Complex Numbers MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Complex Numbers - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

$({\displaystyle \frac{1+i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}}})\times ({\displaystyle \frac{1+i\sqrt{3}}{1+i\sqrt{3}}})=({\displaystyle \frac{-2+i2\sqrt{3}}{4}})=({\displaystyle \frac{1-i\sqrt{3}}{-2}})................(1)$

$({\displaystyle \frac{1+i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}}})\times ({\displaystyle \frac{1-i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}}})=({\displaystyle \frac{4}{-2-i2\sqrt{3}}})=({\displaystyle \frac{-2}{1+i\sqrt{3}}})................(2)$

$({\displaystyle \frac{1+i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}}}{)}^3=({\displaystyle \frac{1+i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}}})\times ({\displaystyle \frac{1+i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}}})\times ({\displaystyle \frac{1+i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}}})=({\displaystyle \frac{1+i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}}})\times ({\displaystyle \frac{-2}{1+i\sqrt{3}}})\times ({\displaystyle \frac{1-i\sqrt{3}}{-2}})=1$

సిద్ధాంతం:

i^4k = 1, i^4k+1 = i, i^4k+2 = - 1, i^4k+3 = - i, ఇక్కడ k ∈ ℤ

గణన:

ఇచ్చినవి, Z1 = 4i40 - 5i35 + 6i17 + 2

= 4i4(10) - 5i(4(8)+3) + 6i(4(4)+1) + 2

= 4(1) - 5(- i) + 6(i) + 2

= 4 + 5i + 6i + 2

= 6 + 11i

అలాగే, Z2 = -1 + i

∴ |Z1 + Z2|

= |6 + 11i - 1 + i|

= |5 + 12i|

= $\sqrt{5^2+{12}^2}$

= 13

∴ |Z1 + Z2| విలువ 13.

సరైన సమాధానం 2వ ఎంపిక.

భావన:

• z = x + iy అయితే $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$​

గణన:

z = a + ib అనుకుందాం

మనకు తెలిసినట్లుగా, z = x + iy అయితే $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$

गणना​:

$(1+i\sqrt{3})=2cos\frac{\pi }{3}+isin\frac{\pi }{3}$

$(1-i\sqrt{3})=2cos\frac{\pi }{3}-isin\frac{\pi }{3}$

${\left(1+i\sqrt{3}\right)}^n+{\left(1-i\sqrt{3}\right)}^n$

= ${(2cos\frac{\pi }{3}+isin\frac{\pi }{3})}^n+{(2cos\frac{\pi }{3}-isin\frac{\pi }{3})}^n$

= $2^n(cos\frac{n\pi }{3}+isin\frac{n\pi }{3})+2^n(cos\frac{n\pi }{3}-isin\frac{n\pi }{3})$

= $2^n(cos\frac{n\pi }{3}+isin\frac{n\pi }{3}+cos\frac{n\pi }{3}-isin\frac{n\pi }{3})$

= $2^n.2cos\frac{n\pi }{3}$

= $2^{n+1}cos\frac{n\pi }{3}$

∴ सही विकल्प (3) है 

భావన:

సంక్లిష్ట సంయోగం: z = a + bi అనుకుందాం, ఇక్కడ a మరియు b వాస్తవ సంఖ్యలు. z యొక్క సంక్లిష్ట సంయోగం $\overline{z}$ గా సూచించబడుతుంది, మరియు అది a - bi.

సంక్లిష్ట సంఖ్య యొక్క గుణకార విలోమం: z యొక్క గుణకార విలోమం z^-1 లేదా $\frac{1}{z}$.

z^-1 = $\frac{1}{z}=\frac{1}{x+iy}$

(x - iy) తో భాగించి గుణించడం

⇒ $z^{-1}=\frac{x-iy}{x^2+y^2}$

సాధన:

z = x + iy అనుకుందాం, $\overline{z}$ = x - iy

మరియు z^-1 = $\frac{1}{x+iy}$

⇒ $z^{-1}=\frac{x-iy}{x^2+y^2}$

⇒ $\overline{z^{-1}}=\frac{x+iy}{x^2+y^2}$

∴ $(\overline{z^{-1}})\left(\bar{z}\right)=(\frac{x+iy}{x^2+y^2})(x-iy)$

$=\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}=1$

∴ సరైన ఎంపిక (1)

సిద్ధాంతం-

• e^iθ = cosθ + isinθ ,ఇక్కడ i ఊహాత్మక సంఖ్య.
• ఏకత్వపు సంకీర్ణ మూలాల మొత్తం సున్నా.

