Differential Calculus MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Differential Calculus - मोफत PDF डाउनलोड करा

\(f(x)=15-|x-10|, x\in R\)

\(f(f(x))=15-|f(x)-10|\)

\(=15-|15-|x-10|-10|\)

\(=15-|5-|x-10||\)

\(x=5, 10, 15\) हे अ-विकलनीयतेचे बिंदू आहेत.

दुसरा मार्ग:

\(x=10\) वर \(f(x)\) अविकलनीय आहे.

त्याचप्रकारे, जेव्हा \(15-|x-10|=10\)

\(\Rightarrow x=5, 15\)

\(\therefore\) अ-विकलनीयतेचे बिंदू \(\{5, 10, 15\}\) आहेत.

कलनशास्त्रात, रोल्सचे प्रमेय म्हणजे कोणताही वास्तव-मूल्यवान विकलनीय फल, जो दोन वेगवेगळ्या बिंदूंवर समान मूल्य प्राप्त करतो, त्याला त्यांच्यामध्ये कुठेतरी स्थिर बिंदू असणे आवश्यक आहे - म्हणजेच, एक बिंदू जिथे पहिला व्युत्पन्न (फलाच्या आलेखाला स्पर्श करणाऱ्या रेषेचा उतार) शून्य असतो.

\( { f }^{ 1 }(c)=0 \)

\( \Rightarrow { e }^{ x }(\sin x - \cos x) + { e }^{ x }(\cos x + \sin x) = 0 \\ \Longrightarrow { e }^{ x }(2\sin x) = 0 \)

\( \Longrightarrow \sin x = 0 \)

\( \left[ \frac { \pi }{ 4 } , \frac { 5\pi }{ 4 } \right] \) वरून \( \sin x = 0 \) जर \( x = \pi \)

\( \Rightarrow c = \pi \)

गणना:

दिलेले आहे, x2/54 + y2/6 = 1

⇒ x² + 9y² = 54

⇒ 18 - y² + 9y² = 54 [∵ x2 + y2 = 18]

⇒ 8y² = 36

⇒ y² = 9/2

⇒ y = \(\frac{3}{\sqrt{2}}\)

⇒ x = 18 - y² = \(\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)

∴ छेदन बिंदू = (\(\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\), \(\frac{3}{\sqrt{2}}\))

आता, x2/54 + y2/6 = 1

⇒ \(\frac{2x}{54}\) + \(\frac{2yy'}{6}\) = 0

⇒ x + 9yy' = 0

⇒ \(\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\) + 9x\(\frac{3}{\sqrt{2}}\)y' = 0

⇒ y' = \(-\frac{1}{3\sqrt{3}}\) = m₁

तसेच, x2 + y2 = 18

⇒ 2x + 2yy' = 0

⇒ \(\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\) + \(\frac{3}{\sqrt{2}}\)y' = 0

⇒ y' = \(-\sqrt{3}\) = m₂

∴ tanθ = \(\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|\)

= \(\left|\frac{-\frac{1}{3\sqrt{3}}-(-\sqrt{3})}{1+(-\frac{1}{3\sqrt{3}})(-\sqrt{3})}\right|\)

= \(\left|\frac{\sqrt{3}-\frac{1}{3\sqrt{3}}}{1+\frac{1}{3}}\right|\)

= \(\frac{\frac{8}{3\sqrt{3}}}{\frac{4}{3}}\) = \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\)

⇒ θ = \(\tan^{-1}\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)\) = \(\tan^{-1}\left(\frac{a\sqrt{b}}{c}\right)\)

⇒ a = 2, b = 3, c = 3

∴ a + b + c चे मूल्य 8 आहे.

पर्याय 3 योग्य आहे.

गणना:

⇒ \(\displaystyle f(x) =\frac{m}{x} +2nx + 1\)

⇒ \(\displaystyle f'(x) =\frac{-m}{x^2} +2n\)

x = 2 वर विकलज शून्य होतो, म्हणून, f'(2) = 0

⇒ \(\displaystyle f'(2) =\frac{-m}{2^2} +2n=0\)

⇒ \(\displaystyle f'(2) =\frac{{-m} +8n}{4}=0\)

⇒ m = 8n

∴ अपर्याप्त माहितीमुळे m + 8n चे मूल्य ठरवता येत नाही.

