Quadratic Equations MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Quadratic Equations - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

గణన

a² = 3t²-2t

పూర్ణాంకేతర సాధన కోసం,

=> 0 < a² < 1

=> a ∈ (-1,0)∪(0,1)

[గమనిక: ఇచ్చిన సమీకరణానికి వాస్తవ సాధన ఉందని అనుకుంటున్నారు].

కాబట్టి 1వ ఎంపిక సరైనది

\(x^{2} + 5|x| - 6 = 0\)

\(|x|^{2} + 5|x| - 6 = 0\)

\(|x|^{2} + 6|x| - |x| - 6 = 0\)

\(|x| (|x| + 6) - 1(|x| + 6) = 0\)

\((|x| - 1)(|x| + 6) = 0\)

\(\implies |x| = 1\) లేదా \(|x|=6\)

కానీ \(|x|\neq -6\) (ఎందుకంటే మాడ్యులస్ ప్రతికూల విలువలను ఇవ్వదు)

\(\therefore |x| = 1\)

\(\therefore x = \pm 1\)

\(\alpha = 1, \beta = -1\)

\(\therefore |\tan^{-1} \alpha - \tan^{-1} \beta| = |\tan^{-1} 1 - \tan^{-1} (-1)|\)

\(= \left |\dfrac {\pi}{4} - \left (-\dfrac {\pi}{4}\right )\right |\)

\(= \left |\dfrac {\pi}{2}\right |\)

కాన్సెప్ట్:

రెండు విభిన్న వాస్తవ సాధనల కోసం, D > 0,

ఎక్కడ D = b2 - 4ac

సాధన:

⇒ k2 - 4k > 0

⇒ k(k - 4) > 0

⇒ (k - 0) (k - 4) > 0

⇒ k > 4, k < 0

అప్పుడు,

సమీకరణం కోసం, ax² + bx + c = 0, α + β = -b/a మరియు αβ = c/a

⇒ ఇక్కడ, αβ = (8 + 2√5)/(5 + √2) మరియు α + β = (4 + √5)/(5 + √2)

⇒ కావున, 2αβ/ (α + β)

⇒ 2[(8 + 2√5) / (5 + √2)] / [(4 + √5) / (5 + √2)]

⇒ 2 [(8 + 2√5) (4 - √5)] / [(4 + √5) / (4 - √5)]

⇒ 2(32 + 8√5 - 8√5 - 10)/11

ఉపయోగించిన భావన:

P (x) ఒక ఫంక్షన్ మరియు (x - a) p (x) యొక్క కారకంగా ఉంటే, p (a) = 0

లెక్కింపు:

x + 4 అనేది 3x ² + kx + 8 యొక్క కారకం, కాబట్టి x = -4 ఈ సమీకరణానికి పరిష్కారం అవుతుంది

⇒ 3(-4)2 + k(-4) + 8 = 0

⇒ 4k = 48 + 8

⇒ k = 14

ఇచ్చిన సమీకరణం నుండి, a = 1, b = k, c = k

పునరావృత మూలాల కోసం, b² – 4ac = 0

⇒ k² – 4k = 0

⇒ k(k – 4) = 0

∴ k = 4 లేదా k = 0.

కాబట్టి, సరైన సమాధానం ఎంపిక 3.

భావన:

వర్గ సమీకరణం ax2 + bx + c = 0ని పరిగణించండి.

ఈ సమీకరణంలో, మనం b2 −4ac అనే పదాన్ని విచక్షిణి అని పిలుస్తాము. విచక్షిణి యొక్క ప్రాముఖ్యత ఏమిటంటే ఇది వర్గ సమీకరణం ఎన్ని మూలాలను కలిగి ఉందో మనకు తెలియజేస్తుంది. ప్రత్యేకంగా, అయితే

• b2 − 4ac < 0 అసలు మూలాలు లేవు.
• b2 - 4ac = 0 ఒక వాస్తవ మూలం ఉంది.
• b2 - 4ac > 0 రెండు వాస్తవ మూలాలు ఉన్నాయి.

లెక్కింపు:

-4 అనేది  2x2 + px - 16 = 0 సమీకరణం యొక్క మూలం అయితే,

⇒ 2(-4)2 + p(-4) - 16 = 0

⇒ 32 - 4p - 16 = 0

⇒ -4p + 16 = 0

⇒ -4p = -16

⇒ p = 4

ఈ విలువను  p(x2 + x) + k = 0 లో ప్రతిక్షేపించగా, మనకు లభిస్తుంది

4(x2 + x) + k = 0

⇒ 4x2 + 4x + k = 0

ఇప్పుడు, ఇచ్చిన సమీకరణం సమాన మూలాలను కలిగి ఉంది.

⇒ విచక్షిణి = 0

⇒ 42 - 4 × 4 × k = 0

⇒ 16 = 16k 

⇒ k = 1

ఇవ్వబడినది,

(x - 1) ² + (y - 2) ² = (x – 1) (y - 2)

కాన్సెప్ట్/సూత్రం:

(x – y) ² = k ²

(x – y) = k లేదా (–k)

x = (k + y) లేదా (y – k)

గణన:

(x -1) ² + (y - 2) ² = (x – 1) (y - 2)

⇒ (x – 1) ² = (x – 1) (y – 2)

⇒ (x – 1) = (y – 2)

⇒ x – y = -2 + 1

⇒ x – y = (-1) ----(1)

⇒ (y – 2) ² = (x – 1) (y – 2)

⇒ (y – 2) = (x – 1)

⇒ x – y = -2 + 1

⇒ x – y = (-1) ----(2)

y = 2 మరియు x = 1,

⇒ 1 – 2 = (-1)

(-1) = (-1) (సంతృప్తం)

ఇప్పుడు,

2x + 3y

⇒ 2 × 1 + 3 × 2

⇒ 2 + 6

⇒ 8

కాన్సెప్ట్:

α మరియు β సమీకరణం యొక్క మూలాలు అయితే, ax2 + bx + c =0

మూలాల మొత్తం (α + β) = \(\rm \frac{-b}{a}\)  

మూలాల లబ్దం (αβ) = \(\rm \frac{c}{a}\)   

(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy .

సాధన:

ఇవ్వబడింది: f (x) = x2 - 5x + 6

f(x)ని ax2 + bx + c =0  తో పోల్చి చూస్తే, మనకు , a = 1 , b= -5 మరియు c= 6 ఉన్నాయి.

ఇప్పుడు, మూలాల మొత్తం=  α + β = \(\rm \frac{-b}{a}\) = \(\rm \frac{-(-5)}{1}\) = 5

మరియు మూలాల లబ్దం  αβ = \(\rm \frac{c}{a}\) = \(\rm \frac{6}{1}\) = 6 . 

ఇప్పుడు, α2β + β2α = αβ ( α+ β ) 

= 6 × 5 

= 30

సరైన ఎంపిక 2​. 

ఇచ్చినవి:

x² + 5kx + 16 = 0 సమీకరణం

ఉపయోగించిన భావన:

సాధారణ వర్గ సమీకరణం ax² + bx + c = 0

విచక్షణి (D) = b2 - 4ac

విచక్షణి (D) < 0 అయితే, మూలాలు వాస్తవ మూలాలు కావు.

గణన:

a = 1, b = 5k, c = 16

⇒ (5k)² - 4 x 1 x 16

⇒ 25k² - 64

ఇప్పుడు, 25k² - 64 < 0

⇒ (5k - 8)(5k + 8) < 0

⇒ 5k - 8 < 0 లేదా 5k + 8 < 0

⇒ k < 8/5 లేదా k > -8/5

∴ k విలువ 8/5 కంటే తక్కువ లేదా -8/5 కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది.

సాధన:

ax² + bx + c = 0 అనే వర్గ సమీకరణానికి, మూలాల మొత్తం (α + β) -b/a గా ఇవ్వబడుతుంది మరియు మూలాల లబ్ధం (αβ) c/a గా ఇవ్వబడుతుంది.

ఇచ్చిన సమీకరణం: x² + 2x + 4 = 0

ఇక్కడ, a = 1, b = 2 మరియు c = 4.

కాబట్టి, α + β = -2/1 = -2 మరియు αβ = 4/1 = 4.

\(\rm \frac{1}{\alpha^3}+\frac{1}{\beta^3}\) కొరకు గుర్తింపును ఉపయోగించండి

మనకు తెలుసు:

1/α³ + 1/β³ = (α³ + β³)/(αβ)³

α³ + β³ = (α + β)(α² - αβ + β²) అనే గుర్తింపును ఉపయోగించి, మనకు లభిస్తుంది:

α² + β² = (α + β)² - 2αβ

α² + β² = (-2)² - 2(4) = 4 - 8 = -4

కాబట్టి, α³ + β³ = (-2)(-4 - 4) = -2 x (-8) = 16

1/α³ + 1/β³ = 16/(4)³ = 16/64 = 1/4

∴ 1/α³ + 1/β³ విలువ = 1/4

గణన:

ఇచ్చినది, \(\rm (x^2 - 5x + 5) ^{x^2 + 4x - 60 }= 1\)

స్పష్టంగా, ఇది సాధ్యమయ్యేది:

1. x² + 4x - 60 = 0 మరియు x² - 5x + 5 ≠ 0, లేదా
2. x² - 5x + 5 = 1, లేదా
3. x² - 5x + 5 = - 1 మరియు x² + 4x - 60 సరి పూర్ణాంకం

కేసు 1:

x² + 4x - 60 = 0 అయినప్పుడు.

⇒ x² + 10x - 6x - 60 = 0

⇒ x(x + 10) - 6(x + 10) = 0

⇒ (x + 10)(x - 6) = 0

⇒ x = -10 లేదా x = 6

గమనించండి, x యొక్క ఈ రెండు విలువలకు, x² - 5x + 5 ≠ 0

కేసు 2:

x² - 5x + 5 = 1 అయినప్పుడు

⇒ x2 - 5x + 4 = 0

⇒ x2 - 4x - x + 4 = 0

⇒ x(x - 4) - 1(x - 4) = 0

⇒ (x - 4)(x - 1) = 0

⇒ x = 4 లేదా x = 1

కేసు 3:

x2 - 5x + 5 = - 1 అయినప్పుడు

⇒ x2 - 5x + 6 = 0

⇒ x2 - 2x - 3x + 6 = 0

⇒ x(x - 2) - 3(x - 2) = 0

⇒ (x - 2)(x - 3) = 0

⇒ x = 2 లేదా x = 3

x = 2 అయినప్పుడు, x2 + 4x - 60 = 4 + 8 - 60 = -48, ఇది సరి పూర్ణాంకం.
x = 3 అయినప్పుడు, x2 + 4x - 60 = 9 + 12 - 60 = -39, ఇది సరి పూర్ణాంకం కాదు.

కాబట్టి, ఈ సందర్భంలో, మనకు x = 2 వస్తుంది.

అందువల్ల, x యొక్క అన్ని వాస్తవ విలువల మొత్తం

= - 10 + 6 + 4 + 1 + 2

= 3.

∴ x యొక్క వాస్తవ విలువల మొత్తం 3.

సరైన సమాధానం 4వ ఎంపిక.