Quadratic Equations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Quadratic Equations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

पिछले परिणाम से, मूल समीकरण के मूल हैं

$\alpha =1$ और $\beta =-2$

हम उस द्विघात समीकरण ज्ञात कर रहे हैं जिसके मूल हैं

$\alpha +1=1+1=2$ और $\beta +1=-2+1=-1$

एक द्विघात समीकरण जिसके मूल $r_1$ और $r_2$ हैं, का एकघाती रूप है:

$x^2-(r_1+r_2)x+(r_1{r}_2)=0.$

यहाँ,

$r_1+r_2=2+(-1)=1,$

$r_1{r}_2=2\times (-1)=-2.$

प्रतिस्थापित करने पर:

$x^2-1\cdot x+(-2)=0$

$\boxed{{\displaystyle x^2-x-2=0}}$

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

गणना:

दिया गया है,

α और β द्विघात समीकरण के मूल हैं

$x^2+\sqrt{\alpha }x+\beta =0$

विआटा के संबंधों से,

मूलों का योग: $\alpha +\beta =-\sqrt{\alpha }$,

मूलों का गुणनफल: $\alpha \beta =\beta$

$\alpha \beta =\beta$ से, या तो $\beta =0$ या $\alpha =1$ 

चूँकि दिए गए विकल्पों में β≠0 है, इसलिए हम $\alpha =1$ लेते हैं।

योग संबंध में प्रतिस्थापित करने पर:

$1+\beta =-\sqrt{1}=-1$ ⟹ $\beta =-2$

इसलिए, $\alpha =1$ और $\beta =-2$

अतः सही उत्तर विकल्प 4 है।

गणना:

हमें दिया गया है कि k, $x{}^2-4x+1=0$ का एक मूल है।

द्विघात समीकरण को हल करना:

$x=\frac{-(-4)\pm \sqrt{(-4{)}^2-4(1)(1)}}{2(1)}=\frac{4\pm \sqrt{16-4}}{2}=\frac{4\pm \sqrt{12}}{2}=\frac{4\pm 2\sqrt{3}}{2}$

⇒ $x=2\pm \sqrt{3}$

इस प्रकार, k के दो संभावित मान हैं

⇒ $k=2+\sqrt{3}\text{or}k=2-\sqrt{3}$

हमें ${\tan }^{-1}(k)+{\tan }^{-1}\left(\frac{1}{k}\right)$ ज्ञात करने की आवश्यकता है।

व्युत्क्रम स्पर्शज्या के योग के लिए सर्वसमिका का उपयोग करना

${\tan }^{-1}(a)+{\tan }^{-1}(b)={\tan }^{-1}\left(\frac{a+b}{1-ab}\right)$

⇒ ${\tan }^{-1}(k)+{\tan }^{-1}\left(\frac{1}{k}\right)={\tan }^{-1}\left(\frac{k+\frac{1}{k}}{1-k\cdot \frac{1}{k}}\right)$

$={\tan }^{-1}\left(\frac{k+\frac{1}{k}}{1-1}\right)={\tan }^{-1}\left(\frac{k+\frac{1}{k}}{0}\right)$

यह व्यंजक अपरिभाषित मान देता है, लेकिन हम व्युत्क्रम स्पर्शज्या के गुणों से जानते हैं कि

⇒ ${\tan }^{-1}(k)+{\tan }^{-1}\left(\frac{1}{k}\right)=\frac{\pi }{2}$

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

गणना:

दिया गया है,

समीकरण $x^2-x+1=0$ है,

हमें निम्नलिखित व्यंजक का मान ज्ञात करना है:

${(x-\frac{1}{x})}^2+{(x-\frac{1}{x})}^4+{(x-\frac{1}{x})}^8$

समीकरण $x^2-x+1=0$ को निम्न प्रकार हल किया जाता है:

$x=\frac{1\pm \sqrt{-3}}{2}=e^{i\pi /3}\text{or}x=e^{-i\pi /3}$

अब, $x$ के मान को व्यंजक $x-\frac{1}{x}$: में प्रतिस्थापित करें।

$x-\frac{1}{x}=i\sqrt{3}$

$x-\frac{1}{x}$ की घातों का मूल्यांकन करें

अब, व्यंजक में प्रत्येक पद का मूल्यांकन करते हैं:

${(x-\frac{1}{x})}^2=(i\sqrt{3}{)}^2=-3$

${(x-\frac{1}{x})}^4=(-3{)}^2=9$

${(x-\frac{1}{x})}^8=9^2=81$

अब, मानों को जोड़ें:

$-3+9+81=87$

∴ व्यंजक का मान 87 है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

दिया गया है:

द्विघात समीकरण x² - kx + k = 0 है।

एक मूल दूसरे मूल से 2√3 अधिक है।

⇒ α - β = 2√3.

