Binomial Theorem MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Binomial Theorem - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

గణన

$1(1-2x{)}^{18}+ax(1-2x{)}^{18}+b{x}^2(1-2x{)}^{18}$

$x^3$ గుణకం: $(-2{)}^3{}^{18}{C}_3$ + $a\times (-2{)}^2{\times }^{18}{C}_2$ + $b\times (-2)\times {}^{18}{C}_1=0$

⇒ ${\displaystyle \frac{4\times (17\times 16)}{(3\times 2)}-2a\cdot {\displaystyle \frac{17}{2}+b=0\cdots (i)}}$

$x^4$ గుణకం: $(-2{)}^4{}^{18}{C}_4$ + $a\times (-2{)}^3{\times }^{18}{C}_3$ + $b\times (-2{)}^2\times {}^{18}{C}_2=0$

⇒ $(4\times 20)-2a\cdot {\displaystyle \frac{16}{3}+b=0\cdots (ii)}$

సమీకరణం $(i)$ మరియు $(ii)$ నుండి,

⇒ $4\left({\displaystyle \frac{17\times 8}{3}-20}\right)+2a\left({\displaystyle \frac{16}{3}-{\displaystyle \frac{17}{2}}}\right)=0$

⇒ $4\left({\displaystyle \frac{17\times 8-60}{3}}\right)+{\displaystyle \frac{2a(-19)}{6}=0}$

⇒ $a={\displaystyle \frac{4\times 76\times 6}{3\times 2\times 19}}$

$\Rightarrow a=16$

$\Rightarrow b={\displaystyle \frac{2\times 16\times 16}{3}-80={\displaystyle \frac{272}{3}}}$

కాబట్టి 4వ ఎంపిక సరైనది

కనుగొనవలసింది:- $\frac{a_2}{a_0}=\frac{{\text{x}}^2గుణకం}{{\text{x}}^0గుణకం}$

మనకు తెలుసు, ${(a+b)}^n$ విస్తరణలోని సాధారణ పదం,

$T_{r+1}={}^n{C}_r{\left(a\right)}^{n-r}{\left(b\right)}^r$

ఇప్పుడు,

${(x+10)}^{50}$ యొక్క సాధారణ పదం-

ఇక్కడ,

$a=x,b=10$

$T_{r+1}={}^{50}{C}_r{\left(x\right)}^{50-r}{\left(10\right)}^r$

$x^2$ గుణకం కోసం-

$50-r=2\Rightarrow r=48$

$T_{48+1}={}^{50}{C}_{48}{\left(x\right)}^{50-48}{\left(10\right)}^{48}$

$T_{49}={}^{50}{C}_{48}{\left(10\right)}^{48}{x}^2$

$x^0$ గుణకం కోసం-

$50-r=0\Rightarrow r=50$

$T_{50+1}={}^{50}{C}_{50}{\left(x\right)}^{50-50}{\left(10\right)}^{50}$

$T_{51}={}^{50}{C}_{50}{\left(10\right)}^{50}{x}^0$

ఇప్పుడు,

${(x+(-10))}^{50}$ యొక్క సాధారణ పదం-

ఇక్కడ,

$a=x,b=-10$

$T_{r+1}={}^{50}{C}_r{\left(x\right)}^{50-r}{(-10)}^r$

$x^2$ గుణకం కోసం-

$50-r=2\Rightarrow r=48$

$T_{48+1}={}^{50}{C}_{48}{\left(x\right)}^{50-48}{(-10)}^{48}$

$T_{49}={}^{50}{C}_{48}{\left(10\right)}^{48}{x}^2$

$x^0$ గుణకం కోసం-

$50-r=0\Rightarrow r=50$

$T_{50+1}={}^{50}{C}_{50}{\left(x\right)}^{50-50}{(-10)}^{50}$

$T_{51}={}^{50}{C}_{50}{\left(10\right)}^{50}{x}^0$

ఇప్పుడు ఇచ్చిన విస్తరణ నుండి,

$a_2={}^{50}{C}_{48}{\left(10\right)}^{48}+{}^{50}{C}_{48}{\left(10\right)}^{48}={}^{50}{C}_{48}({\left(10\right)}^{48}+{\left(10\right)}^{48})$

