Complex Numbers MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Complex Numbers - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

1. एक सम्मिश्र संख्या $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ का आयाम (या कोणांक) $\text{amp}(z)=\theta$ द्वारा दिया जाता है।

2. $z$ के संयुग्मी, जिसे $\bar{z}$ द्वारा दर्शाया गया है, का आयाम $\text{amp}(\bar{z})=-\theta$ होता है, क्योंकि सम्मिश्र संख्या का संयुग्मी ज्ञात करने पर आर्गैंड समतल में इसे वास्तविक अक्ष के परितः परावर्तित किया जाता है।

प्रयुक्त सूत्र:

$\text{amp}(z)+\text{amp}(\bar{z})=\theta +(-\theta )=0$.

गणना:

$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$

$\bar{z}=r(\cos \theta -i\sin \theta )$

$\text{amp}(z)+\text{amp}(\bar{z})=\theta +(-\theta )=0$

निष्कर्ष:

$\therefore \text{amp}(z)+\text{amp}(\bar{z})=0$.

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

संप्रत्यय:

मुख्य संप्रत्यय ध्रुवीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं को सरल करना है। हम सम्मिश्र संख्या के कोणांक और डी मोइवर के प्रमेय का उपयोग करते हैं, जो कहता है:

(r(cosθ + i sinθ))ⁿ = rⁿ(cos(nθ) + i sin(nθ))

गणना:

⇒ ${\left(\frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}-i}\right)}^3$

अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करें

⇒ $\frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}-i}\times \frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}+i}$

⇒ $\frac{(\sqrt{3}+i{)}^2}{(\sqrt{3}-i)(\sqrt{3}+i)}$

$\frac{2+2\sqrt{3}i}{4}=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$

ध्रुवीय रूप में परिवर्तित करें। मापांक r है:

$r=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=\sqrt{1}=1$

कोणांक θ है:

$\theta ={\tan }^{-1}\left(\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}\right)={\tan }^{-1}(\sqrt{3})=\frac{\pi }{3}$

इसलिए, सम्मिश्र संख्या का ध्रुवीय रूप है

$1(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3})$

सम्मिश्र संख्या का घन करने के लिए, हम डी मोइवर के प्रमेय का उपयोग करते हैं

हमारे मामले में, r = 0 इसलिए,

${(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3})}^3=\cos \pi +i\sin \pi =-1+0i=-1$

इस प्रकार, सम्मिश्र  संख्या के घन का परिणाम $\boxed{{\displaystyle -1}}$ है। 

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

संप्रत्यय:

सम्मिश्र संख्याओं की ज्यामितीय व्याख्या:

• सम्मिश्र संख्या का मापांक: एक सम्मिश्र संख्या z = x + i y के लिए, इसका मापांक |z| = √(x² + y²) है।
• एक रेखा का समीकरण: बिंदुपथ |z − a| = |z − b| बिंदुओं a और b को मिलाने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक निरूपित करता है।
• दीर्घवृत्त: बिंदुपथ |z − z₁| + |z − z₂| = अचर, z₁ और z₂ पर नाभि वाले दीर्घवृत्त को निरूपित करता है यदि अचर नाभि के बीच की दूरी से अधिक है।
• सम्मिश्र समतल में समबाहु त्रिभुज: तीन सम्मिश्र संख्याएँ z₁, z₂, z₃ एक समबाहु त्रिभुज बनाती हैं यदि |z₁ − z₂| = |z₂ − z₃| = |z₃ − z₁| और किन्हीं दो भुजाओं के बीच का कोण ±π⁄3 है।
• ऊर्ध्वाधर रेखा: बिंदुपथ Re(z) = अचर, आर्गैंड समतल (सम्मिश्र समतल) में एक ऊर्ध्वाधर रेखा है।

गणना:

दिया गया है,

(a) |z − 2| = |z + 2|

⇒ 2 और −2 को मिलाने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक निरूपित करता है

⇒ यह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक ऊर्ध्वाधर रेखा है

(b) समबाहु त्रिभुज की स्थिति:

⇒ |z₁ − z₂| = |z₂ − z₃| = |z₃ − z₁|

⇒ arg((z₂ − z₁)/(z₃ − z₂)) = ±π⁄3

⇒ सम्मिश्र समतल में समबाहु त्रिभुज के लिए मानक स्थिति

(c) |z − i| + |z + i| = 4

⇒ यह i और −i पर नाभि वाले दीर्घवृत्त की परिभाषा है ⇒ 4 > 2

⇒ केवल तभी संभव है जब 4 > नाभि के बीच की दूरी

⇒ दीर्घवृत्त निरूपित करता है

(d) Re(z) = अचर

∴ सही मिलान हैं:
(a) → (P) सरल रेखा
(b) → (Q) |z₁ − z₂| = |z₂ − z₃| = |z₃ − z₁| और अनुपात का कोण ±π⁄3 है
(c) → (R) दीर्घवृत्त जिसके नाभि ±i पर हैं
(d) → (S) ऊर्ध्वाधर रेखा

