Binomial Theorem MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Binomial Theorem - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

दिया गया है:

⇒ माध्य x = np = 6....(i)

⇒ मानक विचलन = \(\sqrt{npq} = \sqrt2\)...(ii)

(ii) को (i) से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है

⇒ \(\frac{npq}{np} = \frac{2}{6}\)

⇒ q= 1/3

अब

⇒ p = 1 - q = 1- 1/3 = 2/3

(i) से

⇒\(n\times \frac{2}{3} = 6\)

⇒n =9

∴ विकल्प (d) सही है।

व्याख्या:

दिया गया है:

(8 + 3√7) 20 = U + V...(i)

(8 - 3√7) 20 = W...(ii)

⇒ (U + V)W =] (8 + 3√7) 20][(8 - 3√7) 20]

= (64 - 63)²⁰ = 1²⁰ = 1

∴ विकल्प (b) सही है।

व्याख्या:

दिया गया है:

(8 + 3√7) 20 = U + V...(i)

(8 - 3√7) 20 = W...(ii)

यहाँ, 0 < W < 1

अब, समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है

U + V +W = (8 + 3√7) 20 + (8 - 3√7) 20

= 2[²⁰C₀8²⁰+ ²⁰C₂8¹⁸. (3√7 )²+........+(3√7)²⁰

⇒ यह एक सम संख्या है।

इसके अलावा, 0 < V < 1, 0 < W < 1 और U एक पूर्णांक है

इस प्रकार, V + W एक पूर्णांक है

V + W = 1

∴ विकल्प (d) सही है।

व्याख्या:

मान लीजिये p(n) = 7ⁿ - 6n

= (6+1)ⁿ - 6n

= 1+6n +ⁿC₂6² + ⁿC₃6³+.......... 6ⁿ -6n

= 1+ 6²(nC2+ nC3 x 6 +....... 6^n-2)

= 1+ 36(¹⁰⁰C₂ + 100C3 x 6 +........6⁹⁸).....(n =100)

= 1 + 36 k

जहाँ k = (100C2 + 100C3 x 6 +........698)

इस प्रकार जब 7ⁿ - 6n को 36 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 1 होगा

∴ विकल्प (b) सही है

अवधारणा:

द्विपद प्रसार:

• द्विपद प्रमेय का उपयोग \((1 + x)^n\) के रूप के व्यंजकों के प्रसार के लिए किया जाता है।
• \((1 + x)^n\) के प्रसार में सामान्य पद \(T_k = C(n, k) \cdot x^k\) द्वारा दिया जाता है, जहाँ ⁿC_k द्विपद गुणांक है।
• \(x^ 3\) का गुणांक ज्ञात करने के लिए, हम प्रसार से संबंधित पदों की पहचान करते हैं और गुणांक को 35 के बराबर सेट करते हैं।

गणना:

\((1 + x)^p \cdot (1 + x)^q\) के प्रसार को दिया गया है, हमारे पास है:

प्रसार में x³ का गुणांक 35 है।

हम x³ पद के लिए द्विपद प्रसार सूत्र का उपयोग करते हैं

⇒ (p+ q)_c3 = 35 = ⁷C₃

⇒ p+q =7

∴ सही उत्तर विकल्प C है। 

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

\(\rm {T_{\left( {r\; + \;1} \right)}} = \;{\;^n}{C_r} × {x^{n - r}} × {y^r}\)

मध्य पद: मध्य पद n के मान पर आधारित (x + y) n का विस्तार है। 

• यदि n सम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए इसमें केवल एक मध्य पद है अर्थात् \(\rm \left( {\frac{n}{2} + 1} \right){{\rm{\;}}^{th}}\) पद मध्य पद है। 
• यदि n विषम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए दो मध्य पद हैं अर्थात् \(\rm {\left( {\frac{{n\; + \;1}}{2}} \right)^{th}}\;\)और\(\rm {\left( {\frac{{n\; + \;3}}{2}} \right)^{th}}\)दो मध्य पद हैं। 

