प्रायिकता MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Probability - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

हल:

• टाई की प्रायिकता: तब होती है जब A और B दोनों को बराबर चित प्राप्त होते हैं।
  • (A = 0, B = 0): 1/4 × 1/8 = 1/32
  • (A = 1, B = 1): 1/2 × 3/8 = 3/16
  • (A = 2, B = 2): 1/4 × 3/8 = 3/32
  • कुल बराबरी की प्रायिकता, T = 1/32 + 3/16 + 3/32 = 5/16
• माना E = किसी के जीतने तक राउंड की अपेक्षित संख्या
• पुनरावृत्ति है: E = 1 + T × E
• ⇒ E − (5/16)E = 1
• ⇒ (11/16)E = 1
• ⇒ E = 16/11

∴ अंतिम उत्तर: 11 E = 16 है। 

हल:

• A, 2 सिक्के उछालता है ⇒ चित: 0, 1, 2, प्रायिकताएँ: 1/4, 1/2, 1/4
• B, 3 सिक्के उछालता है ⇒ चित: 0, 1, 2, 3, प्रायिकताएँ: 1/8, 3/8, 3/8, 1/8

A के लिए अनुकूल परिणाम:

• (1, 0): 1/2 × 1/8 = 1/16
• (2, 0): 1/4 × 1/8 = 1/32
• (2, 1): 1/4 × 3/8 = 3/32

कुल P(A जीतता है) = 1/16 + 1/32 + 3/32 = 3/16

P(B जीतता है): = 1/2

P(टाई): = 1 − (3/16 + 1/2) = 5/16

माना कि P = A के जीतने की अंतिम प्रायिकता है। 

⇒ P = 3/16 + 5/16 × P

⇒ P − (5/16)P = 3/16

⇒ (11/16)P = 3/16

⇒ P = 3/11

∴ K = 3

संप्रत्यय:

• हमें 12 खिलाड़ी दिए गए हैं: S₁, S₂, ..., S₁₂।
• इन्हें यादृच्छिक रूप से 6 अक्रमित युग्मों में विभाजित किया गया है।
• प्रत्येक युग्म एक मैच खेलता है और प्रत्येक युग्म से ठीक एक खिलाड़ी जीतता है।
• सभी खिलाड़ियों की समान क्षमता है, इसलिए मैच जीतने या हारने की प्रायिकता 1/2 है।
• मुख्य विचार संयोजनों और बुनियादी प्रायिकता का उपयोग करके अनुकूल युग्मों की गणना करना है।
• संयोजनों का उपयोग जैसे \(\binom{n}{k} \) = n वस्तुओं में से k वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या।

गणना:

(I) S₂ के हारने वालों में होने की प्रायिकता:

12 खिलाड़ियों को जोड़ने के कुल तरीके = (1 × 11C₅) / 12C₆

⇒ P = 1 × 11C₅ / 12C₆ = 1/2

(II) S₃ और S₄ में से ठीक एक के हारने वालों में होने की प्रायिकता:

अनुकूल परिणाम = 2C₁ × 10C₅

कुल परिणाम = 12C₆

⇒ P = (2 × 10C₅) / 12C₆ = 6/11

(III) S₂ और S₄ दोनों के विजेताओं में होने की प्रायिकता:

अनुकूल परिणाम = 10C₄

कुल परिणाम = 12C₅

⇒ P = 10C₄ / 12C₅ = 5/22

(IV) S₄ और S₅ एक-दूसरे के खिलाफ नहीं खेलने की प्रायिकता:

यदि हम S₄ को स्थिर करते हैं, तो S₅ 10 अन्य खिलाड़ियों (S₄ को छोड़कर) के साथ युग्म बना सकता है

⇒ P = 10 / 11

∴ सही मिलान: I → Q, II → R, III → P, IV → S है। 

प्रयुक्त सूत्र:

बर्नोली बंटन B(n, p) के लिए,

P(X = k) = \({^nC_k} p^k (1-p)^{n-k}\)

गणना:

दिया गया है:

बर्नोली बंटन B(10, \(\frac{1}{2}\))

P(X ≤ 2) = m(\(\frac{1}{2}\))¹⁰

P(X ≤ 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

P(X=0) = \({^{10}C_0} (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{2})^{10} = (\frac{1}{2})^{10}\)

P(X=1) = \({^{10}C_1} (\frac{1}{2})^1 (\frac{1}{2})^{9} = 10 (\frac{1}{2})^{10}\)

P(X=2) = \({^{10}C_2} (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{2})^{8} = \frac{10 \times 9}{2} (\frac{1}{2})^{10} = 45 (\frac{1}{2})^{10}\)

P(X ≤ 2) = (\(1 + 10 + 45)(\frac{1}{2})^{10} = 56 (\frac{1}{2})^{10}\)

दिए गए समीकरण से तुलना करने पर,

m = 56

इसलिए, विकल्प 3 सही है। 

प्रयुक्त अवधारणा:

एक असतत यादृच्छिक चर X का माध्य (या प्रत्याशित मान) इस प्रकार दिया जाता है:

\(E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(x_i)\)

जहाँ x_i, X के संभावित मान हैं और P(x_i) उनकी प्रायिकताएँ हैं।

गणना:

दिया गया है:

एक न्याय्य सिक्के को तीन बार उछाला गया।

मान लीजिए X, तीन उछालों में चित आने की संख्या है।

X के संभावित मान 0, 1, 2, 3 हैं।

प्रायिकताएँ निम्नवत हैं:

\(P(X=0) = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}\) (TTT)

\(P(X=1) = 3(\frac{1}{2})^2(\frac{1}{2}) = \frac{3}{8}\) (HTT, THT, TTH)

\(P(X=2) = 3(\frac{1}{2})(\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{8}\) (HHT, HTH, THH)

\(P(X=3) = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}\) (HHH)

चितों की माध्य संख्या है:

\(E(X) = 0 \times \frac{1}{8} + 1 \times \frac{3}{8} + 2 \times \frac{3}{8} + 3 \times \frac{1}{8}\)

\( = 0 + \frac{3}{8} + \frac{6}{8} + \frac{3}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5\)

इसलिए, विकल्प 4 सही है। 

संकल्पना:

• n = p + q + r + …वस्तुओं के एक संग्रह से प्रकार 'p के k वस्तुओं' को निकालने की प्रायिकता को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: \(\rm P(k) =\dfrac{^{p}C_{k}}{^{n}C_{k}}\)

• एक संयुक्त घटना [(A और B) या (B और C)] की प्रायिकता की गणना निम्न रूप में की गयी है:

  P[(A और B) या (B और C)] = [P(A) × P(B)] + [P(C) × P(D)]

  ('और' का अर्थ '×' तथा 'या' का अर्थ '+' है।)

गणना:

कुल 7 लाल + 4 नीली = 11 गेंदे हैं।

1 लाल गेंद निकालने की प्रायिकता = \(\rm \dfrac{^{7}C_{1}}{^{11}C_{1}}=\dfrac{7}{11}\).

1 नीली गेंद निकालने की प्रायिकता = \(\rm \dfrac{^{4}C_{1}}{^{11}C_{1}}=\dfrac{4}{11}\).

(1 लाल) और (1 नीला) गेंद निकालने की प्रायिकता = \(\rm \dfrac{7}{11}\times\dfrac{4}{11}=\dfrac{28}{121}\).

उसी प्रकार, (1 नीला) और (1 लाल ) गेंद निकालने की प्रायिकता = \( \dfrac{4}{11} \times \dfrac{7}{11}=\dfrac{28}{121}\)

अलग-अलग रंगों वाली गेंदों को निकालने की प्रायिकता = \(\dfrac{28}{121}\) + \(\dfrac{28}{121}\) = \(\dfrac{56}{121}\) 

संकल्पना:

स्वतंत्र घटनाएँ:

दो घटनाएं स्वतंत्र तब होती हैं यदि एक घटना का घटित होना दूसरी घटना की प्रायिकता पर कोई प्रभाव नहीं डालता है। 

यदि A और B दो स्वतंत्र घटनाएं हैं, तो P(A ∩ B) = P(A) × P(B) है। 

गणना:

दिया गया है: P(B) = 0.4 और P(A ∪ B) = 0.6 

P(A ∪ B) = 0.6

⇒ P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0.6

⇒ P(A) + P(B) - P(A) × P(B) = 0.6               (∵ A और B स्वतंत्र घटनाएं हैं।)

⇒ P(B) + P(A) [1 - P(B)] = 0.6

⇒ 0.4 + P(A) [1 - 0.4] = 0.6

⇒ P(A) × 0.6 = 0.2 

संकल्पना:

• दो घटनाओं, A और B, के लिए: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) है।
• यदि A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं तो P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

गणना:

उपरोक्त अवधारणा का उपयोग करना क्योंकि A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं, हम लिख सकते हैं:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A) × P(B)

⇒ 0.7 = 0.4 + P - 0.4 × P

⇒ 0.6P =0.3

⇒ P = 0.5

धारणा:

1) संयोजन: दिए गए n वस्तुओं से r वस्तुओं का चयन करना।

• दिए गए n वस्तुओं से r वस्तुओं के चयनों की संख्या को \(^n{C_r}\) द्वारा निरूपित किया जाता है

• \({\;^n}{C_r} = \frac{{n!}}{{r!\left( {n\; - \;r} \right)!}}\)

2) किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता = \(\frac{{{\rm{Number\;of\;ways\;it\;can\;happen}}}}{{{\rm{Total\;number\;of\;outcomes}}}}\)

टिप्पणी: संयोजन का उपयोग करें यदि कोई समस्या वस्तुओं के चयन के तरीकों की संख्या के लिए कहती है।

