Discrete Time Fourier Transform (DTFT) MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Discrete Time Fourier Transform (DTFT) - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

असतत-समय फूरियर रूपांतरण का योग गुण:

असतत समय संकेत x[n] का योग  द्वारा दिया जाता है:

${\int }_{-\pi }^{\pi }|X(e^{j\mathrm{\Omega }}){|}^{2}d\mathrm{\Omega }$ = [π - (-π )] × {1² + 2² + 3² + (-1)² + (-2)² + (-3)²}

${\int }_{-\pi }^{\pi }|X(e^{j\mathrm{\Omega }}){|}^{2}d\mathrm{\Omega }$ = 2π × 28

${\int }_{-\pi }^{\pi }|X(e^{j\mathrm{\Omega }}){|}^{2}d\mathrm{\Omega }=56\pi$

अनंत काल x[n] के सिग्नल का असतत-समय फूरियर रूपांतर निम्न द्वारा दिया गया है

$X\left(\omega \right)=DTFT\left\{x\left[n\right]\right\}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\left[n\right]e^{-j\omega n}$

दिया गया सिग्नल है, x[n] = αⁿ u[n]

$X\left(\omega \right)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }^{n}u\left[n\right]e^{-j\omega n}$

$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\alpha e^{-j\omega }\right)}^n$

$=\frac{1}{1-\alpha e^{-j\omega }}$

धारणा:

एक सिग्नल x(t) एक अवधि T के साथ आवधिक होना कहा जाता है यदि x(t ± T) = x(t)

A cos (ωt + ϕ) के रूप में एक सिग्नल के लिए समय अवधि $T=\frac{2\pi }{\omega }$ है

अवधि T1 और T2 के साथ दो निरंतर-समय सिग्नलों के योग आवधिक होने के लिए गैर-शून्य पूर्णांक a, b ऐसे मौजूद होने चाहिए जैसे कि:

a × T1 = b × T2

गणना:

दिया गया फलन है, $\cos \left[\frac{\pi }{4}\left(t-1\right)\right]$

Time period $T=\frac{2\pi }{\frac{\pi }{4}}=8sec$

संकल्पना:

D.T.F.T

असतत-समय फूरियर रूपांतरण निम्न द्वारा परिभाषित किया गया है

$H\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\omega }\right)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h\left[n\right]e^{-j\omega n}$

x(n) के व्युत्क्रम फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

h1(n) = 1/h(n)

H1(ejω) = 1/H(ejω)

H(ejω) H1(ejω) = 1

असतत-समय अनावधिक संकेतों के लिए असतत फूरियर श्रृंखला का विस्तार असतत-समय फूरियर रूपांतरण देता है। सिग्नल का DTFT 2π की अवधि के साथ आवधिक होता है। इसलिए, सभी जानकारी -π < ω < π में निहित है।

अनुक्रम x(n) का असतत-समय फूरियर रूपांतरण निम्न द्वारा दिया गया है:

$X\left(\omega \right)=\sum _{-\infty }^{\infty }x\left(n\right)e^{-j\omega n}$

जहाँ ω असतत-समय आवृत्ति है। ट्रांसफॉर्म X(ω), x(n) का आवृत्ति-डोमेन विवरण है।

इस प्रकार x(n) और X(ω) फूरियर रूपांतरण जोड़े बनाते हैं।

x(n): असतत अनावधिक

X(ω): आवधिक निरंतर

व्युत्क्रम DTFT जो आवृत्ति डोमेन X(ω) को समय पर पश्च मैप करता है, उसे इस प्रकार दिया गया है:

$x\left(n\right)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\stackrel{\pi }{\int }}X\left(\omega \right)e^{j\omega n}d\omega$

X(ω), आवृत्ति डोमेन प्रतिनिधित्व ω का एक सतत कार्य है जो -∞ से +∞ तक निरंतर अंतराल में कोई भी मान ले सकता है। साथ ही X(ω), 2π अवधि के साथ ω का आवर्त फलन है जो इस प्रकार है:

X(ω + 2π) = X(ω)

अनंत काल x[n] के सिग्नल का असतत-समय फूरियर रूपांतर निम्न द्वारा दिया गया है

$X\left(\omega \right)=DTFT\left\{x\left[n\right]\right\}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\left[n\right]e^{-j\omega n}$

दिया गया सिग्नल है, x[n] = αⁿ u[n]

