Mathematics MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Mathematics - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

గణన:

ఇచ్చినది, f(x) x = 0 వద్ద అవిచ్ఛిన్నం

∴ ఎడమ వైపు పరిమితి = \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos k x}{x^2}\)

= \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin ^2 \frac{k x}{2}}{x^2}\)

= \(2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^2 \frac{\mathrm{k} x}{2}}{\frac{\mathrm{k}^2 x^2}{4} \times 4} \cdot \mathrm{k}^2\)

= \(\frac{1}{2} \mathrm{k}^2 \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin \frac{\mathrm{k} x}{2}}{\frac{\mathrm{kx}}{2}}\right)^2\)

∴ ఎడమ వైపు పరిమితి = \(\frac{1}{2} k^2\)

అలాగే, కుడి వైపు పరిమితి = \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}\)

= \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{x})(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{(\sqrt{16+\sqrt{x}}-4)(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}\)

= \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{16+\sqrt{x}-16}\)

= \(\sqrt{16+\sqrt{0}}+4\)

∴ కుడి వైపు పరిమితి = 8

x = 0 వద్ద f(x) అవిచ్ఛిన్నం కాబట్టి

⇒ ఎడమ వైపు పరిమితి = కుడి వైపు పరిమితి.

⇒ \(\frac{1}{2} k^2\) = 8

⇒ k² = 16

⇒ k = 4

∴ k విలువ 4.

సరైన సమాధానం ఎంపిక 1.

గణన:

ఇచ్చినవి, f(x + y) = f(x)f(y)

⇒ f(x) = a^x

ఇప్పుడు, f(-3) = 27

⇒ a^-3 = 27

⇒ a = \(\frac{1}{3}\)

అలాగే, g(x + y) = g(x) + g(y)

⇒ g(x) = kx

ఇప్పుడు, g(\(-\frac{2}{5}\)) = 6

⇒ \(-\frac{2}{5}\)k = 6

⇒ k = -15

కాబట్టి, f(-2) - g(-2) - 9

= \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\) - (-15 × 2) - 9

= 9 + 30 - 9

= 30

కాబట్టి, f(-2) - g(-2) - 9 విలువ 30.

సరైన సమాధానం ఎంపిక 1.

గణన:

ఇచ్చినది, g అనేది f కి విలోమ ప్రమేయం

⇒ g^-1(x) = f(x)

⇒ f(g(x)) = x

x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే,

f '(g(x))g'(x) = 1

⇒ g'(x) = \(\frac{1}{f'(g(x))}\)

⇒ g'(x) = 1 + {g(x)}5 [∵ \(f^{′}(x)=\frac{1}{1+x^5}\)]

∴ g'(x) విలువ 1 + {g(x)}⁵.

సరైన సమాధానం ఎంపిక 4.

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

ఇచ్చిన దత్తాంశం 5, 10, 3, 6, 4, 8, 9, 3, 15, 2, 9, 4, 19, 11, 4

ఉపయోగించిన కాన్సెప్ట్:

బహుళకం అనేది దత్తాంశం సమితిలో చాలా తరచుగా కనిపించే విలువ

మధ్యస్థాన్ని కనుగొనే సమయంలో

ముందుగా, ఇచ్చిన దత్తాంశంను ఆరోహణ క్రమంలో అమర్చి, ఆపై పదాన్ని కనుగొనండి

ఉపయోగించిన సూత్రం:

సగటు = అన్ని నిబంధనల మొత్తం/నిబంధనల మొత్తం సంఖ్య

మధ్యగతము = {(n + 1)/2}వ పదం n బేసిగా ఉన్నప్పుడు

మధ్యస్థ = 1/2[(n/2)వ పదం + {(n/2) + 1}వ పదం n సరి సంఖ్య ఉన్నప్పుడు

పరిధి = గరిష్ట విలువ - కనిష్ట విలువ

సాధన:

ఇచ్చిన దత్తాంశంను ఆరోహణ క్రమంలో అమర్చడం

2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 8, 9, 9, 10, 11, 15, 19

ఇక్కడ, చాలా తరచుగా దత్తాంశం 4 కాబట్టి

బహుళకం = 4

ఇచ్చిన దత్తాంశంలోని మొత్తం నిబంధనలు, (n) = 15 (ఇది బేసి)