$a_0={}^{50}{C}_{50}{\left(10\right)}^{50}+{}^{50}{C}_{50}{\left(10\right)}^{50}={}^{50}{C}_{50}({\left(10\right)}^{50}+{\left(10\right)}^{50})$

ఇప్పుడు,

$\frac{a_2}{a_0}=\frac{{}^{50}{C}_{48}({\left(10\right)}^{48}+{\left(10\right)}^{48})}{{}^{50}{C}_{50}({\left(10\right)}^{50}+{\left(10\right)}^{50})}$

మనకు తెలుసు,

${}^n{C}_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

కాబట్టి,

$\frac{a_2}{a_0}=\frac{50\times 49}{2}\times \left(\frac{{10}^{48}}{{10}^{50}}\right)$

$\Rightarrow \frac{a_2}{a_0}=\frac{49}{4}=12.25$

సిద్ధాంతం:

• (1 + x)^r విస్తరణలో (r + 1)వ పదం గుణకం ⁿC_rx^r.
• మనకు తెలుసు $\frac{{}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}}{{}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}-1}}=\frac{\mathrm{n}-\mathrm{r}+1}{\mathrm{r}}$.

గణన:

(1 + x)¹⁴ విస్తరణలో rవ పదం గుణకం 14Cr-1

(1 + x)¹⁴ విస్తరణలో (r + 1)వ పదం గుణకం ¹⁴C_r

(1 + x)¹⁴ విస్తరణలో (r + 2)వ పదం గుణకం 14Cr+1

(1 + x)¹⁴ విస్తరణలో rవ, (r + 1)వ మరియు (r + 2)వ పదాల గుణకాలు అంకశ్రేఢిలో ఉన్నాయని ఇవ్వబడింది.

⇒ 2(14Cr ) = 14Cr-1 + 14Cr+1

సమీకరణాన్ని మళ్ళీ వ్రాయడం.

⇒ $\frac{{}^{14}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}-1}}{{}^{14}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}}+\frac{{}^{14}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}+1}}{{}^{14}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}}$ = 2.

మనకు తెలుసు $\frac{{}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}}{{}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}-1}}=\frac{\mathrm{n}-\mathrm{r}+1}{\mathrm{r}}$

⇒ $\frac{\mathrm{r}}{14-\mathrm{r}+1}+\frac{14-\mathrm{r}}{\mathrm{r}+1}=2$

⇒ $\frac{{\mathrm{r}}^2+\mathrm{r}+(15-\mathrm{r})(14-\mathrm{r})}{(15-\mathrm{r})(\mathrm{r}+1)}=2$

⇒ 2r² - 28r + 210 - 2(15 - r)(r + 1) = 0

⇒ 4r² - 56r + 180 = 0

⇒ r² - 14r + 45 = 0

⇒ (r - 5)(r - 9) = 0

⇒ r = 5 లేదా r = 9

r అవసరమైన విలువ 5 లేదా 9.

కాన్సెప్ట్:

సాధారణ సంఖ్య: (x + y)ⁿ యొక్క విస్తరణలో సాధారణ పదం ద్వారా ఇవ్వబడింది

$T_{\left(r+1\right)}={}^n{C}_r\times x^{n-r}\times y^r$

మధ్య సంఖ్య: మధ్య పదం అనేది n విలువపై ఆధారపడి (x + y)ⁿ యొక్క విస్తరణ.

• n సమానంగా ఉంటే , (x + y)ⁿ విస్తరణలో మొత్తం పదాల సంఖ్య n +1. కాబట్టి ఒకే ఒక మధ్య సంఖ్య అంటే $\left(\frac{n}{2}+1\right){}^{th}$ సంకఖ్య మధ్య సంఖ్య.

$T_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}={}^n{C}_{\frac{n}{2}}\times x^{\frac{n}{2}}\times y^{\frac{n}{2}}$

• n బేసి అయితే , (x + y)ⁿ యొక్క విస్తరణలో మొత్తం సంఖ్యల సంఖ్య n + 1. కాబట్టి రెండు మధ్య సంఖ్యలు ఉన్నాయి అంటే ${\left(\frac{n+1}{2}\right)}^{th}$ మరియు ${\left(\frac{n+3}{2}\right)}^{th}$ రెండు మధ్య సంఖ్యలు.

