Matrices MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Matrices - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Jun 14, 2025

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Latest Matrices MCQ Objective Questions

Matrices Question 1:

यदि A=[xyzyzxzxy]

जहाँ x,y,z पूर्णांक है, एक लांबिक आव्यूह है, तो A2 किसके बराबर है?

  1. शून्य आव्यूह
  2. तत्समक आव्यूह
  3. A
  4. -A

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : तत्समक आव्यूह

Matrices Question 1 Detailed Solution

गणना:

दिया गया है,

आव्यूह A को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

A=[xyzyzxzxy]

यह उल्लेख किया गया है कि A एक लांबिक आव्यूह है। इसलिए,

ATA=I

अब, हम A2 की गणना करते हैं:

A2=AA

A2=[xyzyzxzxy][xyzyzxzxy]

चूँकि A लांबिक है, ATA=I है, और इसलिए:

A2=I

∴ A2 = तत्समक आव्यूह (I)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

Matrices Question 2:

यदि A=[122212221] है, तो किसके बराबर है?

  1. I3
  2. 5I3

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 5I3

Matrices Question 2 Detailed Solution

गणना:

दिया गया है,

A=[122212221]

A2=A×A=[122212221]×[122212221]

 

A2=[988898889]

अब 4A

4A=4×[122212221]

4A=[488848884]

इसके अलावा A2 - 4A

A24A=[988898889][488848884]

A24A=[948888889488888894]

A24A=[500050005]

परिणाम को इकाई मैट्रिक्स से संबंधित करें

A24A=5I3

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

Matrices Question 3:

यदि f(θ)=[cosθsinθsinθcosθ]  है, तो (f(π))2 किसके बराबर है?

  1. [1001]
  2. [1111]
  3. [1001]
  4. [1001]

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : [1001]

Matrices Question 3 Detailed Solution

संप्रत्यय:

घूर्णन आव्यूह:

  • यूक्लिडीय समष्टि में घूर्णन करने के लिए एक घूर्णन आव्यूह का उपयोग किया जाता है। यह एक वर्ग आव्यूह है जो एक सदिश समष्टि के घूर्णन का वर्णन करता है।
  • 2D घूर्णन के लिए, आव्यूह इस प्रकार दिया गया है: f(θ)=[cosθsinθsinθcosθ]
  • यहाँ, θ रेडियन में घूर्णन का कोण है।
    • cos θ: घूर्णन कोण की कोज्या को दर्शाता है।
    • sin θ: घूर्णन कोण की ज्या को दर्शाता है।
  • घूर्णन आव्यूह का मुख्य गुण:
    • आव्यूह का परिवर्त आव्यूह इसके व्युत्क्रम के बराबर होता है।
    • आव्यूह का सारणिक हमेशा 1 के बराबर होता है।
  • जब θ = π, घूर्णन आव्यूह बन जाता है: f(π)=[cosπsinπsinπcosπ]=[1001]

 

गणना:

दिया गया है,

θ = π पर घूर्णन आव्यूह:

f(π)=[1001]

(f(π))2 ज्ञात करने के लिए, आव्यूह को स्वयं से गुणा करें:

f(π)×f(π)=[1001]×[1001]

आव्यूह गुणन का उपयोग करने पर:

ऊपर-बाएँ तत्व: (-1)(-1) + (0)(0) = 1

ऊपर-दाएँ तत्व: (-1)(0) + (0)(-1) = 0

नीचे-बाएँ तत्व: (0)(-1) + (-1)(0) = 0

नीचे-दाएँ तत्व: (0)(0) + (-1)(-1) = 1

परिणामी आव्यूह:

f(π)2=[1001]

∴ (f(π))2 तत्समक आव्यूह के बराबर है, जो [1001] है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

Matrices Question 4:

यदि

A=[zyxyxzxzy]

जहाँ x,y,z पूर्णांक है, एक लांबिक आव्यूह है, तो ? का मान क्या है?

