Triangles MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Triangles - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:
\(\frac{c^{2}}{2|b|}=48 \Rightarrow c^{2}=96|b|.\)

\(-\frac{1}{b}=1 \Rightarrow {b} = -1 \Rightarrow {c}^{2}=96 \)

\(b^{2}+c^{2}=97 \)

इसलिए विकल्प 3 सही उत्तर है।

गणना:

दिए गए शीर्ष A(1, 2) और D(−2, 6), जहाँ AD एक समबाहु त्रिभुज ABC में A से BC पर शीर्षलंब है।

AD की ढलान की गणना करें:

\(m_{AD} = \frac{\,y_D - y_A\,}{\,x_D - x_A\,} = \frac{\,6 - 2\,}{\,-2 - 1\,} = \frac{4}{-3} = -\tfrac{4}{3}.\)

क्योंकि AD ⟂ BC, BC की ढाल, \(m_{BC}\), संतुष्ट करती है

\(m_{AD} \cdot m_{BC} = -1 \;\Longrightarrow\; \Bigl(-\tfrac{4}{3}\Bigr) \,m_{BC} = -1 \;\Longrightarrow\; m_{BC} = \frac{-1}{\, -\tfrac{4}{3}\,} = \tfrac{3}{4}.\)

रेखा BC का समीकरण

\(y - 6 = \tfrac{3}{4}\,(x + 2).\)

\(4(y - 6) = 3(x + 2)\;\Longrightarrow\;4y - 24 = 3x + 6.\)

\(4y - 24 - 3x - 6 = 0 \)

\(\;\Longrightarrow\; -3x + 4y - 30 = 0 \;\Longrightarrow\; 3x - 4y + 30 = 0.\)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

गणना:

दिए गए बिंदु A(1,1), B(0,0), और C(2,0) हैं। कोण समद्विभाजक P (अंतःकेन्द्र) पर मिलते हैं।

भुजा की लंबाई की गणना करें:

\(a = BC = \sqrt{(2 - 0)^{2} + (0 - 0)^{2}} = 2\)

\(b = CA = \sqrt{(1 - 2)^{2} + (1 - 0)^{2}} = \sqrt{2}\)

\(c = AB = \sqrt{(1 - 0)^{2} + (1 - 0)^{2}} = \sqrt{2}\)

इसलिए, \(a + b + c = 2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2 + 2\sqrt{2}.\)

अंतःकेन्द्र सूत्र से,

\(X_{P} \;=\; \frac{a\,x_{A} + b\,x_{B} + c\,x_{C}}{a + b + c} \;=\; \frac{\,2\cdot 1 + \sqrt{2}\cdot 0 + \sqrt{2}\cdot 2\,}{\,2 + 2\sqrt{2}\,} \;=\; \frac{2 + 2\sqrt{2}}{2 + 2\sqrt{2}} \;=\; 1.\)

\(Y_{P} \;=\; \frac{a\,y_{A} + b\,y_{B} + c\,y_{C}}{a + b + c} \;=\; \frac{\,2\cdot 1 + \sqrt{2}\cdot 0 + \sqrt{2}\cdot 0\,}{\,2 + 2\sqrt{2}\,} \;=\; \frac{2}{2 + 2\sqrt{2}} \;=\; \frac{1}{\,1 + \sqrt{2}\,} \;=\; \sqrt{2} \;-\; 1. \)

∴ अंतःकेन्द्र \(P = \bigl(1,\;\sqrt{2} - 1\bigr) \) है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

गणना

\( \tan(60^\circ) = \frac{h}{x} \Rightarrow h = \sqrt{3}x \)

\( \tan(45^\circ) = \frac{h}{b + x} \Rightarrow h = b + x \)

\( h = b + x \Rightarrow \sqrt{3}x = b + x \)

\( x = \frac{b(\sqrt{3} - 1)}{2} \)

\( h = MN = \sqrt{3}x = \left( \frac{3 - \sqrt{3}}{2} \right) b \)

अतः सही उत्तर विकल्प 1 है।

गणना:

उन्नयन कोण हैं:
 

बिंदु P से,\(\theta = 30^\circ \); बिंदु Q से, \(\theta = 45^\circ \); और बिंदु R से, \(\theta = 60^\circ \)

प्रत्येक कोण के लिए स्पर्शज्या सूत्र का उपयोग करने पर:

\( \tan(60^\circ) = \frac{h}{x} \implies h = \sqrt{3}x \)

