Differential Calculus MCQ Quiz in தமிழ் - Objective Question with Answer for Differential Calculus - இலவச PDF ஐப் பதிவிறக்கவும்

கோட்பாடுகள்:-

எந்தச் சார்பும் f(x) 'x' இன் அந்த மதிப்புகளில் அதிகபட்சம் அல்லது குறைவாக கொண்டிருக்கும் $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=0$; y = f(x)

மேலும்

⇒$\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{y}}{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2}>0$ 'x' இல் குறைந்தபட்சம் இருந்தால், y = f(x)

$\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{y}}{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2}<0$'x'க்கு அதிகபட்சம் இருந்தால், y = f(x)

கணக்கீடு:-

f(x) = ax2 + 6x + 5 = 0 ஐக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{f}(\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=2\mathrm{a}\mathrm{x}+6=0$

⇒ x = -3/a

x = 1 க்கு அதிகபட்சம் இருப்பதால், மேலே உள்ள சமன்பாட்டில் x = 1 ஐ வைக்கவும்.

நமக்கு a = -3 கிடைக்கும்

உறுதிசெய்ய  

 $\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{y}}{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2}=2\mathrm{a}$= -6 <0

⇒ x = 1 அதிகபட்சம் சரியானது

Shortcut Trick

செவ்வகத்தின் நீளம் L ஆகவும் அதன் அகலம் B ஆகவும் இருக்கட்டும்

கேள்வியின் படி,

செவ்வகத்தின் மூலைவிட்டம் = வட்டத்தின் விட்டம்.

√(L2 + B2) = 4   

⇒ L2 + B2 = 42    ----(1)

செவ்வகத்தின் அதிகபட்ச பரப்பளவுக்கு

நீளம் அதன் அகலத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும் [L = B]

எனவே, (1) இலிருந்து

L = B = √8

∴ செவ்வகப் பகுதி = L × B = √8 × √8 = 8

Detailed Mehtod

பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரம்:

செவ்வகத்தின் பரப்பளவு = நீளம் × அகலம்

வட்டத்தின் விட்டம் = 2 × வட்டத்தின் ஆரம்

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}=\mathrm{n}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-1}$

கணக்கீடு:

செவ்வகத்தின் நீளம் L ஆகவும் அதன் அகலம் B ஆகவும் இருக்கட்டும்

வட்டத்தின் உள்ளே செவ்வகம் பொறிக்கப்பட்டுள்ளதால், அதன் மூலைவிட்டமானது வட்டத்தின் விட்டமாக இருக்க வேண்டும்.

√(L2 + B2) = 4   

⇒ L2 + B2 = 42    ----(1)

செவ்வகத்தின் பரப்பளவு Lb ஆல் வழங்கப்படுகிறது

w.r.t L நிபந்தனையை வேறுபடுத்துதல்,

2L + 2b $\frac{\mathrm{d}\mathrm{B}}{\mathrm{d}\mathrm{L}}$ = 0

⇒ $\frac{\mathrm{d}\mathrm{B}}{\mathrm{d}\mathrm{L}}=\frac{-\mathrm{L}}{\mathrm{B}}$       ----(2)

இப்போது, w.r.t l பகுதியை வேறுபடுத்துகிறோம், ஏனெனில் நாம் அதை அதிகரிக்க வேண்டும்,

B + L $\frac{\mathrm{d}\mathrm{B}}{\mathrm{d}\mathrm{L}}$ = 0       ----(3)

சமன்பாடு (2) ஐ சமன்பாட்டில் (3) மாற்றினால், நாம் பெறுவது

⇒ B + L $\frac{-\mathrm{L}}{\mathrm{B}}$ = 0   

⇒ B² = L²

⇒ B = L

இந்த உறவை சமன்பாடு (1) இல் மாற்றினால், நாம் பெறுவது

⇒ 2L² = 4² அல்லது L² = 8

⇒ பரப்பளவு = LB = L² = 8 சதுர அலகுகள்

∴ வட்டத்தில் பொறிக்கப்பட்ட செவ்வகத்தின் அதிகபட்ச பரப்பளவு 8 சதுர அலகுகள்.