  1. 0
  2. 1
  3. 4
  4. 14

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 1

Matrices Question 4 Detailed Solution

गणना:

दिया गया है,

आव्यूह A है:

A=[yxxzxyxyz]

चूँकि A एक लांबिक आव्यूह है, हम जानते हैं कि:

AT=A1ATA=I

यह गुण हमें बताता है कि A लांबिक है, और इसका अर्थ है कि ATA (A के परिवर्त और A का गुणनफल इकाई आव्यूह I के बराबर है, जो है:

ATA=[100010001]

अब, आइए ATA की गणना चरण दर चरण करते हैं। आव्यूह A का परिवर्त, जिसे AT से दर्शाया गया है:

AT=[yzxxxyxyz]

अब, हम AT और A के बीच आव्यूह गुणन करते हैं:

ATA=[yzxxxyxyz][yxxzxyxyz]

यह गुणन करने पर, हमें निम्नलिखित आव्यूह प्राप्त होता है:

ATA=[y2+z2+x2xy+zx+xyxz+yz+x2xy+zx+xyx2+x2+y2xy+xz+yzxz+yz+x2xy+xz+yzx2+y2+z2]

यह आव्यूह इकाई आव्यूह I के बराबर होना चाहिए, जो है:

[100010001]

आव्यूहों के अवयवों की तुलना करके, हमें निम्नलिखित समीकरणों का निकाय प्राप्त होता है:

1. y2+z2+x2=1 2. xy+zx+xy=0 3. xz+yz+x2=1

इस प्रकार, लांबिकता स्थिति से मुख्य परिणाम है:

x2+y2+z2=1

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

Matrices Question 5:

यदि

[x11][123456789][11x]=[45]

तो निम्नलिखित में से कौन-सा x का एक मान है?

  1. -2
  2. -1
  3. 0
  4. 1

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 1

Matrices Question 5 Detailed Solution

गणना:

आव्यूह 1 और आव्यूह 2 को गुणा करें:

 

[x11]×[123456789]=[x+4+72x+5+83x+6+9]

[x+112x+133x+15]

परिणामी आव्यूह को आव्यूह 3 से गुणा करें:

[x+112x+133x+15]×[11x]

=(x+11)1+(2x+13)1+(3x+15)x

(x+11)+(2x+13)+(3x2+15x)

(3x2+18x+24)

परिणाम को 45 के बराबर करें:

(3x2+18x+24=45)

(3x2+18x21=0)

(x2+6x7=0)

 

(x2+7xx7=0)

 

(x=1 या x=7)

चरण 5: सत्यापित करें:

x=1 के लिए, वापस प्रतिस्थापित करें:

(3(1)2+18(1)+24=45)

45 =45

∴ x का सही मान 1 है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

Top Matrices MCQ Objective Questions

यदि A = [2x3x2321415] एक सममित आव्यूह है तो x क्या है?

  1. 3
  2. 6
  3. 8
  4. 0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 6

Matrices Question 6 Detailed Solution

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धारणा:

सममित आव्यूह:

  • यदि आव्यूह A का परावर्त स्वयं आव्यूह A के बराबर हो तो वर्गाकार आव्यूह A को सममित कहा जाता है
  • AT = A या A’ = A

जहां AT या A’ आव्यूह के परावर्त को दर्शाता है

  • एक वर्गाकार आव्यूह A को सममित कहा जाता है यदि aij = aji सभी i और j के लिए
    जहां aij और aji आव्यूह में मौजूद एक तत्व है।

 

गणना:

दिया हुआ:

A एक सममित आव्यूह है

⇒ AT = A या aij = aji

A = [2x3x2321415]

तो सममित आव्यूहों के गुण द्वारा

⇒ a12 = a21

⇒ x – 3 = 3

∴ x = 6

A की कोटि 4 × 3 है, B की कोटि 4 × 5 है और C की कोटि 7 × 3 है, तो (ATB)T C T की कोटि क्या है?

