Polygons MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Polygons - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

विकर्णों की संख्या, D = 20

एक बहुभुज में विकर्णों की संख्या का सूत्र है:

$D=\frac{n(n-3)}{2}$

D = 20 का मान सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

⇒ $20=\frac{n(n-3)}{2}$

दोनों ओर 2 से गुणा करें:

⇒ $40=n(n-3)$

⇒ $n^2-3n-40=0$

अब हम इस द्विघात समीकरण को हल करते हैं:

$n=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

⇒ $n=\frac{-(-3)\pm \sqrt{(-3{)}^2-4(1)(-40)}}{2(1)}$

⇒ $n=\frac{3\pm 13}{2}$

दो हल हैं:

⇒ $n=\frac{3+13}{2}=8$

या

⇒ $n=\frac{3-13}{2}=-5$

चूँकि भुजाओं की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए हम n = 8 चुनते हैं।

∴ बहुभुज में 8 भुजाएँ हैं।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

स्पष्टीकरण:

त्रिभुज को उसकी भुजाओं की लंबाई के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है।

विषमबाहु त्रिभुज: सभी भुजाएं अलग-अलग लंबाई की होती हैं, जैसा कि इस प्रश्न में भी है।

समद्विबाहु त्रिभुज: दो भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं।

समबाहु त्रिभुज: सभी तीन भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं।

समकोण त्रिभुज: इनमें से एक कोण 90 डिग्री का होता है, लेकिन यह वर्गीकरण कोणों पर आधारित होता है, भुजाओं की लंबाई पर नहीं।

इसलिए, सही उत्तर विषमबाहु है क्योंकि त्रिभुज ABC की सभी भुजाएँ लंबाई में भिन्न हैं।

अतः सही विकल्प 1) है।

दिया गया है:

एक पंचभुज का एक कोण 90° है और शेष चारों कोण बराबर हैं।

प्रयुक्त अवधारणा:

पंचभुज के कोणों का योग = 540°

गणना:

मान लीजिये कि शेष 4 बराबर कोण m हैं।

⇒ 90° + 4m = 540° 

⇒ 4m = 450° 

⇒ m = 112.5° 

∴ दूसरे कोण की माप 112.5° है।

दिया गया है:

एक षट्भुज का एक कोण 90° है और शेष सभी पाँच कोण बराबर हैं।

प्रयुक्त अवधारणा:

षट्भुज के कोणों का योग = 720°

गणना:

मान लीजिये कि शेष 5 समान कोण m हैं।

⇒ 90° + 5m = 720° 

⇒ 5m = 630° 

⇒ m = 126° 

∴ अन्य कोण की माप 126° है।

दिया गया है:

एक त्रिकोणीय पिरामिड दिया गया है,

F = फलकों की संख्या

V = शीर्षों की संख्या

E = भुजाओं की संख्या

अवधारणा:

एक त्रिकोणीय पिरामिड,

फलकों की संख्या = 4

भुजाओं की संख्या = 6

शीर्षों की संख्या = 4

गणना

2F + V - E = 6

2 × 4 + 4 - 6 = 6

12 - 6 = 6, बायां पक्ष, दाएं पक्ष के बराबर है।

सही विकल्प 1 है।

प्रयुक्त सूत्र:

पंचभुज के प्रत्येक कोण की माप = $\frac{(n-2)\times 180}{n}$

गणना:

पंचभुज की पाँच भुजाएँ होती हैं, इसलिए n = 5

⇒ पंचभुज के प्रत्येक कोण की माप = $\frac{(5-2)\times 180}{5}$

∴ पंचभुज के प्रत्येक कोण की माप = 108°

सही उत्तर विकल्प 2, अर्थात् 108° है। 

प्रयुक्त सूत्र:

त्रिभुज जिसमें बहुभुज की कोई भुजा उभयनिष्ठ नहीं है

$\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}-4)(\mathrm{n}-5)}{6}$

n बहुभुज की भुजा है

गणना:

यहाँ n = 10

त्रिभुज जिसकी कोई भुजा बहुभुज की भुजाओं से उभयनिष्ठ नहीं है

= $\frac{10(10-4)(10-5)}{6}$

= $\frac{10\times 6\times 5}{6}$

= 50

∴ ऐसे त्रिभुजों की संख्या 50 है।

अवधारणा:

एक सम बहुभुज का आंतरिक कोण निम्न द्वारा दिया जाता है:

$(\mathrm{n}-2)\times \frac{{180}^{\circ }}{\mathrm{n}}$

जहां, n = भुजाओं की संख्या

आंतरिक कोण = 180° - बाहरी कोण

गणना:

सम अष्टभुज की 8 भुजाएँ होती हैं

तो, n = 8

आंतरिक कोण

= $(\mathrm{n}-2)\times \frac{{180}^{\circ }}{\mathrm{n}}$

= $(8-2)\times \frac{{180}^{\circ }}{8}$

= $6\times \frac{{180}^{\circ }}{8}$

= ${\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$

अवधारणा :

एक बहुभुज के कोणीय बिन्दुओं को जोड़कर बनाये जाने वाले विकर्णों की संख्या इस प्रकार है:

${}^n{C}_2-n=\frac{n\times \left(n-3\right)}{2}$

गणना​:

दिया है: बहुभुज एक अष्टभुज है ⇒ दिए गए बहुभुज के विकर्णों की संख्या n = 8.