गणना:

दिया हुआ:

एक कमरे में आठ जोड़े हैं।

⇒ आठ जोड़े = 16 लोग

हमें 16 लोगों में से चार लोगों का चयन करना है

⇒ कुल संभव स्थितियां = ¹⁶C₄

अब हमें चार लोगों का चयन करना होगा, वे युगल हो सकते हैं

इसलिए हमें आठ जोड़ों में से दो जोड़ों का चयन करना होगा

⇒ अनुकूल स्थितियां = ⁸C₂

इसलिए आवश्यक प्रायिकता = \(\frac{{{{\rm{\;}}^8}{{\rm{c}}_2}}}{{{{\rm{\;}}^{16}}{{\rm{c}}_4}}}\)

संकल्पना:

यदि S प्रतिदर्श समष्‍टि है और E अनुकूल घटना है, तो E की प्रायिकता को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(\rm P(E)=\frac{n(E)}{n(S)} \)

गणना:

कुल फल = 3 + 3 = 6

कुल संभव तरीके = ⁶C₂ = 15 = n(S)

अनुकूल तरीके = ³C₁ × ³C₁ = 9 = n(E)

संकल्पना:

• \(\rm P(A|B) = \frac {P(A \;∩ \; B)}{P(B)}\)
• \(\rm P(B|A) = \frac {P(A \;∩ \; B)}{P(A)}\)
• A ⊂ B = उचित उपसमुच्चय: A का प्रत्येक अवयव B में है, लेकिन B में अधिक अवयव हैं।
• ϕ = रिक्त समुच्चय = {}

गणना:

दिया गया है: P(B/A) = 1

⇒ \(\rm P(B|A) = \frac {P(A \;∩ \; B)}{P(A)} = 1\)

⇒ P(A ∩ B) = P(A)

⇒ (A ∩ B) = A

इसलिए A का प्रत्येक अवयव B में है, लेकिन B में अधिक अवयव हैं।

∴ A ⊂ B

संकल्पना:

• n (n > r) के एक समूह से r का चयन करने के तरीकों की संख्या = nCr 
• विशिष्ट स्थिति की प्रायिकता = \(\rm \text{Number of ways for the case can be executed}\over{\text{Total number of ways for selection}}\)

गणना:

यदि यह ज्ञात है कि तीसरे उछाल में चित प्राप्त होता है, तो संभव स्थितियां:

(H, H, H), (H, T, H), (T, H, H), (T, T, H)

∴ कुल संभव स्थितियां = 4

कुल अनुकूल स्थितियां = 3 [(H, H, H), (H, T, H), (T, H, H)]

 इसलिए, आवश्यक प्रायिकता  P = \(\rm \text{Total favorable cases}\over\text{Total possible cases}\)

P = \(3\over4\)

संकल्पना:

पुनरावृत्ति के साथ क्रमचय = nr

जहां n पुनरावृत्ति की अनुमति होने पर r विभिन्न वस्तुओं में से चुनने के लिए वस्तुओं की संख्या है, और आदेश मायने रखता है।

अनुकूल स्थितियाँ   = कुल स्थितियाँ   - प्रतिकूल स्थितियाँ   

गणना​:

प्रश्न के अनुसार

चार पासे लुढ़काएं जाते हैं

अतः, परिणामों की कुल संभावित संख्या = 64

अब, कुल परिणाम जब कोई 2 दिखाई नहीं देता है = 54

अब, प्रयुक्त अवधारणा से

अनुकूल स्थितियाँ  = 64 - 54

⇒ 1296 - 625

⇒  671

∴ संभावित परिणामों की संख्या जिसमें कम से कम एक पासा 2, 671 दर्शाता है।

अवधारणा:

P(A) = \(\frac{n(A)}{n(S)}\)

जहाँ n(A) = घटना A के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या और n(S) = प्रतिदर्श समष्टि की गणन-संख्या।

हल:

यदि एक सिक्के को तीन बार उछाला जाता है, तो संभावित परिणाम निम्नलिखित हैं:

S = {HHH, HHT, HTH, THH, THT, TTH, HTT, TTT}

एक या दो हेड (चित) आने की प्रायिकता:

A = {HHT, HTH, THH, THT, TTH, HTT}

\(P(A)=\frac{6}{8}\)

= \(\frac{3}{4}\)

संकल्पना:

नमूना स्थान और कुछ नहीं बल्कि प्रयोग के सभी संभावित परिणामों का एक समुच्चय है।

यदि हम एक सिक्का n बार उछालते हैं तो संभावित परिणाम या नमूना अंतरिक्ष में तत्वों की संख्या = 2n तत्व

गणना:

जब सिक्का उछाला जाता है तो परिणामों की संख्या = 2 (हेड या टेल)

∴ जब एक सिक्का 6 बार उछाला जाता है तो संभावित परिणाम = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2: 64