Differential Calculus MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Differential Calculus - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

భావన:  

లెక్కింపు: 

​

\(\rm {d\over dx}\left(a^x\right)=a^x(\log a)\)

డిరైవేటివ్ ల చైన్ రూల్: 

​​\(\rm \frac{d}{dx}f(g(x))=\frac{d}{d\ g(x)}f(g(x))\times \frac{d}{dx}g(x)\)

.

• .

లెక్కింపు: 

ఇచ్చిన వ్యక్తీకరణ:

3x + 3y = 3x + y. 

బేధం w.r.t.x మరియు ఉత్పన్నాల గొలుసు నియమాన్ని ఉపయోగించి, కింది విధంగా పొందుతాము 

⇒ 3x (log 3) + 3y (log 3) \(\rm dy\over dx\) = 3x + y (log 3) (1 + \(\rm dy\over dx\))

⇒ 3x + 3y \(\rm dy\over dx\) = 3x + y + 3x + y \(\rm dy\over dx\)

⇒ \(\rm {dy\over dx}={3^{x+y}\ -\ 3^x\over3^y\ -\ 3^{x+y}}\)

భావన:

• \(\rm d\over dx\)xn = nxn-1
• \(\rm d\over dx\)sin x = cos x
• \(\rm d\over dx\)cos x = -sin x
• \(\rm d\over dx\)ex = ex
• \(\rm d\over dx\)ln x = \(\rm1\over x\)
• \(\rm d\over dx\)(ax + b) = a
• \(\rm d\over dx\)tan x = sec2 x

శృంఖల నియమం: y అనేది u యొక్క ప్రమేయం మరియు u అనేది x యొక్క ప్రమేయం అయితే

• \(\rm {dy\over dx} = {dy\over du}\times {du\over dx}\)

గణన:

f(x) = \(\rm \left(x+{1\over x}\right)^2 \)

f(x) = \(\rm \left(x^2+{1\over x^2}+2\right) \)

f(x) = x² + x^-2 + 2

x దృష్ట్యా అవకలనం చేయడం

f'(x) = \(\rm d\over dx\)f(x)

f'(x) = \(\rm d\over dx\)(x2 + x-2 + 2)

f'(x) = \(\rm d\over dx\)x² + \(\rm d\over dx\)x^-2 + \(\rm d\over dx\)2

f'(x) = (2x) + (-2x^-3) + 0

f'(x) = \(\boldsymbol{\rm 2\left(x - {1\over x^3}\right)}\)

కాన్సెప్ట్:

లాగ్రాంజ్ సగటు విలువ సిద్ధాంతం:
ఒక ప్రమేయం f బంధిత అంతరంలో నిర్వచించబడితే [a, b] సంతృప్తికరంగా ఉంటుంది:

• బంధిత అంతరం[a, b]లో f ప్రమేయం నిరంతరంగా ఉంటుంది.
• f ప్రమేయం బంధిత అంతరం (a, b) భేదాత్మకంగా ఉంటుంది.

అప్పుడు f విలువ x = c ఉంది(c) = \(\rm \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\).

సాధన:

ఇచ్చిన ప్రమేయం f(x) = విరామం [1, 3]లో భేదం మరియు నిరంతరాయంగా ఉంటుంది.

f'(x) =

సగటు విలువ సిద్ధాంతం ప్రకారం, c ∈ [1, 3] ఉంది, అలాంటిది:

f'(c) = \(\rm \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

⇒ \(\rm 1-\frac1{c^2}=\frac{f(3)-f(1)}{3-1}\)

⇒ \(\rm 1-\frac1{c^2}=\frac{\left(3+\frac13\right)-\left(1+\frac11\right)}{2}\)

⇒ \(\rm 1-\frac1{c^2}=\frac{\frac43}{2}=\frac23\)

⇒ \(\rm \frac1{c^2}=1-\frac23=\frac13\)

⇒ c = √3.