  1. 5 × 3
  2. 4 × 5
  3. 5 × 7
  4. 4 × 3

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 5 × 7

Matrices Question 7 Detailed Solution

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संकल्पना:

  • एक n × p आव्यूह द्वारा एक m × n आव्यूह को गुणा करने के लिए n को समान होना चाहिए, और परिणाम एक m × p आव्यूह है।
  • यदि A कोटि m × n का आव्यूह है तो परिवर्त आव्यूह की कोटि n × m है

गणना:

दिया हुआ:

A की कोटि 4 × 3 है, B की कोटि 4 × 5 है और C की कोटि 7 × 3 है

मूल आव्यूह की पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलकर प्राप्त आव्यूह का परिवर्त।

तो, AT की कोटि 3 × 4 है और CT की कोटि 3 × 7 है

अभी,

ATB = {3 × 4} {4 × 5} = 3 × 5

⇒ ATB की कोटि 3 × 5 है

इसलिए (ATB) T की कोटि 5 × 3 है

अब (ATB) T C T की कोटि= {5 × 3} {3 × 7} = 5 × 7

∴ (ATB) T C T की कोटि 5 × 7 है

यदि A=(4x+22x3x+1) सममित है तो x किसके बराबर है?

  1. 2
  2. 3
  3. -1
  4. 5

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 5

Matrices Question 8 Detailed Solution

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संकल्पना:

सममित आव्यूह: यदि एक आव्यूह का परिवर्त स्वयं के बराबर है तो उस आव्यूह को सममित कहा जाता है। 

या आव्यूह A केवल तभी सममित है यदि गमनागमन सूचकांक अपने घटकों को परिवर्तित नहीं करता है। 

  • A = AT
  • aij = aji

 

गणना:

दिया गया है - A=(4x+22x3x+1)

एक वास्तविक वर्गाकार आव्यूह A = (aijको सममित कहा जाता है, यदि A = AT है। 

जहाँ AT = आव्यूह A का परिवर्त

AT=(42x3x+2x+1)

∴ A = AT

[4x+22x3x+1]=[42x3x+2x+1]

A21 तत्व की तुलना करने पर। 

⇒ x + 2 =2x - 3

⇒ x = 5

यदि A1=[123243316]=adj(A)k तो k = ?

  1. - 25
  2. - 15
  3. 115
  4. इनमें से कोई नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 115

Matrices Question 9 Detailed Solution

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अवधारणा:

एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह A के लिए:

  • A-1 = adj(A)|A|
  • |A-1| = |A|-1 = 1|A|

 

गणना:

A1=[123243316]=adj(A)k         -----(1)

आव्यूह के व्युत्क्रम की परिभाषा से, 

A-1 = adj(A)|A|              -----(2)

समीकरण (1) और (2) की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं

k = |A|  

आव्यूह के व्युत्क्रम के सारणिक के गुणों का उपयोग करके हमारे पास है:

k = |A| = 1|A1|         -----(3)

हम जानते है, 

A.A-1 = I

⇒ |A.A-1| = |I| = 1

⇒ |A| |A-1| = 1

⇒ |A| = 1/ |A-1|       ....(4)

अब,

|A-1| = 1(24 - 3) + 2(9 - 12) + 3(2 - 12) = 21 - 6 - 30 = - 15.

|A-1| = -15

इसलिए, समीकरण (3) से

k = 115

Mistake Pointsध्यान दें, हमारे पास A-1 आव्यूह है, A आव्यूह नहीं। तो k का मान ज्ञात करने के लिए, आपको संबंध |A| = 1/|A-1| का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है

अगर A=[x2 43] और A1=[18112 1649] तो x का मान ज्ञात करें।

  1. 283
  2. 323
  3. 343
  4. 10

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 323

Matrices Question 10 Detailed Solution

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अवधारणा:

A × A-1 = I, जहाँ I तत्समक आव्यूह है

|A| = 1|A1|

गणना:

दिया हुआ: A=[x2 43] और A1=[18112 1649]

|A-1| = 472172=372=124

|A| = 1|A1| = 24

⇒ 3x - 8 = 24

x = 323

यदि A=[14 58] है तो आव्यूह A का ट्रेस क्या है?

