Fourier Series MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Fourier Series - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Jun 13, 2025

पाईये Fourier Series उत्तर और विस्तृत समाधान के साथ MCQ प्रश्न। इन्हें मुफ्त में डाउनलोड करें Fourier Series MCQ क्विज़ Pdf और अपनी आगामी परीक्षाओं जैसे बैंकिंग, SSC, रेलवे, UPSC, State PSC की तैयारी करें।

Latest Fourier Series MCQ Objective Questions

Fourier Series Question 1:

निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है?

  1. समय के सम फलन की त्रिकोणमितीय फूरियर श्रेणी में मात्र डीसी टर्म और साइन टर्म्स होते हैं
  2. समय के विषम फलन की त्रिकोणमितीय फूरियर श्रेणी में मात्र कोसाइन टर्म्स होते हैं
  3. समय के विषम फलन की त्रिकोणमितीय फूरियर श्रेणी में मात्र डीसी टर्म और साइन टर्म्स होते हैं
  4. समय के सम फलन की त्रिकोणमितीय फूरियर श्रेणी में मात्र डीसी टर्म और कोसाइन टर्म्स होते हैं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : समय के सम फलन की त्रिकोणमितीय फूरियर श्रेणी में मात्र डीसी टर्म और कोसाइन टर्म्स होते हैं

Fourier Series Question 1 Detailed Solution

Fourier Series Question 2:

एक फलन x(t) को अर्ध-तरंग विषम समरूपता कहा जाता है यदि:

  1. x(t)=x(t±T2)
  2. x(t)=x(tT4)
  3. x(t)=x(t+T4)
  4. x(t)=x(tT2)
  5.  

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : x(t)=x(t±T2)

Fourier Series Question 2 Detailed Solution

F1 S.B 5.6.20 Pallavi D1

अर्ध-तरंग सम सममिति:

f(t)=f(t±T2)

जहां T आवधिक तरंग की अवधि है

F1 S.B 5.6.20 Pallavi D4

अर्ध-तरंग विषम सममिति:

f(t)=f(t±T2)

F1 S.B 5.6.20 Pallavi D5

इसलिए दिए गए आवर्त फलन में अर्ध-तरंग सममिति होनी चाहिए।

सम फलन सममिति

f(t) = f(-t)

चित्रमय रूप से, तरंगरूप ऊर्ध्वाधर अक्ष (आश्रित अक्ष) के बारे में सममित है जैसा कि दिखाया गया है:

F1 S.B 5.6.20 Pallavi D2

विषम फलन सममिति:

f(t) = -f(-t)

या

f(-t) = -f(t)

ग्राफिक रूप से, तरंग मूल के बारे में सममित है।

F1 S.B 5.6.20 Pallavi D3

Important Points

  • सममिति वाले संकेतों में इसके फूरियर श्रृंखला प्रतिनिधित्व में कोसाइन शब्द होते हैं। इसमें D.C पद हो भी सकता है और नहीं भी, लेकिन साइन पद हमेशा शून्य रहेगा।
  • विषम फलन सममिति में केवल साइन पद होते हैं
  • Half-wave symmetry contains odd harmonics only.

Fourier Series Question 3:

एक आवर्ती अनुक्रम x[ n ] पर विचार कीजिए, जिसमें N अवधि पर फूरियर शृंखला के लिए निरूपित मान है,

x[n] = \(\displaystyle\sum_{k=}\) X(k)ejk(2πN)n

x*[ −n ], के लिए फूरियर शृंखला निरूपण क्या होगा?

  1. X^* (k)
  2. X(k)
  3. X^* (−k)
  4. X(−k)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : X^* (k)

Fourier Series Question 3 Detailed Solution

संकल्पना :

आवर्ती असतत-समय संकेत x[ n ] के लिए फूरियर श्रृंखला द्वारा निरूपित मान है :

x[ n ] = \(\displaystyle\sum_{k=}\) X(k)ejk(2πN)n

संयुग्मन के गुणधर्म के अनुसार : 

x*[−n] = \(\displaystyle\sum_{k=}\)X(k)e-jk(2πN)(-n)

जहां, * संयुग्मन को प्रदर्शित करता है 

x*[ −n ] = X^* ( k )

Additional Information

 असतत-समय संकेत x[ n ] के गुणधर्म  :

गुणधर्म 

असतत समय अनुक्रम 

DTFT

संकेतन 

X( n )

X( ω )

 

X1( n )

X1( ω )

 

X2( n )

