Z Transform MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Z Transform - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

अंतिम मान प्रमेय:

यह बताता है कि:

\(x\left( \infty \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to 1} \left( {1 - {z^1}} \right)X\left( z \right)\)

स्थितियां:

1. यह केवल करणीय प्रणालियों के लिए मान्य है।

2. (1 – z-1) X(z) के ध्रुव को इकाई वृत्त के अंदर स्थित होना चाहिए।

गणना:

z- परिवर्तन के लिए अंतिम मान प्रमेय है:

\( = \mathop {\lim }\limits_{z \to 1} \frac{1}{4}\frac{{\left( {1 - {z^{ - 1}}} \right){z^{ - 1}}\left( {1 - {z^{ - 4}}} \right)}}{{{{\left( {1 - {z^{ - 1}}} \right)}^2}}}\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{z \to 1} \frac{1}{4}\;\frac{{\left( {{z^2} - 1} \right)\left( {{z^2} + 1} \right)}}{{{z^4}\left( {z - 1} \right)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{z \to 1} \frac{1}{4}\;\frac{{\left( {z + 1} \right)\left( {{z^2} + 1} \right)}}{{{z^4}}} \)

= 1/4 × 1 × 2 × 2 = 1

अवधारणा:

एक इकाई आवेग फलन या क्रोनकर डेल्टा δ का z-रूपांतर [n] ↔ 1

समय-स्थानांतरण निम्न रूप में z- रूपांतर को प्रभावित करता है:

x[n - n0] = z -n0 X(z)

उपयोग:

दिया गया:

h1[n] = δ[n - 1] + δ[n + 1] 

h2[n] = δ[n] + δ[n - 1] 

यदि h₁[n] और h₂[n] कैस्केड में जुड़े हुए हैं तो h[n] = h₁[n] * h₂[n] है

जहाँ '*' संवलन को दर्शाता है 

h[n] = h1[n] * h2[n]

दोनों तरफ z- रूपांतर लेने पर

H[z] = H₁[z] ⋅ H₂[z]

H[z] = (z^-1 + z) ⋅ (1 + z^-1) = (z^-1 + z-2 + z + 1 )

दोनों ओर व्युत्क्रम z- रूपांतर लेने पर

h[n] = δ[n-1] + δ[n-2] + δ[n+1] + δ[n]

∴ कैस्केड प्रणाली का आवेग प्रतिक्रिया δ[n - 2] + δ[n - 1] + δ[n] + δ[n + 1] है

संकल्पना:

करणीय सिग्नल:

• करणीय सिग्नल ऐसे सिग्नल होते हैं जो सभी ऋणात्मक समय के लिए शून्य होते हैं। 
• किसी प्रणाली में कारणता यह निर्धारित करती है कि प्रणाली सिग्नल x [n+1] के भविष्य की जानकारी पर निर्भर है या नहीं। 
• सिग्नलों में "कारणता" के बारे में विचार करने पर, इसका अर्थ है कि वे t = 0 के बाएँ पक्ष के लिए शून्य या t = 0 के दाएँ पक्ष के लिए शून्य हैं या नहीं। 
• एक करणीय सिग्नल t < 0 के लिए शून्य होता है।
• एक प्रणाली को करणीय तब कहा जाता है यदि इसका आउटपुट वर्तमान और पिछले इनपुट पर निर्भर करता है और भविष्य के इनपुट पर निर्भर नहीं करता है। 

गणना:

दिया गया करणीय सिग्नल,

X (Z) = z2 (z - a)-2

\(X(Z) = \frac{{{z^2}}}{{{{\left( {a - z} \right)}^2}}}\)

मानक Z-रूपांतरण से,

\(n{\left( a \right)^n}u\left( n \right) \leftrightarrow \frac{{az}}{{{{\left( {z - a} \right)}^2}}}\)

\(n{\left( a \right)^{n - 1}}u\left( n \right) \leftrightarrow \frac{z}{{{{\left( {z - a} \right)}^2}}}\)

समय-स्थानांतरण गुण से,

\(x\left( {n - {n_0}} \right) \leftrightarrow {z^{ - {n_0}}}X\left( z \right)\)

