Fast Fourier Transform (FFT) MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Fast Fourier Transform (FFT) - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

N-बिंदु FFT के लिए सम्मिश्र गुणकों की कुल संख्या निम्न द्वारा दी गई है:

$\frac{N}{2}lo{g}_{2}N$

गणना :

दिया है कि,

आवश्यक गुणकों की कुल संख्या = 80

⇒ $\frac{N}{2}lo{g}_{2}N$ = 80

⇒ $lo{g}_{2}N=\frac{160}{N}$

⇒ $N=2^{\frac{160}{N}}$    ----- (1)

विकल्प सत्यापन के लिए N = 32 पर विचार करें

$32=2^{\frac{160}{35}}$

$32=2^5$

∴ N के लिए आवश्यक मान = 32

स्पष्टीकरण:

N- बिन्दुं DFT इस प्रकार दिया गया है:

$X\left[k\right]=\sum _{n=0}^{N-1}x\left[n\right]e^{-j\frac{2\pi }{N}kn}$

प्रत्यक्ष DFT में जटिल जोड़ और गुणा की संख्या N(N - 1) और N2 है

N के बड़े मान के लिए, DFT की गणना करने में बहुत समय लगेगा।

इसलिए, हम एक अलग तकनीक का उपयोग करते हैं जिसे त्वरित फूरियर रूपांतर (FFT) कहा जाता है जो "कूले-तुकी" कलन विधि का अनुसरण करता है।

जटिल जोड़ (P) और गुणा (Q) की संख्या होगी:

$P=Nlo{g}_{2}N$

$Q=\frac{N}{2}{\text{log}}_{2}N$

अनंत आवेग प्रतिक्रिया (IIR) फ़िल्टर एक पुनरावर्ती फ़िल्टर है जिसमें फ़िल्टर की धारा आउटपुट की गणना धारा और पिछले इनपुट और आउटपुट का उपयोग करके की जाती है।

IIR फिल्टर रैखिक निम्न पास फिल्टर हैं जिन्हें इस प्रकार दर्शाया गया है:

$\hat{x}\left(t\right)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_i{x}_{t-i}$

(या)

y(n) = b0 x(n) + b1 x(n - 1) + …+ bm x(n - M) – a1 y(n - 1) ….aNy(n - N)

उपरोक्त अंतर समीकरण का स्थानांतरण फलन निम्न द्वारा दिया गया है:

$H\left(z\right)=\frac{Y\left(z\right)}{X\left(z\right)}$

$H\left(z\right)=\frac{b_0+b_1{z}^{-1}+\dots +b_M{z}^{-m}}{1+a_1{z}^{-1}+\dots +a_N{z}^{-N}}$

द्विरेखीय रूपांतर का उपयोग करके एनालॉग फ़िल्टर को IIR डिजिटल फ़िल्टर में परिवर्तित करने के लिए स्थिती है

$s=\frac{2}{T}\left(\frac{z-1}{z+1}\right)$

${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{r}}=\frac{2}{T}\tan \left(\frac{{\omega }_r}{2}\right)$

ω_r अनुनादी आवृत्ति है।

फ़िल्टर के अधिकतम परिमाण पर (जो ध्रुवों पर होता है)

ध्रुव: (s + 0.1)² + 16 = 0

⇒ s = -0.1 ± j4 = σ ± jΩ

⇒ Ω = 4

$\Rightarrow 4=\frac{2}{T}\tan \left(\frac{\frac{\pi }{2}}{2}\right)$

⇒ T = 0.5

$H\left(s\right)=\frac{s+0.1}{{\left(s+0.1\right)}^2+16}$

अब s को $s=\frac{2}{0.4}\left(\frac{z-1}{z+1}\right)=4\left(\frac{z-1}{z+1}\right)$ के साथ बदलें

$H\left(z\right)=\frac{4\left(\frac{z-1}{z+1}\right)+0.1}{{\left(4\left(\frac{z-1}{z+1}\right)+0.1\right)}^2+16}$

$\Rightarrow H\left(z\right)=\frac{0.128+0.006z^{-1}-0.122z^{-2}}{1+0.0006z^{-1}+0.975z^{-2}}$

अनंत आवेग प्रतिक्रिया (IIR) फ़िल्टर एक पुनरावर्ती फ़िल्टर है जिसमें फ़िल्टर की धारा आउटपुट की गणना धारा और पिछले इनपुट और आउटपुट का उपयोग करके की जाती है।