जैसा की हम जानते हैं कि एक बहुभुज के कोणीय बिन्दुओं को जोड़कर बनाये जाने वाले विकर्णों की संख्या इस प्रकार है${}^n{C}_2-n=\frac{n\times \left(n-3\right)}{2}$

अवधारणा:

n भुजाओं वाला बहुभुज,

• आंतरिक कोण + बाहरी कोण = 180°  
• बहुभुज का प्रत्येक आंतरिक कोण = $(\mathrm{n}-2)\times \frac{{180}^0}{\mathrm{n}}$  . 

गणना:

हम जानते हैं कि, आंतरिक कोण + बाहरी कोण = 180° 

⇒ आंतरिक कोण + 24° = 180° 

⇒  आंतरिक बहुभुज का कोण = 156° 

∴ 156 = $(\mathrm{n}-2)\times \frac{{180}^0}{\mathrm{n}}$  

⇒ 26n = 30n - 60

⇒  4n = 60

⇒ n = 15

सही विकल्प 3 है। 

अवधारणा:

एक त्रिभुज Δ ABC में जहाँ a, A के विपरित भुजा है; b, B के विपरित भुजा है; c, C के विपरीत भुजा है और जहाँ R परि-त्रिज्या है:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

समकोण त्रिभुज पाइथागोरस प्रमेय का अनुसरण करते हैं,

कर्ण2 = लम्ब2 + आधार2

कर्ण, समकोण त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा होती है।

हल:

दिया गया है, बहुभुज की भुजाओं की लंबाई a = 1

बहुभुज की भुजाओं की संख्या n = 12

समकोण त्रिभुज पाइथागोरस प्रमेय का अनुसरण करते हैं,

$\frac{sin15}{0.5}=\frac{sin75}{R}$

$\Rightarrow \frac{\sqrt{3}-1}{(2\sqrt{2})0.5}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4R}$

$\Rightarrow \frac{2(\sqrt{3}-1)}{(2\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4R}$

$\Rightarrow \frac{(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4R}$

$\Rightarrow R=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-1}$

$\Rightarrow D=2R=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\times \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}-1}$ ...... (व्यास D = 2R)

$\Rightarrow D=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-1}$

$\Rightarrow D=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-1}$

$\Rightarrow D=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\times \frac{1}{\sqrt{3}-1}$

$\Rightarrow D=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$

$\Rightarrow D=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$

$\Rightarrow D=\frac{6+2\sqrt{12}+2}{4}$

$\Rightarrow D=\frac{8+2\sqrt{12}}{4}$

$\Rightarrow D=\frac{8+2\sqrt{4\times 3}}{4}$

$\Rightarrow D=2+\sqrt{3}$

दिया गया है:

एक पंचभुज का एक कोण = 140°

शेष कोण 1 : 2 : 3 : 4 के अनुपात में हैं। 

अवधारणा: 

एक पंचभुज के आंतरिक कोणों का योग 540° के बराबर होता है।

गणना:      

पंचभुज के कोण x, 2x, 3x और 4x हैं

⇒ x + 2x + 3x + 4x + 140° = 540°

⇒ 10x = 400° 

⇒ x = 40° 

∴ सबसे बड़ा कोण = 4x = 4 × 40° = 160° 

संकल्पना:

n भुजाओं वाला बहुभुज,

• आंतरिक कोण + बाहरी कोण = 180°  
• बहुभुज का प्रत्येक आंतरिक कोण = $(\mathrm{n}-2)\times \frac{{180}^0}{\mathrm{n}}$  . 

गणना:

हम जानते हैं कि, आंतरिक कोण + बाहरी कोण = 180° 

⇒ आंतरिक कोण + 36° = 180° 

⇒ बहुभुज का कोण = 144° 

∴ 144 = $(\mathrm{n}-2)\times \frac{{180}^0}{\mathrm{n}}$  

⇒ $\frac{4\mathrm{n}}{5}=\mathrm{n}-2$  

⇒ n = 10

सही विकल्प 2 है। 

दिया गया है:

बहुभुज का परिमाप = 12.5 सेमी

बहुभुज की प्रत्येक भुजा = 2.5 सेमी

अवधारणा:

बहुभुज की कुल भुजाओं की संख्या = (बहुभुज का परिमाप)/(बहुभुज की भुजा)

गणना:

माना बहुभुज की भुजा X है।

⇒ X = 12.5/2.5 = 125/25 = 5

∴ अभीष्ट उत्तर 5 होगा।

दिया गया है:

एक बहुभुज के अन्तःकोणों का योगफल 2160° है।

प्रयुक्त सूत्र:

बहुभुज के अन्तःकोणों का योगफल = (n - 2) × 180

n बहुभुज के भुजाओं की संख्या है।

गणना:

यहाँ,

⇒ (n - 2) × 180 = 2160

n - 2 = 2160/180 = 12

∴ n = 14