Sequences and Series MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Sequences and Series - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

ఉపయోగించిన భావన:

అంకగణిత శ్రేణి యొక్క మొత్తాన్ని (S) సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు:

S = n/2 × (a + l)

ఇక్కడ:

S అనేది క్రమం యొక్క మొత్తం,

n అనేది నిబంధనల సంఖ్య,

a అనేది మొదటి పదం, మరియు

l చివరి సంఖ్య.

అంకగణిత క్రమంలో పదాల సంఖ్య (n) సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు:

n = (చివరి సంఖ్య- మొదటి సంఖ్య)/తేడా + 1

లెక్కింపు:

రెండు-అంకెల బేసి సంఖ్యలు 11 నుండి 99 వరకు ఉంటాయి. అవి బేసి కాబట్టి, అవి ప్రతిసారీ 2 తేడాతో పెరుగుతాయి, అంకగణిత క్రమాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.

నిబంధనల సంఖ్య (n):

n = (99 - 11)/2 + 1 = 44 + 1 = 45

అంకగణిత క్రమం యొక్క మొత్తం:

S = 45/2 × (11 + 99) = 22.5 × 110 = 2475

కాబట్టి, అన్ని రెండు అంకెల బేసి సంఖ్యల మొత్తం 2475.

∴ ఎంపిక 2 సరైన సమాధానం.

ఇచ్చింది :

రెండు సంఖ్యల హరాత్మక మధ్యమము మరియు గుణాత్మక మధ్యమము వరుసగా 10 మరియు 12

ఉపయోగించిన భావన:

(గుణాత్మక మధ్యమము)² = హరాత్మక మధ్యమము x అంకగణిత మధ్యమము

గణన:

పైన ఇచ్చిన సూత్రం ప్రకారం

(12)² = 10 x అంకగణిత మధ్యమము

⇒ అంకగణిత మధ్యమము = 144/10

⇒ 14.4

∴ ఎంపిక 4 సరైన సమాధానం.

Alternate Method

భావన:

 a మరియు b మధ్య A.M. = \(a+b \over 2\)

a మరియు b మధ్య G.M. = \(\sqrt{ab} \)

A మరియు b మధ్య H.M. = \(2ab\over a+b \)

గణన:

ఇచ్చినది ,  G.M. = 12, H.M. = 10

\(GM = \sqrt{ab} \)

\(12^2 = ab\)

ab = 144 ........(1)

\(HM=\frac{2ab}{a+b}\)

\(10=\frac{2ab}{a+b}\)

2ab = 10a + 10b

ab = 5 (a + b)........(2)

సమీకరణం (1) మరియు (2) నుండి

144 = 5 (a + b)

\(\frac{144}{5}=a+b\)

\(\frac{144}{10}=\frac{a+b}{2}\)

\(\frac{a+b}{2}=14.4\)

కానీ, అది మనకు తెలుసు,

A.M. అనేది  a మరియు b మధ్య = \(a+b \over 2\)

కాబట్టి, AM = 14.4

భావన:

రేఖాగణిత సగటును n సంఖ్యల ఉత్పత్తి యొక్క nవ మూలంగా నిర్వచించారు.

డేటా సమితి యొక్క రేఖాగణిత సగటు \(\rm {\textstyle \left\{a_{1},a_{2},\,\ldots ,\,a_{n}\right\}}\) దీని ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది:

\(\rm GM = \rm {\textstyle \left\{a_{1}\times a_{2}\times\,\ldots \times\,a_{n}\right\}}^{\frac{1}{n}}\)

లెక్కింపు:

కనుగొనడానికి: 6, 8, 16 మరియు 27 ల రేఖాగణిత సగటు

ఇక్కడ n = 4

ఇప్పుడు,

\(\rm GM = \rm ({{6 \times 8 \times 16 \times 27}})^{\frac{1}{4}}\)

\(= \rm ({{2 \times 3 \times 2^3 \times 2^4 \times 3^3}})^{\frac{1}{4}} \\ =(2^8 \times 3^4)^{\frac{1}{4}}\\ = (2^2 \times 3)\\=12\)

కాన్సెప్ట్:

a, b, c అంకగణిత పురోగతి (AP)లో ఉంటే

a + c = 2b

లెక్కింపు:

APకి మూడు పర్యాయాలు ఉండనివ్వండి

a - d, a, a + d

ప్రశ్న ప్రకారం,

a - d + a + a + d = 51

⇒ 3a = 51

⇒ a = 17 ----(1)

అలాగే, ప్రశ్న ప్రకారం

(a - d)(a + d) = 273

∵ (x - y)(x + y) = x2 - y2

⇒ a2 - d2 = 273

⇒ 289 - d² = 273 [సమీకరణం (1) నుండి]

⇒ d2 = 16

⇒ d = 4

ఇచ్చిన:

గుణశ్రేణిలో పదవ పదం 9 మరియు నాల్గవ పదం 4,

ఉపయోగించిన భావన:

గుణశ్రేణి యొక్క n ^వ పదం = ar ^n-1

లెక్కింపు:

a ₁₀ = 9, a ₄ = 4

∴ 9 = ar ⁹ & 4 = ar ³

⇒   ( ar 9 ) (ar ³ ) = 36

⇒ a ² r ¹² = 36

⇒ (ar ⁶ ) ² = (6) ²

వర్గమూలాన్ని తీసుకొని,

ar ⁶ = 6

∴ 7 ^వ పదం 6.

