Differential Calculus MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Differential Calculus - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

భావన:  

లెక్కింపు: 

​

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\left({\mathrm{a}}^{\mathrm{x}}\right)={\mathrm{a}}^{\mathrm{x}}(\log \mathrm{a})$

డిరైవేటివ్ ల చైన్ రూల్: 

​​$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\mathrm{f}(\mathrm{g}(\mathrm{x}))=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{g}(\mathrm{x})}\mathrm{f}(\mathrm{g}(\mathrm{x}))\times \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\mathrm{g}(\mathrm{x})$

.

• .

లెక్కింపు: 

ఇచ్చిన వ్యక్తీకరణ:

3x + 3y = 3x + y. 

బేధం w.r.t.x మరియు ఉత్పన్నాల గొలుసు నియమాన్ని ఉపయోగించి, కింది విధంగా పొందుతాము 

⇒ 3x (log 3) + 3y (log 3) $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = 3x + y (log 3) (1 + $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$)

⇒ 3x + 3y $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = 3x + y + 3x + y $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$

⇒ $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{3^{\mathrm{x}+\mathrm{y}}-3^{\mathrm{x}}}{3^{\mathrm{y}}-3^{\mathrm{x}+\mathrm{y}}}$

భావన:

• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$xn = nxn-1
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$sin x = cos x
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$cos x = -sin x
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ex = ex
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ln x = $\frac{1}{\mathrm{x}}$
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$(ax + b) = a
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$tan x = sec2 x

శృంఖల నియమం: y అనేది u యొక్క ప్రమేయం మరియు u అనేది x యొక్క ప్రమేయం అయితే

• $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{u}}\times \frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$

గణన:

f(x) = ${(\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}})}^2$

f(x) = $({\mathrm{x}}^2+\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}+2)$

f(x) = x² + x^-2 + 2

x దృష్ట్యా అవకలనం చేయడం

f'(x) = $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$f(x)

f'(x) = $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$(x2 + x-2 + 2)

f'(x) = $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$x² + $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$x^-2 + $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$2

f'(x) = (2x) + (-2x^-3) + 0

f'(x) = $\text{boldsymbol}2(\mathrm{x}-\frac{1}{{\mathrm{x}}^3})$

కాన్సెప్ట్:

లాగ్రాంజ్ సగటు విలువ సిద్ధాంతం:
ఒక ప్రమేయం f బంధిత అంతరంలో నిర్వచించబడితే [a, b] సంతృప్తికరంగా ఉంటుంది:

• బంధిత అంతరం[a, b]లో f ప్రమేయం నిరంతరంగా ఉంటుంది.
• f ప్రమేయం బంధిత అంతరం (a, b) భేదాత్మకంగా ఉంటుంది.

అప్పుడు f విలువ x = c ఉంది(c) = $\frac{\mathrm{f}(\mathrm{b})-\mathrm{f}(\mathrm{a})}{\mathrm{b}-\mathrm{a}}$.

సాధన:

ఇచ్చిన ప్రమేయం f(x) = విరామం [1, 3]లో భేదం మరియు నిరంతరాయంగా ఉంటుంది.

f'(x) =

సగటు విలువ సిద్ధాంతం ప్రకారం, c ∈ [1, 3] ఉంది, అలాంటిది:

f'(c) = $\frac{\mathrm{f}(\mathrm{b})-\mathrm{f}(\mathrm{a})}{\mathrm{b}-\mathrm{a}}$

⇒ $1-\frac{1}{{\mathrm{c}}^2}=\frac{\mathrm{f}(3)-\mathrm{f}(1)}{3-1}$

⇒ $1-\frac{1}{{\mathrm{c}}^2}=\frac{(3+\frac{1}{3})-(1+\frac{1}{1})}{2}$

⇒ $1-\frac{1}{{\mathrm{c}}^2}=\frac{\frac{4}{3}}{2}=\frac{2}{3}$

⇒ $\frac{1}{{\mathrm{c}}^2}=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$

⇒ c = √3.

