चतुर्भुज MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Quadrilaterals - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

बिंदु A(1, 2, -1), B(2, 5, -2), और C(4, 4, -3) एक आयत के तीन शीर्ष हैं।

हमें सदिश $AB$ और $BC$ द्वारा निर्मित आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करना है।

सदिश $AB$ की लंबाई:

$\text{Length of AB}=\sqrt{(2-1{)}^2+(5-2{)}^2+(-2-(-1){)}^2}$

$=\sqrt{1^2+3^2+1^2}=\sqrt{11}$

सदिश $BC$ की लंबाई:

$\text{Length of BC}=\sqrt{(4-2{)}^2+(4-5{)}^2+(-3-(-2){)}^2}$

$=\sqrt{2^2+(-1{)}^2+(-1{)}^2}=\sqrt{6}$

आयत का क्षेत्रफल सदिश $AB$ और $BC$ की लंबाइयों का गुणनफल है:

$\text{Area}=\sqrt{11}\times \sqrt{6}=\sqrt{66}$

इसलिए, आयत का क्षेत्रफल $\sqrt{66}$ वर्ग इकाई है।

अतः सही उत्तर विकल्प 3 है।

संप्रत्यय:

लंबवत त्रिभुजों से चतुष्फलक का क्षेत्रफल:

• एक चतुष्फलक में जहाँ किनारे AB, AC और AD परस्पर लंबवत हैं, शीर्ष A के सम्मुख फलक (अर्थात, त्रिभुज BCD) का क्षेत्रफल त्रिभुजों ABC, ACD और ADB के क्षेत्रफलों से संबंधित है।
• ये तीन त्रिभुज समकोण फलक बनाते हैं और उनके क्षेत्रफलों का उपयोग तीन आयामों में पाइथागोरस संबंध का उपयोग करके फलक BCD का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है।

त्रिभुज BCD के क्षेत्रफल का संबंध निम्नवत है,

$\text{Ar}(\mathrm{△}BCD)=\sqrt{\text{Ar}(\mathrm{△}ABC{)}^2+\text{Ar}(\mathrm{△}ACD{)}^2+\text{Ar}(\mathrm{△}ADB{)}^2}$

गणना:

दिया गया है,

$\text{Ar}(\mathrm{△}ABC)=5,\text{Ar}(\mathrm{△}ACD)=6,\text{Ar}(\mathrm{△}ADB)=7$

⇒ $\text{Ar}(\mathrm{△}BCD)=\sqrt{5^2+6^2+7^2}=\sqrt{25+36+49}=\sqrt{110}$

∴ त्रिभुज BCD का क्षेत्रफल $\sqrt{110}$ है, इसलिए सही उत्तर विकल्प 3 है।

व्याख्या:

चूँकि समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, इसलिए विकर्णों का प्रतिच्छेद बिंदु O है

O के निर्देशांक हैं $\frac{2+5}{2},\frac{3+1}{2}=\frac{7}{2},2$

∴ विकल्प (c) सही है

व्याख्या:

समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज में, विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

O, AC और BD का मध्यबिंदु है

तब, $\frac{5+2}{2}=\frac{4+a}{2},\frac{3+b}{2}=\frac{3+1}{2}$

⇒ a = 3, b = 1

⇒ D(a, b) = (3, 1)

∴ विकल्प (d) सही है

व्याख्या:

O, P और R का मध्यबिंदु है

⇒ O = $[\frac{10+2}{2},\frac{14+4}{2}]$ = (6,9)

इसके अलावा, O, S और Q का मध्यबिंदु है।

⇒ O = $(\frac{x+8}{2},\frac{y+12}{2})$

⇒ (6,9) = $(\frac{x+8}{2},\frac{y+12}{2})$

दोनों पक्षों की तुलना करने पर, हमें मिलता है

⇒ $\frac{x+8}{2}=6$

⇒x =4

इसके अलावा

⇒ $\frac{y+12}{2}=9$

⇒ y = 6

इस प्रकार, x + y = 4 + 6 = 10

∴ विकल्प (b) सही है

अवधारणा:

ABCD एक समांतर चतुर्भुज है P, Q, R और S क्रमशः AB, BC, CD और DA के मध्य बिंदु हैं। फिर PR और SQ एक दूसरे को समद्विभाजक करते हैं।

गणना:

मध्य-बिंदु प्रमेय को लागू करना,

$\frac{\mathrm{x}+0}{2}=\frac{5-3}{2}$

⇒ x = 2

$\frac{y-4}{2}=\frac{4+2}{2}$

⇒ y = १०

तो, चौथा निर्देशांक (2, 10) है

संकल्पना:

भुजा a, b, और c वाले त्रिभुज ABC में sine नियम को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है,

$\frac{\sin \mathrm{A}}{\mathrm{a}}=\frac{\sin \mathrm{B}}{\mathrm{b}}=\frac{\sin \mathrm{C}}{\mathrm{c}}$

sin (180 - θ) = sin θ 

गणना:

1. त्रिभुज ABD में, sine नियम का प्रयोग करने पर 

sin θ /AB = sin α / AD

⇒ AD sin θ = AB sin α

इसलिए, यह सही कथन कथन है। 

2. त्रिभुज ABD में, sine नियम का प्रयोग करने पर 

sin θ /AB = sin (180-(θ +α )) / BD

⇒ BD sin θ = AB sin (α + θ)

इसलिए, यह भी सही कथन है। 

अतः विकल्प (3) सही है। 

संकल्पना:

 (${\mathrm{x}}_1,{\mathrm{y}}_1,{\mathrm{z}}_1$) और (${\mathrm{x}}_2,{\mathrm{y}}_2,{\mathrm{z}}_2$) के मध्यबिंदु को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है, M = ($\frac{{\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2}{2},\frac{{\mathrm{y}}_1+{\mathrm{y}}_2}{2},\frac{{\mathrm{z}}_1+{\mathrm{z}}_2}{2}$)

गणना:

माना कि S(x, y, z) आवश्यक बिंदु है। तो विकर्ण QS का मध्यबिंदु

($\frac{\mathrm{x}+4}{2},\frac{\mathrm{y}+3}{2},\frac{\mathrm{z}-2}{2}$) है। 

और PR का मध्यबिंदु निम्न है 

($\frac{-3-5}{2},\frac{2+1}{2},\frac{3+0}{2}$), अर्थात्, ($\frac{-8}{2},\frac{3}{2},\frac{3}{2}$)

लेकिन समांनातर चतुर्भुज के विकर्णों के मध्यबिंदु एक-दूसरे से मेल खाते हैं। 

∴$\frac{\mathrm{x}+4}{2}=\frac{-8}{2},\frac{\mathrm{y}+3}{2}=\frac{3}{2},\frac{\mathrm{z}-2}{2}=\frac{3}{2}$

इसलिए, x = -12, y = 0, और z = 5

आवश्यक बिंदु S(-12, 0, 5) है। 

अतः विकल्प (4) सही है। 

उपयुक्त सूत्र:

दो-बिंदुओं (x1 , y1) और (x2 , y2) का मध्यबिंदु निम्न द्वारा दिया जाता है

$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$

गणना:

दिया गया है कि बिंदु (2, 1) और (4, 3) आयत के विपरीत शीर्ष हैं

A(2, 1) और C(4, 3) का मध्य-बिंदु

= $(\frac{2+4}{2},\frac{1+3}{2})$ = (3, 2)

हम जानते हैं कि एक आयत के विकर्ण का प्रतिच्छेदी बिंदु समान या मध्य बिंदु पर होता है।

इसलिए, बिंदु (3, 2) समीकरण 2x - y = k को संतुष्ट करेगा

⇒ 2(3) - 2 = k

⇒ k = 4

अत: विकल्प 3 सही है।

अतिरिक्त जानकारी 1. बिंदु (x1, y1) से गुजरने वाली ढलान m की रेखा का समीकरण है

(y - y1) = m(x - x1)

