Permutations and Combinations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Permutations and Combinations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

चूँकि 4 रेखाएँ हैं, इसलिए प्रतिच्छेदन बिंदुओं की अधिकतम संख्या ⁴C₂ = 6 है।

4 रेखाओं के साथ वृत्त के प्रतिच्छेदन की अधिकतम संख्या 4 x 2 = 8 है।

आवश्यक प्रतिच्छेदन बिंदु = 6 + 8 = 14

∴ सही उत्तर विकल्प 3 अर्थात् 14 है

अवधारणा:

क्रमचय और व्यवस्थाएँ:

• एक क्रमचय एक विशिष्ट क्रम में वस्तुओं की व्यवस्था है। 'n' वस्तुओं को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या 'n' के क्रमगुणित द्वारा दी जाती है जिसे n! द्वारा दर्शाया जाता है।
• विभिन्न स्वरों और व्यंजनों के समुच्चय के लिए, उन्हें व्यवस्थित करने के कुल तरीकों की गणना स्वरों और व्यंजनों की संख्या के क्रमगुणित को अलग-अलग गुणा करके की जा सकती है।

गणना:

दिए गए शब्द 'EQUATION' में, हमारे पास है:

• 5 स्वर: A, E, I, O, U
• 3 व्यंजन: Q, T, N

⇒ तरीकों की संख्या = (3!) . (5!)

⇒ तरीकों की संख्या = (3!) . (5!)

⇒ कुल आवश्यक तरीकों की संख्या = (3!) . (5!) + (3!) . (5!)

= 1440

∴ विकल्प (c) सही है।

व्याख्या:

शब्द 'INDIA' में तीन स्वर (I, I और A) और दो व्यंजन (N और D) हैं।

तीन स्वरों (I, I और A) को विषम स्थान पर \(\frac{3!}{2!} = 3 \) तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।

2 व्यंजनों (N और D) को 2! तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है = 2 तरीके

इस प्रकार, आवश्यक तरीकों की संख्या = (3) (2) = 6.

∴ विकल्प (b) सही है।

सभी विषम अंकों वाली 4-अंकीय संख्याओं की गणना:

• 4-अंकीय संख्या में प्रत्येक अंक विषम अंक हो सकता है: 1, 3, 5, 7, या 9।
• प्रत्येक अंक के लिए 5 विकल्प हैं क्योंकि 5 विषम अंक उपलब्ध हैं।
• 4-अंकीय संख्या के लिए, हमें स्वतंत्र रूप से 4 स्थानों में से प्रत्येक के लिए एक अंक का चयन करना होगा।
• सभी विषम अंकों वाली 4-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या प्रत्येक अंक के विकल्पों का गुणनफल है।

गणना:

दिया गया है,

प्रत्येक अंक के लिए विकल्प = 5 (क्योंकि अंक 1, 3, 5, 7, 9 हैं)

अंकों की संख्या, n = 4

सभी विषम अंकों वाली 4-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या है,

\(5^4\) = 5 x 5 x 5 x 5 = 625

∴ 625, 4-अंकीय संख्याओं में सभी अंक विषम हैं।

गणना:

(I) पंक्तियों की संख्या (P)

कुल संचय: 8C2 = 28

1, 2, 3 से रेखाएँ: 3C2 = 3 (1 पंक्ति बनती है)

3, 4, 5, 6, 7, 8 से रेखाएँ: 6C2 = 15 (1 पंक्ति बनती है)

सुधार: 28 - (3 - 1) - (15 - 1) = 28 - 2 - 14 = 12

(II) त्रिभुजों की संख्या (Q)

कुल संचय: 8C3 = 56

1, 2, 3 से त्रिभुज: 3C3 = 1 (0 त्रिभुज बनते हैं)

3, 4, 5, 6, 7, 8 से त्रिभुज: 6C3 = 20 (0 त्रिभुज बनते हैं)

सुधार: 56 - 1 - 20 = 35

(III) चतुर्भुजों की संख्या (R)

{1, 2} में से 2 तथा {4, 5, 6, 7, 8} में से 2 चुनें। (बिंदु 3 का उपयोग नहीं है)

⇒ 2C2 × 5C2 = 1 × 10 = 10 

(IV) वृत्तों की संख्या (S)

कुल संचय: 8C3 = 56

समरेखीय संचय: 3C3 = 1 और 6C3 = 20

सुधार: 56 - 1 - 20 = 35

(I) → R, (II) → Q, (III) → S, (IV) → Q 

अतः विकल्प 2 सही है। 

संकल्पना:

एक समरूप वस्तु से चयन के तरीकों की संख्या 1 है। 

गणना:

इससे कोई फर्क नहीं पड़ता है कि आप कौन-से दो गेंदों का चयन करते हैं, आपको हर बार समान चयन प्राप्त होगा। क्योंकि गेंद समरूप हैं। 