\(\left( {n + 1} \right){\left( a \right)^{n + 1 - 1}}u\left( {n + 1} \right) \leftrightarrow z\left[ {\frac{z}{{{{\left( {z - a} \right)}^2}}}} \right]\)

\(\left( {n + 1} \right){\left( a \right)^n}u\left( {n + 1} \right) \leftrightarrow \frac{{{z^2}}}{{{{\left( {z - a} \right)}^2}}}\)

चूँकि, 

\(X\left( z \right) = \frac{{{z^2}}}{{{{\left( {z - a} \right)}^2}}}\)

इसलिए, 

\(x\left( n \right) = \left( {n + 1} \right){\left( a \right)^n}u\left( {n + 1} \right)\)

दिया गया सिग्नल करणीय है, इसलिए,

\(x\left( n \right) = \left( {n + 1} \right){\left( a \right)^n}u\left( n \right)\)

Important Points

Z - रूपांतरण मूल फलन:

संकल्पना:

\(\dfrac {Z}{Z-a}\) का Z रूपांतरण \(\space \rightarrow \space a^n u(n ), \space \space \space |Z| \space > \space a \space\)

विश्लेषण:

\(X(Z) \space = \space \dfrac {(Z-1) \space (Z+0.8)} {(Z-0.5)(Z+0.2)} \space \)

दोनों तरफ Z से भाग देने पर

\(\dfrac{X(Z)}{Z} \space = \space \dfrac {(Z-1) \space (Z+0.8)} {Z(Z-0.5)(Z+0.2)} \space \)

आंशिक भिन्न द्वारा 

\(\dfrac{X(Z)}{Z} \space = \space \dfrac {8}{Z} \space \space -\space \dfrac{1.857}{Z-0.5} \space - \dfrac {5.142}{Z+0.2} \space \)

\({X(Z)}\space = \space {8} \space \space -\space \dfrac{\space Z\space (1.857) }{Z-0.5} \space - \dfrac {Z\space (5.142)}{Z+0.2} \space \)

व्युत्क्रम Z रूपांतरण लेने पर

x(n) = 8 δ(n) - 1.857 (0.5)n u(n) - 5.142 (-0.2)n u(n)

Concept:

For a causal signal x(n), the initial value theorem states that:

\(x\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to \infty } X\left( z \right)\)

For a causal signal x(n), the final value theorem states that:

\(x\left( \infty \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to 1} \left[ {z - 1} \right]X\left( z \right)\)

Calculation:

\(H\left( z \right) = \frac{{{z^2} + 1}}{{\left( {z + 0.5} \right)\left( {z - 0.5} \right)}}\)

∴ ध्रुव = 0.5 और -0.5

शून्य = ±j

इसलिए सभी ध्रुव इकाई वृत्त के अंदर हैं। इसलिए प्रणाली स्थिर होती है।

अब प्रारंभिक मान प्रमेय का प्रयोग करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

\(h\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to \infty } H\left( z \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to \infty } \frac{{{z^2} + 1}}{{\left( {z + 0.5} \right)\left( {z - 0.5} \right)}} = 1\)

Final Value theorem:

\(h\left( \infty \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to 1 } (z-1)H\left( z \right) \)

\(h\left( \infty \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to 1 } \frac{(z-1){{z^2} + 1}}{{\left( {z + 0.5} \right)\left( {z - 0.5} \right)}}=0\)

Hence, statement C is also correct.

संकल्पना:

प्रारंभिक मान प्रमेय निम्न प्रकार दी जाती है:

समय डोमेन में:

\(Lt\overset{t=0}{\rightarrow}x(t) \)

लाप्लास डोमेन में:

\(Lt\overset{s=∞}{\rightarrow}sx(s) \)

अंतिम मान प्रमेय निम्न प्रकार दी जाती है:

समय डोमेन में:

\(Lt\overset{t=∞}{\rightarrow}x(t) \)

लाप्लास डोमेन में:

गणना:

संकल्पना:

Z-रूपांतरण निम्न द्वारा परिभाषित किया गया है

\(X\left( z \right) = \mathop \sum \limits_{k = 0}^\infty x\left[ k \right]{z^{ - k}}\)

समय-विस्थापन:

यदि X(z), x(n) का z रूपांतरण है, तो x(n – n0) का z रूपांतरण है,

\(x\left( {n - {n_0}} \right) \leftrightarrow {z^{ - {n_0}}}X\left( z \right)\)