கருத்து :

$\frac{\mathrm{d}(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$ = cosx

$\frac{\mathrm{d}(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$= -sinx

$\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}}$= tanx

கணக்கீடு:

கொடுக்கப்பட்டவை,

y =  b sin³t

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$= 3 b sin²t cos t          ....(1)

இதேபோல்,

x = a cos3t

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$ = 3 a cos²t (-sin t)      ....(2)

சமன்பாடு (1) ஐ சமன்பாடு (2) ஆல் வகுத்தால் நாம் பெறுவது,

$\frac{\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}{\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}$= $\frac{3\mathrm{b}{\sin }^2\mathrm{t}\cos \mathrm{t}}{-3\mathrm{a}{\cos }^2\mathrm{t}\sin \mathrm{t}}$

⇒$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = $\frac{-\mathrm{b}}{\mathrm{a}}$tan t

கோட்பாடு:

இயல்பானது தொடுகோடுக்கு செங்குத்தாக உள்ளது, அதாவது mt × mn = -1

mt = dy/dx.

கணக்கீடு:

தொடுகோட்டின் சாய்வு m_t ஆகவும், இயல்பான சாய்வு m_n ஆகவும் இருக்கும் f(x) செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

இப்போது , சாதாரணமானது தொடுகோடுக்கு செங்குத்தாக உள்ளது, அதாவது mt × mn = -1

mn × dy/dx = -1

⇒ mn = - dx/dy

இப்போது, ​​கேள்வியின்படி, இயல்பானது x- அச்சுக்கு இணையாக உள்ளது, எனவே இயல்பான சாய்வு x- அச்சின் சாய்வுக்குச் சமம் (அதாவது பூஜ்யம்)

∴ mn = 0

⇒ - dx/dy = 0

⇒ dx/dy = 0

∴ கொடுக்கப்பட்ட வளைவின் இயல்பானது dx/dy = 0 எனில் x-அச்சுக்கு இணையாக இருக்கும்

கருத்து:

நம்மிடம் f(x) மற்றும் g(x) ஆகிய இரண்டு சார்புகள் உள்ளன என்றும் அவை இரண்டும் வேறுபட்டவை என்றும் வைத்துக்கொள்வோம்.

• சங்கிலி விதி: $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right)\right]={\mathrm{f}}^{\prime }\left(\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right){\mathrm{g}}^{\prime }\left(\mathrm{x}\right)$
• வகையிடலின் பெருக்கல் விதி: $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right]={\mathrm{f}}^{\prime }\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{g}}^{\prime }\left(\mathrm{x}\right)$

கணக்கீடு:

கொடுக்கப்பட்டவை: ${\mathrm{x}}^{\mathrm{m}}{\mathrm{y}}^{\mathrm{n}}={\mathrm{a}}^{\mathrm{m}+\mathrm{n}}$

x ஐப் பொறுத்து வேறுபடுத்தினால், நாம் பெறுவது

$$\begin{gathered} \Rightarrow {\mathrm{x}}^{\mathrm{m}}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}{\mathrm{y}}^{\mathrm{n}}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}+{\mathrm{y}}^{\mathrm{n}}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^{\mathrm{m}}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{d}{\mathrm{a}}^{\mathrm{m}+\mathrm{n}}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}} \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^{\mathrm{m}}\times \mathrm{n}{\mathrm{y}}^{\mathrm{n}-1}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}+{\mathrm{y}}^{\mathrm{n}}\times \mathrm{m}{\mathrm{x}}^{\mathrm{m}-1}=0 \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^{\mathrm{m}}\times \mathrm{n}{\mathrm{y}}^{\mathrm{n}-1}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}=-{\mathrm{y}}^{\mathrm{n}}\times \mathrm{m}{\mathrm{x}}^{\mathrm{m}-1} \\ \Rightarrow {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}=\frac{-{\mathrm{y}}^{\mathrm{n}}\times \mathrm{m}{\mathrm{x}}^{\mathrm{m}-1}}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{m}}\times \mathrm{n}{\mathrm{y}}^{\mathrm{n}-1}} \\ \therefore {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}=\frac{-\mathrm{m}\mathrm{y}}{\mathrm{n}\mathrm{x}} \end{gathered}$$

