Matrices MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Matrices - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

आव्यूह A को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$A=\left[\begin{array}{ccc}x& y& z\\ y& z& x\\ z& x& y\end{array}\right]$

यह उल्लेख किया गया है कि A एक लांबिक आव्यूह है। इसलिए,

$A^{T}A=I$

अब, हम A² की गणना करते हैं:

$A^2=A\cdot A$

$A^2=\left[\begin{array}{ccc}x& y& z\\ y& z& x\\ z& x& y\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}x& y& z\\ y& z& x\\ z& x& y\end{array}\right]$

चूँकि A लांबिक है, $A^{T}A=I$ है, और इसलिए:

$A^2=I$

∴ A² = तत्समक आव्यूह (I)

गणना:

दिया गया है,

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 2& 1& 2\\ 2& 2& 1\end{array}\right]$

$A^2$ $\Rightarrow A^2=A\times A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 2& 1& 2\\ 2& 2& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 2& 1& 2\\ 2& 2& 1\end{array}\right]$

$\Rightarrow A^2=\left[\begin{array}{ccc}9& 8& 8\\ 8& 9& 8\\ 8& 8& 9\end{array}\right]$

अब 4A $4A$

$\Rightarrow 4A=4\times \left[\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 2& 1& 2\\ 2& 2& 1\end{array}\right]$

$\Rightarrow 4A=\left[\begin{array}{ccc}4& 8& 8\\ 8& 4& 8\\ 8& 8& 4\end{array}\right]$

इसके अलावा A² - 4A $A^2 - 4A$

$\Rightarrow A^2-4A=\left[\begin{array}{ccc}9& 8& 8\\ 8& 9& 8\\ 8& 8& 9\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}4& 8& 8\\ 8& 4& 8\\ 8& 8& 4\end{array}\right]$

$\Rightarrow A^2-4A=\left[\begin{array}{ccc}9-4& 8-8& 8-8\\ 8-8& 9-4& 8-8\\ 8-8& 8-8& 9-4\end{array}\right]$

$\Rightarrow A^2-4A=\left[\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 0& 5& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right]$

परिणाम को इकाई मैट्रिक्स $I_3$ से संबंधित करें

$\Rightarrow A^2-4A=5I_3$

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

संप्रत्यय:

घूर्णन आव्यूह:

• यूक्लिडीय समष्टि में घूर्णन करने के लिए एक घूर्णन आव्यूह का उपयोग किया जाता है। यह एक वर्ग आव्यूह है जो एक सदिश समष्टि के घूर्णन का वर्णन करता है।
• 2D घूर्णन के लिए, आव्यूह इस प्रकार दिया गया है: $f(\theta )=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$
• यहाँ, θ रेडियन में घूर्णन का कोण है।
  • cos θ: घूर्णन कोण की कोज्या को दर्शाता है।
  • sin θ: घूर्णन कोण की ज्या को दर्शाता है।
• घूर्णन आव्यूह का मुख्य गुण:
  • आव्यूह का परिवर्त आव्यूह इसके व्युत्क्रम के बराबर होता है।
  • आव्यूह का सारणिक हमेशा 1 के बराबर होता है।
• जब θ = π, घूर्णन आव्यूह बन जाता है: $f(\pi )=\left[\begin{array}{cc}\cos \pi & \sin \pi \\ -\sin \pi & \cos \pi \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$

गणना:

दिया गया है,

θ = π पर घूर्णन आव्यूह:

$f(\pi )=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$

(f(π))² ज्ञात करने के लिए, आव्यूह को स्वयं से गुणा करें:

$f(\pi )\times f(\pi )=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$

आव्यूह गुणन का उपयोग करने पर:

ऊपर-बाएँ तत्व: (-1)(-1) + (0)(0) = 1

ऊपर-दाएँ तत्व: (-1)(0) + (0)(-1) = 0

नीचे-बाएँ तत्व: (0)(-1) + (-1)(0) = 0

नीचे-दाएँ तत्व: (0)(0) + (-1)(-1) = 1

परिणामी आव्यूह:

$f(\pi {)}^2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

∴ (f(π))² तत्समक आव्यूह के बराबर है, जो $\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$ है।

गणना:

दिया गया है,

आव्यूह A है:

$A=\left[\begin{array}{ccc}y& x& x\\ z& x& y\\ x& y& z\end{array}\right]$

चूँकि A एक लांबिक आव्यूह है, हम जानते हैं कि:

$A^T=A^{-1}\Rightarrow A^{T}A=I$

यह गुण हमें बताता है कि A लांबिक है, और इसका अर्थ है कि $A^{T}A$ (A के परिवर्त और A का गुणनफल इकाई आव्यूह I के बराबर है, जो है:

$A^{T}A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

अब, आइए $A^{T}A$ की गणना चरण दर चरण करते हैं। आव्यूह A का परिवर्त, जिसे $A^T$ से दर्शाया गया है:

$A^T=\left[\begin{array}{ccc}y& z& x\\ x& x& y\\ x& y& z\end{array}\right]$

अब, हम $A^T$ और A के बीच आव्यूह गुणन करते हैं:

$A^{T}A=\left[\begin{array}{ccc}y& z& x\\ x& x& y\\ x& y& z\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}y& x& x\\ z& x& y\\ x& y& z\end{array}\right]$

यह गुणन करने पर, हमें निम्नलिखित आव्यूह प्राप्त होता है:

$A^{T}A=\left[\begin{array}{ccc}{y}^2+z^2+x^2& xy+zx+xy& xz+yz+x^2\\ xy+zx+xy& x^2+x^2+y^2& xy+xz+yz\\ xz+yz+x^2& xy+xz+yz& x^2+y^2+z^2\end{array}\right]$

यह आव्यूह इकाई आव्यूह I के बराबर होना चाहिए, जो है:

$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

आव्यूहों के अवयवों की तुलना करके, हमें निम्नलिखित समीकरणों का निकाय प्राप्त होता है:

इस प्रकार, लांबिकता स्थिति से मुख्य परिणाम है:

$x^2+y^2+z^2=1$

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

गणना:

आव्यूह 1 और आव्यूह 2 को गुणा करें:

$\left[\begin{array}{ccc}x& 1& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}x+4+7& 2x+5+8& 3x+6+9\end{array}\right]$

⇒ $\left[\begin{array}{ccc}x+11& 2x+13& 3x+15\end{array}\right]$

परिणामी आव्यूह को आव्यूह 3 से गुणा करें:

$\left[\begin{array}{ccc}x+11& 2x+13& 3x+15\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ x\end{array}\right]$

$=(x+11)\cdot 1+(2x+13)\cdot 1+(3x+15)\cdot x$

⇒ $(x+11)+(2x+13)+(3x^2+15x)$

⇒ $(3x^2+18x+24)$

परिणाम को 45 के बराबर करें:

$(3x^2+18x+24=45)$

⇒ $(3x^2+18x-21=0)$

$(x^2+6x-7=0)$

$(x^2+7x-x-7=0)$

⇒ $(x=1\text{ या }x=-7)$

चरण 5: सत्यापित करें:

$x=1$ के लिए, वापस प्रतिस्थापित करें:

$(3(1{)}^2+18(1)+24=45)$

45 =45

∴ x का सही मान 1 है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

धारणा:

सममित आव्यूह:

• यदि आव्यूह A का परावर्त स्वयं आव्यूह A के बराबर हो तो वर्गाकार आव्यूह A को सममित कहा जाता है
• A^T = A या A’ = A

जहां AT या A’ आव्यूह के परावर्त को दर्शाता है

• एक वर्गाकार आव्यूह A को सममित कहा जाता है यदि aij = aji सभी i और j के लिए
  जहां a_ij और a_ji आव्यूह में मौजूद एक तत्व है।

गणना:

दिया हुआ:

A एक सममित आव्यूह है

⇒ A^T = A या a_ij = a_ji

A = $\left[\begin{array}{ccc}2& x-3& x-2\\ 3& -2& -1\\ 4& -1& -5\end{array}\right]$