साथ ही,

मूलों का योग: α + β = k

मूलों का गुणनफल: α × β = k

गणना:

हमें निम्नलिखित सर्वसमिका ज्ञात हैं

$(\alpha +\beta {)}^2=(\alpha -\beta {)}^2-4\alpha \beta$

⇒ k² = (2√3)² - 4k

⇒ k² - 12 - 4k = 0

⇒ k² - 6k + 2k -12 = 0

⇒ k(k - 6) + 2 ( k - 6) = 0

⇒ (k - 6) (k + 2) = 0

⇒ k = 6 और k = -2

इस प्रकार, k के संभावित मान 6 और -2 हैं। 

अतः सही उत्तर विकल्प 2 है।

प्रयुक्त अवधारणा:

द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के लिए, 

α + β = -b/a और αβ = c/a

गणना:

दिया गया समीकरण (5 + √2) x2 - (4 + √5) x + (8 + 2√5) = 0 है

ax2 + bx + c = 0 द्वारा इस समीकरण की तुलना करने पर , हम प्राप्त करते हैं

a = (5 + √2), b =  - (4 + √5) और c = (8 + 2√5)

अब, αβ = (8 + 2√5)/(5 + √2) और α + β = (4 + √5)/(5 + √2)

अब, हमें 2αβ/(α + β) का मान ज्ञात करना है 

⇒ 2[(8 + 2√5)/(5 + √2)] / [(4 + √5)/(5 + √2)]

⇒ 2 [(8 + 2√5) (4 - √5)] / [(4 + √5)/(4 - √5)]

⇒ 2(32 + 8√5 - 8√5 - 10)/11

⇒ 44/11 = 4

∴ 2αβ/ (α + β) का आवश्यक मान 4 है।

संकल्पना:

यदि α और β द्विघात समीकरण Ax2 + Bx + C = 0 के दो मूल हैं, तो α + β = $-{\displaystyle \frac{\mathrm{B}}{\mathrm{A}}}$ और αβ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{A}}}$ है।

​

गणना:

माना कि α और β द्विघातीय समीकरण ax2 + bx + c = 0 के दो मूल हैं, तो α + β = $-{\displaystyle \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}}$ और αβ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}}$ है।

दिया गया है कि α = -β है।

∴ -β + β = $-{\displaystyle \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}}$

⇒ $-{\displaystyle \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}}$ = 0

⇒ b = 0.

संकल्पना:

माना कि द्विघाती समीकरण का मानक रूप, ax² + bx + c =0 लेते हैं। 

माना कि α और β उपरोक्त द्विघाती समीकरण के दो मूल हैं। 

एक द्विघाती समीकरण के मूलों का योग निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

$\alpha +\beta =-\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}=-\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{x}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{f}{\mathrm{x}}^2}$ 

मूलों का गुणनफल निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

$\alpha \beta =\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{f}{\mathrm{x}}^2}$

गणना:

दिया गया है: α और β समीकरण x² - q(1 + x) - r = 0 के मूल हैं। 

⇒ x² - q - qx - r = 0

⇒ x² - qx - (q + r) = 0

मूलों का योग =  α + β = q

मूलों का गुणनफल = αβ = - (q + r) = -q - r

निम्न का मान ज्ञात करने के लिए: (1 + α)(1 + β) 

(1 + α)(1 + β) = 1 + α + β + αβ 

= 1 + q - q - r 

= 1 - r

संकल्पना:

डिग्री एक दिए गए बहुपद में चर का उच्चतम घांत होता है। 

गणना:

यहाँ,

$$\begin{gathered} \frac{1}{\mathrm{x}-3}=\frac{1}{\mathrm{x}+2}-\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \frac{1}{\mathrm{x}-3}=\frac{2-\mathrm{x}-2}{2\mathrm{x}+4} \\ \Rightarrow \frac{-\mathrm{x}}{2\mathrm{x}+4}=\frac{1}{\mathrm{x}-3} \\ \Rightarrow \frac{1}{\mathrm{x}-3}+\frac{\mathrm{x}}{2\mathrm{x}+4}=0 \\ \Rightarrow \frac{2\mathrm{x}+4+{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}}{(\mathrm{x}-3)(2\mathrm{x}+4)}=0 \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+4=0 \end{gathered}$$

∴ डिग्री = 2

अतः विकल्प (3) सही है। 

संकल्पना:

एक द्विघात समीकरण के मानक रूप ax2 + bx + c =0 पर विचार करते हैं।

माना कि α और β उपरोक्त द्विघात समीकरण के दो मूल हैं।

एक द्विघात समीकरण के मूलों का योग निम्न है: $\alpha +\beta =-\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}=-\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{x}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{f}{\mathrm{x}}^2}$ 