अतः दो गेंदों के चयन के तरीकों की संख्या एक होगी। 

दिया हुआ है:

3 अंक संख्या बनाने के लिए अंक हैं 5, 6, 7, 8, 9 

गणना:

आइए हम क्रमशः 3 अंक की संख्या को सै द इ (सैकड़ा, दहाई, इकाई अंक) के रूप में लिखते हैं

3 अंकों की संख्या को विषम बनाने के लिए

5, 7, 9 अंक केवल संभवतः इकाई स्थान में उपयोग किए जाते हैं

सैकड़ा और दहाई स्थान पर सभी 5 अंक संभव हैं

इकाई अंक के लिए तरीकों की संख्या = 3

दहाई अंक के लिए तरीकों की संख्या = 5

सैकड़ा अंक के लिए तरीकों की संख्या = 5

3 अंको की विषम संख्या = 3 × 5 × 5 = 75

∴ 5, 6, 7, 8, 9 अंकों से 3 अंक की 75 विषम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि अंक दोहराया जा सकता है

संकल्पना:

समरूप वस्तु (समान प्रकार) से चयन के तरीकों की संख्या 1 है।

गणना:

इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप किन चार पुस्तकों का चयन करते हैं, आप हर बार एक ही चयन के साथ समाप्त करेंगे। क्योंकि किताबें समान हैं।

इसलिए चार पुस्तकों के चयन के तरीकों की संख्या एक होगी।

अवधारणा:

• ⁿC_r = ⁿC_n-r
• यदि nCx = nCy तो x = y या x + y = n।
• nCr + nCr-1 = n+1Cr।

गणना:

\(\rm \begin{pmatrix} 15\\ 8\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 15\\ 7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \rm n\\ \rm r\end{pmatrix}\)

⇒ 15C8 + 15C7 = nCr

nCr + nCr-1 = n+1Cr का उपयोग करके:

⇒ ​15C8 + 15C8-1 = ¹⁵⁺¹C₈ = nCr

⇒ ​16C8 = nCr

⇒ n = 16 और r = 8

संकल्पना:

क्रमचय: क्रमचय को r चीजों की व्यवस्था के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसे कुल n चीजों में से किया जा सकता है। इसे ⁿP_r द्वारा दर्शाया गया है: \(\left( {{{\rm{\;}}^{\rm{n}}}{{\rm{P}}_{\rm{r}}}{\rm{\;}} = {\rm{\;}}\frac{{{\rm{n}}!}}{{\left( {{\rm{n\;}} - {\rm{\;r}}} \right)!}}} \right)\)

n अलग-अलग वस्तुओं की व्यवस्था एक वृत्त के चारों ओर है, तो व्यवस्थाओं की संख्या (n – 1)! है। 

गणना:

सर्वप्रथम, गोल मेज पर 5 महिलाओं को (5-1)! तरीकों = 4! तरीकों में व्यवस्थित कीजिए। 

अब, महिलाओं के बीच 5 स्थान उत्पन्न होता है। 

जहाँ w1 महिलाओं की स्थिति और X स्थान को दर्शाता है। 

तो महिलाओं के बीच उत्पन्न 5 स्थान पर 3 पुरुष बैठे हैं जो ⁵P₃ तरीकों में बैठ सकते हैं। 

अतः तरीकों की कुल संख्या = 4! × ⁵P₃ = 24 × 60 = 1440 तरीके हैं। 

संकल्पना:

\(\rm ^nC_r = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}\)

गणना:

दिया है कि, नरेश के 10 मित्र हैं, और वह उनमें से 6 को एक पार्टी में आमंत्रित करना चाहता है।

3 विशिष्ट मित्रों को निकालें और शेष = 10 - 3 = 7 मित्रों से 6 मित्रों को आमंत्रित करें।

इसे ⁷C₆ तरीकों से किया जा सकता है
 

इसलिए, आवश्यक तरीकों की संख्या = 7C6

⇒ आवश्यक तरीकों की संख्या = \(\rm \dfrac{7!}{(7-6)!6!}\)

⇒ तरीकों की आवश्यक संख्या = 7

इसलिए, नरेश के 10 मित्र हैं, और वह उनमें से 6 को एक पार्टी में आमंत्रित करना चाहता है। कुल तरीकों की संख्या जिनसे 3 विशिष्ट मित्र कभी पार्टी में नहीं आते हैं = 7

संकल्पना:

गणना का मूलभूत सिद्धांत:

यदि घटना A के होने के लिए m तरीके हैं और प्रत्येक संभावना के अनुरूप घटना B के होने के लिए n तरीके हैं, तो A और B घटनाओं के होने के लिए अलग-अलग संभावनाओं की कुल संख्या हैं:

• या तो केवल घटना A या केवल घटना B = m + n
• दोनों घटना A और घटना B एक साथ = m × n।

गणना:

'हजार' के स्थान को {1 से 9} से किसी भी 9 संख्याओं में से भरा जा सकता है। → 9 तरीके।