లెక్కింపు: 

y + sin-1 (1 - x2) = ex 

y = ex - sin-1 (1 - x2) 

w.r.t x, బేధం ద్వారా మనం పొందేదీ 

\(\rm {dy\over dx} = e^x - {1\over\sqrt{1-(1-x^2)^2}}(-2x)\)

\(\rm {dy\over dx} = e^x + {2x\over\sqrt{1-(1-2x^2+x^4)}}\)

\(\rm {dy\over dx} = e^x + {2x\over\sqrt{2x^2-x^4}}\)

\(\boldsymbol{\rm {dy\over dx} = e^x + {2\over\sqrt{2-x^2}}}\)

గణన:

ఇవ్వబడింది:

f(x3) = x5 అన్ని x ∈ R, x ≠ 0 కోసం. అప్పుడు \(\dfrac{df}{dx} (8)\) యొక్క విలువ 

⇒ f (x3) = x5 for all x ∈ R, x ≠ 0

Differentiating w.r.to x 

⇒ (d/dx) f (x3) = (d/dx) x5

⇒ f' (x3) (d/dx) x3 = 5x4 

⇒ f' (x3) 3x2 = 5x4 

⇒ f'(x3) = (5/3) x2 

Putting x3 = 8 to find f' (8)

Such that f'(8) =( 5 × (2)2)/3 = 20/3

⇒ 20/3

లెక్కింపు: 

ఇచ్చినది: f(x) = xn, n ≠ 0.

F’(x) = nxn – 1

 x యొక్క అన్నీ విలువలకుf(x) బేధం కావాలంటే,n – 1 ≥ 0

కాబట్టి, n ≥ 1.

భావన:

ఒక చరరాశి t కి సంబంధించి f(x) ప్రమేయం విలువ యొక్క మార్పు రేటు దీని ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది: \(\rm \frac {df(x)}{dt}\)

గణన:

ఇవ్వబడిన ఘనం యొక్క భుజం L = 10సెం.మీ మరియు \(\rm dL\over dt\) = 4 సెం.మీ/సె

ఇప్పుడు ఘనం యొక్క ఘనపరిమాణం V = L3 

\(\rm dV\over dt\) = \(\rm dV\over dL\) × \(\rm dL\over dt\)

\(\rm dV\over dt\) = \(\rm dL^3\over dL\) × 4

\(\rm dV\over dt\) = 3L2 × 4

\(\rm dV\over dt\) = 12 × 102 

\(\rm dV\over dt\) = 1200 సెం.మీ3/సె

భావన:   

\(\rm \frac{d(\tan^{-1} x)}{dx} = \frac{1}{1+x^2}\) 

పారామెట్రిక్రూపంలో వ్యక్తీకరించబడిన ఫంక్షన్ల ఉత్పన్నల కోసం దశలు: 

1. అన్నిటిలో మొదటిది,మేము ఇచ్చిన ఫంక్షన్లను uమరియు vపారామీటర్ పరంగా వ్రాస్తాము. 
2. బేధం ఉపయోగించి du/dx మరియు dv/dx ని కనుగొనండి. 
3. అప్పుడు పారామెట్రిక్ రూపంలో ఫంక్షన్లను పరిష్కరించడానికి ఉపయోగించే సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం స్వర, అనగా 
4. చివరగా du/dx మరియు dv/dx విలువలను భర్తీ చేసి,ఫలితాన్ని పొందేందుకు సరళీకృతం చేయండి. 

లెక్కింపు: 

 u = tan-1 x and v = cot-1 x అనుకొనుము

 x కి సంబంధించి బేధం, 

\(\rm \frac{du}{dx} = \frac{d(\tan^{-1} x)}{dx} = \frac{1}{1+x^2}\)

\(\rm \frac{dv}{dx} = \frac{d(\cot^{-1} x)}{dx} = \frac{-1}{1+x^2}\)

ఇప్పుడు,

\(\rm \frac{d\tan^{-1} x}{d\cot^{-1} x} = \frac{du}{dv}\\=\frac{\frac{du}{dx}}{\frac{dv}{dx}}\\=\frac{\frac{1}{1+x^2}}{\frac{-1}{1+x^2}}=-1\)

ఉపయోగించిన ఫార్ములా:

\(\rm \frac{d}{dx} x^{n} = nx^{n - 1}\)

గణన:

f(x) = x3 + x2 + kx

f'(x) = 3x2 + 2x + k

శీర్షాలు లేకుండా, f తప్పనిసరిగా సున్నా మలుపులను కలిగి ఉండాలి, అంటే పైన ఉన్న చతురస్రాకారానికి అసలు మూలం లేదు.

22 - 4 × 3 × k < 0

4 - 12k <0

4 <12k

1 <3k

3k > 1

∴ f(x) = x3 + x2 + kxకి స్థానిక శీర్షం 3k > 1 లేదు అనే షరతు

 f(π) = \(\rm \cos \dfrac{\pi}{2}\) = 0 మరియు f(3π) = \(\rm \cos \dfrac{3\pi}{2}\) = 0.

​

కాబట్టి, f(π) = f(3π), f'(c) = 0 ఉండేలా c ∈ [π, 3π] ఉండాలి.