प्रथम 'n' प्राकृत संख्याओं का भारित समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए, जिनका भार संगत संख्या है?

Question

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This question was previously asked in

SSC CGL 2022 Tier-I Official Paper (Held On : 02 Dec 2022 Shift 2)

Answer 1

प्रयुक्त अवधारणा:

1. प्रथम n प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग = \(\frac {n(n +1)(2n +1)}{6}\)

2. n प्राकृत संख्याओं का योग = \(\frac {n(n +1)}{2}\)

गणना:

प्रथम n प्राकृत संख्या = 1, 2, 3, ...., n

उनके संगत भार क्रमशः = 1, 2, 3, .... , n

प्रथम 'n' प्राकृत संख्याओं का भारित समान्तर माध्य

⇒ \(\frac {1 \times 1 + 2 \times 2 +3 \times 3 + ..... + n \times n}{1 + 2 + 3 + .... + n}\)

⇒ \(\frac {1^2 + 2^2 + 3^2 + .... + n^2}{1 + 2 + 3 + .... + n}\)

⇒ \(\frac {\frac {n(n +1)(2n +1)}{6}} {\frac {n(n +1)}{2}}\)

⇒ \(\rm \frac{{(2n + 1)}}{3}\)

∴ प्रथम 'n' प्राकृत संख्याओं का भारित समान्तर माध्य \(\rm \frac{{(2n + 1)}}{3}\) है।