Mechanical Vibrations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Mechanical Vibrations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

लचीला शाफ्ट

• एक लचीला शाफ्ट एक प्रकार का यांत्रिक घटक है जिसे विशेष रूप से दो बिंदुओं के बीच घूर्णी गति और टॉर्क को कुशलतापूर्वक संचारित करने के लिए डिज़ाइन किया गया है जो पूरी तरह से संरेखित नहीं हो सकते हैं। इसमें एक लचीला कोर होता है जो इसे झुकने और मुड़ने की अनुमति देता है, जिससे यह उन अनुप्रयोगों के लिए उपयुक्त होता है जहाँ कठोर शाफ्ट का उपयोग करना अव्यावहारिक या असंभव होगा।
• लचीला शाफ्ट कसकर घुमाए गए कुंडलित कुंडलियों की एक श्रृंखला से बना होता है, जो टॉर्क को संचारित करने के लिए आवश्यक लचीलापन और मजबूती प्रदान करते हैं। ये कुंडल शाफ्ट को झुकने और संरेखण में परिवर्तन के अनुकूल होने की अनुमति देते हैं जबकि इसके घूमने की क्षमता को बनाए रखते हैं। डिज़ाइन कम झुकने वाली कठोरता सुनिश्चित करता है जबकि अपेक्षाकृत उच्च मरोड़ कठोरता को बनाए रखता है, जिससे शाफ्ट टॉर्क संचरण के महत्वपूर्ण नुकसान के बिना मुड़ सकता है।

लाभ:

• बाधाओं के आसपास या सीमित स्थानों में गति और टॉर्क संचारित करने की क्षमता।
• कठोर शाफ्ट की तुलना में हल्का और कॉम्पैक्ट डिज़ाइन।
• झुकने में लचीला होने के साथ उच्च मरोड़ शक्ति।
• घटकों के सटीक संरेखण की आवश्यकता को कम करता है।

नुकसान:

• अत्यधिक उच्च टॉर्क या झुकने वाले भार की आवश्यकता वाले अनुप्रयोगों के लिए उपयुक्त नहीं है।
• लगातार झुकने और मुड़ने के कारण समय के साथ घिसाव और आंसू का अनुभव हो सकता है।
• कठोर शाफ्ट की तुलना में लंबाई और भार वहन क्षमता में सीमित।

अनुप्रयोग: लचीले शाफ्ट आमतौर पर बिजली उपकरण, ऑटोमोटिव स्पीडोमीटर, दंत उपकरण और विभिन्न औद्योगिक मशीनों जैसे अनुप्रयोगों में उपयोग किए जाते हैं जहाँ गति को लचीले और अनुकूलनीय तरीके से संचारित करने की आवश्यकता होती है।

संप्रत्यय:

अल्पावयवित मुक्त कंपनों के लिए वृत्ताकार आवृत्ति (रेडियन/सेकंड में प्राकृतिक आवृत्ति) निम्न द्वारा दी जाती है:

\( \omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}} \)

जहाँ,

• \( k \) = स्प्रिंग की कठोरता (N/m में)
• \( m \) = द्रव्यमान (kg में)

दिया गया है:

द्रव्यमान, \( m = 200~\text{kg} \)

कठोरता, \( k = 80~\text{N/mm} = 80 \times 10^3~\text{N/m} \)

परिकलन:

\( \omega_n = \sqrt{\frac{80 \times 10^3}{200}} = \sqrt{400} = 20~\text{rad/s} \)

संप्रत्यय:

जब किसी यांत्रिक निकाय को आवर्ती उत्तेजना के अधीन किया जाता है, तो निकाय की प्रतिक्रिया उत्तेजना आवृत्ति और मौजूद अवमंदन से प्रभावित होती है।

समान बल के तहत निकाय की प्रतिक्रिया के आयाम का स्थिर विक्षेपण के अनुपात को गतिशील आवर्धन गुणांक (DMF) कहा जाता है।

सामान्य सूत्र:

\( \text{DMF} = \frac{1}{\sqrt{(1 - r^2)^2 + (2\xi r)^2}} \)

जहाँ,
\( r = \frac{\omega}{\omega_n} \) आवृत्ति अनुपात है
\( \xi \) अवमंदन अनुपात है।

अनुनाद पर:

अनुनाद पर, उत्तेजना आवृत्ति प्राकृतिक आवृत्ति के बराबर होती है, अर्थात्, \( \omega = \omega_n \Rightarrow r = 1 \).

समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

\( \text{DMF}_{\text{अनुनाद}} = \frac{1}{\sqrt{(1 - 1)^2 + (2\xi)^2}} = \frac{1}{2\xi} \)

व्याख्या:

अनुप्रस्थ कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति के लिए डंकरली का अनुभवजन्य सूत्र:

• डंकरली का अनुभवजन्य सूत्र कई बिंदु भार और समान रूप से वितरित भार (UDL) ले जाने वाले शाफ्ट के अनुप्रस्थ कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति को निर्धारित करने के लिए उपयोग की जाने वाली एक महत्वपूर्ण विधि है। यह सूत्र यांत्रिक और संरचनात्मक इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों में विशेष रूप से उपयोगी है जहाँ शाफ्ट की कंपन विशेषताओं की भविष्यवाणी स्थिरता सुनिश्चित करने और अनुनाद को रोकने के लिए आवश्यक है।
• किसी सिस्टम की प्राकृतिक आवृत्ति वह आवृत्ति होती है जिस पर वह किसी भी ड्राइविंग या डंपिंग बल की अनुपस्थिति में दोलन करने की प्रवृत्ति रखता है। डंकरली का सूत्र व्यक्तिगत घटकों के योगदानों को अलग से ध्यान में रखकर एक जटिल प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति का अनुमान लगाने के लिए एक सरलीकृत दृष्टिकोण प्रदान करता है।

दिया गया है:

मान लीजिये \( f_n \) = संपूर्ण प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति

\( f_{n1}, f_{n2}, f_{n3}, \dots, f_{ns} \) = व्यक्तिगत बिंदु भार और UDL के कारण प्राकृतिक आवृत्तियाँ

गणना:

डंकरली के अनुभवजन्य सूत्र के अनुसार, प्राकृतिक आवृत्ति इस प्रकार दी गई है:

\( \frac{1}{f_n^2} = \frac{1}{f_{n1}^2} + \frac{1}{f_{n2}^2} + \frac{1}{f_{n3}^2} + \cdots + \frac{1}{f_{ns}^2} \)

व्याख्या:

प्रणाली गतिशीलता के संदर्भ में, यांत्रिक और विद्युत दोनों प्रणालियों को मॉडलिंग किया जा सकता है ताकि यह समझा जा सके कि वे समय के साथ इनपुट के जवाब में कैसे व्यवहार करते हैं। इन मॉडलों में अक्सर ऐसे तत्व शामिल होते हैं जिनके दोनों डोमेन में अनुरूप गुण होते हैं, जिससे इंजीनियर उनके बीच समानताएँ स्थापित कर सकते हैं। कंपन प्रणालियों के लिए, यांत्रिक और विद्युत प्रणालियों के बीच समकक्षता विश्लेषण और डिज़ाइन के लिए विशेष रूप से उपयोगी हैं।

यांत्रिक प्रणाली घटक:

• द्रव्यमान (m): प्रणाली के जड़त्व का प्रतिनिधित्व करता है, जब बल लगाया जाता है तो त्वरण का विरोध करता है।
• स्प्रिंग कठोरता (k): वह प्रत्यावर्तन बल का प्रतिनिधित्व करता है जो प्रणाली को उसकी संतुलन स्थिति में वापस लाने का काम करता है।
• अवमंदन गुणांक (c): प्रतिरोधी बल का प्रतिनिधित्व करता है जो ऊर्जा को नष्ट करता है, दोलनों के आयाम को कम करता है।
• बल (F): प्रणाली पर लगाया गया बाहरी इनपुट या उत्तेजना।

