Z Transform MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Z Transform - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

अंतिम मान प्रमेय:

यह बताता है कि:

$x\left(\mathrm{\infty }\right)=\underset{z\to 1}{lim}\left(1-z^1\right)X\left(z\right)$

स्थितियां:

1. यह केवल करणीय प्रणालियों के लिए मान्य है।

2. (1 – z-1) X(z) के ध्रुव को इकाई वृत्त के अंदर स्थित होना चाहिए।

गणना:

z- परिवर्तन के लिए अंतिम मान प्रमेय है:

$=\underset{z\to 1}{lim}\frac{1}{4}\frac{\left(1-z^{-1}\right)z^{-1}\left(1-z^{-4}\right)}{{\left(1-z^{-1}\right)}^2}$

$=\underset{z\to 1}{lim}\frac{1}{4}\frac{\left(z^2-1\right)\left(z^2+1\right)}{z^4\left(z-1\right)}$

$=\underset{z\to 1}{lim}\frac{1}{4}\frac{\left(z+1\right)\left(z^2+1\right)}{z^4}$

= 1/4 × 1 × 2 × 2 = 1

अवधारणा:

एक इकाई आवेग फलन या क्रोनकर डेल्टा δ का z-रूपांतर [n] ↔ 1

समय-स्थानांतरण निम्न रूप में z- रूपांतर को प्रभावित करता है:

x[n - n0] = z -n0 X(z)

उपयोग:

दिया गया:

h1[n] = δ[n - 1] + δ[n + 1] 

h2[n] = δ[n] + δ[n - 1] 

यदि h₁[n] और h₂[n] कैस्केड में जुड़े हुए हैं तो h[n] = h₁[n] * h₂[n] है

जहाँ '*' संवलन को दर्शाता है 

h[n] = h1[n] * h2[n]

दोनों तरफ z- रूपांतर लेने पर

H[z] = H₁[z] ⋅ H₂[z]

H[z] = (z^-1 + z) ⋅ (1 + z^-1) = (z^-1 + z-2 + z + 1 )

दोनों ओर व्युत्क्रम z- रूपांतर लेने पर

h[n] = δ[n-1] + δ[n-2] + δ[n+1] + δ[n]

∴ कैस्केड प्रणाली का आवेग प्रतिक्रिया δ[n - 2] + δ[n - 1] + δ[n] + δ[n + 1] है

संकल्पना:

करणीय सिग्नल:

• करणीय सिग्नल ऐसे सिग्नल होते हैं जो सभी ऋणात्मक समय के लिए शून्य होते हैं। 
• किसी प्रणाली में कारणता यह निर्धारित करती है कि प्रणाली सिग्नल x [n+1] के भविष्य की जानकारी पर निर्भर है या नहीं। 
• सिग्नलों में "कारणता" के बारे में विचार करने पर, इसका अर्थ है कि वे t = 0 के बाएँ पक्ष के लिए शून्य या t = 0 के दाएँ पक्ष के लिए शून्य हैं या नहीं। 
• एक करणीय सिग्नल t < 0 के लिए शून्य होता है।
• एक प्रणाली को करणीय तब कहा जाता है यदि इसका आउटपुट वर्तमान और पिछले इनपुट पर निर्भर करता है और भविष्य के इनपुट पर निर्भर नहीं करता है। 

गणना:

दिया गया करणीय सिग्नल,

X (Z) = z2 (z - a)-2

$X(Z)=\frac{z^2}{{\left(a-z\right)}^2}$

मानक Z-रूपांतरण से,

$n{\left(a\right)}^{n}u\left(n\right)\leftrightarrow \frac{az}{{\left(z-a\right)}^2}$

$n{\left(a\right)}^{n-1}u\left(n\right)\leftrightarrow \frac{z}{{\left(z-a\right)}^2}$

समय-स्थानांतरण गुण से,

$x\left(n-n_0\right)\leftrightarrow z^{-n_0}X\left(z\right)$

$\left(n+1\right){\left(a\right)}^{n+1-1}u\left(n+1\right)\leftrightarrow z\left[\frac{z}{{\left(z-a\right)}^2}\right]$

