Fourier Series MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Fourier Series - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अर्ध-तरंग सम सममिति:

\(f\left( t \right) = f\left( {t \pm \frac{T}{2}} \right)\)

जहां T आवधिक तरंग की अवधि है

अर्ध-तरंग विषम सममिति:

\(f\left( t \right) = \; - f\left( {t \pm \frac{T}{2}} \right)\)

इसलिए दिए गए आवर्त फलन में अर्ध-तरंग सममिति होनी चाहिए।

सम फलन सममिति

f(t) = f(-t)

चित्रमय रूप से, तरंगरूप ऊर्ध्वाधर अक्ष (आश्रित अक्ष) के बारे में सममित है जैसा कि दिखाया गया है:

विषम फलन सममिति:

f(t) = -f(-t)

या

f(-t) = -f(t)

ग्राफिक रूप से, तरंग मूल के बारे में सममित है।

Important Points

• सममिति वाले संकेतों में इसके फूरियर श्रृंखला प्रतिनिधित्व में कोसाइन शब्द होते हैं। इसमें D.C पद हो भी सकता है और नहीं भी, लेकिन साइन पद हमेशा शून्य रहेगा।
• विषम फलन सममिति में केवल साइन पद होते हैं
• Half-wave symmetry contains odd harmonics only.

संकल्पना :

आवर्ती असतत-समय संकेत x[ n ] के लिए फूरियर श्रृंखला द्वारा निरूपित मान है :

x[ n ] = \(\displaystyle\sum_{k=}\) X(k)ejk\(\left(\frac{2 \pi}{N}\right)\)n

संयुग्मन के गुणधर्म के अनुसार : 

x*[−n] = \(\displaystyle\sum_{k=}\)X(k)e-jk\(\left(\frac{2 \pi}{N}\right)\)(-n)

जहां, * संयुग्मन को प्रदर्शित करता है 

x*[ −n ] = X^* ( k )

Additional Information

 असतत-समय संकेत x[ n ] के गुणधर्म  :

दिया गया सिग्नल

\(\rm x(t)=\left\{\begin{matrix}1,&-1

h(t) = δ(t + 1) + 2δ(t + 2)

आवेग के कनवल्शन गुण के अनुसार

x(t) ⋆ δ(t - t₀) = x(t - t₀)

∴ x(t) ⋆ h(t) = x(t) ⋆ [δ(t + 1) + 2δ(t + 2)]

= x(t + 1) + 2x(t + 2)

इसलिए, सही विकल्प (3) है

स्पष्टीकरण:

y(t) के त्रिकोणमितीय फूरियर श्रेणी प्रसार में आवृत्ति w = 2π, k = 1, 2, ... का कोई पद नहीं है और कोई ज्या पद विद्यमान नहीं है।

इसलिए, y(t) = y(-t)

अर्थात, y(t) = y(T - t) (चूँकि y(t) आवर्त T वाले वास्तविक चर का एक वास्तविक-मान फलन है)

साथ ही, संकेतक y(t) में भिन्न हार्मोनिक हैं।

इसलिए, y(t) = y(t – T/2)

अतः y(t) = y(t – T) = y(t – T/2)

विकल्प (3) सत्य है। 

संकल्पना:

किसी फलन f(t) का सतत समय फूरियर रूपांतरण (CTFT) है,

F(ω) = \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega tdt}\)

स्पष्टीकरण:

सतत समय संकेत x(t) = e-A|t|, A > 0 का सतत समय फूरियर रूपांतरण

F(ω) = \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-A|t|}e^{-j\omega t}dt\)

       = \(\displaystyle\int_{-\infty}^{0}e^{At}e^{-j\omega t}dt\) + \(\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-At}e^{-j\omega t}dt\)

     = \(\displaystyle\int_{-\infty}^{0}e^{(A-j\omega)t}dt\) + \(\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-(A+j\omega) t}dt\)

    = \(\left[{e^{(A-j\omega)t}\over A-j\omega}\right]_{-\infty}^{0}\) + \(\left[{e^{-(A+j\omega)t}\over -(A+j\omega)}\right]_0^{\infty}\)