ఉపయోగించిన భావన:

అంకగణిత శ్రేణి యొక్క మొత్తాన్ని (S) సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు:

S = n/2 × (a + l)

ఇక్కడ:

S అనేది క్రమం యొక్క మొత్తం,

n అనేది నిబంధనల సంఖ్య,

a అనేది మొదటి పదం, మరియు

l చివరి సంఖ్య.

అంకగణిత క్రమంలో పదాల సంఖ్య (n) సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు:

n = (చివరి సంఖ్య- మొదటి సంఖ్య)/తేడా + 1

లెక్కింపు:

రెండు-అంకెల బేసి సంఖ్యలు 11 నుండి 99 వరకు ఉంటాయి. అవి బేసి కాబట్టి, అవి ప్రతిసారీ 2 తేడాతో పెరుగుతాయి, అంకగణిత క్రమాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.

నిబంధనల సంఖ్య (n):

n = (99 - 11)/2 + 1 = 44 + 1 = 45

అంకగణిత క్రమం యొక్క మొత్తం:

S = 45/2 × (11 + 99) = 22.5 × 110 = 2475

కాబట్టి, అన్ని రెండు అంకెల బేసి సంఖ్యల మొత్తం 2475.

∴ ఎంపిక 2 సరైన సమాధానం.

ఇవ్వబడింది:

13 సంఖ్యల యొక్క సగటు 24.

ప్రతి సంఖ్యకి 3 ని కలపటం జరుగుతుంది

వాడిన సూత్రం:

సగటు = పరిశీలనల మొత్తం/పరిశీలనల సంఖ్య

లెక్క:

సగటు = పరిశీలనల మొత్తం/పరిశీలనల సంఖ్య

⇒ 24 = పరిశీలనల మొత్తం/13

⇒ పరిశీలనల మొత్తం = 13 × 24

⇒ పరిశీలనల మొత్తం = 312

ఇప్పుడు 13 సంఖ్యల అన్నిటికి 3 ని కలపటం జరుగుతుంది.

⇒ కొత్త మొత్తం = 312 + 13(3)

⇒ కొత్త మొత్తం = 312 + 39

⇒ కొత్త మొత్తం = 351

కొత్త సగటు = 351/13

⇒ కొత్త సగటు = 27

∴ కొత్త సగటు 27 అవుతుంది.

Shortcut Trick

ఈ రకమైన ప్రశ్నలలో,

అన్ని పరిశీలనలకి నిర్దిష్ట సంఖ్య కలిపినప్పుడు లేదా తీసివేయబడినప్పుడు,

అప్పుడు పరిశీలనల సగటు ఆ నిర్దిష్ట సంఖ్య ద్వారా పెరుగుతుంది లేదా తగ్గించబడుతుంది.

ఇక్కడ అన్ని పరిశీలనలకి 3 కలపబడుతుంది.

⇒ కొత్త సగటు = పాత సగటు + 3

⇒ కొత్త సగటు = 24 + 3

⇒కొత్త సగటు = 27

∴ కొత్త సగటు 27 అవుతుంది. 

కాన్సెప్ట్ :

a1 , a2 , a3 క్రమాన్ని పరిశీలిద్దాం .... an ఒక AP

సాధారణ వ్యత్యాసం “d”= a 2 – a 1 = a 3 – a 2 =…. = a n – a n – 1

AP యొక్క nవ  సంఖ్య  ద్వారా ఇవ్వబడింది

Tn = a + (n – 1) d

ఎక్కడ,

a = మొదటి పదం, d = సాధారణ వ్యత్యాసం, n = నిబంధనల సంఖ్య,

Tn = nవ పదం

లెక్కింపు:

ఇచ్చిన సిరీస్

5, 8, 11, 14,... 320

సిరీస్ యొక్క nవ సంఖ్య 320

అందువలన,

a = 5, d = 3, Tn = 320

∵ Tn = a + (n – 1) d

320 = 5 + (n - 1) × 3

అదనపు సమాచారం
మొదటి n సంఖ్యల మొత్త౦

S = [2a + (n − 1) × d]

S = (a + l)

సరైన సంధానం జనాభా శాస్త్రం.

• జనాభా శాస్త్రం అనేది మానవ జనాభా యొక్క గణాంక అధ్యయనం.
  • జనాభా శాస్త్రం స్థలం మరియు సమయంపై జనాభా యొక్క పరిమాణం, నిర్మాణం మరియు కదలికలను పరిశీలిస్తుంది.
  • ఇది చరిత్ర, ఆర్థిక శాస్త్రం, మానవ శాస్త్రం, సామాజిక శాస్త్రం మరియు ఇతర రంగాల నుండి పద్ధతులను ఉపయోగిస్తుంది.