धारणा:

माना कि z = x + iy एक जटिल संख्या है।

• z का मापांक = $\left|\mathrm{z}\right|=\sqrt{{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2}=\sqrt{\mathrm{R}\mathrm{e}{\left(\mathrm{z}\right)}^2+\mathrm{I}\mathrm{m}{\left(\mathrm{z}\right)}^2}$
• arg (z) = arg (x + iy) = ${\tan }^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$
• z का संयुग्मन = = x – iy

गणना:

माना कि z = (1 + i) ³

(a + b) ³ = a³ + b³ + 3a²b + 3ab² का उपयोग करके

⇒ z = 1³ + i³ + 3 × 1² × i + 3 × 1 × i²

= 1 – i + 3i – 3

= -2 + 2i

इसलिए, (1 + i) ³ का संयुग्मन -2 – 2i है

NOTE:

एक सम्मिश्र संख्या का संयुग्म समान वास्तविक भाग और काल्पनिक भाग के विपरीत चिन्ह वाला अन्य संयुग्म संख्या है। 

संकल्पना:

i² = -1

i³ = - i

i⁴ = 1

i⁴ⁿ = 1

गणना:

हमें (i² + i⁴ + i⁶ +... + i²ⁿ) का मान ज्ञात करना है

(i² + i⁴ + i⁶ +... + i²ⁿ) = (i² + i⁴) + (i⁶ + i⁸) + …. + (i^2n-2 + i²ⁿ)

= (-1 + 1) + (-1 + 1) + …. (-1 + 1)

= 0 + 0 + …. + 0

= 0

संकल्पना:

सम्मिश्र संख्याओं की समानता। 

दो सम्मिश्र संख्याएँ z₁ = x₁ + iy₁ और z₂ = x₂ + iy₂ बराबर होते हैं यदि केवल x₁ = x₂ और y₁ = y₂ होते हैं।

या Re (z₁) = Re (z₂) और Im (z₁) = Im (z₂).

गणना:

दिया गया है: (1 + i) (x + iy) = 2 + 4i

⇒ x + iy + ix + i²y = 2 + 4i

⇒ (x – y) + i(x + y) = 2 + 4i

वास्तविक और काल्पनिक भाग को बराबर करने पर,

x - y = 2         …. (1)

x + y = 4        …. (2)

समीकरण 1 और 2 को जोड़ने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

x = 3

अब,

5x = 5 × 3 = 15

संकल्पना:

एकल के घनमूल 1, ω और ω2 हैं। 

यहाँ, ω = $\frac{-1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$ और ω2 = $\frac{-1-\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$

एकल के घनमूल का गुण

• ω3 = 1
• 1 + ω + ω2 = 0
• ω3n = 1

गणना:

ω6 +  ω7 + ω⁵

= ω⁵ (ω + ω² + 1)

= ω⁵ × (1 + ω + ω2)

= ω5 × 0

= 0

संकल्पना:

z का मापांक = |z| = $\sqrt{{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2}=\sqrt{\mathrm{R}\mathrm{e}(\mathrm{z}{)}^2+\mathrm{I}\mathrm{m}(\mathrm{z}{)}^2}$

गणना:

माना कि $\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{i}\mathrm{y}={\displaystyle \frac{4+2\mathrm{i}}{1-2\mathrm{i}}}$

$={\displaystyle \frac{4+2\mathrm{i}}{1-2\mathrm{i}}}\times {\displaystyle \frac{1+2\mathrm{i}}{1+2\mathrm{i}}}$

$={\displaystyle \frac{4+10\mathrm{i}+4{\mathrm{i}}^2}{1-4{\mathrm{i}}^2}}$   

चूँकि हम जानते हैं i2 = -1

$={\displaystyle \frac{4+10\mathrm{i}-4}{1+4}}$

$\mathrm{x}+\mathrm{i}\mathrm{y}={\displaystyle \frac{10\mathrm{i}}{5}}=0+2\mathrm{i}$

चूँकि हम जानते हैं कि यदि z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है, तो इसके मापांक को |z| = $\sqrt{{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2}$ द्वारा ज्ञात किया गया है। 

∴ |z| = $\sqrt{0^2+2^2}=2$

संकल्पना:

माना z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है।

• z का मापांक = $\left|\mathrm{z}\right|=\sqrt{{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2}=\sqrt{\mathrm{R}\mathrm{e}{\left(\mathrm{z}\right)}^2+\mathrm{I}\mathrm{m}{\left(\mathrm{z}\right)}^2}$
• arg (z) = arg (x + iy) = ${\tan }^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$
• संयुग्म की गणना के लिए, i को -i से बदलें।
• z का संयुग्म = x – iy

गणना:

माना z = (i - i2)3

⇒ z = i3 (1 - i) 3  = - i (1 - i)³

संयुग्म की गणना के लिए, i को -i से बदलें।

⇒ z̅  =  -(- i) (1 - (- i))³

⇒ z̅  =  i(1 + i)³

(a + b) 3 = a3 + b3 + 3a2b + 3ab2 का उपयोग करना

⇒ z̅  =  i(1 + i3 +3 ×12 × i + 3 × i2 × 1 ) 

⇒ z̅  =  i(1 - i + 3i - 3) 

⇒ z̅  =  i(-2 + 2i)

⇒ z̅  = -2i + 2i2

⇒ z̅  = -2 - 2 i

इसलिए,  (i - i2)3 का संयुग्म -2 - 2i है

धारणा:

एकत्व के घन मूल 1, ω और ω2 हैं

यहाँ, ω = $\frac{-1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$ और ω² = $\frac{-1-\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$

एकता के घन मूलों का गुण

• ω³ = 1
• 1 + ω + ω² = 0
• ω = 1 / ω ² और ω² = 1 / ω
• ω³ⁿ = 1

गणना:

हमें ω3n + ω3n+1 + ω3n+2 का मूल्य खोजना होगा

⇒ ω3n + ω3n+1 + ω³ⁿ⁺² 

= ω3n (1 + ω + ω²)           (∵ 1 + ω + ω2 = 0)

= 1 × 0 = 0

अवधारणा 

एकत्व के घन मूल 1, ω और ω2 हैं

यहाँ ω = $\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ और ω2 = $\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$

एकत्व के घन मूलों के गुण:

• ω3 = 1
• 1 + ω + ω2 = 0
• ω = 1 / ω 2 और ω2 = 1 / ω
• ω3n = 1

गणना:

दिया गया है,

(x - 1)3 + 8 = 0

⇒ (x - 1)3 = (-2)3

⇒ (x - 1) = -2(1)1/3

(x - 1) = -2(1, ω,  ω2)

⇒ x = -1, 1 - 2ω, 1 - 2ω2 

संकल्पना:

सम्मिश्र संख्या:

• एक सम्मिश्र संख्या रूप a + ib की संख्या होती है, जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं और i, i = √-1 द्वारा परिभाषित सम्मिश्र इकाई है। 
• i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1 इत्यादि
• सामान्यतौर पर, i^{4n + 1} = i, i4n + 2 = -1, i4n + 3 = -i, i4n = 1

• सम्मिश्र संख्या z = a + ib के लिए z का संयुग्म z̅ = a - ib है। 

गणना:

हर के संयुग्म से गुणा और भाग करके सम्मिश्र संख्या $\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}$ का परिमेयकरण करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है:

$\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=\frac{(1-\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}=\frac{1^2-2\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^2}{1^2-{\mathrm{i}}^2}=\frac{-2\mathrm{i}}{1+1}$ = -i

अब, ${\left(\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}\right)}^{\mathrm{n}}=-1$

⇒ $(-\mathrm{i}{)}^{\mathrm{n}}=-1$

⇒ (-i)n = (-i)2      (∵ i2 = -1)

∴  n = 2

संकल्पना:

माना कि z = x + iy सम्मिश्र संख्या है। 

• z का मापांक = $\left|\mathrm{z}\right|=\sqrt{{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2}=\sqrt{\mathrm{R}\mathrm{e}{\left(\mathrm{z}\right)}^2+\mathrm{I}\mathrm{m}{\left(\mathrm{z}\right)}^2}$
• arg (z) = arg (x + iy) = ${\tan }^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$
• z का संयुग्म = z̅ = x – iy

गणना:

दी गयी सम्मिश्र संख्या z = $\frac{3\mathrm{i}+4}{2-3\mathrm{i}}$ है। 

z = $\frac{3\mathrm{i}+4}{2-3\mathrm{i}}\times \frac{2+3\mathrm{i}}{2+3\mathrm{i}}$

z = $\frac{6\mathrm{i}+8-9+12\mathrm{i}}{2^2-(3\mathrm{i}{)}^2}$

z = $\frac{18\mathrm{i}-1}{13}$

z = $\frac{-1}{13}+\frac{18}{13}\mathrm{i}$

z का संयुग्म = (z̅) = $\frac{-1}{13}-\frac{18}{13}\mathrm{i}$