   = \(1\over A-j\omega\) + \(1\over A+j\omega\) = \(2A\over (A-j\omega)(A+j\omega)\) = \(\frac{2A}{(A^2 + \omega^2)}\) (as j² = -1)

विकल्प (3) सत्य है। 

अवधारणा:

सम समरूपताएं:

एक सम संकेत का FS विस्तार साइन पद को सन्तुष्ट नहीं करता है

विषम समरूपता:

विषम संकेत के FS विस्तार में केवल साइन पद होता है।

अर्ध तरंग समरूपता:

\(\begin{array}{*{20}{c}} {x\left( t \right) = - x\left( {t + \frac{{{T_o}}}{2}} \right)}\\ {\begin{array}{*{20}{l}} \downarrow \\ {{c_n} = - {c_n}.{e^{\frac{{Jn{\omega _0}{T_0}}}{2}}}} \end{array}} \end{array}\)

समय स्थानांतरण 

\(\begin{array}{*{20}{c}} \;\\ {x\left( {t - {t_0}} \right)\rightarrow{c_n}e} \end{array} - jn{\omega _0}{t_0}\)

\(1 = - {e^{\frac{{Jn{\omega _0}{T_o}}}{2}}},\frac{{{\omega _o}{T_o}}}{2} = \pi \)

1 = -eJnπ

1 + (ejπ)n = 0

∴ eπj = -1

1 + (-1)n = 0 -----(1)

समीकरण (1) n = विषम पूर्णांक के लिए संतुष्ट होगा

nω 0 = विषम हार्मोनिक

∴ HWS के FS विस्तार में केवल विषम हार्मोनिक होता है

सम + H.W.S:

⇒ HWS सिग्नल के FS विस्तार में विषम हार्मोनिक के साथ cos पद शामिल हैं।

विषम हार्मोनिक के साथ Cos शर्तें

विषम + H.W.S

विषम H.W.S सिग्नल के F.S विस्तार में विषम हार्मोनिक्स के साथ साइन पद शामिल हैं।

विश्लेषण:

\(\begin{array}{l} \;sgn\left( {cos{\rm{\;}}t} \right){\rm{\;}} = {\rm{\;}}1;{\rm{\;}}cost{\rm{\;}} > {\rm{\;}}0\\ = {\rm{\;}} - 1;{\rm{\;}}cost{\rm{\;}} < {\rm{\;}}0 \end{array}\)

यह वर्ग तरंग का प्रतिनिधित्व करता है, जो एक सम और अर्ध-तरंग समरूपता फलन है, इसमें सभी विषम हार्मोनिक्स के लिए कोसाइन पद  शामिल हैं।

धारणा:

मौलिक अवधि To के साथ एक आवधिक सिग्नल x(t) की जटिल चरघातांकीय फूरियर श्रृंखला का प्रतिनिधित्व इसके द्वारा दिया जाता है,

\(x\left( t \right) = \mathop \sum \limits_{ - \infty }^{ + \infty } {C_k}{e^{jk{\omega _0}t}}\;\)

जहाँ\(\;{\omega _0} = \frac{{2\pi }}{{{T_0}}}\)

अब k का मान रखकर और ऊपरोक्त श्रृंखला का विस्तार करके हम प्राप्त करते हैं-

\(x\left( t \right) = \ldots + {C_{ - 2}}{e^{ - j2{\omega _0}t}} + {C_{ - 1}}{e^{ - j{\omega _0}t}} + {C_0} + {C_1}{e^{2{\omega _0}t}} + {C_2}{e^{j2{\omega _0}t}} + \ldots \)

गणना:

\(x\left( t \right) = si{n^2}\left( t \right)\)

\(x\left( t \right) = \frac{1}{2} - \frac{{{\rm{cos}}\left( {2t} \right)}}{2}\)

\(x\left( t \right) = \frac{1}{2} - \frac{{{\rm{cos}}\left( {2t} \right)}}{2}\)     ---- (1)