\( \tan(45^\circ) = \frac{h}{QN} \implies h = QN\)

\( \tan(30^\circ) = \frac{h}{PN} \implies PN = h{\sqrt{3}} \)

आकृति से PN = h + a

\(h+a = h\sqrt3\)

\(h = \frac{a}{\sqrt3 -1} \implies \frac{a \sqrt3 +1}{2}\)

= \((\frac{3 + \sqrt3}{2}) a\)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

अवधारणा:

शीर्ष (x₁, y₁), (x₂, y₂) और (x₃, y₃), वाले एक त्रिभुज के क्षेत्रफल को निम्न समीकरण द्वारा ज्ञात किया जाएगा:

क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} \left |\begin{array}{ccc} \rm x_1&\rm y_1&1\\\rm x_2&\rm y_2& 1\\\rm x_3&\rm y_3&1\end{array}\right|\)

गणना:

यहाँ, शीर्ष (3, 13), (5, -8), और (4, -2) हैं। 

∴ त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} \left |\begin{array}{ccc} \rm 3&\rm 13&1\\\rm 5&\rm -8& 1\\\rm 4&\rm -2&1\end{array}\right|\)

\(=\frac12[3(-8+2)-13(5-4)+1(-10+32)]\)

\(=\frac12|-18-13+22|\)

\(=\frac12|-9|\)

\(=\frac92\) वर्ग इकाई

अतः विकल्प (4) सही उत्तर है। 

विस्तृत विवरण:

जैसा कि हम जानते हैं,

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°

⇒ ∠A + ∠B + 72° + 80° = 360°

⇒ ∠A + ∠B = 360° – 152° = 208°

ΔAOB में,

∠A/2 + ∠B/2 + ∠AOB = 180°

⇒ ∠A/2 + ∠B/2 + ∠AOB = 180°

⇒ ∠AOB = 180° - (∠A + ∠B)/2

⇒ ∠AOB = 180° – 208°/2

∴ ∠AOB = 180° – 104° = 76°

Additional Informationसंक्षिप्त विधि:

जैसा कि हम जानते हैं,

2∠AOB = ∠C + ∠D

⇒ 2∠AOB = 72° + 80°

⇒ ∠AOB = 152°/2 = 76°

दिया गया है:

समकोण त्रिभुज का लम्ब = 8 सेमी

क्षेत्रफल = 20 वर्ग सेमी

उपयोग किया गया सूत्र:

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल = (1/2) × लम्ब × आधार

गणना:

⇒ 20 वर्ग सेमी = (1/2) × 8 × आधार

⇒ आधार = 20/4

⇒ 5 सेमी

∴ आधार की लम्बाई 5 सेमी है।

हल:

दिया गया है, sin θ = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

⇒ \(\theta=\frac{\pi}{4} \)

और cos ϕ = \(\frac{1}{3}\)

⇒ \(\frac{\pi}{3}<\phi <\frac{\pi}{2}\)

इसलिए \(\frac{\pi}{3}+\theta <\phi+\theta <\frac{\pi}{2}+\theta \)

⇒ \(\frac{7\pi}{12} <\phi+\theta <\frac{3\pi}{4} \)

अवधारणा:

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(1\over 2\) × आधार × ऊंचाई

ΔABC का क्षेत्रफल = \(\rm {1\over2} (a \cdot b\cdot sin \ C)\)

गणना:

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(1\over 2\) × आधार × ऊंचाई

= \(1\over 2\) × c × a sin∠CBA

= \(1\over 2\) × 10 cm × 4cm sin 30° 

= 5 × 4 × \(1\over 2\) (sin 30° = \(1\over 2\)के रूप में)

= 10 cm2

संकल्पना:

त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{4}{3}\) × (एक भुजा के रूप में माध्यिका द्वारा गठित त्रिभुज का क्षेत्र)

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल, जिसकी भुजा लंबाइयाँ a, b और c हैं:

\(\rm A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) , जहां 's' त्रिभुज का अर्ध-परिमाप है।

त्रिभुज का अर्ध-परिमाप = s = \(\rm \frac{a+b+c}{2}\)

गणना:

दिया हुआ: एक त्रिभुज के तीन माध्यिकाओं की लंबाई 9 cm, 12 cm और 15 cm है

माना कि एक भुजा के रूप में माध्यिका द्वारा गठित त्रिभुज का अर्ध-परिमाप है

∴ s = \(\rm \frac{9+12+15}{2} = 18\)