X2( ω )

रैखिकता

ax1( n ) + bx2( n )

aX1( ω ) + bX2( ω )

समय स्थानांतरण

X( n – k )

e-jwk X( ω )

आवृत्ति स्थानांतरण

x( n )ejω0n

X( ω – ω)

समय उत्क्रमण 

X( -n )

X( -ω )

आवृत्ति अवकलन

nx( n )

jddw(ω)

समय संवलन 

X1( n ) * x2( n )

X1( ω ) x2( ω )

आवृत्ति संवलन  ( समय क्षेत्र में गुणन 

X1( n ) x2( n )

X1( ω ) * x2( ω )

सहसम्बन्ध

Rx1x2(l)

X1( ω ) x2( -ω )

मॉडुलन के गुणधर्म  

X( n ) cosω0n

12[ X( ω + ω) + X( ω - ω) ]

पर्सिवल का संबंध

n=|x(n)|2

12πππ | X( ω ) |2 dω  

संयुग्मन 

X*( n )

X( -ω )

 

X*( -n )

X*( ω )

समरूपता गुण

xR( n )

Xe( ω )

 

J x1( n )

X0( ω )

 

Xe( n )

XR( ω )

 

X0n

jXI( ω )

Fourier Series Question 4:

निम्नलिखित दो सिग्नलों का कनवल्शन क्या है?

\(\rm x(t)=\left\{\begin{matrix}1,&-1 और h(t) = δ(t + 1) + 2δ(t + 2)

  1. y(t) = x (t + 1) + 2x (t - 2)
  2. y(t) = x (t - 1) + 2x (t + 2)
  3. y(t) = x (t + 1) + 2x (t + 2)
  4. y(t) = x (t - 1) + 2x (t - 2)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : y(t) = x (t + 1) + 2x (t + 2)

Fourier Series Question 4 Detailed Solution

दिया गया सिग्नल

\(\rm x(t)=\left\{\begin{matrix}1,&-1

F1 Madhuri Engineering 10.05.2022 D1

h(t) = δ(t + 1) + 2δ(t + 2)

F1 Madhuri Engineering 10.05.2022 D2

आवेग के कनवल्शन गुण के अनुसार

x(t) ⋆ δ(t - t0) = x(t - t0)

∴ x(t) ⋆ h(t) = x(t) ⋆ [δ(t + 1) + 2δ(t + 2)]

= x(t + 1) + 2x(t + 2)

इसलिए, सही विकल्प (3) है

Fourier Series Question 5:

y(t), आवर्त T वाला एक वास्तविक चर का एक वास्तविक माना फलन है। इसके त्रिकोणमितीय फूरियर श्रेणी प्रसार में आवृत्ति w = 2π, k = 1, 2, .... का कोई पद नहीं है। इसके अतिरिक्त कोई ज्या पद भी विद्यमान नहीं है। तब y(t) समीकरण को संतुष्ट करता है:

  1. y(t) = y(t + T) = y(t + T/2) 
  2. y(t) = y(t – T) = –y(t – T/2)
  3. y(t) = y(t – T) = y(t – T/2)
  4. y(t) = y(T – t) = –y(t – T/2)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : y(t) = y(t – T) = y(t – T/2)

Fourier Series Question 5 Detailed Solution

स्पष्टीकरण:

y(t) के त्रिकोणमितीय फूरियर श्रेणी प्रसार में आवृत्ति w = 2π, k = 1, 2, ... का कोई पद नहीं है और कोई ज्या पद विद्यमान नहीं है।

इसलिए, y(t) = y(-t)

अर्थात, y(t) = y(T - t) (चूँकि y(t) आवर्त T वाले वास्तविक चर का एक वास्तविक-मान फलन है)

साथ ही, संकेतक y(t) में भिन्न हार्मोनिक हैं।

इसलिए, y(t) = y(t – T/2)

अतः y(t) = y(t – T) = y(t – T/2)

विकल्प (3) सत्य है। 

Top Fourier Series MCQ Objective Questions

sgn(cos(t)) के फूरियर श्रृंखला विस्तार में _________ है। जहां sgn साइनम फलन का प्रतिनिधित्व करता है

  1. सम समानता के साथ केवल साइन पद
  2. विषम समानता के साथ केवल साइन पद

  3. विषम समानता के साथ केवल कोसाइन पद
  4. सम समानता के साथ केवल कोसाइन पद

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : विषम समानता के साथ केवल कोसाइन पद