లెక్కింపు:

ఇక్కడ, మేము ${({\displaystyle \frac{x}{y}}+{\displaystyle \frac{y}{x}})}^8$ ద్విపద విస్తరణలో మధ్య సంఖ్య యొక్క గుణకాన్ని కనుగొనాలి.

ఇక్కడ n = 8 (n అనేది సరి సంఖ్య)

∴ మధ్య సంఖ్య = $\left(\frac{n}{2}+1\right)=\left(\frac{8}{2}+1\right)=5^{th}term$

కాబట్టి, మధ్య సంఖ్యలు లేదా 5వ  సంఖ్య ఉంటుంది,

T ₅ = $C_4^8\times (\frac{x}{y}{)}^4\times (\frac{y}{x}{)}^4={}^8{C}_4$

ఉపయోగించిన భావన:-

(1+x)ⁿ విస్తరణకు, rవ పదం గుణకం,

T(r)=ⁿCr-1

ఇక్కడ, n ధనాత్మక పూర్ణాంకం.

వివరణ:-

(1 + x)¹⁴ విస్తరణలో rవ, (r + 1)వ మరియు (r + 2)వ పదాల గుణకాలు అంకశ్రేఢిలో ఉన్నాయి.

(1 + x)¹⁴ విస్తరణలో rవ పదం గుణకం,

T(r₁)=¹⁴C_r-1

(1 + x)¹⁴ విస్తరణలో (r+1)వ పదం గుణకం,

T(r₂)=¹⁴C_r

(1 + x)¹⁴ విస్తరణలో (r+2)వ పదం గుణకం,

T(r₃)=¹⁴C_r+1

ఇప్పుడు, అంకశ్రేఢికి, మొదటి మరియు మూడవ పదాల మొత్తం రెండవ పదం యొక్క రెట్టింపుకు సమానం. కాబట్టి,

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow 2\left({}^{14}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}\right)={}^{14}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}-1}+{}^{14}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}+1}\\ & \Rightarrow \frac{{}^{14}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}-1}}{{}^{14}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}}+\frac{{}^{14}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}+1}}{{}^{14}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}}=2\\ & \Rightarrow \frac{\mathrm{r}}{14-\mathrm{r}+1}+\frac{14-\mathrm{r}}{\mathrm{r}+1}=2\\ & \Rightarrow \frac{{\mathrm{r}}^2+\mathrm{r}+(15-\mathrm{r})(14-\mathrm{r})}{(15-\mathrm{r})(\mathrm{r}+1)}=2\\ & \Rightarrow 2{\mathrm{r}}^2-18\mathrm{r}+210+2(15-\mathrm{r})(\mathrm{r}+1)=0\end{array}$

సమీకరణాన్ని మరింత పరిష్కరించడం ద్వారా,

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow 4r^2-56\mathrm{r}+180=0\\ & \Rightarrow {\mathrm{r}}^2-14\mathrm{r}+45=0\\ & \Rightarrow {\mathrm{r}}^2-5\mathrm{r}-9r+45=0\\ & \Rightarrow \mathrm{r}(r-5)-9(r-5)=0\\ & \Rightarrow (r-5)(r-9)=0\\ & \Rightarrow \mathrm{r}=5,9\end{array}$

కాబట్టి, r విలువ 5 లేదా 9. సరైన ఎంపిక 2.

ఇచ్చినది:

(x + 11) (x - 11)

ఉపయోగించిన సూత్రం:

(x + y) (x - y) = x2 - y2

గణన:

(x + 11) (x - 11)

సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం

(x + 11) (x - 11) = x2 - 121 

∴ ఎంపిక 2 సరైన సమాధానం.

సిద్ధాంతం:

• (1 + x)^r విస్తరణలో (r + 1)వ పదం గుణకం ⁿC_rx^r.
• మనకు తెలుసు $\frac{{}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}}{{}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}-1}}=\frac{\mathrm{n}-\mathrm{r}+1}{\mathrm{r}}$.

గణన:

(1 + x)¹⁴ విస్తరణలో rవ పదం గుణకం 14Cr-1

(1 + x)¹⁴ విస్తరణలో (r + 1)వ పదం గుణకం ¹⁴C_r

(1 + x)¹⁴ విస్తరణలో (r + 2)వ పదం గుణకం 14Cr+1

(1 + x)¹⁴ విస్తరణలో rవ, (r + 1)వ మరియు (r + 2)వ పదాల గుణకాలు అంకశ్రేఢిలో ఉన్నాయని ఇవ్వబడింది.

