Discrete Fourier Transform (DFT) and Discrete Fourier Series (DFS) MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Discrete Fourier Transform (DFT) and Discrete Fourier Series (DFS) - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

e-at u(t) के फोरियर ट्रांसफार्म को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

x(t) = e-at u(t)

\(x(j\omega) = {1 \over s+a}\)

यदि x(t) में to का समय-स्थानांतरण होता है, तो फोरियर ट्रांसफार्म निम्न है:

x(t - to) = e-a(t - to) u(t - to)

\(e^{-j\omega}x(j\omega) = {e^{-j\omega} \over s+a}\)

गणना:

दिया गया है, \(x(j\omega) = \frac{e^{-j\omega}}{2+j \omega}\)

e-2t u(t) = \({1\over 2+j \omega}\)

\(e^{-2(t-1)} u(t-1)= \frac{e^{-j\omega}}{2+j \omega}\)

\(\frac{e^{-j\omega}}{2+j \omega}\) का इनवर्स फोरियर ट्रांसफार्म e-2(t-1)(t - 1) है। 

संप्रत्यय: व्युत्क्रम विविक्त समय फूरियर रूपांतरण सूत्र द्वारा दिया गया है

x(n) = \(\frac{1}{{2π }}\int\limits_{ - π }^π { \times \left( {{e^{jw}}} \right)} \,\,{e^{jwn}}\,dw\)

गणना: दिया गया DTFT

अर्थात x(e^jn) = \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\left| \Omega \right| < w} \\ 0&{w\, < \,\,\left| \Omega \right| \leqslant π } \end{array}} \right.\)

व्युत्क्रम DTFT के लिए सूत्र लागू करने पर हमें प्राप्त होता है

x[n] = \(\frac{1}{{2π }}\int\limits_{ - π }^π { \times \left( {{e^{j\Omega }}} \right)} \,\,{e^{j\Omega n}}\,d\Omega \)

= \(\frac{1}{{2π }}\int\limits_{ - w}^w {{e^{j\Omega n}}\,d\Omega } \,\,\)

= \(\frac{{{e^{j\Omega n}}}}{{2π jn}}\int_{ - w}^w {} = \,\frac{{{e^{jwn}} - {e^{ - jwn}}}}{{\left( {2j} \right)π n}}\,\, = \,\,\frac{{\sin \,(wn)}}{{π n}}\)

sinc फलन में परिवर्तित करना:

x[n] = \(\frac{sin(Wn)}{Wn} .\frac{Wn}{πn}\) = \(\frac{{\sin π \frac{{Wn}}{π }}}{{π \,.\frac{{Wn}}{π }}}\,\,.\,\,\frac{{π \frac{{Wn}}{π }}}{{π n}}\)

x [n] = \(\frac{w}{π} sinc(\frac{w}{π}n)\)

अवधारणा:

व्युत्क्रम असतत-समय फूरियर रूपांतरण निम्न द्वारा दिया जाता है:

\(x[n]={1\over N}{\sum_{-π}^{π}}x(\Omega)e^{-j\Omega n}\)

जहाँ, N = एक पूर्ण चक्र की समयावधि

गणना:

दी गई आकृति में -π से +π तक एक पूरा चक्र बनता है। तो, समय अवधि 2π है।

\(x[n]={1\over 2\pi}({-j\over 2}e^{j\Omega_1 n}+{j\over 2}e^{-j\Omega_1 n})\)

\(x[n]={1\over 2\pi}\times {-j\over 2}(e^{j\Omega_1 n}-e^{-j\Omega_1 n})\)

अंश और हर को 2j से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

\(x[n]={2j\over 2\pi}\times {-j\over 2}({e^{j\Omega_1 n}-e^{-j\Omega_1 n}\over 2j})\)

\(\rm x[n]=\frac{1}{2\pi}\sin (\Omega_1n)\)

एक आवधिक फलन x(t) जिसमें अर्ध-तरंग समरूपता के साथ या तो विषम समरूपता या सम समरूपता होती है, उसे चतुर्थांश-तरंग समरूपता कहा जाता है।

गणितीय रूप से, एक आवधिक फलन x(t) को चतुर्थांश तरंग समरूपता कहा जाता है, यदि यह निम्नलिखित शर्त को संतुष्ट करता है:

x(t) = x(-t) या x(t) = -x(-t)