கோட்பாடு:

இயல்பானது தொடுகோடுக்கு செங்குத்தாக உள்ளது, அதாவது mt × mn = -1

mt = dy/dx.

கணக்கீடு:

தொடுகோட்டின் சாய்வு m_t ஆகவும், இயல்பான சாய்வு m_n ஆகவும் இருக்கும் f(x) செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

இப்போது , சாதாரணமானது தொடுகோடுக்கு செங்குத்தாக உள்ளது, அதாவது mt × mn = -1

mn × dy/dx = -1

⇒ mn = - dx/dy

இப்போது, ​​கேள்வியின்படி, இயல்பானது x- அச்சுக்கு இணையாக உள்ளது, எனவே இயல்பான சாய்வு x- அச்சின் சாய்வுக்குச் சமம் (அதாவது பூஜ்யம்)

∴ mn = 0

⇒ - dx/dy = 0

⇒ dx/dy = 0

∴ கொடுக்கப்பட்ட வளைவின் இயல்பானது dx/dy = 0 எனில் x-அச்சுக்கு இணையாக இருக்கும்

கருத்து:

நம்மிடம் f(x) மற்றும் g(x) ஆகிய இரண்டு சார்புகள் உள்ளன என்றும் அவை இரண்டும் வேறுபட்டவை என்றும் வைத்துக்கொள்வோம்.

• சங்கிலி விதி: $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right)\right]={\mathrm{f}}^{\prime }\left(\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right){\mathrm{g}}^{\prime }\left(\mathrm{x}\right)$
• வகையிடலின் பெருக்கல் விதி: $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right]={\mathrm{f}}^{\prime }\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{g}}^{\prime }\left(\mathrm{x}\right)$

கணக்கீடு:

கொடுக்கப்பட்டவை: ${\mathrm{x}}^{\mathrm{m}}{\mathrm{y}}^{\mathrm{n}}={\mathrm{a}}^{\mathrm{m}+\mathrm{n}}$

x ஐப் பொறுத்து வேறுபடுத்தினால், நாம் பெறுவது

$$\begin{gathered} \Rightarrow {\mathrm{x}}^{\mathrm{m}}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}{\mathrm{y}}^{\mathrm{n}}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}+{\mathrm{y}}^{\mathrm{n}}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^{\mathrm{m}}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{d}{\mathrm{a}}^{\mathrm{m}+\mathrm{n}}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}} \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^{\mathrm{m}}\times \mathrm{n}{\mathrm{y}}^{\mathrm{n}-1}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}+{\mathrm{y}}^{\mathrm{n}}\times \mathrm{m}{\mathrm{x}}^{\mathrm{m}-1}=0 \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^{\mathrm{m}}\times \mathrm{n}{\mathrm{y}}^{\mathrm{n}-1}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}=-{\mathrm{y}}^{\mathrm{n}}\times \mathrm{m}{\mathrm{x}}^{\mathrm{m}-1} \\ \Rightarrow {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}=\frac{-{\mathrm{y}}^{\mathrm{n}}\times \mathrm{m}{\mathrm{x}}^{\mathrm{m}-1}}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{m}}\times \mathrm{n}{\mathrm{y}}^{\mathrm{n}-1}} \\ \therefore {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}=\frac{-\mathrm{m}\mathrm{y}}{\mathrm{n}\mathrm{x}} \end{gathered}$$

கருத்து :

$\frac{\mathrm{d}(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$ = cosx

$\frac{\mathrm{d}(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$= -sinx

$\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}}$= tanx

கணக்கீடு:

கொடுக்கப்பட்டவை,

y =  b sin³t

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$= 3 b sin²t cos t          ....(1)

இதேபோல்,

x = a cos3t

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$ = 3 a cos²t (-sin t)      ....(2)

சமன்பாடு (1) ஐ சமன்பாடு (2) ஆல் வகுத்தால் நாம் பெறுவது,

$\frac{\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}{\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}$= $\frac{3\mathrm{b}{\sin }^2\mathrm{t}\cos \mathrm{t}}{-3\mathrm{a}{\cos }^2\mathrm{t}\sin \mathrm{t}}$

⇒$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = $\frac{-\mathrm{b}}{\mathrm{a}}$tan t

Shortcut Trick

செவ்வகத்தின் நீளம் L ஆகவும் அதன் அகலம் B ஆகவும் இருக்கட்டும்

கேள்வியின் படி,

செவ்வகத்தின் மூலைவிட்டம் = வட்டத்தின் விட்டம்.

√(L2 + B2) = 4   

⇒ L2 + B2 = 42    ----(1)

செவ்வகத்தின் அதிகபட்ச பரப்பளவுக்கு

நீளம் அதன் அகலத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும் [L = B]

எனவே, (1) இலிருந்து

L = B = √8

∴ செவ்வகப் பகுதி = L × B = √8 × √8 = 8

Detailed Mehtod

பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரம்:

செவ்வகத்தின் பரப்பளவு = நீளம் × அகலம்

வட்டத்தின் விட்டம் = 2 × வட்டத்தின் ஆரம்

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}=\mathrm{n}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-1}$

கணக்கீடு:

செவ்வகத்தின் நீளம் L ஆகவும் அதன் அகலம் B ஆகவும் இருக்கட்டும்

வட்டத்தின் உள்ளே செவ்வகம் பொறிக்கப்பட்டுள்ளதால், அதன் மூலைவிட்டமானது வட்டத்தின் விட்டமாக இருக்க வேண்டும்.

√(L2 + B2) = 4   

⇒ L2 + B2 = 42    ----(1)

செவ்வகத்தின் பரப்பளவு Lb ஆல் வழங்கப்படுகிறது

w.r.t L நிபந்தனையை வேறுபடுத்துதல்,

2L + 2b $\frac{\mathrm{d}\mathrm{B}}{\mathrm{d}\mathrm{L}}$ = 0

⇒ $\frac{\mathrm{d}\mathrm{B}}{\mathrm{d}\mathrm{L}}=\frac{-\mathrm{L}}{\mathrm{B}}$       ----(2)

இப்போது, w.r.t l பகுதியை வேறுபடுத்துகிறோம், ஏனெனில் நாம் அதை அதிகரிக்க வேண்டும்,

B + L $\frac{\mathrm{d}\mathrm{B}}{\mathrm{d}\mathrm{L}}$ = 0       ----(3)

சமன்பாடு (2) ஐ சமன்பாட்டில் (3) மாற்றினால், நாம் பெறுவது

⇒ B + L $\frac{-\mathrm{L}}{\mathrm{B}}$ = 0   

⇒ B² = L²

⇒ B = L

இந்த உறவை சமன்பாடு (1) இல் மாற்றினால், நாம் பெறுவது

⇒ 2L² = 4² அல்லது L² = 8

⇒ பரப்பளவு = LB = L² = 8 சதுர அலகுகள்

∴ வட்டத்தில் பொறிக்கப்பட்ட செவ்வகத்தின் அதிகபட்ச பரப்பளவு 8 சதுர அலகுகள்.

கோட்பாடு:

இயல்பானது தொடுகோடுக்கு செங்குத்தாக உள்ளது, அதாவது mt × mn = -1

mt = dy/dx.