गणना:

यहाँ, हमें \(\rm \left(2x + \frac 1 x \right)^{8}\) के विस्तार में मध्य पदों को ज्ञात करना है। 

यहाँ n = 8 (n सम संख्या है।)

∴ मध्य पद = \(\rm \left( {\frac{n}{2} + 1} \right) = \left( {\frac{8}{2} + 1} \right) =5th\;term\)

T5 = T (4 + 1) = 8C4 × (2x) (8 - 4) × \(\rm \left(\frac {1}{x}\right)^4\)

T5 =  8C4 × 24

अवधारणा:

(1 + x)n = nC0 × 1(n-0) × x 0+ nC1 × 1(n-1) × x 1 + nC2  × 1(n-2) × x2 + …. + nCn  × 1(n-n) × xn

G.P. का n^वां पद an = arⁿ⁻¹ है

n पदों का योग = s = \(a (r^n-1)\over(r- 1)\); जहाँ r >1

n पदों का योग = s = \(a (1- r^n)\over(1- r)\); जहाँ r <1

गणना:

C(n, 1) + C(n, 2) + _ _ _ _  _ + C(n, n) 

⇒ nC1 + nC2 + ... + nCn 

⇒ nC0 + nC1 + nC2 + ... + nCn - nC0

⇒ (1 + 1)n - nCo 

⇒ 2n - 1 = \(\rm 2^n - 1\over 2-1\) = 1 × \(\rm 2^n - 1\over 2-1\)

G.P योग = a × \(\rm r^n - 1\over r-1\), के साथ इसकी तुलना करना हमें a = 1 और r = 2 मिलता है

∴ 2n - 1 = 1 + 2 + 2² + ... +2^n-1 जो हमें कुल में n पद देगा।

अवधारणा:

\(\rm ^n C_r = {n!\over(r!(n - r)!)}\)

(1 + x)ⁿ = ⁿC₀ × 1^(n-0) × x ⁰+ ⁿC₁ × 1^(n-1) × x ¹ + ⁿC₂  × 1(n-2) × x² + …. + ⁿC_n  × 1(n-n) × xⁿ

गणना:

दिया गया विस्तार (1 + x)²ⁿ है

= ²ⁿC₀ ×1^(2n-0) × x⁰ +  2nC₁ ×1(2n-1) × x¹ + ... +  2nC_2n ×1(2n-2n) × x²ⁿ

पहला पद = 2nC0 ×1 × 1 = 1

अंतिम पद =  2nC_2n ×1 × x²ⁿ = 1 × x²ⁿ = x²ⁿ

⇒ योग = 1 + x²ⁿ

1 का गुणांक = 1, x2n का गुणांक = 1

∴  तो, गुणांकों का योग = 1 + 1 = 2

अवधारणा:

(a + b)n के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया जाता है: Tr + 1 = nCr ⋅ an – r ⋅ br

नोट: (a + b)n के विस्तार में अंत से rवां पद प्रारंभ से [(n + 1) – r + 1] = (n – r + 2)वां पद है।

(a + b)n के विस्तार में मध्य पद \(\left( {\frac{n}{2}\; + \;1} \right)th\) पद है यदि n सम है।

(a + b)n के विस्तार में यदि n विषम है तो दो मध्य पद हैं जो निम्नलिखित हैं:\(\left( {\frac{{n + 1}}{2}} \right)th\;and\;\left( {\frac{{n + 1}}{2} + 1} \right)th\;term\)

गणना:

दिया हुआ: (x + 3)6 

यहाँ, n = 6

∵ n = 6 और यह सम संख्या है।

जैसा कि हम जानते हैं कि (a + b)n के विस्तार में मध्य पद \(\left( {\frac{n}{2}\; + \;1} \right)th\) पद है यदि n सम है।