विद्युत प्रणाली घटक:

• प्रेरकत्व (L): विद्युत प्रणाली के जड़त्व का प्रतिनिधित्व करता है, धारा में परिवर्तन का विरोध करता है।
• धारिता (C): विद्युत ऊर्जा को संग्रहीत करने की क्षमता का प्रतिनिधित्व करता है, यांत्रिक प्रणाली में स्प्रिंग के अनुरूप।
• प्रतिरोध (R): प्रतिरोधी तत्व का प्रतिनिधित्व करता है जो ऊर्जा को नष्ट करता है, यांत्रिक प्रणाली में अवमंदन गुणांक के अनुरूप।
• वोल्टेज (V): प्रणाली पर लगाया गया बाहरी इनपुट या उत्तेजना।

अवमंदन गुणांक (c) और प्रतिरोध (R):

• यांत्रिक प्रणाली में अवमंदन गुणांक प्रतिरोधी बल का एक माप है जो गति का विरोध करता है और ऊर्जा को नष्ट करता है। यह विद्युत प्रणाली में प्रतिरोध के अनुरूप है, जो धारा के प्रवाह का विरोध करता है और विद्युत ऊर्जा को गर्मी के रूप में नष्ट करता है। दोनों तत्व अपनी-अपनी प्रणालियों में दोलनों के आयाम को कम करने का काम करते हैं, जिससे प्रणाली की स्थिरता और प्रतिक्रिया नियंत्रित होती है।

स्पष्टकीरण:

अनुनाद (ω = ω_n) पर फेज कोण ϕ ,90° है।

जब ω/ω_n ≫ 1 है; तो फेज कोण 180° के बहुत करीब होगा। यहाँ जड़त्व बल में बहुत तेजी से वृद्धि होती है और इसका परिमाण बहुत अधिक होता है।

संकल्पना:

कंपन प्रणाली में प्रसार्यता को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

\(\epsilon =\frac{{{F}_{T}}}{{{F}_{O}}}\)

जहाँ F_T = भूमि में संचारित अधिकतम बल

\(\epsilon =\frac{\sqrt{1+{{\left( 2\xi \frac{\omega }{{{\omega }_{n}}} \right)}^{2}}}}{\sqrt{{{\left( 1-{{\left( \frac{\omega }{{{\omega }_{n}}} \right)}^{2}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2\xi \omega }{{{\omega }_{n}}} \right)}^{2}}}}\)

प्राकृतिक आवृत्ति \({{\omega }_{n}}=\sqrt{\frac{K}{m}}\)

K = स्प्रिंग कठोरता, m = द्रव्यमान 

गणना:

दिया गया है, आवर्त्त उद्दीपन बल: F(t) = F₀cos(ωt)

F_T = F_O

\(\epsilon =\frac{{{F}_{T}}}{{{F}_{O}}}\)

∴ प्रसार्यता, ϵ = 1

साथ ही, \(\epsilon =\frac{\sqrt{1+{{\left( 2\xi \frac{w}{{{w}_{n}}} \right)}^{2}}}}{\sqrt{{{\left( 1-{{\left( \frac{w}{{{w}_{n}}} \right)}^{2}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2\xi w}{{{w}_{n}}} \right)}^{2}}}}=1\)

माना कि \(\frac{\omega }{{{\omega }_{n}}}=x\)

इसलिए, 1 + (2ξ x)² = (1 – x²)² + (2ξ x)²

(1 – x²)² = 1

1 – x² = ± 1

धनात्मक चिन्ह लेने पर x² = 0

∴ ऋणात्मक चिन्ह लेने पर

x² = 2

x का मान रखने पर:

(ω/ω_n)² = 2

\(\frac{\omega }{{{\omega }_{n}}}=\sqrt{2}\)