⇒ 2(14Cr ) = 14Cr-1 + 14Cr+1

సమీకరణాన్ని మళ్ళీ వ్రాయడం.

⇒ $\frac{{}^{14}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}-1}}{{}^{14}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}}+\frac{{}^{14}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}+1}}{{}^{14}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}}$ = 2.

మనకు తెలుసు $\frac{{}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}}{{}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}-1}}=\frac{\mathrm{n}-\mathrm{r}+1}{\mathrm{r}}$

⇒ $\frac{\mathrm{r}}{14-\mathrm{r}+1}+\frac{14-\mathrm{r}}{\mathrm{r}+1}=2$

⇒ $\frac{{\mathrm{r}}^2+\mathrm{r}+(15-\mathrm{r})(14-\mathrm{r})}{(15-\mathrm{r})(\mathrm{r}+1)}=2$

⇒ 2r² - 28r + 210 - 2(15 - r)(r + 1) = 0

⇒ 4r² - 56r + 180 = 0

⇒ r² - 14r + 45 = 0

⇒ (r - 5)(r - 9) = 0

⇒ r = 5 లేదా r = 9

r అవసరమైన విలువ 5 లేదా 9.

భావన:

ద్విపద సిద్ధాంతం

(x + y)n = xn + nC1 xn-1y + nC2 xn-2y2 + .....+ nCn-1 xyn-1 + nCn yn

సాధారణ పదం =  nCr xn-ryr 

లెక్కింపు:

ఇచ్చిన వ్యక్తీకరణ,$\left(\frac{1}{60}-\frac{x^8}{81}\right).{\left(2x^2-\frac{3}{x^2}\right)}^6$

ఇచ్చిన సమాసంలో x నుండి స్వతంత్రంగా ఉండే పదం

= $\frac{1}{60}$ × ${\left(2x^2-\frac{3}{x^2}\right)}^6$ -   $\frac{1}{81}$ × గుణకం x ^-8 in ${\left(2x^2-\frac{3}{x^2}\right)}^6$

ఇప్పుడు, ${\left(2x^2-\frac{3}{x^2}\right)}^6$ లో సాధారణ పదం   6Cr (2x2)6-r(-3/x2)r 

x తో సంబంధం లేని పదానికి, 2(6 - r) + (-2)r = 0 ⇒ r = 3

x ^-8 అనే పదానికి, 2(6 - r) + (-2)r = -8 ⇒ r = 5

⇒ $\left(\frac{1}{60}-\frac{x^8}{81}\right).{\left(2x^2-\frac{3}{x^2}\right)}^6$ = $\frac{1}{60}$ ×6 C 3 (2)6-3 (-3)3 - $\frac{1}{81}$ ×6 C5 (2)6-5 (-3)⁵ లో x నుండి స్వతంత్ర పదం

⇒ x నుండి స్వతంత్రమైన పదం$\left(\frac{1}{60}-\frac{x^8}{81}\right).{\left(2x^2-\frac{3}{x^2}\right)}^6$>  = - 72 + 36 = -36

∴ సరైన సమాధానం ఎంపిక (4).

కాన్సెప్ట్:

సాధారణ సంఖ్య: (x + y)ⁿ యొక్క విస్తరణలో సాధారణ పదం ద్వారా ఇవ్వబడింది

$T_{\left(r+1\right)}={}^n{C}_r\times x^{n-r}\times y^r$

మధ్య సంఖ్య: మధ్య పదం అనేది n విలువపై ఆధారపడి (x + y)ⁿ యొక్క విస్తరణ.

• n సమానంగా ఉంటే , (x + y)ⁿ విస్తరణలో మొత్తం పదాల సంఖ్య n +1. కాబట్టి ఒకే ఒక మధ్య సంఖ్య అంటే $\left(\frac{n}{2}+1\right){}^{th}$ సంకఖ్య మధ్య సంఖ్య.