चूंकि, अंकों को अलग-अलग होना होता है, इसलिए 'सौ' के स्थान को 9 तरीकों से भरा जा सकता है (0 सहित)। → 9 तरीके।

;दस' के स्थान के लिए। → 8 तरीके।

'इकाइयों' के स्थान के लिए। → 7 तरीके।

चार अंकों को लिखने के संभावित तरीकों की कुल संख्या = 9 × 9 × 8 × 7 = 4536 ।

गणना:

विषम अंक - 1, 3, 5, 7, 9

एक चार अंकों की संख्या जिसमें सभी अंक विषम हैं, पहले स्थान पर 5 विकल्प हैं, और चूंकि अंकों को दोहराया जा सकता है, दूसरे, तीसरे और चौथे स्थान के लिए भी 5 विकल्प हैं।

तो, चार अंकों वाली प्राकृत संख्याओं की संख्या इस प्रकार है कि सभी अंक विषम हैं  = 5 × 5 × 5 × 5 = 625

संकल्पना:

• n अलग-अलग वस्तुओं को व्यवस्थित करने के तरीके = n!
• r समान वस्तुओं और शेष सभी अलग-अलग वस्तुओं वाले n वस्तुओं को व्यवस्थित करने के तरीके = \(\rm n!\over r!\)
• n व्यवस्थित और m व्यवस्थित वस्तुओं को एकसाथ व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या = n! × m!
• n (n > r) के एक समूह से r वस्तुओं का चयन करने के तरीकों की संख्या = nCr 

गणना:

3 स्वर O, I, E हैं। 

तरीकों की आवश्यक संख्या N = 1 स्वर और 3 व्यंजक + 2 स्वर और 2 व्यंजक + 3 स्वर और 1 व्यंजक

⇒ N =  [\(\rm\left(^3C_1×{^3C_3}\right) + \left({^3C_2}×{^3C_2}\right) + \left({^3C_3}×{^3C_1}\right)\)] × 4!

⇒ N = (3 + 9 + 3) × 4!

⇒ N = 15 × 4! शब्द

संकल्पना:

क्रमसंचय: क्रमसंचय को कुल n चीजों से r चीजों की व्यवस्था के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसे \(\rm {\;^n}{P_r}\) द्वारा निरूपित किया जाता है

\(\rm {\;^n}{P_r}\; = \;\frac{{n!}}{{\left( {n\; - \;r} \right)!}}\)

संयोजन: दिए गए n वस्तुओं से r वस्तुओं के चयन की संख्या को \(\rm {\;^n}{C_r}\;\) द्वारा निरूपित किया जाता है

\(\rm {\;^n}{C_r} = \frac{{n!}}{{r!\left( {n\; - \;r} \right)!}}\)

नोट: यदि कोई समस्या वस्तुओं के चयन के तरीकों की संख्या से संबंधित है तो संयोजनों का उपयोग करें।

गणना का मौलिक सिद्धांत:

गुणन का मौलिक सिद्धांत:

मान लीजिए दो कार्य A और B इस प्रकार हैं जिससे कार्य A को m अलग - अलग तरीकों में किया जा सकता है जिसके बाद दूसरे कार्य B को n अलग-अलग तरीकों में किया जा सकता है। तो अनुक्रम में कार्य A और B को पूरा करने के तरीकों की संख्या क्रमशः निम्न दी गयी है: m × n तरीके। 

जोड़ का मौलिक सिद्धांत:

मान लीजिए दो कार्य A और B इस प्रकार हैं जिससे कार्य A को m अलग-अलग तरीकों में किया जा सकता है और कार्य B को n तरीकों में पूरा किया जा सकता है। तो किसी भी दो कार्यों को पूरा करने के तरीकों की संख्या निम्न दी गयी है: (m + n) तरीके। 

किसी शब्द समस्या में सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले संकेत शब्द नीचे दी गई तालिका में दिखाए गए हैं:

गणना :

दिया गया: 6 कोट, 5 बेल्ट और 4 कैप

पहला आदमी 6 कोट में से कोई भी कोट पहन सकता है।

दूसरा आदमी शेष 5 कोटों में से कोई भी कोट पहन सकता है।

तीसरा आदमी शेष 4 कोटों में से कोई भी कोट पहन सकता है।

इसलिए उन तरीकों की संख्या जिसमें 3 पुरुष 6 कोट पहन सकते हैं = 6 × 5 × 4 = 120

इसी तरह,

उन तरीकों की संख्या जिनमें 3 पुरुष 5 बेल्ट पहन सकते हैं = 5 × 4 × 3 = 60

इसी तरह,

उन तरीकों की संख्या जिनमें 3 पुरुष 4 कैप पहन सकते हैं = 4 × 3 × 2 = 24

इसलिए, आवश्यक तरीकों की संख्या = 120 × 60 × 24 = 172800