Additional Information

• భౌగోళిక శాస్త్రం అనేది భూమి యొక్క ఉపరితలం (మరియు కొన్నిసార్లు ఇతర గ్రహాలపై) భూభాగాలు, వాటి ప్రక్రియలు, రూపం మరియు అవక్షేపాల అధ్యయనం.
  • గాలి, నీరు మరియు మంచు వంటి భూమి యొక్క ఉపరితల ప్రక్రియలు ప్రకృతి దృశ్యాన్ని ఎలా రూపొందించగలవో తెలుసుకోవడానికి ప్రకృతి దృశ్యాలను చూడటం ఈ అధ్యయనంలో ఉంది.
• మానవ శాస్త్రం అనేది సాంస్కృతికంగా మరియు జీవశాస్త్రపరంగా మానవ స్థితిని అర్థం చేసుకోవడంపై దృష్టి సారించి, గత మరియు ప్రస్తుత వ్యక్తుల అధ్యయనం.
  • ఈ ఉమ్మడి ఉద్ఘాటన ఇతర మానవీయ శాస్త్రాలు మరియు సహజ శాస్త్రాల నుండి మానవ శాస్త్రాన్ని వేరు చేస్తుంది.
• పౌరశాస్త్రం అనేది సమాజాల అధ్యయనం మరియు మానవులు సమూహాలలో ఎలా వ్యవహరిస్తారు.

వాడిన ఫార్ములా:

a n = a + (n - 1) × d

S = n/2[2a + (n - 1) × d]

ఎక్కడ

a = మొదటి పదం

d = సాధారణ వ్యత్యాసం

n = నిబంధనల సంఖ్య

a n = n వ పదం

S= nవ నిబంధనల మొత్తం

లెక్కింపు:

ఇచ్చిన, మొదటి పదం = α

\(\frac{S_m}{S_n}=\frac{m^2}{n^2}\)

సాధారణ వ్యత్యాసాన్ని తెలియజేయండి = డి

సూత్రాన్ని వర్తింపజేస్తోంది

ఇప్పుడు, \(S_m =\frac{m}{2} (2a+(m-1)d\) మరియు \(S_n =\frac{n}{2} (2a+(n-1)d\)

ఇప్పుడు, \(\)

\(\frac{m/2(2a+(m-1)d}{n/2(2a+(n-1)d)}\) \(\frac{m^2}{n^2}\)

⇒ \(2an+nmd - nd = 2am+nmd -md\)

⇒ \(2a(n-m) = d(n-m)\)

⇒ \(2a = d\)

ఇప్పుడు, 50వ పదం = \(a + (50-1)d\) = \(a + 49d\) = \(a + 49\times2a\) = \(99a\)

కాబట్టి, 50వ పదం \(99a\)

అదనపు సమాచారం

అంకగణిత పురోగతి శ్రేణి యొక్క n నిబంధనల మొత్తం కూడా ఇలా వ్యక్తీకరించబడుతుంది:

S = n/2(a + l)

ఎక్కడ

a అనేది సిరీస్‌లో మొదటి సంఖ్య

l అనేది సిరీస్‌లో చివరి సంఖ్య

ఇచ్చింది :

రెండు సంఖ్యల హరాత్మక మధ్యమము మరియు గుణాత్మక మధ్యమము వరుసగా 10 మరియు 12

ఉపయోగించిన భావన:

(గుణాత్మక మధ్యమము)² = హరాత్మక మధ్యమము x అంకగణిత మధ్యమము

గణన:

పైన ఇచ్చిన సూత్రం ప్రకారం

(12)² = 10 x అంకగణిత మధ్యమము

⇒ అంకగణిత మధ్యమము = 144/10

⇒ 14.4

∴ ఎంపిక 4 సరైన సమాధానం.

Alternate Method

భావన:

 a మరియు b మధ్య A.M. = \(a+b \over 2\)

a మరియు b మధ్య G.M. = \(\sqrt{ab} \)

A మరియు b మధ్య H.M. = \(2ab\over a+b \)

గణన:

ఇచ్చినది ,  G.M. = 12, H.M. = 10

\(GM = \sqrt{ab} \)

\(12^2 = ab\)

ab = 144 ........(1)

\(HM=\frac{2ab}{a+b}\)

\(10=\frac{2ab}{a+b}\)

2ab = 10a + 10b

ab = 5 (a + b)........(2)

సమీకరణం (1) మరియు (2) నుండి

144 = 5 (a + b)

\(\frac{144}{5}=a+b\)

\(\frac{144}{10}=\frac{a+b}{2}\)

\(\frac{a+b}{2}=14.4\)

కానీ, అది మనకు తెలుసు,

A.M. అనేది  a మరియు b మధ్య = \(a+b \over 2\)

కాబట్టి, AM = 14.4