$T_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}={}^n{C}_{\frac{n}{2}}\times x^{\frac{n}{2}}\times y^{\frac{n}{2}}$

• n బేసి అయితే , (x + y)ⁿ యొక్క విస్తరణలో మొత్తం సంఖ్యల సంఖ్య n + 1. కాబట్టి రెండు మధ్య సంఖ్యలు ఉన్నాయి అంటే ${\left(\frac{n+1}{2}\right)}^{th}$ మరియు ${\left(\frac{n+3}{2}\right)}^{th}$ రెండు మధ్య సంఖ్యలు.

లెక్కింపు:

ఇక్కడ, మేము ${({\displaystyle \frac{x}{y}}+{\displaystyle \frac{y}{x}})}^8$ ద్విపద విస్తరణలో మధ్య సంఖ్య యొక్క గుణకాన్ని కనుగొనాలి.

ఇక్కడ n = 8 (n అనేది సరి సంఖ్య)

∴ మధ్య సంఖ్య = $\left(\frac{n}{2}+1\right)=\left(\frac{8}{2}+1\right)=5^{th}term$

కాబట్టి, మధ్య సంఖ్యలు లేదా 5వ  సంఖ్య ఉంటుంది,

T ₅ = $C_4^8\times (\frac{x}{y}{)}^4\times (\frac{y}{x}{)}^4={}^8{C}_4$

వివరణ:

${(2-x^2-\frac{1}{x^2})}^{-5}$

= - ${(x^2+\frac{1}{x^2}-2)}^{-5}$

= - ${[(x-\frac{1}{x}{)}^2]}^{-5}$

= - ${(x-\frac{1}{x})}^{-10}$

= - ${\left(\frac{x^2-1}{x}\right)}^{-10}$

= - ${\left(\frac{x}{x^2-1}\right)}^{10}$ = - $\frac{x^{10}}{(x^2-1{)}^{10}}$

కాబట్టి, ${(1-x^2)}^{20}{(2-x^2-\frac{1}{x^2})}^{-5}$

= - (x² - 1)²⁰$\frac{x^{10}}{(x^2-1{)}^{10}}$

= - x¹⁰(x² - 1)¹⁰

కాబట్టి x¹⁰ గుణకం

= - ((x² - 1)¹⁰ లోని స్థిర పదం)

= - 1

గణన:

ఇచ్చినది, (1 + x2 - x3)8

= $[1+x^2(1-x){]}^8$

= ${}^8{C}_0{+}^8{C}_1{x}^2(1-x){+}^8{C}_2{x}^4(1-x{)}^2+\dots$

x¹⁰ని కలిగి ఉన్న రెండు పదాలు ⁸C₄ x⁸(1 − x)⁴ మరియు ⁸C₅x¹⁰(1 − x)⁵

కాబట్టి, ఇచ్చిన సమాసంలో x¹⁰ గుణకం ⁸C₄[(1 − x)⁴ విస్తరణలో x² గుణకం] + ⁸C₅ ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది

= 8C4(6) + 8C5

= $\frac{8!}{4!4!}(6)+\frac{8!}{3!5!}$

= 70x6 + 54

= 476

∴ x¹⁰ గుణకం 476.

సరైన సమాధానం ఎంపిక 1.

సిద్ధాంతం:

(x + a)n ద్విపద విస్తరణలోని సాధారణ పదం Tr + 1 = nCrxn-rar

గణన:

ఇచ్చినది, ${(5^{\frac{1}{3}}+7^{\frac{1}{5}})}^{15}$

కాబట్టి, సాధారణ పదం, T_r+1 = ${}^{15}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}{5}^{\frac{15-\mathrm{r}}{3}}\cdot 7^{\frac{\mathrm{r}}{5}}$

అకరణీయ పదాలకు, 5 మరియు 7 యొక్క ఘాతాలు పూర్ణాంకాలు కావాలి.

⇒ r = 0 మరియు r = 15

కాబట్టి, స్వతంత్ర పదాల మొత్తం = ${}^{15}{\mathrm{C}}_0{5}^{\frac{15-0}{3}}\cdot 7^{\frac{0}{5}}$ + ${}^{15}{\mathrm{C}}_{15}{5}^{\frac{15-15}{3}}\cdot 7^{\frac{15}{5}}$

= 5⁵ + 7³

= 3468

కాబట్టి, అన్ని అకరణీయ పదాల మొత్తం 3468.

సరైన సమాధానం 2వ ఎంపిక.