हम जानते हैं कि, \(\cos t = \frac{{{e^{jt}} + {e^{ - jt}}}}{2}\)

\(x\left( t \right) = \frac{1}{2} - \frac{{{e^{j2t}} + {e^{ - j2t}}}}{4}\)

\(x\left( t \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}{e^{j2t}} - \frac{1}{4}{e^{ - j2t}}\)

फूरियर श्रृंखला विस्तार के साथ उपरोक्त समीकरण की तुलना करके

हमें मिला \({C_0} = \frac{1}{2}\)

समय प्रवर्धन फोरियर श्रृंखला गुणांक को प्रभावित नहीं करेगी।

x (0.5t) → C_K

x (t – 0.5) → e^-jω0.5k C_K

x(-2t) → C_-K

दिए गए सिग्नल का फोरियर श्रृंखला गुणांक निम्न है 

फोरियर श्रेणी:

अंतराल α < x < α + 2π में फ़लन f(x) के लिए फूरियर श्रृंखला निम्न द्वारा दी गई है

\(f\left( x \right) = \frac{{{a_o}}}{2} + \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty {a_n}\cos nx + \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty {b_n}\sin nx\)

जहाँ

\({a_o} = \frac{1}{\pi }\mathop \smallint \limits_\alpha ^{\alpha + 2\pi } f\left( x \right)dx;\;{a_n} = \frac{1}{\pi }\mathop \smallint \limits_\alpha ^{\alpha + 2\pi } f\left( x \right)\cos nxdx;\;{b_n} = \frac{1}{\pi }\mathop \smallint \limits_\alpha ^{\alpha + 2\pi } f\left( x \right)\sin nxdx\)

एक सम फलन कोई भी फलन f ऐसा होता है कि f(-x) = f(x)

उदाहरण: cos x, sec x, x2, x4, x6 …….., x-2, x-4 ……..

एक विषम फलन कोई फलन f ऐसा होता है कि f(-x) = -f(x)

उदाहरण: sin x, tan x, cosec x, cot x, n, x3 ……., x-1, x-3 ……..

\(\mathop \smallint \limits_{ - L}^L f\left( x \right)dx = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\mathop \smallint \limits_0^L f\left( x \right)dx,\;\;when\;f\left( x \right)\;is\;an\;even\;function}\\ {0,\;\;when\;f\left( x \right)\;is\;an\;odd\;function} \end{array}} \right.\)

जहाँ f अवधि 2L का एक सम आवधिक फलन है, तो इसकी फुरियर श्रृंखला में केवल कोसाइन (संभवतः स्थिरांक पद शामिल है) पद शामिल है।

\(f\left( x \right) = \frac{{{a_o}}}{2} + \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty {a_n}\frac{{\cos n\pi x}}{L}\)

\({a_o} = \frac{1}{L}\mathop \smallint \limits_{ - L}^L f\left( x \right)dx = \frac{2}{L}\mathop \smallint \limits_0^L f\left( x \right)dx\)

\({a_n} = \frac{1}{L}\mathop \smallint \limits_{ - L}^L f\left( x \right)\cos \frac{{n\pi x}}{L}dx = \frac{2}{L}\mathop \smallint \limits_0^L f\left( x \right)\cos \frac{{n\pi x}}{L}dx\)

जब f अवधि 2L का एक विषम आवधिक फलन है, तो इसकी फुरियर श्रृंखला में केवल साइन पद शामिल है। 

\(f\left( x \right) = \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty {b_n}\sin \frac{{n\pi x}}{L}\)

\({b_n} = \frac{1}{L}\mathop \smallint \limits_{ - L}^L f\left( x \right)\sin \frac{{n\pi x}}{L}dx = \frac{2}{L}\mathop \smallint \limits_0^L f\left( x \right)\sin \frac{{n\pi x}}{L}dx\)

• दिए गए आवधिक संकेत की समरूपता के आधार पर हम फूरियर श्रृंखला के गुणांकों और दिए गए संकेत में मौजूद हार्मोनिक्स के प्रकार का निष्कर्ष निकाल सकते हैं।
• फूरियर श्रृंखला के साथ, गैर-साइनसॉइडल आवधिक तरंग को ज्यावक्रीय तरंग में परिवर्तित किया जा सकता है।