$X\left(\omega \right)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }^{n}u\left[n\right]e^{-j\omega n}$

$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\alpha e^{-j\omega }\right)}^n$

$=\frac{1}{1-\alpha e^{-j\omega }}$

असतत-समय अनावधिक संकेतों के लिए असतत फूरियर श्रृंखला का विस्तार असतत-समय फूरियर रूपांतरण देता है। सिग्नल का DTFT 2π की अवधि के साथ आवधिक होता है। इसलिए, सभी जानकारी -π < ω < π में निहित है।

अनुक्रम x(n) का असतत-समय फूरियर रूपांतरण निम्न द्वारा दिया गया है:

$X\left(\omega \right)=\sum _{-\infty }^{\infty }x\left(n\right)e^{-j\omega n}$

जहाँ ω असतत-समय आवृत्ति है। ट्रांसफॉर्म X(ω), x(n) का आवृत्ति-डोमेन विवरण है।

इस प्रकार x(n) और X(ω) फूरियर रूपांतरण जोड़े बनाते हैं।

x(n): असतत अनावधिक

X(ω): आवधिक निरंतर

व्युत्क्रम DTFT जो आवृत्ति डोमेन X(ω) को समय पर पश्च मैप करता है, उसे इस प्रकार दिया गया है:

$x\left(n\right)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\stackrel{\pi }{\int }}X\left(\omega \right)e^{j\omega n}d\omega$

X(ω), आवृत्ति डोमेन प्रतिनिधित्व ω का एक सतत कार्य है जो -∞ से +∞ तक निरंतर अंतराल में कोई भी मान ले सकता है। साथ ही X(ω), 2π अवधि के साथ ω का आवर्त फलन है जो इस प्रकार है:

X(ω + 2π) = X(ω)

संकल्पना:

D.T.F.T

असतत-समय फूरियर रूपांतरण निम्न द्वारा परिभाषित किया गया है

$H\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\omega }\right)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h\left[n\right]e^{-j\omega n}$

x(n) के व्युत्क्रम फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

h1(n) = 1/h(n)

H1(ejω) = 1/H(ejω)

H(ejω) H1(ejω) = 1

व्याख्या:

असतत-समय फूरियर रूपांतरण का योग गुण:

असतत समय संकेत x[n] का योग  द्वारा दिया जाता है:

${\int }_{-\pi }^{\pi }|X(e^{j\mathrm{\Omega }}){|}^{2}d\mathrm{\Omega }$ = [π - (-π )] × {1² + 2² + 3² + (-1)² + (-2)² + (-3)²}

${\int }_{-\pi }^{\pi }|X(e^{j\mathrm{\Omega }}){|}^{2}d\mathrm{\Omega }$ = 2π × 28

${\int }_{-\pi }^{\pi }|X(e^{j\mathrm{\Omega }}){|}^{2}d\mathrm{\Omega }=56\pi$

अनंत कालावधि x[n] के सिग्नल का असतत-समय फूरियर रूपांतर निम्न द्वारा दिया गया है:

$X\left(\omega \right)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\left[n\right]e^{-j\omega n}$

सिग्नल x(n) = an u(n) के लिए DTFT होगा:

$X\left(\omega \right)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}^{n}u\left[n\right]e^{-j\omega n}$

चूँकि u[n], n < 0 के लिए शून्य है और n > 0 के लिए एक स्थिरांक 1 है, उपरोक्त संकलन बन जाता है:

$X\left(\omega \right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}^n{e}^{-j\omega n}$

$X\left(\omega \right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(a{e}^{-j\omega n})$    ---(1)

ज्यामितीय श्रृंखला कहती है कि:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{r}^n=\frac{1}{1-r}$ , 0 < r < 1 के लिए

समीकरण (1) को अब इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$X\left(\omega \right)=\frac{1}{1-a{e}^{-j\omega }}$    ---(2)

अनुप्रयोग:

दिया गया x[n] = 0.5n u[n], अर्थात a = 0.5

समीकरण (2) का उपयोग करते हुए ऊपर दिए गए अनुक्रम का DTFT होगा:

$X\left(\omega \right)=\frac{1}{1-0.5e^{-j\omega }}$

अवधारणा :

यदि सिग्नल f(n) का DTFT ↔ F(ω) तो आवृत्ति स्थानांतरण गुण से

$e^{j{\omega }_{o}n}f\left(n\right)\leftrightarrow F(\omega -{\omega }_o)$

गणना :