கணக்கீடு:

தொடுகோட்டின் சாய்வு m_t ஆகவும், இயல்பான சாய்வு m_n ஆகவும் இருக்கும் f(x) செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

இப்போது , சாதாரணமானது தொடுகோடுக்கு செங்குத்தாக உள்ளது, அதாவது mt × mn = -1

mn × dy/dx = -1

⇒ mn = - dx/dy

இப்போது, ​​கேள்வியின்படி, இயல்பானது x- அச்சுக்கு இணையாக உள்ளது, எனவே இயல்பான சாய்வு x- அச்சின் சாய்வுக்குச் சமம் (அதாவது பூஜ்யம்)

∴ mn = 0

⇒ - dx/dy = 0

⇒ dx/dy = 0

∴ கொடுக்கப்பட்ட வளைவின் இயல்பானது dx/dy = 0 எனில் x-அச்சுக்கு இணையாக இருக்கும்

கோட்பாடுகள்:-

எந்தச் சார்பும் f(x) 'x' இன் அந்த மதிப்புகளில் அதிகபட்சம் அல்லது குறைவாக கொண்டிருக்கும் $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=0$; y = f(x)

மேலும்

⇒$\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{y}}{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2}>0$ 'x' இல் குறைந்தபட்சம் இருந்தால், y = f(x)

$\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{y}}{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2}<0$'x'க்கு அதிகபட்சம் இருந்தால், y = f(x)

கணக்கீடு:-

f(x) = ax2 + 6x + 5 = 0 ஐக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{f}(\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=2\mathrm{a}\mathrm{x}+6=0$

⇒ x = -3/a

x = 1 க்கு அதிகபட்சம் இருப்பதால், மேலே உள்ள சமன்பாட்டில் x = 1 ஐ வைக்கவும்.

நமக்கு a = -3 கிடைக்கும்

உறுதிசெய்ய  

 $\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{y}}{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2}=2\mathrm{a}$= -6 <0

⇒ x = 1 அதிகபட்சம் சரியானது

கருத்து:

நம்மிடம் f(x) மற்றும் g(x) ஆகிய இரண்டு சார்புகள் உள்ளன என்றும் அவை இரண்டும் வேறுபட்டவை என்றும் வைத்துக்கொள்வோம்.

• சங்கிலி விதி: $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right)\right]={\mathrm{f}}^{\prime }\left(\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right){\mathrm{g}}^{\prime }\left(\mathrm{x}\right)$
• வகையிடலின் பெருக்கல் விதி: $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right]={\mathrm{f}}^{\prime }\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{g}}^{\prime }\left(\mathrm{x}\right)$

கணக்கீடு:

கொடுக்கப்பட்டவை: ${\mathrm{x}}^{\mathrm{m}}{\mathrm{y}}^{\mathrm{n}}={\mathrm{a}}^{\mathrm{m}+\mathrm{n}}$

x ஐப் பொறுத்து வேறுபடுத்தினால், நாம் பெறுவது

$$\begin{gathered} \Rightarrow {\mathrm{x}}^{\mathrm{m}}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}{\mathrm{y}}^{\mathrm{n}}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}+{\mathrm{y}}^{\mathrm{n}}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^{\mathrm{m}}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{d}{\mathrm{a}}^{\mathrm{m}+\mathrm{n}}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}} \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^{\mathrm{m}}\times \mathrm{n}{\mathrm{y}}^{\mathrm{n}-1}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}+{\mathrm{y}}^{\mathrm{n}}\times \mathrm{m}{\mathrm{x}}^{\mathrm{m}-1}=0 \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^{\mathrm{m}}\times \mathrm{n}{\mathrm{y}}^{\mathrm{n}-1}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}=-{\mathrm{y}}^{\mathrm{n}}\times \mathrm{m}{\mathrm{x}}^{\mathrm{m}-1} \\ \Rightarrow {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}=\frac{-{\mathrm{y}}^{\mathrm{n}}\times \mathrm{m}{\mathrm{x}}^{\mathrm{m}-1}}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{m}}\times \mathrm{n}{\mathrm{y}}^{\mathrm{n}-1}} \\ \therefore {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}=\frac{-\mathrm{m}\mathrm{y}}{\mathrm{n}\mathrm{x}} \end{gathered}$$