नीचे दी गई तालिका समरूपता के अनुरूप फूरियर गुणांक के प्रकार को दर्शाती है।

संकल्पना:

माना कि f(x) अवधि 2l के साथ (C, C + 2L) में परिभाषित एक आवधिक फलन है, तो f(x) की फूरियर श्रृंखला निम्न है 

\(f\left( x \right) = \frac{{{a_0}}}{2} + \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty \left[ {{a_n}\cos \frac{{n\pi x}}{L} + {b_n}\sin \frac{{n\pi x}}{L}} \right]\)

जहाँ फूरियर श्रृंखला गुणांक a₀, a_n, और b_n द्वारा ज्ञात किया जाता है \({a_0} = \frac{1}{L}\mathop \smallint \limits_C^{C + 2L} f\left( x \right)dx\)

\({a_n} = \frac{1}{L}\mathop \smallint \limits_C^{C + 2L} f\left( x \right)\cos \frac{{n\pi x}}{L}dx\)

\({b_n} = \frac{1}{L}\mathop \smallint \limits_C^{C + 2L} f\left( x \right)\sin \frac{{n\pi x}}{L}dx\)

• यदि f(x) एक बेजोड़ फलन है, तो केवल b_n मौजूद है जहाँ a₀ और b_n शून्य हैं।
• यदि f(x) एक सम फलन है, तो a₀ और a_n दोनों मौजूद हैं जहाँ b_n शून्य है।

गणना:

\(x\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1.5,\;\;0 < t < 1}\\ { - 1.5,\;\;1 < t < 2} \end{array}} \right.\)        

मौलिक अवधि = 2

दिया गया फलन एक बेजोड़ फलन है और इसलिए केवल b_n मौजूद है।

\({b_n} = \frac{2}{L}\mathop \smallint \limits_0^L x\left( t \right)\sin \frac{{n\pi t}}{L}dt\)

यहाँ L = 1

\( = \frac{2}{1}\mathop \smallint \limits_0^1 1.5\sin n\pi tdt\)

\( = 3\left[ { - \frac{{\cos n\pi t}}{{n\pi }}} \right]_0^1\)

\( = \frac{3}{{n\pi }}\left[ {1 - \cos n\pi } \right]\)

संकल्पना:

मौलिक अवधि To के साथ एक आवधिक सिग्नल x(t) की जटिल चरघातांकीय फूरियर श्रृंखला का प्रतिनिधित्व इसके द्वारा दिया जाता है,

\(x\left( t \right) = \mathop \sum \limits_{ - \infty }^{ + \infty } {C_k}{e^{jk{\omega _0}t}}\;\)

जहाँ\(\;{\omega _0} = \frac{{2\pi }}{{{T_0}}}\) = मौलिक अवधि

अब k का मान रखकर और ऊपरोक्त श्रृंखला का विस्तार करके हम प्राप्त करते हैं-

\(x\left( t \right) = \ldots + {C_{ - 2}}{e^{ - j2{\omega _0}t}} + {C_{ - 1}}{e^{ - j{\omega _0}t}} + {C_0} + {C_1}{e^{2{\omega _0}t}} + {C_2}{e^{j2{\omega _0}t}} + \ldots \)

गणना:

सिग्नल x(t) = A|sin(ω1t)| पर विचार करें

ज्यावक्र की अवधि है \({T_1} = \frac{{2\pi }}{{{\omega _1}}}\)

दिष्टिकृत ज्यावक्र की अवधि इसका आधा है,\(T = \frac{{{T_1}}}{2} = \frac{\pi }{{{\omega _1}}}\)

अतः, \({\omega _1} = \frac{{2\pi }}{{{T_1}}} = \frac{\pi }{T} = \frac{{{\omega _0}}}{2}\)