∴ ω = √2ω_n

∵ प्राकृतिक आवृत्ति \({{\omega }_{n}}=\sqrt{\frac{K}{m}}\)

संकल्पना:

श्रृंखला में स्प्रिंग:

\(\frac{1}{{{k_e}}} = \frac{1}{{{k_1}}} + \frac{1}{{{k_2}}}\)

समानांतर में स्प्रिंग:

ke = k1 + k2

गणना:

दिया गया है:

स्प्रिंग स्थिरांक k और k वाले स्प्रिंग समांनातर में जुड़े हुए हैं, 

माना कि उनका समकक्ष स्प्रिंग स्थिरांक k1 है। 

k1 = k + k

k1 = 2k

अब k1, k और k श्रृंखला संयोजन में हैं, माना कि उनका समकक्ष स्प्रिंग स्थिरांक keq है। 

\(\frac{1}{{{k_{eq}}}} = \frac{1}{{k_e}} + \frac{1}{{k}} + \frac{1}{{k}} \)

\(\frac{1}{{{k_{eq}}}} = \frac{1}{{2k}} + \frac{1}{{k}} + \frac{1}{{k}} \)

\(\frac{1}{k_{eq}}=\frac{1+2+2}{2k}\)

\(\frac{1}{k_{eq}}=\frac{5}{2k}\)

\(k_{eq}=\frac{2k}{5}\)

k_eq = 0.4 k

अवधारणा:

\(Time~ Period= T =2\pi √{\frac Lg}\)

जहाँ L = पेंडुलम की लंबाई, g = गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण

गणना:

दिया हुआ:

चन्द्रमा पर

\(g'=\frac g6\)

जहाँ g' = चन्द्रमा पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण

\(New~Time~ Period= T' =2\pi √ {\frac L{g'}}=2\pi √ {\frac {6L}g}\)

\(T'=√ {6}T\)

जैसे कि दोलन की समयावधि √6 गुना बढ़ती है, इसलिए गति √6 गुना धीमी हो जाती है।

अवधारणा:

जब स्प्रिंग को समानांतर में जोड़ा जाता है जैसा कि दिखाया गया है, तो समतुल्य कठोरता स्प्रिंग की सभी व्यक्तिगत कठोरता का योग है।

keq = k1 + k2

स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति ω_n इस प्रकार दी गई है:

\(\omega_n=\sqrt{\frac{k_{eq}}{m}}\;\;\; and\;\;\;\omega_n=2\pi f\)

k_eq = समतुल्य दृढ़ता और m = निकाय का द्रव्यमान।

गणना:

दिया गया है:

k1 = 4000 N/m, k2 = 1600 N/m और m = 1.4 किग्रा

स्प्रिंग्स समानांतर सुधार में हैं

∴ keq = k1 + k2 = 4000 + 1600 = 5600 N/m

\(ω_n = \sqrt {\frac{k_{eq}}{{m}}}\Rightarrow \sqrt {\frac{{5600}}{{1.4}}} = \sqrt {4000} \)

\(f = \frac{ω_n}{{2\pi }} \Rightarrow \frac{{\sqrt {4000} }}{{2\pi }} \approx 10\;Hz\)

संकल्पना:

कंपन अलगाव प्रणाली में प्रसारित बल और लागू बल के अनुपात को अलगाव कारक या प्रसार्यता अनुपात के रूप में जाना जाता है। 

\(T = \frac{{{F_T}}}{{{F_O}}} = \frac{{\sqrt {1 + {{\left( {2\zeta \frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2}} }}{{\sqrt {\left[ {\left\{1 - {{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2} \right\}^2+ {{\left( {2\zeta \frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2}} \right]} }}\)