तो सममित आव्यूहों के गुण द्वारा

⇒ a₁₂ = a₂₁

⇒ x – 3 = 3

संकल्पना:

• एक n × p आव्यूह द्वारा एक m × n आव्यूह को गुणा करने के लिए n को समान होना चाहिए, और परिणाम एक m × p आव्यूह है।
• यदि A कोटि m × n का आव्यूह है तो परिवर्त आव्यूह की कोटि n × m है

गणना:

दिया हुआ:

A की कोटि 4 × 3 है, B की कोटि 4 × 5 है और C की कोटि 7 × 3 है

मूल आव्यूह की पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलकर प्राप्त आव्यूह का परिवर्त।

तो, AT की कोटि 3 × 4 है और CT की कोटि 3 × 7 है

अभी,

A^TB = {3 × 4} {4 × 5} = 3 × 5

⇒ A^TB की कोटि 3 × 5 है

इसलिए (A^TB) ^T की कोटि 5 × 3 है

अब (A^TB) ^T C ^T की कोटि= {5 × 3} {3 × 7} = 5 × 7

संकल्पना:

सममित आव्यूह: यदि एक आव्यूह का परिवर्त स्वयं के बराबर है तो उस आव्यूह को सममित कहा जाता है। 

या आव्यूह A केवल तभी सममित है यदि गमनागमन सूचकांक अपने घटकों को परिवर्तित नहीं करता है। 

• A = A^T
• a_ij = a_ji

गणना:

दिया गया है - $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}4& \mathrm{x}+2\\ 2\mathrm{x}-3& \mathrm{x}+1\end{array}\right)$

एक वास्तविक वर्गाकार आव्यूह A = (a_ij) को सममित कहा जाता है, यदि A = A^T है। 

जहाँ A^T = आव्यूह A का परिवर्त

${\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{cc}4& 2\mathrm{x}-3\\ \mathrm{x}+2& \mathrm{x}+1\end{array}\right)$

∴ A = A^T

$\Rightarrow \left[\begin{array}{cc}4& \mathrm{x}+2\\ 2\mathrm{x}-3& \mathrm{x}+1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4& 2\mathrm{x}-3\\ \mathrm{x}+2& \mathrm{x}+1\end{array}\right]$

A₂₁ तत्व की तुलना करने पर। 

⇒ x + 2 =2x - 3

⇒ x = 5

अवधारणा:

एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह A के लिए:

• A-1 = $\frac{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(\mathrm{A})}{|\mathrm{A}|}$
• |A-1| = |A|-1 = $\frac{1}{|\mathrm{A}|}$

गणना:

${\mathrm{A}}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 3\\ 3& 1& 6\end{array}\right]=\frac{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(\mathrm{A})}{\mathrm{k}}$         -----(1)

आव्यूह के व्युत्क्रम की परिभाषा से, 

A-1 = $\frac{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(\mathrm{A})}{|\mathrm{A}|}$              -----(2)

समीकरण (1) और (2) की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं

k = |A|  

आव्यूह के व्युत्क्रम के सारणिक के गुणों का उपयोग करके हमारे पास है:

k = |A| = $\frac{1}{|{\mathrm{A}}^{-1}|}$         -----(3)

हम जानते है, 

A.A-1 = I

⇒ |A.A-1| = |I| = 1

⇒ |A| |A-1| = 1

⇒ |A| = 1/ |A-1|       ....(4)

अब,

|A-1| = 1(24 - 3) + 2(9 - 12) + 3(2 - 12) = 21 - 6 - 30 = - 15.

|A-1| = -15

इसलिए, समीकरण (3) से

k = $-\frac{1}{15}$

Mistake Pointsध्यान दें, हमारे पास A-1 आव्यूह है, A आव्यूह नहीं। तो k का मान ज्ञात करने के लिए, आपको संबंध |A| = 1/|A-1| का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है

अवधारणा:

A × A-1 = I, जहाँ I तत्समक आव्यूह है

|A| = $\frac{1}{|{\mathrm{A}}^{-1}|}$

गणना:

दिया हुआ: $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}x& 2\\ 4& 3\end{array}\right]$ और ${\mathrm{A}}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{8}& \frac{-1}{12}\\ \frac{-1}{6}& \frac{4}{9}\end{array}\right]$

|A^-1| = $\frac{4}{72}-\frac{1}{72}=\frac{3}{72}=\frac{1}{24}$

|A| = $\frac{1}{|{\mathrm{A}}^{-1}|}$ = 24

⇒ 3x - 8 = 24

∴ x = $\frac{32}{3}$

संकल्पना:

एक आव्यूह का ट्रेस:

एक आव्यूह का ट्रेस मुख्य विकर्ण पर तत्वों का योग है। 

ट्रेस केवल वर्ग आव्यूह (n × n) के लिए परिभाषित होता है। 

माना कि A, n × n आव्यूह है। 

$\mathrm{t}\mathrm{r}\left(\mathrm{A}\right)=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{n}}{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}\mathrm{n}}$

गणना:

दिया गया है: $A=\left[\begin{array}{cc}-1& 4\\ 5& 8\end{array}\right]$

आव्यूह का ट्रेस = मुख्य विकर्ण पर तत्वों का योग

= -1 + 8

= 7

संकल्पना:

आव्यूह का गुणन:

• पहले आव्यूह के स्तंभों की संख्या दूसरे आव्यूह की पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए। 
• परिणाम में पहले आव्यूह के रूप में पंक्तियों की समान संख्या और दूसरे आव्यूह के रूप में स्तंभों की समान संख्या होगी। 
• एक m × n आव्यूह को n × p आव्यूह से गुणा करने के लिए n को समान होना चाहिए, और परिणाम m × p आव्यूह होता है। 

गणना:

कथन 1 से∶

AB = A

इस कथन से हम कुछ भी ज्ञात नहीं कर सकते हैं।

कथन 2 से∶

$A=\left[\begin{array}{cc}n& 9\\ 2& 1\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

इस कथन से हम कुछ भी ज्ञात नहीं कर सकते हैं।

कथन 1 और 2 को मिलाने पर∶

$AB=\left[\begin{array}{cc}(n\times 1+9\times 0)& (n\times 0+9\times 1)\\ (2\times 1+1\times 0)& (2\times 0+1\times 1)\end{array}\right]$

$AB=\left[\begin{array}{cc}n& 9\\ 2& 1\end{array}\right]$

साथ ही, $A=\left[\begin{array}{cc}n& 9\\ 2& 1\end{array}\right]$

∴ हम n खा मान ज्ञात नहीं कर सकते हैं।

गणना:

जैसा कि हम जानते हैं कि

3 × 3 की संभावित प्रविष्टियों की संख्या = 9  

और, प्रत्येक प्रविष्टि के दो विकल्प हैं = 0 और 1

अब,

विकल्पों की कुल संख्या = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

⇒ 29

⇒ 512

∴ विकल्पों की कुल संख्या 512 है।

अवधारणा:

पहचान आव्यूह के गुण:

यदि A, n × n कोटि का वर्ग आव्यूह है

• AI = IA = A
• In = I        (जहाँ n ∈ N)

गणना:

दिया हुआ है कि

A2 = I

अब, A3 + (A + I)2 - 9A - I2 - A2

= A2. A + A2 + I2 + 2AI - 9A - I2 - A2

= I. A + I + I + 2AI - 9A - I - I       [∵ A2 = I और AI = IA = A]

= AI + 2AI - 9A 

= 3AI - 9A

= 3A - 9A

= - 6A

धारणा:

अनैच्छिक आव्यूह:

• आव्यूह A को अनैच्छिक कहा जाता है यदि A2 = I, जहां I, A के समान कोटि का तत्समक आव्यूह है।
• अनैच्छिक आव्यूह एक आव्यूह है जो अपने स्वयं के व्युत्क्रम के बराबर होता है। ⇔ A^-1 = A

गणना:

दिया हुआ है कि A अनैच्छिक आव्यूह है,

⇒ A² = I

अब

(I − A) (I + A) = I² – IA + AI − A² 

⇒ I – A + A – I           (∵ A2 = I)

⇒ 0