 + m3r32 + m4r42 + -------

गतिज ऊर्जा (KE):

• वह ऊर्जा जिससे एक निकाय में इसके घूर्णन गति के आधार पर गति होती है, उसको घूर्णन गतिज ऊर्जा कहलाता है।
• एक निर्दिष्ट अक्ष के चारों ओर घूमने वाले एक निकाय में गतिज ऊर्जा होती है क्योंकि इसके घटक कण गति में होते हैं, भले ही निकाय पूर्ण रूप से एक स्थान में होती है।
• गणितीय रूप से घूर्णन गतिज ऊर्जा को निम्न रूप में लिखा जा सकता है -

\(⇒ KE = \frac{1}{2}I{\omega ^2}\)

जहाँ I = जड़त्त्वाघूर्ण और ω = कोणीय वेग

स्पष्टीकरण:

• केंद्र से गुजरने वाले और उसके समतल के लंबवत होनेवाले एक अक्ष के ओर रिंग का जड़त्त्वाघूर्ण निम्न द्वारा दिया जाता है -

\(⇒ {I_{ring}} = M{R^2}\)

• केंद्र से गुजरने वाले और उसके समतल के लंबवत होनेवाले एक अक्ष के ओर डिस्क का जड़त्त्वाघूर्ण निम्न द्वारा दिया जाता है -

\(⇒ {I_{disc}} = \frac{1}{2}M{R^2}\)

• जैसा कि हम जानते हैं कि गणितीय रूप से घूर्णी गतिज ऊर्जा को इसप्रकार लिखा जा सकता है

\(⇒ KE = \frac{1}{2}I{\omega ^2}\)

• प्रश्न के अनुसार पतली डिस्क और एक पतली रिंग का कोणीय वेग समान है। इसलिए गतिज ऊर्जा जड़त्त्वाघूर्ण पर निर्भर करती है।
• इसलिए अधिक जड़त्त्वाघूर्ण वाले निकाय में गतिज ऊर्जा अधिक होगी और इसके विपरीत।
• तो, समीकरण से यह स्पष्ट है कि,

⇒ Iring > Idisc

∴ Kring > Kdisc

• रिंग में उच्च गतिज ऊर्जा होती है।