इस प्रकार, हम लिख सकते हैं \(x\left( t \right) = A\left| {\sin \left( {\frac{{{\omega _0}t}}{2}} \right)} \right|\)

फूरियर श्रृंखला गुणांक हैं:

\({c_k} = \frac{1}{T}\mathop \smallint \limits_0^T x\left( t \right){e^{ - jk{\omega _0}t}}dt\)

\( = \frac{1}{T}\mathop \smallint \limits_0^T A\left| {\sin \left( {\frac{{{\omega _0}t}}{2}} \right)} \right|{e^{ - jk{\omega _0}t}}dt\)

0 से T तक \(\left| {\sin \left( {\frac{{{\omega _0}t}}{2}} \right)} \right| = \sin \left( {\frac{{{\omega _0}t}}{2}} \right)\)। इसके अलावा ω0 को \(\frac{{2\pi }}{T}\) के साथ बदलें

\({c_k} = \frac{1}{T}\mathop \smallint \limits_0^T A\sin \left( {\frac{{\pi t}}{T}} \right){e^{ - \frac{{j2\pi kt}}{T}}}dt\)

\( = \frac{A}{T}\mathop \smallint \limits_0^T \left( {\frac{{{e^{\frac{{j\pi t}}{T}}} - {e^{ - \frac{{j\pi t}}{T}}}}}{{j2}}} \right){e^{ - \frac{{j2\pi kt}}{T}}}dt\)

\( = \frac{A}{{j2T}}\mathop \smallint \limits_0^T \left( {{e^{\frac{{j\pi t\left( {1 - 2k} \right)}}{T}}} - {e^{ - \frac{{j\pi t\left( {1 + 2k} \right)}}{T}}}} \right)dt\)

\( = \frac{A}{{j2T}}\left[ {\frac{{{e^{\frac{{j\pi t\left( {1 - 2k} \right)}}{T}}}}}{{j\pi \left( {1 - 2k} \right)/T}} - \frac{{{e^{ - \frac{{j\pi t\left( {1 + 2k} \right)}}{T}}}}}{{j\pi \left( {1 + 2k} \right)/T}}} \right]_0^T\)

\( = - \frac{A}{{2T}}\left[ {\frac{{{e^{j\pi \left( {1 - 2k} \right)}}}}{{\pi \left( {1 - 2k} \right)/T}} + \frac{{{e^{ - j\pi \left( {1 + 2k} \right)}}}}{{\pi \left( {1 + 2k} \right)/T}} - \frac{1}{{\pi \left( {1 - 2k} \right)/T}} - \frac{1}{{\pi \left( {1 + 2k} \right)/T}}} \right]\)

लेकिन \({e^{j\pi \left( {1 - 2k} \right)}} = {e^{j\pi }}{e^{ - j2\pi k}} = - 1\) और \({e^{ - j\pi \left( {1 + 2k} \right)}} = - 1\)

\({c_k} = - \frac{A}{{2T}}\left[ {\frac{{ - 1}}{{\pi \left( {1 - 2k} \right)/T}} + \frac{{ - 1}}{{\pi \left( {1 + 2k} \right)/T}} - \frac{1}{{\pi \left( {1 - 2k} \right)/T}} - \frac{1}{{\pi \left( {1 + 2k} \right)/T}}} \right]\)

\( = - \frac{A}{2}\left[ { - \frac{2}{{\pi \left( {1 - 2k} \right)}} - \frac{2}{{\pi \left( {1 + 2k} \right)}}} \right]\)

\( = \frac{A}{\pi }\left[ {\frac{1}{{1 - 2k}} + \frac{1}{{1 + 2k}}} \right]\)

\( = \frac{{2A}}{\pi }\left( {\frac{1}{{1 - 4{k^2}}}} \right)\)
दिया गया फलन x(t) = |A sin πt| है

\({T_1} = \frac{{2\pi }}{\pi } = 2\)

\({T_0} = \frac{{{T_1}}}{2} = \frac{2}{2} = 1\)

चरघातांकीय फूरियर श्रृंखला, \(x\left( t \right) = \mathop \sum \limits_{ - \infty }^{ + \infty } {C_k}{e^{jk{\omega _0}t}}\)