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

\(\rm {T_{\left( {r\; + \;1} \right)}} = \;{\;^n}{C_r} × {x^{n - r}} × {y^r}\)

मध्य पद: मध्य पद n के मान पर आधारित (x + y) n का विस्तार है। 

• यदि n सम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए इसमें केवल एक मध्य पद है अर्थात् \(\rm \left( {\frac{n}{2} + 1} \right){{\rm{\;}}^{th}}\) पद मध्य पद है। 
• यदि n विषम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए दो मध्य पद हैं अर्थात् \(\rm {\left( {\frac{{n\; + \;1}}{2}} \right)^{th}}\;\)और\(\rm {\left( {\frac{{n\; + \;3}}{2}} \right)^{th}}\)दो मध्य पद हैं। 

गणना:

यहाँ, हमें \(\rm \left(2x + \frac 1 x \right)^{5}\) के विस्तार में मध्य पदों को ज्ञात करना है। 

यहाँ n = 5 (n विषम संख्या है।)

∴ मध्य पद =  \(\rm {\left( {\frac{{n\; + \;1}}{2}} \right)^{th}}\;\)and \(\rm {\left( {\frac{{n\; + \;3}}{2}} \right)^{th}}\) = तीसरा और चौथा

T3 = T (2 + 1) = 5C2 × (2x) (5 - 2) × \(\rm \left(\frac {1}{x}\right)^2\)  और T4 = T (3 + 1) = 5C3 × (2x) (5 - 3) × \(\rm \left(\frac {1}{x}\right)^3\) 

T3 =  5C2 × (2³x) और T4 = 5C3 × 2² × \(\rm \frac 1 x\)

T3 = 80x और  T4 = \(\rm \frac {40}{x}\)

अतः विस्तार का मध्य पद 80x और \(\rm \frac {40}{x}\) है। 

संकल्पना:

(1 + x)n का प्रसरण:

\(\rm (1+x)^n = 1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 +....\)

गणना:

दिया गया है: (1 + x)m के द्विपद प्रसरण में तीसरा पद (-1/8)x² है। 

\(\rm (1+x)^m= 1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}x^2+\frac{m(m-1)(m-2)}{3!}x^3 +....\)

इसलिए, (1 + x)m के द्विपद प्रसरण में तीसरा पद\(\rm \frac{m(m-1)}{2!}x^2\) है। 

\(\rm \frac{m(m-1)}{2!}x^2\) = (-1/8)x²

⇒ \(\rm \frac{m(m-1)}{2}= \frac {-1}{8}\)

⇒ 4m² - 4m + 1 = 0

⇒ (2m - 1)² = 0

⇒ 2m - 1 = 0

∴ m = \(\frac 12\)

धारणा:

सामान्य पद: (x + y)ⁿ के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया जाता है

• \({{\rm{T}}_{\left( {{\rm{r\;}} + {\rm{\;}}1} \right)}} = {\rm{\;}}{{\rm{\;}}^{\rm{n}}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}} \times {{\rm{x}}^{{\rm{n}} - {\rm{r}}}} \times {{\rm{y}}^{\rm{r}}}\)

गणना:

दिया गया विस्तार \({\left( {\sqrt {\rm{x}} + \frac{1}{{3{{\rm{x}}^2}}}} \right)^{10}}\) है

सामान्य पद = \({{\rm{T}}_{\left( {{\rm{r\;}} + {\rm{\;}}1} \right)}} = {\rm{\;}}{{\rm{\;}}^{10}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}} \times {{\rm{x}}^{\frac{{10{\rm{\;}} - {\rm{\;r}}}}{2}}} \times {\left( {\frac{1}{{3{{\rm{x}}^2}}}} \right)^{\rm{r}}} = {\rm{\;}}{{\rm{\;}}^{10}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}} \times {3^{ - {\rm{r}}}} \times {{\rm{x}}^{\frac{{10{\rm{\;}} - 5{\rm{\;r}}}}{2}}}\) 

x से स्वतंत्र पद के लिए x की घात शून्य होनी चाहिए

यानी \(\frac{{10{\rm{\;}} - 5{\rm{\;r}}}}{2} = 0\)