अब, एक भुजा के रूप में माध्यिका द्वारा गठित त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\rm \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)

\(=\sqrt{18(18-9)(18-12)(18-15)} \\= \sqrt{18 \times 9\times 6\times 3} \\= 54\)

जैसा कि हम जानते हैं,

त्रिभुज का क्षेत्र = \(\frac{4}{3}\) × (एक भुजा के रूप में माध्यिका द्वारा गठित त्रिभुज का क्षेत्र)

= \(\rm = \frac{4}{3}\times 54 = 72 cm^2\)

गणना:

कोण के आधार पर, 3 प्रकार के त्रिकोण हैं

(i) ऑब्सट्यूड एंगल्ड ट्रेलिंग

(ii) तीव्र कोण वाला त्रिभुज

(iii) समकोण त्रिभुज

 कोण के आधार पर त्रिभुज 3 प्रकार के होते हैं

दिया गया है:

एक वृत्त, एक त्रिभुज के परिगत है जिसकी भुजाएँ 30 सेमी, 40 सेमी और 50 सेमी हैं।

प्रयुक्त अवधारणा:

वृत्त की परिधि = 2πr

गणना:

वर्णित त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज (चूँकि    \(30^2 + 40^2 = 50^2\)) है, जिसे पाइथागोरस त्रिक के रूप में भी जाना जाता है।

एक समकोण त्रिभुज में, परित्रिज्या (त्रिभुज के परिगत वृत्त की त्रिज्या) कर्ण की लंबाई की आधी होती है।

चूँकि कर्ण 50 सेमी है, परिधि 50/2 = 25 सेमी है।

परिगत वृत्त की परिधि 2 × π × 25 सेमी = 50π सेमी है।

∴ विकल्प 4 सही उत्तर है।

दिया है:

यदि O एक ΔABC का लम्बकेन्द्र है, ∠BOC = 100° और ∠AOB = 90°

परिभाषाएँ:

लम्बकेन्द्र एक त्रिभुज के तीनों शीर्ष-लंबों का प्रतिच्छेद बिंदु होता है

यदि ΔABC में, CE और BD शीर्ष-लंब हैं और वे O पर प्रतिच्छेद करते हैं तब,

∠BOC + ∠BAC = 180∘

एक बिंदु के चारों ओर सभी कोणों का योग 360° होता है।

गणना:

प्रश्नानुसार,

∠AOB + ∠BOC + ∠AOC = 360° (पूर्ण कोण)

⇒ 90° + 100° + ∠AOC = 360° 

⇒ ∠AOC = 360° - 190° = 170°

अब,  ∠AOC = 180° – ∠ABC

⇒ ∠ABC = 180° – ∠AOC

⇒ ∠ABC = 180° – 170° = 10°

∴ ∠ABC की माप 10° है।

अवधारणा:

यदि तीन बिंदु A = (x1, y1), B = (x2, y2) और C = (x3, y3) संरेखीय हैं तो Δ ABC का क्षेत्रफल शून्य है यानी \(\frac{1}{2} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}&1\\ {{x_2}}&{{y_2}}&1\\ {{x_3}}&{{y_3}}&1 \end{array}} \right| = 0\)

गणना:

दिया हुआ: बिंदु (x, -1), (2, 1) और (4, 5) संरेखीय हैं

माना कि A = (x, - 1), B = (2, 1) और C = (4, 5)

Δ ABC का क्षेत्रफल ज्ञात करें

जैसा कि हम जानते हैं कि,यदि तीन बिंदु A = (x1, y1), B = (x2, y2) और C = (x3, y3) संरेखीय हैं तो Δ ABC का क्षेत्रफल इसके द्वारा दिया जाता है: \(\frac{1}{2} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}&1\\ {{x_2}}&{{y_2}}&1\\ {{x_3}}&{{y_3}}&1 \end{array}} \right|\)

यहाँ x₁ = x, y₁ = - 1, x₂ = 2, y₂ = 1, x₃ = 4 और y₃ = 5

तो Δ ABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x}}&{{-1}}&1\\ {{2}}&{{1}}&1\\ {{4}}&{{5}}&1 \end{array}} \right|\)

⇒ Δ ABC का क्षेत्रफल = 2 - 2x

∵ बिंदु A, B और C संरेखीय हैं ⇒ ΔABC का क्षेत्रफल = 0

⇒ 2 - 2x = 0

⇒ x = 1

इसलिए, विकल्प C सही उत्तर है।