फोरियर श्रेणी:

एक फ़ोरियर श्रेणी एक सतत और आवर्ती फलन f(x) का एक अनंत योग के रूप में साइन और कोसाइन का विस्तार है।

फ़ोरियर श्रेणी का उपयोग साइन और कोसाइन फलनों के लांबिकता संबंधों के लिए किया जाता है।

उन फलनों के लिए जो आवर्ती नहीं हैं, फ़ोरियर श्रेणी को फ़ोरियर रूपांतर द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

आवर्ती संकेतों के लिए यह प्रतिनिधित्व असतत-समय फ़ोरियर श्रेणी बन जाता है, और अनावर्ती संकेतों के लिए यह असतत-समय फ़ोरियर रूपांतर बन जाता है।

सतत फ़ोरियर रूपांतर:

एक सतत और अनावर्ती समय संकेत x(t) के लिए सबसे सामान्य रूप में फ़ोरियर रूपांतर जोड़ी।

असतत समय फोरियर श्रेणी:

एक असतत और आवर्ती समय संकेत x(t) के लिए सबसे सामान्य रूप में फ़ोरियर रूपांतर जोड़ी।

• फूरियर श्रृंखला
• फूरियर श्रृंखला साइन और कोज्या फलन के योग के रूप में (संभव रूप से अनंत) एक आवधिक फलन को दर्शाने का एक तरीका है।
• वह फलन जो आवधिक नहीं है, उनके लिए फूरियर श्रृंखला को फूरियर परिवर्तन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।
• आवधिक सिग्नल के लिए यह प्रतिनिधित्व पृथक-समय फूरियर श्रृंखला बन जाता है और अनियमिता सिग्नल के लिए यह पृथक-समय फूरियर परिवर्तन बन जाता है।

   

• सतत फूरियर रूपांतरण:

  फूरियर एक निरंतर और अनियमिता समय सिग्नल x (t) के लिए सबसे सामान्य रूप में फूरियर रूपांतरण युग्म है।

  पृथक-समय फूरियर श्रृंखला:

  फूरियर एक असतत और आवधिक समय सिग्नल x(t) के लिए सबसे सामान्य रूप में फूरियर रूपांतरण युग्म है।

पारसेवल की प्रमेय:

निरंतर-समय, आवर्ती संकेत के लिए, ऊर्जा निम्न द्वारा दी जाती है:

\(\frac{1}{T}\int\limits_T {{{\left| {x(t)} \right|}^2}dt = {{\sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {\left| {{a_k}} \right|} }^2}} \)

जहां ak, x(t) का फूरियर श्रृंखला गुणांक है, और T संकेत की अवधि है।

आवर्ती संकेत x(t) की एक अवधि में औसत शक्ति के लिए, हम लिखते हैं:

\(\frac{1}{T}\int\limits_T {{{\left| {{a_k}{e^{jk{\omega _o}t}}} \right|}^2}dt = \frac{1}{T}{{\int\limits_T {\left| {{a_k}} \right|} }^2}} dt = {\left| {{a_k}} \right|^2}\)

∴ \({\left| {{a_k}} \right|^2}\), x(t) के kth हार्मोनिक में औसत शक्ति है।

∴ पारसेवल के संबंध में कहा गया है कि एक आवर्ती संकेत में कुल औसत शक्ति अपने सभी हार्मोनिक घटकों में औसत शक्तियों के योग के बराबर होती है।

अवधारणा:

उपयोग:

एक फलन f(t) के आवृत्ति स्पेक्ट्रम में कोसाइन पद और केवल विषम हार्मोनिक्स होते हैं। केवल कोज्या पद और विषम हार्मोनिक्स होने के लिए, तरंगरूप को अर्ध-तरंग समरूपता का पालन करना चाहिए अर्थात

f(t ± T/2) = -f(t)

इसलिए, दिए गए तरंगरूप को T की समयावधि के लिए बढ़ाया जा सकता है जैसा कि नीचे दिखाया गया है।