Fourier Series Question 6 Detailed Solution

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अवधारणा:

सम समरूपताएं:

एक सम संकेत का FS विस्तार साइन पद को सन्तुष्ट नहीं करता है

विषम समरूपता:

विषम संकेत के FS विस्तार में केवल साइन पद होता है।

अर्ध तरंग समरूपता:

x(t)=x(t+To2)cn=cn.eJnω0T02

समय स्थानांतरण 

x(tt0)cnejnω0t0

1=eJnω0To2,ωoTo2=π

1 = -eJnπ

1 + (e)n = 0

∴ eπj = -1

1 + (-1)n = 0 -----(1)

समीकरण (1) n = विषम पूर्णांक के लिए संतुष्ट होगा

0 = विषम हार्मोनिक

∴ HWS के FS विस्तार में केवल विषम हार्मोनिक होता है

सम + H.W.S:

⇒ HWS सिग्नल के FS विस्तार में विषम हार्मोनिक के साथ cos पद शामिल हैं।

विषम हार्मोनिक के साथ Cos शर्तें

विषम + H.W.S

विषम H.W.S सिग्नल के F.S विस्तार में विषम हार्मोनिक्स के साथ साइन पद शामिल हैं।

विश्लेषण:

sgn(cost)=1;cost>0=1;cost<0

Gate EE 2015 paper 1 Images-Q35

यह वर्ग तरंग का प्रतिनिधित्व करता है, जो एक सम और अर्ध-तरंग समरूपता फलन है, इसमें सभी विषम हार्मोनिक्स के लिए कोसाइन पद  शामिल हैं।

x(t) = sin2t का चरघातांकीय फूरियर श्रृंखला गुणांक C0 क्या है?

  1. 0
  2. 1/2
  3. -1
  4. 2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 1/2

Fourier Series Question 7 Detailed Solution

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धारणा:

मौलिक अवधि Tके साथ एक आवधिक सिग्नल x(t) की जटिल चरघातांकीय फूरियर श्रृंखला का प्रतिनिधित्व इसके द्वारा दिया जाता है,

x(t)=+Ckejkω0t

जहाँω0=2πT0

अब k का मान रखकर और ऊपरोक्त श्रृंखला का विस्तार करके हम प्राप्त करते हैं-

x(t)=+C2ej2ω0t+C1ejω0t+C0+C1e2ω0t+C2ej2ω0t+

गणना:

x(t)=sin2(t)

x(t)=12cos(2t)2

x(t)=12cos(2t)2     ---- (1)

हम जानते हैं कि, cost=ejt+ejt2

x(t)=12ej2t+ej2t4

x(t)=1214ej2t14ej2t

फूरियर श्रृंखला विस्तार के साथ उपरोक्त समीकरण की तुलना करके

हमें मिला C0=12

सिग्नल x(t) की फूरियर शृंखला गुणांक CK है, तो सिग्नल x(0.5t) + x(t – 0.5) + x(-2t) की फूरियर शृंखला गुणांक क्या होगी?

  1. CK (1 + e-jω0.5k) + C-K
  2. CK (2 + e-jω0.5k) + 0.5 C-K
  3. CK (1 + e-jω0.5k) + CK
  4. CK (2 + e-jω0.5k) + 0.5 CK

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : CK (1 + e-jω0.5k) + C-K

Fourier Series Question 8 Detailed Solution

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समय प्रवर्धन फोरियर श्रृंखला गुणांक को प्रभावित नहीं करेगी।

x (0.5t) → CK

x (t – 0.5) → e-jω0.5k CK

x(-2t) → C-K

दिए गए सिग्नल का फोरियर श्रृंखला गुणांक निम्न है 

CK (1 + e-jω0.5k) + C-K

एक विषम आवधिक फलन की फूरियर श्रृंखला में केवल _______ होता है।

  1. विषम हार्मोनिक्स
  2. सम हार्मोनिक्स
  3. कोसाइन हार्मोनिक्स
  4. साइन हार्मोनिक्स

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : साइन हार्मोनिक्स

Fourier Series Question 9 Detailed Solution

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फोरियर श्रेणी:

अंतराल α < x < α + 2π में फ़लन f(x) के लिए फूरियर श्रृंखला निम्न द्वारा दी गई है

f(x)=ao2+n=1ancosnx+n=1bnsinnx

जहाँ

ao=1παα+2πf(x)dx;an=1παα+2πf(x)cosnxdx;bn=1παα+2πf(x)sinnxdx

एक सम फलन कोई भी फलन f ऐसा होता है कि f(-x) = f(x)

उदाहरण: cos x, sec x, x2, x4, x6 …….., x-2, x-4 ……..