గణన-

$\sum _{k=1}^6\left(\sin \frac{2\pi k}{7}-i\cos \frac{2\pi k}{7}\right)$

⇒ $-\sum _{k=1}^6(-\sin \frac{2\pi k}{7}+i\cos \frac{2\pi k}{7})$

⇒ $-\sum _{k=1}^6\left(i^2\sin \frac{2\pi k}{7}+i\cos \frac{2\pi k}{7}\right)$ (i² = -1)

⇒ $-i\sum _{k=1}^6\left(\cos \frac{2\pi k}{7}+i\sin \frac{2\pi k}{7}\right)$

⇒ $-i\sum _{k=1}^6(e^{i\frac{2\pi k}{7}})$

సమీకరణం యొక్క n మూలాల మొత్తం 0 అని తెలుసు

⇒ $1+e^{\frac{i2\pi }{7}}+e^{\frac{i4\pi }{7}}+e^{\frac{i6\pi }{7}}+e^{\frac{i8\pi }{7}}+e^{\frac{i10\pi }{7}}+e^{\frac{i12\pi }{7}}=0$

⇒ $1+\sum _{k=1}^6(e^{\frac{2\pi k}{7}})=0$

⇒$\sum _{k=1}^6(e^{\frac{2\pi k}{7}})=-1$

∴ $-i\sum _{k=1}^6(e^{i\frac{2\pi k}{7}})$

= -i (-1)

= i

∴ $\sum _{k=1}^6\left(\sin \frac{2\pi k}{7}-i\cos \frac{2\pi k}{7}\right)=i$

సిద్ధాంతం:

సాధన:

దత్తం, arg$\left(\frac{z-1}{z+1}\right)=\frac{\pi }{3}$

⇒ arg(z - 1) - arg(z + 1) = $\frac{\pi }{3}$ [∵ arg$\left(\frac{z_1}{z_2}\right)$=arg(z₁)-arg(z₂)]

z = x + iy అని అనుకుందాం

⇒ arg(x + iy - 1) - arg(x + iy + 1) = $\frac{\pi }{3}$

⇒ ${\tan }^{-1}\left(\frac{y}{x-1}\right)$- ${\tan }^{-1}\left(\frac{y}{x+1}\right)$ = $\frac{\pi }{3}$

⇒ ${\tan }^{-1}\left(\frac{\frac{y}{x-1}-\frac{y}{x+1}}{1+\frac{y^2}{x^2-1}}\right)$ = $\frac{\pi }{3}$

⇒ ${\tan }^{-1}\left(\frac{\frac{2y}{x^2-1}}{\frac{x^2+y^2-1}{x^2-1}}\right)$ = $\frac{\pi }{3}$

⇒ ${\tan }^{-1}\left(\frac{2y}{x^2+y^2-1}\right)$= $\frac{\pi }{3}$

⇒ $\frac{2y}{x^2+y^2-1}$ = tan($\frac{\pi }{3}$) = √3

⇒ $\frac{2}{\sqrt{3}}$y = x² + y² - 1

⇒ x² + y² - $\frac{2}{\sqrt{3}}$y - 1 = 0

ఇది ఒక వృత్తాన్ని సూచిస్తుంది.

కాబట్టి, బిందుపథం ఒక వృత్తం.

సరైన సమాధానం 2వ ఎంపిక.

సిద్ధాంతం:

z = x + iy ఒక సంకీర్ణ సంఖ్య అనుకుందాం.