और, x(t) = -x(t ± T/2)

इसलिए विकल्प 1 और 2 दोनों सही हैं।

अतिरिक्त जानकारी

एक तरंग फलन x_T(t) का फूरियर श्रेणी निरूपण है

x_T(t) = a₀ + Σ_{n = 1}^∞(a_ncos(nω₀t) + b_nsin(nω₀t))

जहाँ समय अवधि (-T/2 से T/2) के लिए

a₀ = (2/T)∫_-T/2^T/2 x_T(t)dt

a_n = (2/T)∫_-T/2^T/2 x_T(t)cos(nω₀t)dt

b_n = (2/T)∫_-T/2^T/2 x_T(t)sin(nω₀t)dt

सम सममित तरंग: a₀ ≠ 0, a_n ≠ 0, b_n = 0

विषम सममित तरंग: a₀ = 0, a_n = 0, b_n ≠ 0

अर्ध तरंग समरूपता:

a₀ = 0, a_n = 0 n के लिए सम n और b_n = 0 सभी n के लिए।

a_n ≠ 0 और b_n ≠ 0 n के लिए विषम।

चतुर्थांश-तरंग समरूपता:

यदि आवधिक फलन को सम बनाया जाए, तो

a₀ = 0, b_n = 0 सभी n के लिए और a_n = 0 n के लिए सम

यदि एक चतुर्थांश-तरंग सममित आवधिक फलन को विषम बनाया जाता है,

a₀ = 0, a_n = 0 सभी n के लिए और b_n = 0 n के लिए सम

अवधारणा:

समय डोमेन में सिग्नल का फूरियर रूपांतरण इस प्रकार दिया गया है:

\(X\left( \omega \right) = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty x\left( t \right){e^{ - j\omega t}}\)

फूरियर रूपांतरण का अवकलन गुण:

\(\frac{{d\left[ {f\left( x \right)} \right]}}{{dx}}\;\mathop \longleftrightarrow \limits^{Fourier\;transform} \;j\omega \;F\left( \omega \right)\)

\(xf\left( x \right)\mathop \longleftrightarrow \limits^{Fourier\;transform} \frac{{jd\left[ {F\left( \omega \right)} \right]}}{{d\omega }}\)

विश्लेषण:

माना, x1(t) = te-2tu(t)

\({x_1}\left( {\rm{t}} \right) = {\rm{\;t}}{{\rm{e}}^{ - 2{\rm{t}}}}{\rm{u}}\left( {\rm{t}} \right) \overset{CTFT}{\longleftrightarrow } \;{X_1}\left( \omega \right) = \frac{1}{{{{(2 + j\omega )}^2}}}\)

दिया गया: \(X\left( \omega \right) = \frac{{j\omega }}{{{{\left( {2 + j\omega } \right)}^2}}}\)

\(X\left( \omega \right) = \frac{{j\omega }}{{{{\left( {2 + j\omega } \right)}^2}}} = j\omega {X_1}\left( \omega \right)\)

\(\frac{{dy\left( t \right)}}{{dt}}\; \overset{CTFT}{\longleftrightarrow } \;j\omega Y\left( \omega \right)\)

तो, \(x\left( t \right) = \frac{{d{x_1}\left( t \right)}}{{dt}} = \frac{d}{{dt}}\left[ {t{e^{ - 2t}}u\left( t \right)} \right]\)

= e-2tu(t) – 2te-2tu(t) + te-2tδ (t)

= (1 – 2t)e-2t u(t)    [∵ te-2tδ(t) = 0]

अवधारणा:

परिमित-लंबाई अनुक्रम असतत फूरियर रूपांतरण से व्युत्क्रम असतत फूरियर रूपांतरण द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।

इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\(x\left( n \right) = \frac{1}{N}\mathop \sum \limits_{k = 0}^{N - 1} X\left( k \right){e^{\frac{{j2\pi nk}}{N}}}\)

जहां n = 0, 1, …, N – 1

गणना:

दिया गया क्रम Y(k) = {1, 0, 1, 0} है।

अनुक्रम की लंबाई, N = 4

\(y\left( 0 \right) = \frac{1}{4}\mathop \sum \limits_{k = 0}^3 X\left( k \right){e^{\frac{{j2\pi nk}}{4}}} = \frac{1}{4}\left( {1 + 0 + 1 + 0} \right) = 0.5\)

\(y\left( 1 \right) = \frac{1}{4}\mathop \sum \limits_{k = 0}^3 X\left( k \right){e^{\frac{{j2\pi nk}}{4}}} = \frac{1}{4}\left( {1 + 0 + {e^{i\pi }} + 0} \right) = 0\)

\(y\left( 2 \right) = \frac{1}{4}\mathop \sum \limits_{k = 0}^3 X\left( k \right){e^{\frac{{j2\pi nk}}{4}}} = \frac{1}{4}\left( {1 + 0 + {e^{i2\pi }} + 0} \right) = 0.5\)

\(y\left( 3 \right) = \frac{1}{4}\mathop \sum \limits_{k = 0}^3 X\left( k \right){e^{\frac{{j2\pi nk}}{4}}} = \frac{1}{4}\left( {1 + 0 + {e^{i3\pi }} + 0} \right) = 0\)

संकल्पना:

एक वर्गाकार तरंग को निम्न रूप में दर्शाया गया है:

एक वर्गाकार तरंग के लिए मूल आवृत्ति समय काल का प्रतिलोम है, अर्थात

\(f=\frac{1}{T}\)

गणना:

T = 4 msec के साथ, मूल आवृत्ति होगी:

\(f=\frac{1}{4\times 10^{-3}}=250~Hz\)

महत्वपूर्ण लेख: एक वर्गाकार तरंग कई आवृत्तियों का एक संयोजन है, अर्थात

fवर्गाकार = f0 + f1 + f2 + ... + fn

f0 = मूल आवृत्ति

f1, f2, ...fn हारमोनिक हैं, अर्थात मूल आवृत्ति के गुणक

संकल्पना:

दिखाए गए अनुसार N-बिंदु DFT के लिए, गुणन की संख्या:

(M)DFT = N(पंक्तियां) × [N गुणा प्रति पंक्ति]

M(DFT) = N2

^{\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&.. &N\\ 1& ..&.. & .. & .. \\ 1& .. & .. & ..& .. \\ .. &.. & .. & .. & .. \\ N& .. & .. & ..&N \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ .. \\ .. \\ .. \\ N \end{array}} \right]\)}

और एक N-बिंदु FFT के लिए, गुणन की संख्या चरणों की संख्या × गुणा प्रति चरण के बराबर होती है, अर्थात

\({\left( M \right)_{FFT}} = {\log _2}N \times \frac{N}{2}\)

गणना:

(M)DFT = N2 = 256

\({\left( M \right)_{FFT}} = \frac{{16}}{2}{\log _2}\left( {16} \right)\)

\( = \frac{{16}}{2} \times 4 = 32\)

(M)DFT – (M)FFT = 256 – 32 = 224

अवधारणा:

समय डोमेन में संवलन के परिणामस्वरूप आवृत्ति डोमेन में गुणा होता है अर्थात्

दो संकेतों के वृत्ताकार संवलन को प्राप्त करने के लिए हम निम्नलिखित चरणों का पालन कर सकते हैं:

• सबसे पहले, जरूरत पड़ने पर अतिरिक्त शून्य जोड़कर संकेतों की लंबाई को N के बराबर करें।
• दो आव्यूह, एक सिग्नल के चक्रीय रोटेशन का उपयोग करके पहला आव्यूह और दूसरे सिग्नल के साथ दूसरा आव्यूह बनाएं।
• दो आव्यूह को गुणा करें।

गणना:

दिया हुआ:

\(\\{x_1}\left( n \right)=\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ \uparrow \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ {} \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ {} \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ {} \end{array}} \right\};\\{x_2}\left( n \right)=\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ \uparrow \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ {} \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ {} \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ {} \end{array}} \right\}\)

\(y\left( n \right) = {x_1}\left( n \right)\;⊛{x_2}\;\left( n \right)\)

\(= \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ \uparrow \end{array},\;\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ {} \end{array}\;,\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ {} \end{array}\;,\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ {} \end{array}\;} \right\} ⊛\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ \uparrow \end{array},\;\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ {} \end{array},\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ {} \end{array},\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ {} \end{array}\;} \right\}\)