లెక్కింపు: 

y + sin-1 (1 - x2) = ex 

y = ex - sin-1 (1 - x2) 

w.r.t x, బేధం ద్వారా మనం పొందేదీ 

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-\frac{1}{\sqrt{1-(1-{\mathrm{x}}^2{)}^2}}(-2\mathrm{x})$

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+\frac{2\mathrm{x}}{\sqrt{1-(1-2{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{x}}^4)}}$

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+\frac{2\mathrm{x}}{\sqrt{2{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{x}}^4}}$

$\text{boldsymbol}\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+\frac{2}{\sqrt{2-{\mathrm{x}}^2}}$

గణన:

ఇవ్వబడింది:

f(x3) = x5 అన్ని x ∈ R, x ≠ 0 కోసం. అప్పుడు ${\displaystyle \frac{df}{dx}}(8)$ యొక్క విలువ 

⇒ f (x3) = x5 for all x ∈ R, x ≠ 0

Differentiating w.r.to x 

⇒ (d/dx) f (x3) = (d/dx) x5

⇒ f' (x3) (d/dx) x3 = 5x4 

⇒ f' (x3) 3x2 = 5x4 

⇒ f'(x3) = (5/3) x2 

Putting x3 = 8 to find f' (8)

Such that f'(8) =( 5 × (2)2)/3 = 20/3

⇒ 20/3

లెక్కింపు: 

ఇచ్చినది: f(x) = xn, n ≠ 0.

F’(x) = nxn – 1

 x యొక్క అన్నీ విలువలకుf(x) బేధం కావాలంటే,n – 1 ≥ 0

కాబట్టి, n ≥ 1.

భావన:

ఒక చరరాశి t కి సంబంధించి f(x) ప్రమేయం విలువ యొక్క మార్పు రేటు దీని ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది: $\frac{\mathrm{d}\mathrm{f}(\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$

గణన:

ఇవ్వబడిన ఘనం యొక్క భుజం L = 10సెం.మీ మరియు $\frac{\mathrm{d}\mathrm{L}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$ = 4 సెం.మీ/సె

ఇప్పుడు ఘనం యొక్క ఘనపరిమాణం V = L3 

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{V}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$ = $\frac{\mathrm{d}\mathrm{V}}{\mathrm{d}\mathrm{L}}$ × $\frac{\mathrm{d}\mathrm{L}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{V}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$ = $\frac{\mathrm{d}{\mathrm{L}}^3}{\mathrm{d}\mathrm{L}}$ × 4

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{V}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$ = 3L2 × 4

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{V}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$ = 12 × 102 

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{V}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$ = 1200 సెం.మీ3/సె

భావన:   

$\frac{\mathrm{d}({\tan }^{-1}\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{1}{1+{\mathrm{x}}^2}$ 

పారామెట్రిక్రూపంలో వ్యక్తీకరించబడిన ఫంక్షన్ల ఉత్పన్నల కోసం దశలు: 

1. అన్నిటిలో మొదటిది,మేము ఇచ్చిన ఫంక్షన్లను uమరియు vపారామీటర్ పరంగా వ్రాస్తాము. 
2. బేధం ఉపయోగించి du/dx మరియు dv/dx ని కనుగొనండి. 
3. అప్పుడు పారామెట్రిక్ రూపంలో ఫంక్షన్లను పరిష్కరించడానికి ఉపయోగించే సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం స్వర, అనగా 
4. చివరగా du/dx మరియు dv/dx విలువలను భర్తీ చేసి,ఫలితాన్ని పొందేందుకు సరళీకృతం చేయండి. 

లెక్కింపు: 

 u = tan-1 x and v = cot-1 x అనుకొనుము

 x కి సంబంధించి బేధం, 

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{d}({\tan }^{-1}\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{1}{1+{\mathrm{x}}^2}$

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{v}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{d}({\cot }^{-1}\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{-1}{1+{\mathrm{x}}^2}$

ఇప్పుడు,

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{d}{\tan }^{-1}\mathrm{x}}{\mathrm{d}{\cot }^{-1}\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{v}} \\ =\frac{\frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}{\frac{\mathrm{d}\mathrm{v}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}} \\ =\frac{\frac{1}{1+{\mathrm{x}}^2}}{\frac{-1}{1+{\mathrm{x}}^2}}=-1 \end{gathered}$$

ఉపయోగించిన ఫార్ములా:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}=\mathrm{n}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-1}$

గణన:

f(x) = x3 + x2 + kx

f'(x) = 3x2 + 2x + k

శీర్షాలు లేకుండా, f తప్పనిసరిగా సున్నా మలుపులను కలిగి ఉండాలి, అంటే పైన ఉన్న చతురస్రాకారానికి అసలు మూలం లేదు.

22 - 4 × 3 × k < 0

4 - 12k <0

4 <12k

1 <3k

3k > 1

∴ f(x) = x3 + x2 + kxకి స్థానిక శీర్షం 3k > 1 లేదు అనే షరతు

 f(π) = $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ = 0 మరియు f(3π) = $\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$ = 0.

​

కాబట్టి, f(π) = f(3π), f'(c) = 0 ఉండేలా c ∈ [π, 3π] ఉండాలి.