$\left(n+1\right){\left(a\right)}^{n}u\left(n+1\right)\leftrightarrow \frac{z^2}{{\left(z-a\right)}^2}$

चूँकि, 

$X\left(z\right)=\frac{z^2}{{\left(z-a\right)}^2}$

इसलिए, 

$x\left(n\right)=\left(n+1\right){\left(a\right)}^{n}u\left(n+1\right)$

दिया गया सिग्नल करणीय है, इसलिए,

$x\left(n\right)=\left(n+1\right){\left(a\right)}^{n}u\left(n\right)$

Important Points

Z - रूपांतरण मूल फलन:

संकल्पना:

${\displaystyle \frac{Z}{Z-a}}$ का Z रूपांतरण $\to a^{n}u(n),|Z|>a$

विश्लेषण:

$X(Z)={\displaystyle \frac{(Z-1)(Z+0.8)}{(Z-0.5)(Z+0.2)}}$

दोनों तरफ Z से भाग देने पर

${\displaystyle \frac{X(Z)}{Z}}={\displaystyle \frac{(Z-1)(Z+0.8)}{Z(Z-0.5)(Z+0.2)}}$

आंशिक भिन्न द्वारा 

${\displaystyle \frac{X(Z)}{Z}}={\displaystyle \frac{8}{Z}}-{\displaystyle \frac{1.857}{Z-0.5}}-{\displaystyle \frac{5.142}{Z+0.2}}$

$X(Z)=8-{\displaystyle \frac{Z(1.857)}{Z-0.5}}-{\displaystyle \frac{Z(5.142)}{Z+0.2}}$

व्युत्क्रम Z रूपांतरण लेने पर

x(n) = 8 δ(n) - 1.857 (0.5)n u(n) - 5.142 (-0.2)n u(n)

Concept:

For a causal signal x(n), the initial value theorem states that:

$x\left(0\right)=\underset{z\to \mathrm{\infty }}{lim}X\left(z\right)$

For a causal signal x(n), the final value theorem states that:

$x\left(\mathrm{\infty }\right)=\underset{z\to 1}{lim}\left[z-1\right]X\left(z\right)$

Calculation:

$H\left(z\right)=\frac{z^2+1}{\left(z+0.5\right)\left(z-0.5\right)}$

∴ ध्रुव = 0.5 और -0.5

शून्य = ±j

इसलिए सभी ध्रुव इकाई वृत्त के अंदर हैं। इसलिए प्रणाली स्थिर होती है।

अब प्रारंभिक मान प्रमेय का प्रयोग करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

$h\left(0\right)=\underset{z\to \mathrm{\infty }}{lim}H\left(z\right)=\underset{z\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{z^2+1}{\left(z+0.5\right)\left(z-0.5\right)}=1$

Final Value theorem:

$h\left(\mathrm{\infty }\right)=\underset{z\to 1}{lim}(z-1)H\left(z\right)$

$h\left(\mathrm{\infty }\right)=\underset{z\to 1}{lim}\frac{(z-1)z^2+1}{\left(z+0.5\right)\left(z-0.5\right)}=0$

Hence, statement C is also correct.

संकल्पना:

प्रारंभिक मान प्रमेय निम्न प्रकार दी जाती है:

समय डोमेन में:

$Lt\stackrel{t=0}{\to }x(t)$

लाप्लास डोमेन में:

$Lt\stackrel{s=\infty }{\to }sx(s)$

अंतिम मान प्रमेय निम्न प्रकार दी जाती है:

समय डोमेन में:

$Lt\stackrel{t=\infty }{\to }x(t)$

लाप्लास डोमेन में:

गणना:

संकल्पना:

Z-रूपांतरण निम्न द्वारा परिभाषित किया गया है

$X\left(z\right)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}x\left[k\right]z^{-k}$

समय-विस्थापन:

यदि X(z), x(n) का z रूपांतरण है, तो x(n – n0) का z रूपांतरण है,

$x\left(n-n_0\right)\leftrightarrow z^{-n_0}X\left(z\right)$

$x\left(n+n_0\right)\leftrightarrow z^{n_0}X\left(z\right)$

Z.T{δ(n)} = 1

विश्लेषण:

दिया गया है:

X(z) = 5z2 +4z-1 + 3; 0 < |z| < ∞

व्युत्क्रम z रूपांतरण लेते हुए, हम प्राप्त करते हैं

x(n) = 5δ(n + 2) + 4δ(n - 1) + 3δ 

अवधारणा :

इकाई आवेग फलन x[n] = δ [n] का z-रूपांतरण इस प्रकार दिया गया है:

X(z) = 1

साथ ही, समय-स्थानांतरण z-रूपांतरण को इस प्रकार प्रभावित करता है:

x[n - n0] ↔ z -n0 X(z)

स्केलिंग:

x[n/a] ↔ X(za)

गणना:

दिया गया कि,

x[n] का Z रूपांतरण X(z) है

x[n - 2] का रूपांतरण Z = z-2 X(z)

और, x का Z रूपांतरण x[n/2]

⇒ x[n/2] ↔ X[z²]

अवधारणा :

इकाई आवेग फलन x[n] = [n] का z-रूपांतरण इस प्रकार दिया गया है:

X(z) = 1

साथ ही, समय-स्थानांतरण z-रूपांतरण को इस प्रकार प्रभावित करता है:

x[n - n0] = z -n0 X(z)

उपयोग:

दिया हुआ:

x[n] = δ [n - 3] + 2δ [n - 5] 

z रूपांतरण लेने पर, हम प्राप्त करते हैं:

X(z) = z-3 + 2 z-5

z को -z से प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है:

$\mathrm{Y}\left(\mathrm{z}\right)=\mathrm{X}\left(-\mathrm{z}\right)$

$={\left(-\mathrm{z}\right)}^{-3}+2{\left(-\mathrm{z}\right)}^{-5}$

$=-{\mathrm{z}}^{-3}-2{\mathrm{z}}^{-5}$

$Y(z)=-\left({\mathrm{z}}^{-3}+2{\mathrm{z}}^{-5}\right)$

हम देखते हैं कि:

$\mathrm{Y}\left(\mathrm{z}\right)=-\mathrm{X}\left(\mathrm{z}\right)$

उपरोक्त का व्युत्क्रम z-रूपांतरण लेने पर, हम प्राप्त करते हैं:

प्रणाली के व्युत्क्रम y(n) = 3x(n) + 4x(n – 1) – 2y(n – 1) को निम्न रूप में परिभाषित किया जा सकता है

सर्वप्रथम इसका z - रूपांतरण ज्ञात करने पर -

y(n) = 3x(n) + 4x(n – 1) – 2y(n – 1)

z - रूपांतरण लागू करने पर,

$Y\left(z\right)=3X\left(z\right)+4z^{-1}X\left(z\right)-2z^{-1}Y\left(z\right)$

$\Rightarrow Y\left(z\right)+2z^{-1}Y\left(z\right)=3X\left(z\right)+4z^{-1}X\left(z\right)$

$\Rightarrow Y\left(z\right)\left(1+2z^{-1}\right)=X\left(z\right)\left(3+4z^{-1}\right)$

$\Rightarrow \frac{Y\left(z\right)}{X\left(z\right)}=\frac{3+4z^{-1}}{1+2z^{-1}}$

अब, इसकी व्युत्क्रम प्रणाली निम्न होगी

$\frac{X\left(z\right)}{Y\left(z\right)}=\frac{3+4z^{-1}}{1+2z^{-1}}$

$3Y\left(z\right)+4z^{-1}Y\left(z\right)=3X\left(z\right)+2z^{-1}X\left(z\right)$

अब, व्युत्क्रम z - रूपांतरण लागू करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है,

3y(n) = x(n) + 2x(n – 1) – 4y(n – 1)