संकल्पना:-

कोणत्याही फल f(x) मध्ये 'x' च्या त्या मूल्यांवर एकतर महत्तम किंवा लघुतम असते, जेथे \(\rm\frac{dy}{dx}=0\); y = f(x)

तसेच

जर \(\rm \frac{d^2y}{dx^2}>0\) ⇒ 'x' लघुतम आहे, जेथे y = f(x)

जर \(\rm \frac{d^2y}{dx^2}<0\) 'x' महत्तम आहे, जेथे y = f(x)

गणना:-

दिलेल्याप्रमाणे f(x) = ax² + 6x + 5 = 0

\(\rm \frac{d f(x)}{dx}=2ax+6=0\)

⇒ x = -3/a

दिलेल्याप्रमाणे x = 1 महत्तम आहे, x = 1 हे मूल्य वरील समीकरणात टाका 

आपणास हे मिळते a = -3

तपासा

\(\rm \frac{d^2y}{dx^2}=2a\) = -6 < 0

⇒ x = 1 महत्तम आहे हे योग्य आहे.

संकल्पना:

सामान्य स्पर्शिकेला लंब आहे, जसे की mt × mn = -1

mt = dy/dx.

गणना:

फल f(x) विचारात घेऊ, जसे की स्पर्शिकेचा उतार m_t असेल आणि सामान्य उतार m_n असेल.

आता, आपणास माहित आहे की, सामान्य स्पर्शिकेला लंब आहे, जसे की

 mt × mn = -1

mn × dy/dx = -1

⇒ m_n = - dx/dy

आता, प्रश्नानुसार, सामान्य हा x-अक्षाच्या समांतर आहे, म्हणून सामान्यचा उतार x-अक्षाच्या उताराइतका आहे. (म्हणजे, शून्य)

∴ mn = 0

⇒ - dx/dy = 0

⇒ dx/dy = 0

∴ ​दिलेल्या वक्रातील सामान्य जर x-अक्षाच्या समांतर असेल तर dx/dy = 0 असेल

संकल्पना:

समजा आपल्याकडे f(x) आणि g(x) अशी दोन फंक्शन आहेत आणि टी दोन्ही भिन्न आहेत.

• चेन नियम: \(\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{dx}}}}\left[ {{\rm{f}}\left( {{\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)} \right)} \right] = {\rm{\;f'}}\left( {{\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)} \right){\rm{g'}}\left( {\rm{x}} \right)\)
• गुणाकार नियम: \(\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{dx}}}}\left[ {{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\;g}}\left( {\rm{x}} \right)} \right] = {\rm{\;f'}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\;g}}\left( {\rm{x}} \right) + {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\;g'}}\left( {\rm{x}} \right)\)

गणना:

दिले आहे: \(\rm x^m y^n =a^{m+n}\)

x च्या संदर्भात फरक केल्यास, आपल्याला मिळते

\(\Rightarrow \rm x^m\dfrac{dy^n}{dx}+ y^n\dfrac{dx^m}{dx} = \dfrac{da^{m+n}}{dx}\\\Rightarrow \rm x^m \times ny^{n-1} \dfrac{dy}{dx}+ y^n \times mx^{m-1} = 0\\\Rightarrow \rm x^m \times ny^{n-1} \dfrac{dy}{dx}=- y^n \times mx^{m-1} \\ \Rightarrow\dfrac{dy}{dx}=\frac{- y^n \times mx^{m-1}}{\rm x^m \times ny^{n-1}}\\\therefore \dfrac{dy}{dx}= \frac{-my}{nx} \)

संकल्पना:

\(\rm d(sinx) \over dt\) = cosx

\(\rm d(cosx) \over dt\)= -sinx

\(\rm sinx \over cosx\)= tanx

गणना:

दिले आहे,

y =  b sin³t

\(\rm dy \over dt\)= 3 b sin²t cos t          ....(1)

त्याचप्रमाणे,

x = a cos3t

\(\rm dx \over dt\) = 3 a cos²t (-sin t)      ....(2)

समीकरण (1) ला समीकरण (2) ने भागल्यास आपल्याला मिळते,

\(\rm \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}\)= \(\rm 3 b \sin^2 t \cos t \over -3 a \cos^2 t \sin t\)

⇒\(\rm dy\over dx\) = \(\rm -b \over a \)tan t

गणना:

⇒ \(\displaystyle f(x) =\frac{m}{x} +2nx + 1\)

⇒ \(\displaystyle f'(x) =\frac{-m}{x^2} +2n\)

x = 2 वर विकलज शून्य होतो, म्हणून, f'(2) = 0

⇒ \(\displaystyle f'(2) =\frac{-m}{2^2} +2n=0\)

⇒ \(\displaystyle f'(2) =\frac{{-m} +8n}{4}=0\)

⇒ m = 8n

∴ अपर्याप्त माहितीमुळे m + 8n चे मूल्य ठरवता येत नाही.

संकल्पना:

जर f'(x) > 0 असेल, तर f(x) हे वाढते फल आहे असे म्हणतात.

गणना:

1. f(x) = ln x

f'(x) = 1/x जे (0, ∞) वर नेहमीच शून्यापेक्षा जास्त असते.

