Fourier Transform MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Fourier Transform - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा: फूरियर रूपांतरण सममिती गुण

यदि एक समय-डोमेन फलन $f(t)$ है:

• वास्तविक: इसका कोई काल्पनिक भाग नहीं है

• सम: $f(t) = f(-t)$

तब इसका फूरियर रूपांतरण $F(\omega )$ होगा:

• पूर्णतः वास्तविक

• सम: F(ω)=F(−ω)

🔍 उदाहरण: कोसाइन तरंग

मान लीजिये: f(t) = cos(ω0​t)

• यह वास्तविक है।

• यह सम है, क्योंकि cos(−ω_0​t)=cos(ω_0​t)

फूरियर रूपांतरण cos(ω_0​t) का है: F(ω)=π [δ(ω−ω_0​)+δ(ω+ω_0​)]

यह परिणाम है:

• पूर्णतः वास्तविक (डेल्टा फलनों को शामिल करता है, कोई काल्पनिक घटक नहीं)

• सम क्योंकि यह $\omega =0$ के आसपास सममित है

संकल्पना:

सिंक स्पंद संरूपण का उपयोग आमतौर पर डिजिटल संचार प्रणालियों में आदर्श नाइक्विस्ट स्पंद संरूपण प्राप्त करने के लिए किया जाता है, जिससे अंतरप्रतीक अंतरापृष्ठ (ISI) कम से कम होता है।

सिंक फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: \( \text{sinc}(t) = \frac{\sin(\pi t)}{\pi t} \)

व्याख्या:

सिंक फलन आवृत्ति क्षेत्र में एक आयताकार फलन के व्युत्क्रम फूरियर ट्रांसफॉर्म के रूप में उत्पन्न होता है।

दूसरे शब्दों में, यदि आवृत्ति स्पेक्ट्रम एक पूर्ण आयताकार आकार (आदर्श निम्न-पारद फिल्टर) है, तो इसका समय-क्षेत्र निरूपण एक सिंक फलन है।

निष्कर्ष:

सही उत्तर: विकल्प 4) आयताकार

संप्रत्यय:

फूरिये रूपांतर:

• किसी फलन का फूरिये रूपांतर उसे समय प्रांत से आवृत्ति प्रांत में परिवर्तित करता है।
• यदि f(t) एक समय-प्रांत फलन है, तो इसका फूरिये रूपांतर इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
• \( F(p) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-ipt} dt \)
• गॉसियन फलनों जैसे \(( e^{-t^2/2} )\) के लिए, उनका फूरिये रूपांतर भी गॉसियन होता है।
• \(e^{-t^2/2}\) का फूरिये रूपांतर \(\sqrt{2\pi} e^{-p^2/2} \) है।
• समय प्रांत में t से गुणा करने से आवृत्ति प्रांत में p के संबंध में व्युत्पन्न लेना होता है:
• \( \mathcal{F}[t f(t)] = i \frac{d}{dp}F(p) \)

गणना:

दिया गया है,

मान लीजिए f(t) = t e^−t²⁄2

मान लीजिए F(p) = e^−t²⁄2 का फूरिये रूपांतर = e^−p²⁄2

⇒ t f(t) का फूरिये रूपांतर = i × d/dp (e^−p²⁄2)

⇒ = i × (−p e^−p²⁄2) = −i p e^−p²⁄2

⇒ अब t e^−t²⁄2 = f(t),

इसलिए पूर्ण FT, i × d/dp (F(p)) है। 

⇒ F(p) को स्वयं जोड़ें:

अंतिम परिणाम = (1 + i p) e^{−(p² − 1)/2}

∴ सही फूरिये रूपांतर : \(\rm (1-ip)e^{-ip}e^{-(p^2-1)/2}\) है। 

अवधारणा:

इकाई चरण सिग्नल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\(u(t) = \begin{cases} 1 &{for~t\ge0}\\ 0&{for~t<0} \end{cases}\)

\(\int_{-\infty}^{\infty} |u(t)|~dt=\infty \)

चूंकि इकाई चरण सिग्नल पूरी तरह से समाकलनीय नहीं है, हम मानक सूत्र का उपयोग करके फूरियर रूपांतरण नहीं प्राप्त कर सकते हैं।

इसलिए, हम चिह्न फलन के फूरियर रूपांतरण से शुरू होने वाले इकाई चरण सिग्नल के फूरियर रूपांतरण  को प्राप्त करेंगे।

चिह्न फलन को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है:

\(\) \(sgn(t) = \begin{cases} 1 &{for~t>0}\\ 0&{for~t=0}\\ -1&{for~t<0} \end{cases}\)

\(\int_{-\infty}^{\infty} |sgn(t)|~dt=\infty \)

∴ हम देख सकते हैं कि चिह्न फलन भी पूरी तरह से समाकलनीय नहीं है।

चिह्न फलन के साथ गुणा करके चिह्न फलन को पूरी तरह से समाकलनीय किया जा सकता है।

\(sgn(t)= \mathop {\lim }\limits_{a \to 0 }~[e^{-at}u(t) - e^{at}u(-t)]\)