2. (x1, y1) और (x2, y2) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण निम्न है

$(y-y_1)=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$

संकल्पना:

समानांतर चतुर्भुज:

• विपरीत भुजाएं और विपरीत कोण एक-दूसरे के बराबर हैं। 
• विकर्ण बराबर नहीं हैं। 

आयत:

• आयत एक समानांतर चतुर्भुज होता है जिसमें प्रत्येक कोण 90° होता है। 
• विकर्ण लम्बाई में बराबर होते हैं। 

विषम कोण:

• यह एक समानांतर चतुर्भुज है जिसमें सभी भुजाएं बराबर होते हैं। 
• विकर्ण लम्बाई में बराबर नहीं होते हैं। 

वर्ग:

• सभी भुजाएं बराबर होती है और प्रत्येक कोण 90° होता है। 
• विकर्ण लम्बाई में बराबर होते हैं। 

दो बिंदुओं (x1, y1) और (x2, y2) के बीच की दूरी को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है,$\sqrt{({\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_1{)}^2+({\mathrm{y}}_2-{\mathrm{y}}_1{)}^2}$

गणना:

माना कि दिए गए बिंदु A(0, 5), B(-2, -2), C(5, 0) और D(7, 7) हैं। तो ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें:

AB, BC, CD, और DA भुजाएं हैं 

AB = $\sqrt{(-2-0{)}^2+(-2-5{)}^2}=\sqrt{(-2{)}^2+(-7{)}^2}=\sqrt{4+49}=\sqrt{53}$ इकाई 

BC = $\sqrt{(5-(-2){)}^2+(0-(-2){)}^2}=\sqrt{(7{)}^2+(2{)}^2}=\sqrt{4+49}=\sqrt{53}$ इकाई 

CD = $\sqrt{(7-5{)}^2+(7-0{)}^2}=\sqrt{(2{)}^2+(7{)}^2}=\sqrt{4+49}=\sqrt{53}$ इकाई 

DA = $\sqrt{(0-7{)}^2+(5-7{)}^2}=\sqrt{(-7{)}^2+(-2{)}^2}=\sqrt{4+49}=\sqrt{53}$ इकाई 

यहाँ, AB = BC = CD = DA = अर्थात् सभी भुजाएं बराबर हैं। 

अब, AC और BD, ABCD के विकर्ण हैं। 

$\mathrm{A}\mathrm{C}=\sqrt{(5-0{)}^2+(0-5{)}^2}=\sqrt{(5{)}^2+(-5{)}^2}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$इकाई

और, $\mathrm{B}\mathrm{D}=\sqrt{(7-(-2){)}^2+(7-(-2){)}^2}=\sqrt{(9{)}^2+(9{)}^2}=\sqrt{81+81}=\sqrt{162}=9\sqrt{2}$इकाई

∴ AC ≠ BD ⇒ विकर्ण लम्बाई में बराबर नहीं होते हैं। 

ABCD में सभी भुजाएं बराबर होते हैं लेकिन विकर्ण बराबर नहीं होते हैं। 

इसलिए, ABCD एक विषम कोण है। 

अतः विकल्प (3) सही है।

दिया गया है:

$\mathrm{a}=⃗\mathrm{i}-2⃗\mathrm{j}+⃗\mathrm{k}$ , $\mathrm{b}=⃗\mathrm{i}+⃗\mathrm{k},\mathrm{c}=2⃗\mathrm{j}-⃗\mathrm{k}$

संकल्पना​:

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है

$=\frac{1}{2}|{\mathrm{d}}_1\times {\mathrm{d}}_2|$

गणना:

हमारे पास है,

$\mathrm{a}=⃗\mathrm{i}-2⃗\mathrm{j}+⃗\mathrm{k}$,  $\mathrm{b}=⃗\mathrm{i}+⃗\mathrm{k},\mathrm{c}=2⃗\mathrm{j}-⃗\mathrm{k}$

तब 

$\mathrm{a}+\mathrm{b}=2⃗\mathrm{i}-2⃗\mathrm{j}+2⃗\mathrm{k}$

$\mathrm{b}+\mathrm{c}=⃗\mathrm{i}+2⃗\mathrm{j}$

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल

$=\frac{1}{2}|(\mathrm{a}+\mathrm{b})\times (\mathrm{b}+\mathrm{c})|$

अब 

$(\mathrm{a}+\mathrm{b})\times (\mathrm{b}+\mathrm{c})=\left[\begin{array}{ccc}⃗i& ⃗j& ⃗k\\ 2& -2& 2\\ 1& 2& 0\end{array}\right]$

$=-4\overrightarrow{\mathrm{i}}+2\overrightarrow{\mathrm{j}}+6\overrightarrow{\mathrm{k}}$

तब क्षेत्रफल है

$=\frac{1}{2}|(\mathrm{a}+\mathrm{b})\times (\mathrm{b}+\mathrm{c})|$

$=\frac{1}{2}\surd (-4{)}^2+(2{)}^2+(6{)}^2$

$=\frac{1}{2}\surd 56$

= √ 14 वर्ग इकाई

अतः विकल्प (4) सही है।

अवधारणा :

माना कि A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) एक Δ ABC के शीर्ष हैं, फिर Δ ABC का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2}\cdot \left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\\ x_3& y_3& 1\end{array}\right|$

गणना:

दिया हुआ: A (0, 0), B (8, 0), C (3, 4), D (11, 4) एक चतुर्भुज ABCD के शीर्ष हैं

यहां, हमें चतुर्भुज ABCD के क्षेत्र को खोजना होगा

चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = ΔABC का क्षेत्रफल + ΔACD का क्षेत्रफल

ΔABC का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं

∵ A (0, 0), B (8, 0), C (3, 4) ΔABC के शीर्ष हैं

जैसा कि हम जानते हैं कि यदि (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) एक Δ ABC के शीर्ष हैं, फिर Δ ABC का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2}\cdot \left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\\ x_3& y_3& 1\end{array}\right|$

⇒ Δ ABC का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2}\cdot \left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 8& 0& 1\\ 3& 4& 1\end{array}\right|$

संकल्पना:

रेखा का समीकरण:

y = mx + c है,

जहाँ m रेखा का ढलान है। 

वर्ग में विकर्ण एक-दूसरे के लंबवत हैं। 

गणना:

दिया गया है,

3x + 2y = 5 वर्ग के एक विकर्ण का समीकरण है। 

माना कि m₁ एक विकर्ण का ढलान है, और m₂ दूसरे विकर्ण का ढलान है। 

⇒2y = - 3x +5

⇒$\mathrm{y}={\displaystyle \frac{-3}{2}}\mathrm{x}+{\displaystyle \frac{5}{2}}$

⇒ m₁ = ${\displaystyle \frac{-3}{2}}$

वर्ग में विकर्ण एक-दूसरे के लंबवत हैं। 

⇒ m1.m2 = -1

⇒m₂ = ${\displaystyle \frac{2}{3}}$

दूसरे विकर्ण का समीकरण निम्न है

 y = m₂x + c

⇒ y = ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ x + c....(1)

चूँकि, दूसरे विकर्ण बिंदु (1, -1) से होकर गुजरता है। इसलिए यह रेखा के समीकरण को संतुष्ट करता है। 

उपरोक्त समीकरण में y = -1 और x = 1 रखने पर

⇒ -1 = ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ + c

⇒ c = ${\displaystyle \frac{-5}{3}}$

समीकरण (1) में c का मान रखने पर 

⇒y = ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ x - ${\displaystyle \frac{5}{3}}$ 