⇒ r = 2

धारणा:

सामान्य पद: (x + y)n के द्विपद विस्तार में सामान्य पद इसके द्वारा दिया जाता है

\({T_{\left( {r\; + \;1} \right)}} = \;{\;^n}{C_r} \times {x^{n - r}} \times {y^r}\)

मध्य पद: (x + y)n के विस्तार में मध्य पद n के मान पर निर्भर करता है।

• यदि n सम है तो (x + y)n के विस्तार में कुल पदों की संख्या n + 1 है। इसलिए केवल एक मध्य पद है यानी \(\left( {\frac{n}{2} + 1} \right){{\rm{\;}}^{th}}\) पद मध्य पद है।

\({T_{\left( {\frac{n}{2}\; + \;1} \right)}} = \;{\;^n}{C_{\frac{n}{2}}} \times {x^{\frac{n}{2}}} \times {y^{\frac{n}{2}}}\)

• यदि n विषम है तो (x + y)n के विस्तार में कुल पदों की संख्या n + 1 है। इसलिए दो मध्य पद हैं यानी \({\left( {\frac{{n\; + \;1}}{2}} \right)^{th}}\)और \({\left( {\frac{{n\; + \;3}}{2}} \right)^{th}}\) दो मध्य पद हैं।

गणना:

यहाँ हमें (2 + 3x)⁴ के द्विपद विस्तार में मध्य पद के गुणांक को खोजना होगा

यहाँ n = 4 (n सम संख्या है)

∴ मध्य पद = \(\left( {\frac{n}{2} + 1} \right) = \left( {\frac{4}{2} + 1} \right) = 3rd\;term\)

T₃ = T _{(2 + 1)} = ⁴C₂ × (2) ^{(4 - 2)} × (3x) ²

T₃ = 6 × 4 × 9x² = 216 x²

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)ⁿ के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया गया है

\(\rm {T_{\left( {r\; + \;1} \right)}} = \;{\;^n}{C_r} \times {x^{n - r}} \times {y^r}\)

(1 + x)ⁿ का विस्तार:

\(\rm (1+x)^n = 1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 +....\)

गणना:

खोजने के लिए: \(\rm (4-5x^2)^{-1/2}\) के विस्तार में x² का गुणांक \(\rm (4-5x^2)^{-1/2} = 4^{-1/2}\left(1-\frac{5}{4}x^2 \right )^{-1/2}\\ \text{As we know}\;\rm (1+x)^n = 1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 +....\\\therefore 4^{-1/2}\left(1-\frac{5}{4}x^2 \right )^{-1/2} = 2^{-1}\left[1 + \left(-\frac{5}{4}x^2 \right ) \times (\frac{-1}{2}) + ... \right ]\)

अब, विस्तार में x² का गुणांक = \(2^{-1} \times \frac{-5}{4} \times \frac{-1}{2} = \frac{5}{16}\)

प्रयुक्त सूत्र:

(1 + x)n  = [nC0 + nC1 x + nC2 x2 + … +nCn xn]

• C0 + C1 + C2 + … + Cn = 2n
• C0 + C2 + C4 + … =  2n-1
• C1 + C3 + C5 + … = 2n-1

गणना:

(1 + x)50  = [50C0 + 50C1 x + 50C2 x2 + … +50Cn x50]    ----(1)

यहाँ, n = 50

उपरोक्त सूत्र का उपयोग करते हुए, गुणांक के विषम पदों का योग है

S = (50C1 + 50C3­ + 50C5 + ……. + 50C49)

⇒ S = 250-1 = 249

∴ गुणांक के विषम पदों का योग = 249