फूरियर रूपांतरण लेने पर हमें प्राप्त होता है:

\(F[sgn(t)]=\mathop {\lim }\limits_{a \to 0 }~[\frac{1}{a+j\omega}-\frac{1}{a-j\omega}]\)

\(F[sgn(t)]=\mathop {\lim }\limits_{a \to 0 }~[\frac{-2j\omega}{a^2+\omega^2}]\)

\(F[sgn(t)]=\frac{2}{j\omega}\)

अब, इकाई चरण सिग्नल को चिह्न फलन के रूप में निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

\(u(t)=\frac{1+sgn(t)}{2}\)

फूरियर रूपांतरण लेने पर हमें प्राप्त होता है:

\(F[u(t)]=F[\frac{1}{2}]+\frac{1}{2}F[sgn(t)]\)

हम जानते हैं, DC सिग्नल 'A' का फूरियर रूपांतरण इस प्रकार दिया गया है:

\(A \mathop \leftrightarrow \limits^{\;F.T\;} 2\pi A ~\delta(\omega)\)

∴ \(F[u(t)]=2\pi \times \frac{1}{2}\times\delta(\omega)+\frac{1}{2}\times \frac{2}{j\omega}\)

\(F[u(t)]=\pi~ \delta(\omega)+ \frac{1}{j\omega}\)

संकल्पना:

कुछ उभयनिष्ट फूरियर रूपांतर गुणधर्म दर्शाये गए हैं:

यदि X(ω) x(t) का फूरियर रूपांतर है अर्थात x(t) ↔ X(ω), तो

संकल्पना:

एक निरंतर संकेत x(t) का फूरियर रूपांतर इस प्रकार दिया गया है:

\(X\left( \omega \right) = \mathop \smallint \limits_{ - \infty}^{\infty} x(t) ~{e^{ - j\omega t}}~dt \)

विश्लेषण:

दिया हुआ:

x(t) = ej10t को t = -1 से 1 तक परिभाषित किया गया है।

\( X\left( \omega \right) = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 {e^{j10t}}.{e^{ - j\omega t}}dt = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 {e^{j\left( {10 - \omega } \right)t}}dt\)

\(X(\omega) = \left. {\frac{{{e^{j\left( {10 - \omega } \right)t}}}}{{j\left( {10 - \omega } \right)}}} \right|_{ - 1}^1 = \frac{{2\sin \left( {\omega - 10} \right)}}{{\left( {\omega - 10} \right)}} \)

माना कि F(ω), f(t) का फॉरियर रूपांतरण है। 

माना कि F(ω), f(t) का फूरियर रूपांतर है।

संकल्पना:

फॉरियर रूपांतरण:

इसका प्रयोग किसी परिबद्ध इनपुट और परिबाधा आउटपुट (BIBO) सिग्नल की आवृत्ति विश्लेषण के लिए की जाती है। 

किसी फलन x(t) के लिए फॉरियर रूपांतरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

\(X\left( w \right) = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } x\left( t \right){e^{ - jwt}}dt\)

किसी फलन X(w) के लिए व्युत्क्रम फॉरियर रूपांतरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

\(x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } X\left( w \right){e^{jwt}}dw\)

आवृत्ति स्थानांतरण

यदि X(ω) का व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण x(t) है तो

\(X\left( \omega-\omega_0 \right) \leftrightarrow x\left( t \right){e^{j{\omega _0}t}}\)

गणना:

δ (ω) आवेग फलन है जो केवल t = 0 पर मौजूद है

तो इसका व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण निम्न होगा

\(x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } \delta \left( \omega \right){e^{j\omega t}}d\omega\)

\(x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}{e^{j\omega0}}d\omega = \frac{1}{{2\pi }}\)

दिया गया सिग्नल δ(ω – ω0) है

व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण निम्न है

\(x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\mathop \smallint \nolimits_{ - \infty }^\infty \delta \left( {\omega - {\omega _0}} \right){e^{j{\omega _0}t}}d\omega \)

आवेग फलन ω0 पर मौजूद है

हम जानते हैं कि आवेग का क्षेत्रफल 1 होता है।

\(x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}{e^{j{\omega _0}t}}\)

Important Points

डेल्टा फलन एक सामान्यीकृत आवेग है, अर्थात, नमूना संख्या शून्य का मान एक होता है, जबकि अन्य सभी नमूनों का मान शून्य होता है।

इस कारण से, डेल्टा फलन को अक्सर इकाई आवेग कहा जाता है।

δ (t) फूरियर रूपांतरण 1 है।

संकल्पना:

फूरियर रूपांतरण:

\(F.T\left[ {x\left( t \right)} \right] = X\left( ω \right) = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty x\left( t \right){e^{ - jω t}}dt\)

\(I.F.T\left[ {X\left( ω \right)} \right] = x\left( t \right)\)

\(= \frac{1}{{2π }}\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty X\left( ω \right){e^{jω t}}dt\)

फूरियर रूपांतरण के कुछ गुण:

विश्लेषण:

हम जानते हैं कि:

\({x^*}\left[ { + n} \right]\mathop \leftrightarrow \limits^{F.T} {X^*}\left( {{e^{ - j\omega }}} \right) = {X_1}\left( \omega \right)\)

तो,

 \({x^*}\left[ { + n} \right]\mathop \leftrightarrow \limits^{F.T} {X^*}\left( { - \omega } \right) = {X^*}\left( {{e^{ - j\left( { - \omega } \right)}}} \right)\)

\(= {X^*}\left( {{e^{j\omega }}} \right)\)

विकल्प (2) सही है।

अधिक जानकारी:

• वास्तविक सिग्नल का फूरियर रूपांतरण सदैव प्रकृति में सम संयुग्म होता है।
• F.T [वास्तविक और सम सिग्नल] = शुद्ध रूप से वास्तविक और सम।
• F.T [वास्तविक और विषम सिग्नल] = शुद्ध रूप से काल्पनिक और विषम।
• समय डोमेन में स्थानांतरण केवल सिग्नल के फेज वर्णक्रम को परिवर्तित करता है।

हिल्बर्ट परिवर्तन:

एक सिग्नल x(t) के हिल्बर्ट परिवर्तन को निम्न रूप में परिभाषित किया गया है:

\(H\left\{ {x\left( t \right)} \right\} = x\left( t \right)*\frac{1}{{\pi t}}\)

\( = \mathop \smallint \limits_{ = \infty }^\infty x\left( \tau \right) \cdot \frac{1}{{\pi \left( {t - \tau } \right)}}d\tau \)

\( = \frac{1}{\pi }\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty \frac{{x\left( \tau \right)}}{{\left( {t - \tau } \right)}}d\tau \)

हिल्बर्ट परिवर्तन की आवेग प्रतिक्रिया को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

\(h\left( t \right) = \frac{1}{{\pi t}}\)

 t < 0 के लिए h(t) ≠ 0 

इसलिए, प्रणाली गैर-करणीय प्रणाली है। 

• हिल्बर्ट परिवर्तन सिग्नल के डोमेन को परिवर्तित नहीं करता है। 
• x(t) में मौजूद आवृत्ति घटक का परिमाण तब अपरिवर्तित रहता है जब यह प्रणाली से होकर गुजरता है। 
• धनात्मक आवृत्ति घटकों का चरण -π/2 से स्थानांतरित होता है और ऋणात्मक आवृत्ति घटक का चरण +π/2 से स्थानांतरित होता है। 
• एक सिग्नल x(t) और इसका हिल्बर्ट परिवर्तन \({\rm{\hat x}}\left( {\rm{t}} \right)\) एक-दूसरे के आयतीय होते हैं। 

माना कि F(ω), f(t) का फॉरियर रूपांतरण है। 

अवधारणा:

अगर x(t)) में फूरियर रूपांतरण X(ω) है

\(x(t) ↔X(ω) \)

फिर,

\(e^{-at} u(t) ↔\frac {1}{a+jω} \)

साथ ही, असतत-समय संकेत का फूरियर रूपांतरण 1 है, अर्थात

δ(t) ↔ 1

गणना:

\(H(f)=\frac{j3πf}{1+jπf} \)

चूँकि ω = 2πf, उपरोक्त को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\(H(ω)=\frac{j1.5ω}{1+j0.5ω}=\frac{3jω}{2+jω}\)

\(H(ω)=3-\frac{6}{2+jω}\)

उपरोक्त के प्रतिलोम फूरियर रूपांतरण को लेने पर, हम प्राप्त करते हैं:

h(t) = 3δ(t) – 6e-2t 4(t)

अवधारणा :

समय डोमेन में सिग्नल का फूरियर रूपांतरण इस प्रकार दिया गया है:

\(X\left( \omega \right) = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty x\left( t \right){e^{ - j\omega t}}\)

गणना:

F (t) = δ (t) के लिए

\(F\left( \omega \right) = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty \delta \left( t \right){e^{ - j\omega t}} = 1\)

स्पेक्ट्रम का प्रतिनिधित्व इस प्रकार है:

कुछ सामान्य फूरियर रूपांतरण और उनके स्पेक्ट्रम दिखाए गए हैं:

For f(t) = u(t)

\(F\left( \omega \right) = \mathop \smallint \limits_0^\infty u\left( t \right){e^{ - j\omega t}} = \frac{1}{{j\omega }}\)

f(t) = e-tu(t) के लिए

\(F\left( \omega \right) = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty {e^{ - t}}u\left( t \right){e^{ - j\omega t}}dt\)

\( \mathop \smallint \limits_0^\infty {e^{ - t}}{e^{ - j\omega t}}dt = \frac{1}{{1 + j\omega }}\)

इसके अलावा, एक आयताकार पल्स का फूरियर रूपांतरण एक साइन पल्स है, अर्थात

संकल्पना:

कुछ उभयनिष्ट फूरियर रूपांतर गुणधर्म दर्शाये गए हैं:

यदि X(ω) x(t) का फूरियर रूपांतर है अर्थात x(t) ↔ X(ω), तो