एक विषम फलन कोई फलन f ऐसा होता है कि f(-x) = -f(x)

उदाहरण: sin x, tan x, cosec x, cot x, n, x3 ……., x-1, x-3 ……..

LLf(x)dx={20Lf(x)dx,whenf(x)isanevenfunction0,whenf(x)isanoddfunction

जहाँ f अवधि 2L का एक सम आवधिक फलन है, तो इसकी फुरियर श्रृंखला में केवल कोसाइन (संभवतः स्थिरांक पद शामिल है) पद शामिल है।

f(x)=ao2+n=1ancosnπxL

ao=1LLLf(x)dx=2L0Lf(x)dx

an=1LLLf(x)cosnπxLdx=2L0Lf(x)cosnπxLdx

जब f अवधि 2L का एक विषम आवधिक फलन है, तो इसकी फुरियर श्रृंखला में केवल साइन पद शामिल है। 

f(x)=n=1bnsinnπxL

bn=1LLLf(x)sinnπxLdx=2L0Lf(x)sinnπxLdx

  • दिए गए आवधिक संकेत की समरूपता के आधार पर हम फूरियर श्रृंखला के गुणांकों और दिए गए संकेत में मौजूद हार्मोनिक्स के प्रकार का निष्कर्ष निकाल सकते हैं।
  • फूरियर श्रृंखला के साथ, गैर-साइनसॉइडल आवधिक तरंग को ज्यावक्रीय तरंग में परिवर्तित किया जा सकता है।

नीचे दी गई तालिका समरूपता के अनुरूप फूरियर गुणांक के प्रकार को दर्शाती है।

समरूपता

स्थिति

a0

an

bn

शब्द

सम

x(t) = x(-t)

गैर शून्य

गैर शून्य

शून्य

DC और कोसाइन

विषम

x(t) = - x(-t)

शून्य

शून्य

गैर शून्य

केवल साइन

अर्ध तरंग

x(t)=x(t±T2)

शून्य

शून्य; n सम

गैर शून्य; n विषम

शून्य; n सम

गैर शून्य; विषम

केवल विषम हार्मोनिक्स

 

मौलिक आवृत्ति f0 = π के साथ निम्न संतत काल आवधिक सिग्नल के लिए फूरियर शृंखला गुणांक ज्ञात कीजिए।

x(t)={1.5,0<t<11.5,1<t<2

  1. 3nπ[1cosnπ]
  2. 3(n1)π[1sinnπ]
  3. 3(n1)π[1cosnπ]
  4. 92nπ[2cosnπ]

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 3nπ[1cosnπ]

Fourier Series Question 10 Detailed Solution

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संकल्पना:

माना कि f(x) अवधि 2l के साथ (C, C + 2L) में परिभाषित एक आवधिक फलन है, तो f(x) की फूरियर श्रृंखला निम्न है 

f(x)=a02+n=1[ancosnπxL+bnsinnπxL]

जहाँ फूरियर श्रृंखला गुणांक a0, an, और bn द्वारा ज्ञात किया जाता है a0=1LCC+2Lf(x)dx

an=1LCC+2Lf(x)cosnπxLdx

bn=1LCC+2Lf(x)sinnπxLdx

  • यदि f(x) एक बेजोड़ फलन है, तो केवल bn मौजूद है जहाँ a0 और bn शून्य हैं।
  • यदि f(x) एक सम फलन है, तो a0 और an दोनों मौजूद हैं जहाँ bn शून्य है।

 

गणना:

x(t)={1.5,0<t<11.5,1<t<2        

मौलिक अवधि = 2

दिया गया फलन एक बेजोड़ फलन है और इसलिए केवल bn मौजूद है।

bn=2L0Lx(t)sinnπtLdt

यहाँ L = 1

=21011.5sinnπtdt

=3[cosnπtnπ]01

=3nπ[1cosnπ]

x(t) = |A sin πt| द्वारा परिभाषित दिष्टिकृत ज्यावक्रीय तरंग x(t) पर विचार कीजिए। इसकी मौलिक अवधि और जटिल चरघातांकीय फूरियर श्रेणी निर्धारित कीजिए।

  1. T0=1andx(t)=2Aπk=14k21ejk2πt
  2. T0=12andx(t)=2Aπk=14k2+1ejk2πt
  3. T0=1andx(t)=2Aπk=14k2+1ejk2πt
  4. T0=12andx(t)=2Aπk=14k21ejk2πt