हे विधान योग्य आहे.

2. f(x) = e^x - x (ln x)

f'(x) = e^x - ln(x) - x (1/x)

⇒ f'(x) = e^x - ln(x) - 1

= e^x - (ln(x) + 1) हे मूल्य देखील नेहमीच शून्यापेक्षा जास्त असते.

अशाप्रकारे, हे विधान देखील योग्य आहे.

म्हणून, पर्याय (3) योग्य आहे.

Shortcut Trickआयताची लांबी L आणि रुंदी B मानूया,

प्रश्नानुसार,

आयताचा कर्ण = वर्तुळाचा व्यास

√(L2 + B2) = 4   

⇒ L2 + B2 = 42    ----(1)

आयताच्या कमाल क्षेत्रफळासाठी

लांबी ही त्याच्या रुंदीएवढी असावी [ L = B]

तर (1) वरून, 

L = B = √8

∴ आयताचे क्षेत्रफळ = L × B = √8 × √8 = 8

सविस्तर पद्धत

वापरलेले सूत्र:

आयताचे क्षेत्रफळ = लांबी × रुंदी

वर्तुळाचा व्यास = 2 × वर्तुळाची त्रिज्या 

\(\rm \frac{d}{dx} x^{n} = nx^{n - 1}\)

गणना:

आयताची लांबी L आणि रुंदी B मानूया.

वर्तुळात आयत आंतरलिखित असल्याने, त्याचा कर्ण हा वर्तुळाचा व्यास असावा.

√(L² + B²) = 4   

⇒ L2 + B2 = 42    ----(1)

आयताचे क्षेत्र Lb द्वारे दिले जाते.

L नुसार स्थितीत फरक करून.

2L + 2b \(\rm \frac{dB}{dL}\) = 0

⇒ \(\rm \frac{dB}{dL} = \frac{-L}{B}\)       ----(2)

आता क्षेत्रफळ वेगळे करणे कारण आपल्याला ते कमाल वाढवायचे आहे. 

B + L \(\rm \frac{dB}{dL}\) = 0       ----(3)

समीकरण (2) ला समीकरण (3) मध्ये बदलून, आपल्याकडे आहे

⇒ B + L \(\rm \frac{-L}{B}\) = 0   

⇒ B² = L²

⇒ B = L

हा समीकरण संबंध समीकरण (1) मध्ये बदलून, आपल्याला मिळते

⇒ 2L² = 4² or L² = 8

⇒ क्षेत्र = LB = L² = 8 चौरस एकक

∴ वर्तुळात आंतरलिखित आयताचे कमाल क्षेत्रफळ 8 चौरस एकक आहे.

संकल्पना:

सामान्य स्पर्शिकेला लंब आहे, जसे की mt × mn = -1

mt = dy/dx.

गणना:

फल f(x) विचारात घेऊ, जसे की स्पर्शिकेचा उतार m_t असेल आणि सामान्य उतार m_n असेल.

आता, आपणास माहित आहे की, सामान्य स्पर्शिकेला लंब आहे, जसे की

 mt × mn = -1

mn × dy/dx = -1

⇒ m_n = - dx/dy

आता, प्रश्नानुसार, सामान्य हा x-अक्षाच्या समांतर आहे, म्हणून सामान्यचा उतार x-अक्षाच्या उताराइतका आहे. (म्हणजे, शून्य)

∴ mn = 0

⇒ - dx/dy = 0

⇒ dx/dy = 0

∴ ​दिलेल्या वक्रातील सामान्य जर x-अक्षाच्या समांतर असेल तर dx/dy = 0 असेल

संकल्पना:-

कोणत्याही फल f(x) मध्ये 'x' च्या त्या मूल्यांवर एकतर महत्तम किंवा लघुतम असते, जेथे \(\rm\frac{dy}{dx}=0\); y = f(x)

तसेच

जर \(\rm \frac{d^2y}{dx^2}>0\) ⇒ 'x' लघुतम आहे, जेथे y = f(x)

जर \(\rm \frac{d^2y}{dx^2}<0\) 'x' महत्तम आहे, जेथे y = f(x)

गणना:-

दिलेल्याप्रमाणे f(x) = ax² + 6x + 5 = 0

\(\rm \frac{d f(x)}{dx}=2ax+6=0\)

⇒ x = -3/a

दिलेल्याप्रमाणे x = 1 महत्तम आहे, x = 1 हे मूल्य वरील समीकरणात टाका 

आपणास हे मिळते a = -3

तपासा

\(\rm \frac{d^2y}{dx^2}=2a\) = -6 < 0

⇒ x = 1 महत्तम आहे हे योग्य आहे.