दिया गया है, f(n) = {a, b, c, d}

अगर f(n) ↔ F(ω)

तो, $e^{j\pi n}f\left(n\right)\leftrightarrow F(\omega -\pi )$

तो, F(ω - π) का व्युत्क्रम DTFT है

ejπn f(n), यानी

$\Rightarrow {(-1)}^{n}f\left(n\right)=\{f\left(0\right),(-1)f\left(1\right),f\left(2\right),(-1)f\left(3\right)\}$

अनंत काल x[n] के सिग्नल का असतत-समय फूरियर रूपांतर निम्न द्वारा दिया गया है

$X\left(\omega \right)=DTFT\left\{x\left[n\right]\right\}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\left[n\right]e^{-j\omega n}$

दिया गया सिग्नल है, x[n] = αⁿ u[n]

$X\left(\omega \right)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }^{n}u\left[n\right]e^{-j\omega n}$

$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\alpha e^{-j\omega }\right)}^n$

$=\frac{1}{1-\alpha e^{-j\omega }}$

संकल्पना:

N बिंदु वाला DFT अनुक्रम वृत्ताकार रूप से विषम तब होता है यदि यह वृत्त पर एक बिंदु के चारों ओर प्रति-सममित है अर्थात्

1 ≤ n ≤ N-1 के लिए x[n] = -x[N- n ]

विश्लेषण:

दिया गया है: DFT अनुक्रम x[n] = {0, 5, α , 7, β} और N = 5 है।

यह वृत्ताकार रूप से विषम है, इसलिए

x[n] = - x[N - n], हम निम्न लिख सकते हैं:

x[1] = - x[5 - 1] = x[4] = β = -5

x[2] = - x[5 - 2] = x[3] = α = -7 

विशेष सूचना:

N बिंदु वाला DFT अनुक्रम वृत्ताकार रूप से सम तब होता है, यदि यह वृत्त पर एक बिंदु के चारों ओर सममित होता है अर्थात्

1 ≤ n ≤ N-1 के लिए x[n] = x[N - n]

धारणा:

एक सिग्नल x(t) एक अवधि T के साथ आवधिक होना कहा जाता है यदि x(t ± T) = x(t)

A cos (ωt + ϕ) के रूप में एक सिग्नल के लिए समय अवधि $T=\frac{2\pi }{\omega }$ है

अवधि T1 और T2 के साथ दो निरंतर-समय सिग्नलों के योग आवधिक होने के लिए गैर-शून्य पूर्णांक a, b ऐसे मौजूद होने चाहिए जैसे कि:

a × T1 = b × T2

गणना:

दिया गया फलन है, $\cos \left[\frac{\pi }{4}\left(t-1\right)\right]$

Time period $T=\frac{2\pi }{\frac{\pi }{4}}=8sec$

असतत-समय अनावधिक संकेतों के लिए असतत फूरियर श्रृंखला का विस्तार असतत-समय फूरियर रूपांतरण देता है। सिग्नल का DTFT 2π की अवधि के साथ आवधिक होता है। इसलिए, सभी जानकारी -π < ω < π में निहित है।

अनुक्रम x(n) का असतत-समय फूरियर रूपांतरण निम्न द्वारा दिया गया है:

$X\left(\omega \right)=\sum _{-\infty }^{\infty }x\left(n\right)e^{-j\omega n}$

जहाँ ω असतत-समय आवृत्ति है। ट्रांसफॉर्म X(ω), x(n) का आवृत्ति-डोमेन विवरण है।

इस प्रकार x(n) और X(ω) फूरियर रूपांतरण जोड़े बनाते हैं।

x(n): असतत अनावधिक

X(ω): आवधिक निरंतर

व्युत्क्रम DTFT जो आवृत्ति डोमेन X(ω) को समय पर पश्च मैप करता है, उसे इस प्रकार दिया गया है:

$x\left(n\right)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\stackrel{\pi }{\int }}X\left(\omega \right)e^{j\omega n}d\omega$

X(ω), आवृत्ति डोमेन प्रतिनिधित्व ω का एक सतत कार्य है जो -∞ से +∞ तक निरंतर अंतराल में कोई भी मान ले सकता है। साथ ही X(ω), 2π अवधि के साथ ω का आवर्त फलन है जो इस प्रकार है:

X(ω + 2π) = X(ω)