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : T0=1andx(t)=2Aπk=14k21ejk2πt

Fourier Series Question 11 Detailed Solution

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संकल्पना:

मौलिक अवधि Tके साथ एक आवधिक सिग्नल x(t) की जटिल चरघातांकीय फूरियर श्रृंखला का प्रतिनिधित्व इसके द्वारा दिया जाता है,

x(t)=+Ckejkω0t

जहाँω0=2πT0 = मौलिक अवधि

अब k का मान रखकर और ऊपरोक्त श्रृंखला का विस्तार करके हम प्राप्त करते हैं-

x(t)=+C2ej2ω0t+C1ejω0t+C0+C1e2ω0t+C2ej2ω0t+

गणना:

F1 U.B 20.6.20 Pallavi D17

सिग्नल x(t) = A|sin(ω1t)| पर विचार करें

ज्यावक्र की अवधि है T1=2πω1

दिष्टिकृत ज्यावक्र की अवधि इसका आधा है,T=T12=πω1

अतः, ω1=2πT1=πT=ω02

इस प्रकार, हम लिख सकते हैं x(t)=A|sin(ω0t2)|

फूरियर श्रृंखला गुणांक हैं:

ck=1T0Tx(t)ejkω0tdt

=1T0TA|sin(ω0t2)|ejkω0tdt

0 से T तक |sin(ω0t2)|=sin(ω0t2)। इसके अलावा ω0 को 2πT के साथ बदलें

ck=1T0TAsin(πtT)ej2πktTdt

=AT0T(ejπtTejπtTj2)ej2πktTdt

=Aj2T0T(ejπt(12k)Tejπt(1+2k)T)dt

=Aj2T[ejπt(12k)Tjπ(12k)/Tejπt(1+2k)Tjπ(1+2k)/T]0T

=A2T[ejπ(12k)π(12k)/T+ejπ(1+2k)π(1+2k)/T1π(12k)/T1π(1+2k)/T]

लेकिन ejπ(12k)=ejπej2πk=1 और ejπ(1+2k)=1

ck=A2T[1π(12k)/T+1π(1+2k)/T1π(12k)/T1π(1+2k)/T]

=A2[2π(12k)2π(1+2k)]

=Aπ[112k+11+2k]

=2Aπ(114k2)
दिया गया फलन x(t) = |A sin πt| है

T1=2ππ=2

T0=T12=22=1

चरघातांकीय फूरियर श्रृंखला, x(t)=+Ckejkω0t

x(t)=2Aπk=14k21ejk2πt

फ़ोरियर श्रेणी _________ संकेतों पर लागू होती है।

  1. पृथक और अनावर्ती
  2. सतत और अनावर्ती
  3. सतत और आवर्ती
  4. पृथक और आवर्ती

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : सतत और आवर्ती

Fourier Series Question 12 Detailed Solution

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फोरियर श्रेणी:

एक फ़ोरियर श्रेणी एक सतत और आवर्ती फलन f(x) का एक अनंत योग के रूप में साइन और कोसाइन का विस्तार है।

फ़ोरियर श्रेणी का उपयोग साइन और कोसाइन फलनों के लांबिकता संबंधों के लिए किया जाता है।

उन फलनों के लिए जो आवर्ती नहीं हैं, फ़ोरियर श्रेणी को फ़ोरियर रूपांतर द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

आवर्ती संकेतों के लिए यह प्रतिनिधित्व असतत-समय फ़ोरियर श्रेणी बन जाता है, और अनावर्ती संकेतों के लिए यह असतत-समय फ़ोरियर रूपांतर बन जाता है।

सतत फ़ोरियर रूपांतर:

एक सतत और अनावर्ती समय संकेत x(t) के लिए सबसे सामान्य रूप में फ़ोरियर रूपांतर जोड़ी।

असतत समय फोरियर श्रेणी:

एक असतत और आवर्ती समय संकेत x(t) के लिए सबसे सामान्य रूप में फ़ोरियर रूपांतर जोड़ी।

सूची I (फूरियर श्रृंखला और फूरियर परिवर्तन) का मिलान सूची II (उनके गुणों) के साथ कीजिए और नीचे दिए गए कूट का उपयोग करके उत्तर चुनिए:

 सूची I 

 सूची II 

 A. फूरियर श्रृंखला 

 1. पृथक और आवधिक 

 B. निरंतर फूरियर परिवर्तन 

 2. निरंतर और आवधिक 

 C. पृथक समय फूरियर श्रृंखला 

 3. निरंतर और अनियमिता

  1. A – 2, B – 3, C - 1
  2. A – 3, B – 2, C - 1
  3. A – 1, B – 3, C - 2
  4. A – 2, B – 1, C - 3

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : A – 2, B – 3, C - 1

Fourier Series Question 13 Detailed Solution

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  • फूरियर श्रृंखला
  • फूरियर श्रृंखला साइन और कोज्या फलन के योग के रूप में (संभव रूप से अनंत) एक आवधिक फलन को दर्शाने का एक तरीका है।
  • वह फलन जो आवधिक नहीं है, उनके लिए फूरियर श्रृंखला को फूरियर परिवर्तन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।
  • आवधिक सिग्नल के लिए यह प्रतिनिधित्व पृथक-समय फूरियर श्रृंखला बन जाता है और अनियमिता सिग्नल के लिए यह पृथक-समय फूरियर परिवर्तन बन जाता है।

     

  • सतत फूरियर रूपांतरण:

    फूरियर एक निरंतर और अनियमिता समय सिग्नल x (t) के लिए सबसे सामान्य रूप में फूरियर रूपांतरण युग्म है।

    पृथक-समय फूरियर श्रृंखला:

    फूरियर एक असतत और आवधिक समय सिग्नल x(t) के लिए सबसे सामान्य रूप में फूरियर रूपांतरण युग्म है।

एक आवर्ती संकेत के लिए पारसेवल का संबंध _________ से संबंधित है।

  1. संकेत में कुल औसत शक्ति
  2. कुल हार्मोनिक विरूपण
  3. फूरियर गुणांक के योग
  4. फूरियर गुणांक के औसत

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : संकेत में कुल औसत शक्ति

Fourier Series Question 14 Detailed Solution

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पारसेवल की प्रमेय:

निरंतर-समय, आवर्ती संकेत के लिए, ऊर्जा निम्न द्वारा दी जाती है:

1TT|x(t)|2dt=k=+|ak|2

जहां ak, x(t) का फूरियर श्रृंखला गुणांक है, और T संकेत की अवधि है।

आवर्ती संकेत x(t) की एक अवधि में औसत शक्ति के लिए, हम लिखते हैं:

1TT|akejkωot|2dt=1TT|ak|2dt=|ak|2

|ak|2, x(t) के kth हार्मोनिक में औसत शक्ति है।

∴ पारसेवल के संबंध में कहा गया है कि एक आवर्ती संकेत में कुल औसत शक्ति अपने सभी हार्मोनिक घटकों में औसत शक्तियों के योग के बराबर होती है।

एक फलन x(t) को अर्ध-तरंग विषम समरूपता कहा जाता है यदि:

  1. x(t)=x(t±T2)
  2. x(t)=x(tT4)
  3. x(t)=x(t+T4)
  4. x(t)=x(tT2)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : x(t)=x(t±T2)

Fourier Series Question 15 Detailed Solution

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F1 S.B 5.6.20 Pallavi D1

अर्ध-तरंग सम सममिति:

f(t)=f(t±T2)

जहां T आवधिक तरंग की अवधि है

F1 S.B 5.6.20 Pallavi D4

अर्ध-तरंग विषम सममिति:

f(t)=f(t±T2)

F1 S.B 5.6.20 Pallavi D5

इसलिए दिए गए आवर्त फलन में अर्ध-तरंग सममिति होनी चाहिए।

सम फलन सममिति

f(t) = f(-t)

चित्रमय रूप से, तरंगरूप ऊर्ध्वाधर अक्ष (आश्रित अक्ष) के बारे में सममित है जैसा कि दिखाया गया है:

F1 S.B 5.6.20 Pallavi D2

विषम फलन सममिति:

f(t) = -f(-t)

या

f(-t) = -f(t)

ग्राफिक रूप से, तरंग मूल के बारे में सममित है।

F1 S.B 5.6.20 Pallavi D3

Important Points

  • सममिति वाले संकेतों में इसके फूरियर श्रृंखला प्रतिनिधित्व में कोसाइन शब्द होते हैं। इसमें D.C पद हो भी सकता है और नहीं भी, लेकिन साइन पद हमेशा शून्य रहेगा।
  • विषम फलन सममिति में केवल साइन पद होते हैं
  • Half-wave symmetry contains odd harmonics only.
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