మధ్యస్థ = {(n + 1)/2}వ పదం n బేసిగా ఉన్నప్పుడు

⇒ {(15 + 1)/2}వ పదం

⇒ (8)వ పదం

⇒ 6

ఇప్పుడు, పరిధి = గరిష్ట విలువ – కనిష్ట విలువ

⇒ 19 – 2 = 17

పరిధి, బహుళకం మరియు మధ్యగతము = (పరిధి + బహుళకం + మధ్యగతము )/3

⇒ (17 + 4 + 6)/3 

⇒ 27/3 = 9

∴ పరిధి, బహుళకం మరియు మధ్యగతము యొక్క సగటు 9

ఉపయోగించిన దత్తాంశం:

సమూహ దత్తాంశం యొక్క సగటు దీని ద్వారా ఇవ్వబడింది,

      ఎక్కడ,

Xi =సగటు యొక్క i వ తరగతి 

fi = i వ తరగతికి సంబంధించిన పౌనఃపుణ్యం

ఇచ్చిన దత్తాంశం :

సాధన:

     ఇప్పుడు, దత్తాంశం సగటును లెక్కించడానికి కనుగొనవలసి ఉంటుంది    ∑fiXi aమరియు ∑fi క్రింది విధంగా,

అప్పుడు,

సమూహ దత్తాంశం యొక్క సగటు దీని ద్వారా అందించబడిందని మాకు తెలుసు

= 

= 35.7

కాబట్టి, దత్తాంశం యొక్క సగటు 35.7

భావన :

a ² - b ² = (a - b) (a + b)

sec x = 1/cos x మరియు cosec x = 1/sin x

a ³ + b ³ = (a + b) (a ² + b ² - ab)

గణన :

\(\frac{{\left( {1 - {\rm{sinAcosA}}} \right)\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{\rm{A}} - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{\rm{A}}} \right)}}{{{\rm{cosA}}\left( {{\rm{secA}} - {\rm{cosecA}}} \right)\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^3}{\rm{A}} + {\rm{co}}{{\rm{s}}^3}{\rm{A}}} \right)}}\)

⇒ \( \frac{{\left( {{\rm{1}} - {\rm{sinAcosA}}} \right)\left( {{\rm{sinA}} + {\rm{cosA}}} \right)\left( {{\rm{sinA}} - {\rm{cosA}}} \right)}}{{{\rm{cosA}}\left[ {\frac{1}{{{\rm{cosA}}}} - \frac{1}{{{\rm{sinA}}}}} \right]\left( {{\rm{sinA}} + {\rm{cosA}}} \right)\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{\rm{A}} + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{\rm{A}} - {\rm{sinAcosA}}} \right)}}\)

⇒ \( \frac{{\left( {1 - {\rm{sinAcosA}}} \right)\left( {{\rm{sinA}} + {\rm{cosA}}} \right)\left( {{\rm{sinA}} - {\rm{cosA}}} \right)}}{{{\rm{cosA}}\left[ {\frac{{{\rm{sinA}} - {\rm{cosA}}}}{{{\rm{sinA}}.{\rm{cosA}}}}} \right]\left( {{\rm{sinA}} + {\rm{cosA}}} \right)\left( {1 - {\rm{sinAcosA}}} \right)}}\)

⇒ \(\frac{sinA - cosA}{cosA[\frac{sinA - cosA}{sinA.cosA}]}\)

⇒ \(\frac{(sinA - cosA)\times sinA.cosA}{cosA[sinA - cosA]}\)

⇒ \(\frac{ sinA.cosA}{cosA}\)

⇒ sin A

∴ సరైన సమాధానం ఎంపిక (1).