\(x\left( {n + {n_0}} \right) \leftrightarrow {z^{ {n_0}}}X\left( z \right)\)

Z.T{δ(n)} = 1

विश्लेषण:

दिया गया है:

X(z) = 5z2 +4z-1 + 3; 0 < |z| < ∞

व्युत्क्रम z रूपांतरण लेते हुए, हम प्राप्त करते हैं

x(n) = 5δ(n + 2) + 4δ(n - 1) + 3δ 

अवधारणा :

इकाई आवेग फलन x[n] = δ [n] का z-रूपांतरण इस प्रकार दिया गया है:

X(z) = 1

साथ ही, समय-स्थानांतरण z-रूपांतरण को इस प्रकार प्रभावित करता है:

x[n - n0] ↔ z -n0 X(z)

स्केलिंग:

x[n/a] ↔ X(za)

गणना:

दिया गया कि,

x[n] का Z रूपांतरण X(z) है

x[n - 2] का रूपांतरण Z = z-2 X(z)

और, x का Z रूपांतरण x[n/2]

⇒ x[n/2] ↔ X[z²]

अवधारणा :

इकाई आवेग फलन x[n] = [n] का z-रूपांतरण इस प्रकार दिया गया है:

X(z) = 1

साथ ही, समय-स्थानांतरण z-रूपांतरण को इस प्रकार प्रभावित करता है:

x[n - n0] = z -n0 X(z)

उपयोग:

दिया हुआ:

x[n] = δ [n - 3] + 2δ [n - 5] 

z रूपांतरण लेने पर, हम प्राप्त करते हैं:

X(z) = z-3 + 2 z-5

z को -z से प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है:

\({\rm{Y}}\left( {\rm{z}} \right) = {\rm{X}}\left( {\rm{-z}} \right) \)

\(= {\left( { - {\rm{z}}} \right)^{ - 3}} + 2{\left( { - {\rm{z}}} \right)^{ - 5}}\)

\(\\ = - {{\rm{z}}^{ - 3}} - 2{{\rm{z}}^{ - 5}}\)

\(Y(z)= - \left( {{{\rm{z}}^{ - 3}} + 2{{\rm{z}}^{ - 5}}} \right)\)

हम देखते हैं कि:

\({\rm{Y}}\left( {\rm{z}} \right) = - {\rm{X}}\left( {\rm{z}} \right)\)

उपरोक्त का व्युत्क्रम z-रूपांतरण लेने पर, हम प्राप्त करते हैं:

प्रणाली के व्युत्क्रम y(n) = 3x(n) + 4x(n – 1) – 2y(n – 1) को निम्न रूप में परिभाषित किया जा सकता है

सर्वप्रथम इसका z - रूपांतरण ज्ञात करने पर -

y(n) = 3x(n) + 4x(n – 1) – 2y(n – 1)

z - रूपांतरण लागू करने पर,

\(Y\left( z \right) = 3X\left( z \right) + 4{z^{ - 1}}X\left( z \right) - 2{z^{ - 1}}Y\left( z \right)\)

\( \Rightarrow Y\left( z \right) + 2{z^{ - 1}}Y\left( z \right) = 3X\left( z \right) + 4{z^{ - 1}}X\left( z \right)\)

\( \Rightarrow Y\left( z \right)\left( {1 + 2{z^{ - 1}}} \right) = \;X\left( z \right)\left( {3 + 4{z^{ - 1}}} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{Y\left( z \right)}}{{X\left( z \right)}} = \;\frac{{3 + 4{z^{ - 1}}}}{{1 + 2{z^{ - 1}}}}\)

अब, इसकी व्युत्क्रम प्रणाली निम्न होगी

\(\frac{{X\left( z \right)}}{{Y\left( z \right)}} = \;\frac{{3 + 4{z^{ - 1}}}}{{1 + 2{z^{ - 1}}}}\)

\(3Y\left( z \right) + 4{z^{ - 1}}Y\left( z \right) = 3X\left( z \right) + 2{z^{ - 1}}X\left( z \right)\)

अब, व्युत्क्रम z - रूपांतरण लागू करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है,

3y(n) = x(n) + 2x(n – 1) – 4y(n – 1)