\(y\left( n \right) = \left[ {2\;1\;2\;1} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&4\\ 4&1&2&3\\ 3&4&1&2\\ 2&3&4&1 \end{array}} \right] \)

\(y\left( n \right) = \left\{ {\;\begin{array}{*{20}{c}} {14}\\ \uparrow \end{array},\;\begin{array}{*{20}{c}} {16}\\ {} \end{array},\begin{array}{*{20}{c}} 14\\ {} \end{array},\begin{array}{*{20}{c}} {16}\\ {} \end{array}} \right\}\)

संप्रत्यय:

असतत-समय आवर्ती अनुक्रम का फूरियर श्रेणी निरूपण इस प्रकार दिया गया है:

\(x\left( n \right) = \mathop \sum \limits_{k = 0}^{N - 1} {a_k}{e^{jk{\omega _0}n}}\)

\(x\left( n \right) = \ldots + {a_{ - 1}}{e^{ - j{\omega _0}n}} + {a_1}{e^{j{\omega _0}n}} + \ldots \)

ak = फूरियर श्रेणी गुणांक N द्वारा आवधिक।

ω0 = मूल आवृत्ति।

अनुप्रयोग:

दिया गया अनुक्रम है: \(x\left( n \right) = \cos \frac{\pi }{4}n\)

अनुक्रम \({\omega _0} = \frac{\pi }{4}\) की मूल आवृत्ति

हम जानते हैं कि, \(\cos \theta = \frac{{{e^{j\theta }} + {e^{ - j\theta }}}}{2}\)

अब, हम दिए गए अनुक्रम को इस प्रकार पुनर्लेखित कर सकते हैं

\(x\left( n \right) = \frac{{{e^{\frac{{j\pi }}{4}n}} + {e^{ - \frac{{j\pi }}{4}n}}}}{2}\)

\( = \frac{1}{2}{e^{\frac{{j\pi }}{4}n}} + \frac{1}{2}{e^{\frac{{ - j\pi }}{4}n}}\)

हम लिख सकते हैं \({e^{\frac{{ - j\pi }}{4}n}} = {e^{\frac{{j7\pi }}{4}n}}\)

अब, x(n) बन जाता है

\(x\left( n \right) = \frac{1}{2}{e^{\frac{{j\pi }}{4}n}} + \frac{1}{2}{e^{\frac{{j7\pi }}{4}n}}\)

\(x\left( n \right) = \left\{ { - 1,\;2,\;\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ \uparrow \end{array},\;2,\; - 1,\;3} \right\}\)

\(x\left( n \right)\mathop \leftrightarrow \limits^{DTFT} X\left( \omega \right)\)

\(x\left( n \right) = \frac{1}{{2\pi }}\mathop \smallint \nolimits_{ - \pi }^\pi X\left( \omega \right){e^{ - j\omega n}}d\omega\)

n = 0 पर,

\(x\left( 0 \right) = \frac{1}{{2\pi }}\mathop \smallint \nolimits_{ - \pi }^\pi X\left( \omega \right){e^{ - j\left( 0 \right)n}}d\omega\)

\(2\pi x\left( 0 \right) = \mathop \smallint \nolimits_{ - \pi }^\pi X\left( \omega \right){e^{ - j\left( 0 \right)n}}d\omega\)

\(\therefore \mathop \smallint \nolimits_{ - \pi }^\pi X\left( \omega \right)d\omega = 2\pi x\left( 0 \right)\)

संकल्पना:

1) N बिंदु DFT अनुक्रम वृत्ताकार रूप से सम तब होता है यदि यह वृत्त पर एक बिंदु के चारों ओर सममित होता है अर्थात्

1 ≤ n ≤ N -1 के लिए x[n] = x[N - n]  

2) N बिंदु DFT अनुक्रम वृत्ताकार रूप से विषम तब होता है यदि यह वृत्त पर एक बिंदु के चारों ओर प्रति-सममित होता है अर्थात्

1 ≤ n ≤ N -1 के लिए x[n] = -x[N- n]  

विश्लेषण:

दिया गया है:

DFT अनुक्रम x[n] = {2, 3, 4, 3} और N = 4 

यदि x[n] = x[N - n] है, तो जाँच करने पर हम निम्न लिख सकते हैं:

x[1] = x[4 - 1] = x[3] = 3

x[2] = x[4 - 2] = x[2] = 4

x[3] = x[4 - 3] = x[1] = 3 

अतः यह 4 बिंदु वृत्ताकार रूप से सम है। 

अवधारणा:

N बिंदु DFT अनुक्रम वृत्ताकार रूप से सम है, यदि यह वृत्त पर एक बिंदु के बारे में सममित है अर्थात

x[n] = x[N - n] for 1 ≤ n ≤ N-1

विश्लेषण:

दिया गया है: DFT अनुक्रम x[n] = {4, 3, 2, 1, 2, 3} और N = 6

जाँच की जाती है कि यदि x[n] = x[N - n] हो तो हम लिख सकते हैं:

x[1] = x[6 - 1] = x[5] = 3

x[2] = x[6 - 2] = x[4] = 2

x[3] = x[6 - 3] = x[3] = 1

अत: यह 6 बिन्दु वृत्ताकार सम है।

विशेष लेख:

N बिंदु DFT अनुक्रम वृत्ताकार रूप से विषम है यदि यह वृत्त पर एक बिंदु के बारे में सममित है अर्थात

संकल्पना:

e-at u(t) के फोरियर ट्रांसफार्म को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

x(t) = e-at u(t)

\(x(j\omega) = {1 \over s+a}\)

यदि x(t) में to का समय-स्थानांतरण होता है, तो फोरियर ट्रांसफार्म निम्न है:

x(t - to) = e-a(t - to) u(t - to)

\(e^{-j\omega}x(j\omega) = {e^{-j\omega} \over s+a}\)

गणना:

दिया गया है, \(x(j\omega) = \frac{e^{-j\omega}}{2+j \omega}\)

e-2t u(t) = \({1\over 2+j \omega}\)

\(e^{-2(t-1)} u(t-1)= \frac{e^{-j\omega}}{2+j \omega}\)

\(\frac{e^{-j\omega}}{2+j \omega}\) का इनवर्स फोरियर ट्रांसफार्म e-2(t-1)(t - 1) है। 

DFT: असतत फूरियर रूपांतरण डिजिटल सिग्नल प्रसंस्करण में संख्यात्मक गणना के लिए उपयोग किया जाने वाला प्राथमिक रूपांतरण है।

DFT N असतत-समय के नमूनों को असतत आवृत्ति नमूनों की समान संख्या में बदल देता है और

इसे निम्न रूप में परिभाषित किया जाता है

\(X\left( k \right) = \mathop \sum \limits_{n = 0}^{N - 1} x\left( n \right) \cdot {e^{ - \left( {\frac{{j2\pi nk}}{N}} \right)}}\)

व्युत्क्रम DFT N असतत आवृत्ति नमूनों को असतत समय की समान संख्या में रूपांतरित कर देता है

नमूने।

\(x\left( n \right) = \frac{1}{N}\mathop \sum \limits_{k = 0}^{N - 1} x\left( k \right) \cdot {e^{\frac{{i2\pi nk}}{N}}}\)

x(n) का संयुग्मन गुण x*(n) है

\(DFT\left[ {{x^*}\left( n \right)} \right] = \;\mathop \sum \limits_{n = 0}^{N - 1} {x^*}\left( n \right) \cdot {e^{ - \frac{{j2\pi }}{N}kn}}\)

\(\mathop \sum \limits_{n = 0}^{N - 1} {\left( {x\left( n \right) \cdot {e^{\frac{{j2\pi }}{N}kn}}} \right)^*}\)

\(\mathop \sum \limits_{n = 0}^{N - 1} {\left( {x\left( n \right) \cdot {e^{ - \frac{{j2\pi }}{N}\left( { - k} \right)n}}} \right)^*}\)

\(\mathop \sum \limits_{n = 0}^{N - 1} {\left[ {x\left( n \right) \cdot {e^{ - \frac{{j2\pi }}{N}\left( { - k} \right)n}}} \right]^*}\)

⇒ [X (< - k>N]*

⇒ X* (N – k)