అప్పుడు, arg(z) = ${\tan }^{-1}\frac{y}{x}$

• arg(z₁z₂) = arg(z₁) + arg(z₂)
• $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\left(\frac{{\mathrm{z}}_1}{{\mathrm{z}}_2}\right)$ = arg(z1) - arg(z2)

గణన:

z = x + iy అనుకుందాం

∴ $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\left(\frac{\mathrm{z}-{\mathrm{z}}_1}{\mathrm{z}-{\mathrm{z}}_2}\right)$ = π/4

⇒ arg(z - z₁) - arg(z - z₂) = π/4

⇒ ${\tan }^{-1}\left(\frac{y-5}{x-9}\right)-{\tan }^{-1}\left(\frac{y-5}{x-3}\right)$ = π/4

⇒ ${\displaystyle \frac{\frac{y-5}{x-9}-\frac{y-5}{x-3}}{1+\frac{(y-5{)}^2}{(x-9)(x-3)}}}$ = 1

⇒ 6(y - 5) = $(x-9)(x-3)+(y-5{)}^2$

⇒ 6(y - 5) = (x - 9)(x - 3) + (y - 5)²

⇒ (x - 9)(x - 3) + (y - 5)2 = 6(y - 5)

⇒ x² -12x + 27 + y² - 10y + 25 = 6y - 30

⇒ x2 + y2 - 12x - 16y + 82 = 0

∴ |z - 6 - 8i|² = (x - 6)² + (y - 8)²

= x² - 12x + 36 + y² -16y + 64

= x2 + y2 - 12x - 16y + 100

= (x2 + y2 - 12x - 16y + 82) + 18

= 18

⇒ |z - 6 - 8i| = 3√2

∴ |z - 6 - 8i| విలువ 3√2.

సరైన సమాధానం 4వ ఎంపిక.

భావన:

• z = x + iy అయితే $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$​

గణన:

z = a + ib అనుకుందాం

మనకు తెలిసినట్లుగా, z = x + iy అయితే $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$

సిద్ధాంతం:

zz̅ = |z|²

గణన:

ఇచ్చినది,

⇒ |z₁ - 2z₂| = |2 - z₁z̅₂|

⇒ |z₁ - 2z₂|² = |2 - z₁z̅₂|²

⇒ (z₁ - 2z₂)(z̅₁ - 2z̅₂) = (2 - z₁z̅₂)(2 - z̅₁z₂)

⇒ z₁z̅₁ - 2z₁z̅₂ - 2z₂z̅₁ + 4z₂z̅₂ = 4 - 2z̅₁z₂ - 2z₁z̅₂ + z₁z̅₁z₂z̅₂

⇒ |z₁|² + 4|z₂|² - 4 - |z₁|²|z₂|² = 0

⇒ (|z₁|² - 4)(1 - |z₂|²) = 0

⇒ |z₁|² = 4 [∵ |z₂| ≠ 1]

⇒ |z₁| = 2

అందువల్ల, |z₁| విలువ 2.

సరైన సమాధానం 4వ ఎంపిక.

సమాధానం : 2

పరిష్కారం:

Z₁ = 2 + i

Z₂ = 3 - 4i

$\overline{Z_1}=2-\mathrm{i}$

$\overline{{\mathrm{Z}}_2}=3+4\mathrm{i}$

$\frac{\overline{Z_1}}{{\overline{Z}}_2}=\frac{2-\mathrm{i}}{3+4\mathrm{i}}$

= $\frac{(2-i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)}$

= $\frac{6-8i-3i+4i^2}{(3{)}^2-(4i{)}^2}$

= $\frac{6-11\mathrm{i}-4}{9+16}\dots [i^2=-1]$

a + bi = $\frac{2-11\mathrm{i}}{25}$

∴ a = $\frac{2}{25}$, b = $\frac{-11}{25}$

ఇప్పుడు -7a + b

= $-7\left(\frac{2}{25}\right)-\frac{11}{25}$

= $\frac{-14-11}{25}$

= $\frac{-25}{25}=-1$