• जब ω/ωn = 0 ⇒ है, तो TR = 1 है, (ζ से स्वतंत्र)
• जब ω/ωn = 1 और ξ = 0 ⇒ है, तो TR = ∞ है, (ζ से स्वतंत्र)
• जब आवृत्ति अनुपात ω/ωn = √2 है, तो सभी वक्र अवमंदन कारक ξ के सभी मानों के लिए बिंदु TR =1 से होकर गुजरती है। 
• जब आवृत्ति अनुपात ω/ωn < √2 है, तो अवमंदन कारक ξ के सभी मानों के लिए TR > 1 है। इसका अर्थ है कि प्रत्यास्थ समर्थन के माध्यम से नींव में संचारित बल लागू बल से अधिक होती है। 
• जब आवृत्ति अनुपात ω/ωn > √2 है, तो अवमंदन कारक ξ के सभी मानों के लिए TR < 1 है। यह दर्शाता है कि प्रत्यास्थ समर्थन के माध्यम से संचारित बल लागू बल से कम होता है। इसलिए कंपन अलगाव केवल ω/ωn > √2 की सीमा में संभव होता है। यहाँ नींव में संचारित बल इसलिए बढ़ता है क्योंकि अवमंदन भी बढ़ती है। 

वर्णन:

कंपन: एक निकाय को कंपायमान तब कहा जाता है यदि इसमें आगे-पीछे की गति होती है। 

विभिन्न प्रकार के कंपनों का उल्लेख नीचे दी गयी तालिका में दिया गया है। 

व्याख्या:-

शाफ्ट की क्रांतिक या भ्रामी गति

• जब प्रणाली की घूर्णी गति पार्श्व/अनुप्रस्थ कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति के साथ संपाती होती हैं तो शाफ्ट एक बड़े आयाम के साथ झुकता है। इस गति को क्रांतिक या भ्रामी गति कहा जाता है।

• शाफ्ट की भ्रामी गति या क्रांतिक गति को उस गति के रूप में परिभाषित किया जाता है जिस पर एक घूर्णन शाफ्ट की अनुप्रस्थ दिशा में तेजी से कंपन करने के प्रवृत्ति होती है, यदि शाफ्ट क्षैतिज दिशा में घूर्णन करता है।

• दूसरे शब्दों में, भ्रामी या क्रांतिक गति वह गति है जिस पर अनुनाद होता है।

• इसलिए हम कह सकते हैं कि शाफ्ट का घूर्णन तब होता है जब अनुप्रस्थ कंपन की स्वाभाविक आवृत्ति एक घूर्णन शाफ्ट की आवृत्ति से मेल खाती है।

• जिस गति से शाफ्ट चलता है ताकि घूर्णन के अक्ष से शाफ्ट का अतिरिक्त विक्षेपण अनंत हो जाता है जिसे क्रांतिक या भ्रामी गति के रूप में जाना जाता है।

शाफ्ट के अनुप्रस्थ कंपन के कारण शाफ्ट का विक्षेपण।

\(y = \frac{e}{{{{\left( {\frac{{{\omega _n}}}{\omega }} \right)}^2} - 1\;}}\)

क्रांतिक गति पर

\(\omega = {\omega _n} = \sqrt {\frac{k}{m}} = \sqrt {\frac{g}{\delta }} \)

जहाँ

ω = शाफ्ट का कोणीय वेग, k = शाफ्ट की कठोरता, e = रोटर के द्रव्यमान के केंद्र की प्रारंभिक उत्केंद्रता

m = रोटर का द्रव्यमान, y = अपकेंद्री बल के कारण रोटर का अतिरिक्त।

संकल्पना:

लघुगणकीय कमी:

\(\delta = \ln \frac{{{x_0}}}{{{x_1}}} = \ln \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}\)

यदि प्रणाली n चक्रों को निष्पादित करता है:\(\delta = \frac{1}{n}\ln \frac{{{x_o}}}{{{x_n}}} = \frac{{2\pi \xi }}{{\sqrt {1 - {\xi ^2}} \;}}\)

Important Points

अवमंदन कारक को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(\xi = \frac{\delta }{{\sqrt {4{\pi ^2} + {\delta ^2}} }}\)