கருத்து :

$\frac{\mathrm{d}(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$ = cosx

$\frac{\mathrm{d}(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$= -sinx

$\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}}$= tanx

கணக்கீடு:

கொடுக்கப்பட்டவை,

y =  b sin³t

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$= 3 b sin²t cos t          ....(1)

இதேபோல்,

x = a cos3t

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$ = 3 a cos²t (-sin t)      ....(2)

சமன்பாடு (1) ஐ சமன்பாடு (2) ஆல் வகுத்தால் நாம் பெறுவது,

$\frac{\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}{\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}$= $\frac{3\mathrm{b}{\sin }^2\mathrm{t}\cos \mathrm{t}}{-3\mathrm{a}{\cos }^2\mathrm{t}\sin \mathrm{t}}$

⇒$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = $\frac{-\mathrm{b}}{\mathrm{a}}$tan t

Shortcut Trick

செவ்வகத்தின் நீளம் L ஆகவும் அதன் அகலம் B ஆகவும் இருக்கட்டும்

கேள்வியின் படி,

செவ்வகத்தின் மூலைவிட்டம் = வட்டத்தின் விட்டம்.

√(L2 + B2) = 4   

⇒ L2 + B2 = 42    ----(1)

செவ்வகத்தின் அதிகபட்ச பரப்பளவுக்கு

நீளம் அதன் அகலத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும் [L = B]

எனவே, (1) இலிருந்து

L = B = √8

∴ செவ்வகப் பகுதி = L × B = √8 × √8 = 8

Detailed Mehtod

பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரம்:

செவ்வகத்தின் பரப்பளவு = நீளம் × அகலம்

வட்டத்தின் விட்டம் = 2 × வட்டத்தின் ஆரம்

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}=\mathrm{n}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-1}$

கணக்கீடு:

செவ்வகத்தின் நீளம் L ஆகவும் அதன் அகலம் B ஆகவும் இருக்கட்டும்

வட்டத்தின் உள்ளே செவ்வகம் பொறிக்கப்பட்டுள்ளதால், அதன் மூலைவிட்டமானது வட்டத்தின் விட்டமாக இருக்க வேண்டும்.

√(L2 + B2) = 4   

⇒ L2 + B2 = 42    ----(1)

செவ்வகத்தின் பரப்பளவு Lb ஆல் வழங்கப்படுகிறது

w.r.t L நிபந்தனையை வேறுபடுத்துதல்,

2L + 2b $\frac{\mathrm{d}\mathrm{B}}{\mathrm{d}\mathrm{L}}$ = 0

⇒ $\frac{\mathrm{d}\mathrm{B}}{\mathrm{d}\mathrm{L}}=\frac{-\mathrm{L}}{\mathrm{B}}$       ----(2)

இப்போது, w.r.t l பகுதியை வேறுபடுத்துகிறோம், ஏனெனில் நாம் அதை அதிகரிக்க வேண்டும்,

B + L $\frac{\mathrm{d}\mathrm{B}}{\mathrm{d}\mathrm{L}}$ = 0       ----(3)

சமன்பாடு (2) ஐ சமன்பாட்டில் (3) மாற்றினால், நாம் பெறுவது

⇒ B + L $\frac{-\mathrm{L}}{\mathrm{B}}$ = 0   

⇒ B² = L²

⇒ B = L

இந்த உறவை சமன்பாடு (1) இல் மாற்றினால், நாம் பெறுவது

⇒ 2L² = 4² அல்லது L² = 8

⇒ பரப்பளவு = LB = L² = 8 சதுர அலகுகள்

∴ வட்டத்தில் பொறிக்கப்பட்ட செவ்வகத்தின் அதிகபட்ச பரப்பளவு 8 சதுர அலகுகள்.