मूलों का गुणनफल निम्न द्वारा दिया गया है: $\alpha \beta =\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{f}{\mathrm{x}}^2}$

गणना:

दिया हुआ: α, β समीकरण x2 + px + q = 0 के मूल हैं

मूलों का योग = α + β = -p

मूलों का गुणनफल = αβ = q

हम जानते हैं कि (a + b)² = a² + b² + 2ab

तो (α + β)² = α² + β² + 2αβ

⇒ (-p)² = α² + β² + 2q

∴ α² + β² = p² - 2q

अवधारणा:

यदि p(x) एक फलन है और (x - a), p(x) का गुणनखंड है तो, p(a) = 0

गणना:

x + 4, 3x² + kx + 8 का गुणनखंड है, इसलिए x = -4 इस समीकरन का हल होगा

⇒ 3(-4)2 + k(-4) + 8 = 0

⇒ 4k = 48 + 8

⇒ k = 14

संकल्पना:

माना कि द्विघाती समीकरण का मानक रूप, ax² + bx + c =0 लेते हैं।

माना कि α और β उपरोक्त द्विघाती समीकरण के दो मूल हैं। 

एक द्विघाती समीकरण के मूलों का योग निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:$\alpha +\beta =-\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}=-\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{x}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{f}{\mathrm{x}}^2}$ 

मूलों का गुणनफल निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:$\alpha \beta =\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{f}{\mathrm{x}}^2}$

गणना:

दिया गया है: ax² + bx + c = 0 के मूलों के बीच का अंतर 1 है। 

माना कि α और β उपरोक्त द्विघाती समीकरण के दो मूल हैं। 

मूलों का योग = α + β = $-\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}$

मूलों का गुणनफल = α β = $\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}$

अब,

α - β = 1

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ (α - β)² = 1²

⇒ (α + β)² - 4α β = 1

⇒ $(\frac{-\mathrm{b}}{\mathrm{a}}{)}^2-\frac{4\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=1$

⇒ b² - 4ac = a²

⇒ b² = a² + 4ac

∴ b² = a(a + 4c)

दिए गए समीकरण से, a = 1, b = k, c = k

पुनरावृत्त मूल के लिए, b² – 4ac = 0

⇒ k² – 4k = 0

⇒ k(k – 4) = 0

∴ k = 4 या k = 0

इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 3 है।

संकल्पना:

माना कि एक द्विघाती समीकरण: ax2 + bx + c = 0.

माना कि, α और β मूल हैं। 

• मूलों का योग = α + β = -b/a
• मूलों का गुणनफल = α × β = c/a

गणना:

दिया गया द्विघाती समीकरण: 3x2 + 57x - 5 = 0

माना कि α और β मूल हैं, तो 

α + β = -57/3,  αβ = -5/3

अब,$\frac{{\alpha }^3+{\beta }^3}{{\alpha }^{-3}+{\beta }^{-3}}$= $\frac{{\alpha }^3+{\beta }^3}{\frac{1}{{\alpha }^3}+\frac{1}{{\beta }^3}}$

= $\frac{{\alpha }^3+{\beta }^3}{\frac{({\alpha }^3+{\beta }^3)}{{\alpha }^3{\beta }^3}}$

= (α β)³

= (-5/3)³

= -125/27

अतः विकल्प (4) सही है।  

संकल्पना:

मापांक मान ऋणात्मक नहीं होता है। 

tan^-1 (- x) = - tan^-1 (x)

गणना:

दिया गया है, समीकरण x² + 5|x| - 6 = 0 है। 

⇒|x²| + 5|x| - 6 = 0 

⇒|x²| + 6|x| - |x| - 6 = 0

⇒|x| (|x|+ 6) - 1 (|x| + 6) = 0

⇒ (|x| + 6) (|x| - 1)= 0

⇒(|x| + 6) = 0  और (|x| - 1) = 0

⇒ |x| = - 6  और |x| = 1

लेकिन |x| = - 6 है, जो संभव नहीं है क्योंकि मापांक का मान ऋणात्मक नहीं होता है। 

⇒ |x| = 1

⇒ x = 1 और x = -1

दिया गया है, α और β समीकरण x² + 5|x| - 6 = 0 के मूल हैं। 

इसलिए, α = 1 और β = -1 

अब, माना कि, |tan-1 α - tan-1 β| = |tan-1 (1) - tan-1 (- 1)|

⇒ |tan-1 (1) + tan-1 (1)|

⇒ |2 tan-1 (1)|

⇒ 2.${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

∴ ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$