  1. 6
  2. 7
  3. 8
  4. 9

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 7

Matrices Question 11 Detailed Solution

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संकल्पना:

एक आव्यूह का ट्रेस:

एक आव्यूह का ट्रेस मुख्य विकर्ण पर तत्वों का योग है। 

ट्रेस केवल वर्ग आव्यूह (n × n) के लिए परिभाषित होता है। 

माना कि A, n × n आव्यूह है। 

tr(A)=n=1nAnn

गणना:

दिया गया है: A=[14 58]

आव्यूह का ट्रेस = मुख्य विकर्ण पर तत्वों का योग

= -1 + 8

= 7

निम्नलिखित प्रश्न पर विचार कीजिए और निर्णय लीजिए कि प्रश्न का उत्तर कौन-से कथन पर्याप्त है।

n का मान ज्ञात कीजिए, यदि 

कथन∶

1. AB = A

2. A=[n921],B=[1001]

  1. केवल 1 पर्याप्त है
  2. केवल 2 पर्याप्त है
  3. या तो 1 या फिर 2  पर्याप्त है
  4. 1 और 2 दोनों पर्याप्त नहीं है

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 1 और 2 दोनों पर्याप्त नहीं है

Matrices Question 12 Detailed Solution

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संकल्पना:

आव्यूह का गुणन:

  • पहले आव्यूह के स्तंभों की संख्या दूसरे आव्यूह की पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए। 
  • परिणाम में पहले आव्यूह के रूप में पंक्तियों की समान संख्या और दूसरे आव्यूह के रूप में स्तंभों की समान संख्या होगी। 
  • एक m × n आव्यूह को n × p आव्यूह से गुणा करने के लिए n को समान होना चाहिए, और परिणाम m × p आव्यूह होता है। 

गणना:

कथन 1 से∶

AB = A

इस कथन से हम कुछ भी ज्ञात नहीं कर सकते हैं।

कथन 2 से∶

A=[n921],B=[1001]

इस कथन से हम कुछ भी ज्ञात नहीं कर सकते हैं।

कथन 1 और 2 को मिलाने पर∶

AB=[(n×1+9×0)(n×0+9×1)(2×1+1×0)(2×0+1×1)]

AB=[n921]

साथ ही, A=[n921]

∴ हम n खा मान ज्ञात नहीं कर सकते हैं।

प्रत्येक प्रविष्टि क्रमशः 0 या 1 के साथ 3 × 3 के सभी संभावित आव्यूहों की संख्या है।

  1. 9
  2. 18
  3. 27
  4. 512

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 512

Matrices Question 13 Detailed Solution

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गणना:

जैसा कि हम जानते हैं कि

3 × 3 की संभावित प्रविष्टियों की संख्या = 9  

और, प्रत्येक प्रविष्टि के दो विकल्प हैं = 0 और 1

अब,

विकल्पों की कुल संख्या = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

⇒ 29

⇒ 512

∴ विकल्पों की कुल संख्या 512 है।

यदि A एक वर्ग आव्यूह इस प्रकार है कि A2 = I, तो A3 + (A + I)2 - 9A - I- A2 कितना होगा?

  1. -10A
  2. 10A
  3. -6A
  4. 6A

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : -6A

Matrices Question 14 Detailed Solution

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अवधारणा:

पहचान आव्यूह के गुण:

यदि A, n × n कोटि का वर्ग आव्यूह है

  • AI = IA = A
  • In = I        (जहाँ n ∈ N)

 

गणना:

दिया हुआ है कि

A2 = I

अब, A3 + (A + I)2 - 9A - I2 - A2

= A2. A + A2 + I2 + 2AI - 9A - I- A2

= I. A + I + I + 2AI - 9A - I - I       [∵ A2 = I और AI = IA = A]

= AI + 2AI - 9A 

= 3AI - 9A

= 3A - 9A

= - 6A

यदि A अनैच्छिक आव्यूह है और I उसी कोटि का इकाई आव्यूह है तो (I - A) (I + A) क्या है?

  1. A
  2. I
  3. 2A
  4. शून्य आव्यूह

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : शून्य आव्यूह

Matrices Question 15 Detailed Solution

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धारणा:

अनैच्छिक आव्यूह:

  • आव्यूह A को अनैच्छिक कहा जाता है यदि A2 = I, जहां I, A के समान कोटि का तत्समक आव्यूह है।
  • अनैच्छिक आव्यूह एक आव्यूह है जो अपने स्वयं के व्युत्क्रम के बराबर होता है। ⇔ A-1 = A

 

गणना:

दिया हुआ है कि A अनैच्छिक आव्यूह है,

⇒ A2 = I

अब

(I − A) (I + A) = I2 – IA + AI − A2 

⇒ I – A + A – I           (∵ A2 = I)

0

∴ (I − A) (I + A) शून्य आव्यूह है।
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