• అకరణీయ సంఖ్యలు అనేవి సంఖ్యల నిష్పత్తిని లేదా ఏదైనా రెండు పూర్ణాంకాలతో విభజించిన తరువాత మనం పొందే సంఖ్యను చూపించే సంఖ్యలు.
• అహేతుక సంఖ్యలు అనేవి మనం సాధారణ భిన్నాల a/b రూపంలో ప్రాతినిధ్యం వహించలేని సంఖ్యలు, మరియు b సున్నాకు సమానం కాదు.
• మనం ఏదైనా రెండు హేతుబద్ధసంఖ్యలను జోడించినప్పుడు, వాటి మొత్తం ఎల్లప్పుడూ హేతుబద్ధంగా ఉంటుంది.
• కానీ మనం హేతుబద్ధమైన సంఖ్యతో అహేతుక సంఖ్యను జోడించినట్లయితే, అప్పుడు మొత్తం ఎల్లప్పుడూ అహేతుక సంఖ్యగా ఉంటుంది.

వివరణ:

ఇచ్చినవి:

tan0° tan1° tan2° tan3° tan4° …… tan89°

సూత్రం:

tan 0° = 0

లెక్కింపు:

tan0° × tan1° × tan2° × ……. × tan89°

⇒ 0 × tan1° × tan2° × ……. × tan89°

⇒ 0

కాన్సెప్ట్:

రెండు విభిన్న వాస్తవ సాధనల కోసం, D > 0,

ఎక్కడ D = b2 - 4ac

సాధన:

⇒ k2 - 4k > 0

⇒ k(k - 4) > 0

⇒ (k - 0) (k - 4) > 0

⇒ k > 4, k < 0

అప్పుడు,

సమీకరణం కోసం, ax² + bx + c = 0, α + β = -b/a మరియు αβ = c/a

⇒ ఇక్కడ, αβ = (8 + 2√5)/(5 + √2) మరియు α + β = (4 + √5)/(5 + √2)

⇒ కావున, 2αβ/ (α + β)

⇒ 2[(8 + 2√5) / (5 + √2)] / [(4 + √5) / (5 + √2)]

⇒ 2 [(8 + 2√5) (4 - √5)] / [(4 + √5) / (4 - √5)]

⇒ 2(32 + 8√5 - 8√5 - 10)/11

ప్రక్రియ:

సగటు: ఒక డేటా సమితి యొక్క సగటు కనుక్కోవాలంటే డేటా సెట్‌లోని సంఖ్యల మొత్తాన్ని, దానిలో ఉన్న సంఖ్యల సంఖ్యతో భాగించాలి.

బహుళకం: ఒక డేటా శ్రేణిలో ఎక్కువసార్లు కనిపించే విలువని బాహుళకం అంటారు.

మధ్యస్థం: ఒక శ్రేణిలో అధిక విలువలు గల సంఖ్యలను, తక్కువ విలువ గల సంఖ్యలను వేరు చేసే సంఖ్యా విలువ మధ్యగతం. 

సగటు, బహుళకం మరియు మధ్యస్థం మధ్య సంబంధం:

బహుళకం = 3(మధ్యస్థం) - 2(సగటు)

లెక్కింపు:

ఇచ్చినది,

డేటా యొక్క సగటు = 4 మరియు బహుళకం = 10

బహుళకం = 3(మధ్యస్థం) - 2(సగటు) అని మనకు తెలుసు,

⇒ 10 = 3(మధ్యస్థం) - 2(4)

⇒ 3(మధ్యస్థం) = 18

⇒ మధ్యస్థం= 6

కావున, ఆ డేటా యొక్క మధ్యస్థం 6.

సూత్రం∶ σ2 = ∑(xi – x)2/n

ఉపయోగించిన సూత్రం

sin2A + cos2A = 1

1/sinA = cosecA

1/cosA = secA

గణన

⇒ sinA (cosA + sinA)/cosA + cosA(sinA + cosA)/sinA

⇒ (sinA + cosA) [(sinA/cosA) + (cosA/sinA)]

⇒ (sinA + cosA) [(sin²A + cos²A)/(cosA.sinA)]

⇒ (sinA + cosA) [1/(cosA.sinA)]

⇒ 1/sinA + 1/cosA

⇒ secA + CosecA

సమాధానం secA + CosecA.