⇒ 3y = 2x - 5

⇒ 2x - 3y = 5 दूसरे विकर्ण का समीकरण है। 

बिंदु (1, -1) किसी वर्ग का एक शीर्ष है। यदि 3x + 2y = 5 वर्ग के किसी एक विकर्ण का समीकरण है, तो दूसरे विकर्ण का समीकरण 2x - 3y = 5 है। 

संकल्पना:

समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

एक त्रिभुज में PQR,  ​$\overrightarrow{\text{PQ}}+\overrightarrow{\text{QR}}+\overrightarrow{\text{RP}}=0$ 

किसी भी सदिश के लिए$\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AB}}=-\overrightarrow{\text{BA}}$

गणना:

दिया गया:​ है  $\overrightarrow{\text{PR}}=\overrightarrow{\text{a}}$ और $\overrightarrow{\text{QS}}=\overrightarrow{\text{b}}$, 

मान लीजिए कि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को O पर काटते हैं 

⇒ $\overrightarrow{\text{PO}}=\overrightarrow{\text{OR}}\text{and}\overrightarrow{\text{QO}}=\overrightarrow{\text{OS}}$  __(1)

(∵ समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।)

जैसे,  $\overrightarrow{\text{PR}}=\overrightarrow{\text{a}}$ और  $\overrightarrow{\text{QS}}=\overrightarrow{\text{b}}$, 

⇒  $\overrightarrow{\text{PO}}+\overrightarrow{\text{OR}}=\overrightarrow{\text{a}}$ और  $\overrightarrow{\text{QO}}+\overrightarrow{\text{OS}}=\overrightarrow{\text{b}}$, __(2)

 (1) और  (2) से,

⇒ $\overrightarrow{\text{PO}}=\overrightarrow{\text{OR}}=\frac{\overrightarrow{\text{a}}}{2}\text{and}\overrightarrow{\text{QO}}=\overrightarrow{\text{OS}}=\frac{\overrightarrow{\text{b}}}{2}$  __(3)

अब त्रिभुज PQO में,

$\overrightarrow{\text{PQ}}$ + $\overrightarrow{\text{QO}}$ + $\overrightarrow{\text{OP}}$ = 0

⇒ $\overrightarrow{\text{PQ}}=-\overrightarrow{\text{QO}}-\overrightarrow{\text{OP}}$

⇒ $\overrightarrow{\text{PQ}}=-\overrightarrow{\text{QO}}+\overrightarrow{\text{PO}}$

समीकरण (3) से मान रखने पर,

⇒ $\overrightarrow{\text{PQ}}=-\frac{\overrightarrow{\text{b}}}{2}+\frac{\overrightarrow{\text{a}}}{2}$

⇒ $\overrightarrow{\text{PQ}}$ = $\frac{\overrightarrow{\text{a}}-\overrightarrow{\text{b}}}{2}$

 ∴ सही विकल्प (4) है।

धारणा:

समानांतर चतुर्भुज के गुण

• एक समानांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को प्रतिच्छेदित करते हैं
• समानांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाएं सर्वांगसम हैं
• समानांतर चतुर्भुज के विपरीत कोण सर्वांगसम हैं

गणना:

एक समानांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को प्रतिच्छेदित करते हैं

माना कि विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु P (x, y) है

तो, P, AC का मध्य-बिंदु है,

$\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)=\left(\frac{-2+4}{2},\frac{-1+3}{2}\right)=\left(1,1\right)$ 

माना कि चौथा शीर्ष D (x_D, y_D) है

P, BD का मध्य बिंदु है,

$\therefore \left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)=\left(1,1\right)=\left(\frac{1+{\mathrm{x}}_{\mathrm{D}}}{2},\frac{0+{\mathrm{y}}_{\mathrm{D}}}{2}\right)$ 

⇒ (x_D, y_D) = (1, 2)

समांतर चतुर्भुज का चौथा शीर्ष D = (1, 2) है