IIR फिल्टर रैखिक निम्न पास फिल्टर हैं जिन्हें इस प्रकार दर्शाया गया है:

$\hat{x}\left(t\right)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_i{x}_{t-i}$

(या)

y(n) = b0 x(n) + b1 x(n - 1) + …+ bm x(n - M) – a1 y(n - 1) ….aNy(n - N)

उपरोक्त अंतर समीकरण का स्थानांतरण फलन निम्न द्वारा दिया गया है:

$H\left(z\right)=\frac{Y\left(z\right)}{X\left(z\right)}$

$H\left(z\right)=\frac{b_0+b_1{z}^{-1}+\dots +b_M{z}^{-m}}{1+a_1{z}^{-1}+\dots +a_N{z}^{-N}}$

द्विरेखीय रूपांतर का उपयोग करके एनालॉग फ़िल्टर को IIR डिजिटल फ़िल्टर में परिवर्तित करने के लिए स्थिती है

$s=\frac{2}{T}\left(\frac{z-1}{z+1}\right)$

${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{r}}=\frac{2}{T}\tan \left(\frac{{\omega }_r}{2}\right)$

ω_r अनुनादी आवृत्ति है।

फ़िल्टर के अधिकतम परिमाण पर (जो ध्रुवों पर होता है)

ध्रुव: (s + 0.1)² + 16 = 0

⇒ s = -0.1 ± j4 = σ ± jΩ

⇒ Ω = 4

$\Rightarrow 4=\frac{2}{T}\tan \left(\frac{\frac{\pi }{2}}{2}\right)$

⇒ T = 0.5

$H\left(s\right)=\frac{s+0.1}{{\left(s+0.1\right)}^2+16}$

अब s को $s=\frac{2}{0.4}\left(\frac{z-1}{z+1}\right)=4\left(\frac{z-1}{z+1}\right)$ के साथ बदलें

$H\left(z\right)=\frac{4\left(\frac{z-1}{z+1}\right)+0.1}{{\left(4\left(\frac{z-1}{z+1}\right)+0.1\right)}^2+16}$

$\Rightarrow H\left(z\right)=\frac{0.128+0.006z^{-1}-0.122z^{-2}}{1+0.0006z^{-1}+0.975z^{-2}}$

संकल्पना:

N-बिंदु FFT के लिए जटिल गुणकों की कुल संख्या निम्न द्वारा दी गई है:

$\frac{N}{2}lo{g}_{2}N$

गणना:

दिया गया है कि N = 32

तो, 32-बिंदु FFT के लिए, आवश्यक जटिल गुणकों की कुल संख्या निम्न होगी:

$\frac{32}{2}lo{g}_{2}32$ = 16 × 5 = 80

स्पष्टीकरण:

N- बिन्दुं DFT इस प्रकार दिया गया है:

$X\left[k\right]=\sum _{n=0}^{N-1}x\left[n\right]e^{-j\frac{2\pi }{N}kn}$

प्रत्यक्ष DFT में जटिल जोड़ और गुणा की संख्या N(N - 1) और N2 है

N के बड़े मान के लिए, DFT की गणना करने में बहुत समय लगेगा।

इसलिए, हम एक अलग तकनीक का उपयोग करते हैं जिसे त्वरित फूरियर रूपांतर (FFT) कहा जाता है जो "कूले-तुकी" कलन विधि का अनुसरण करता है।

जटिल जोड़ (P) और गुणा (Q) की संख्या होगी:

$P=Nlo{g}_{2}N$

$Q=\frac{N}{2}{\text{log}}_{2}N$

अनंत आवेग प्रतिक्रिया (IIR) फ़िल्टर एक पुनरावर्ती फ़िल्टर है जिसमें फ़िल्टर की धारा आउटपुट की गणना धारा और पिछले इनपुट और आउटपुट का उपयोग करके की जाती है।

IIR फिल्टर रैखिक निम्न पास फिल्टर हैं जिन्हें इस प्रकार दर्शाया गया है:

$\hat{x}\left(t\right)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_i{x}_{t-i}$

(या)

y(n) = b0 x(n) + b1 x(n - 1) + …+ bm x(n - M) – a1 y(n - 1) ….aNy(n - N)

उपरोक्त अंतर समीकरण का स्थानांतरण फलन निम्न द्वारा दिया गया है:

$H\left(z\right)=\frac{Y\left(z\right)}{X\left(z\right)}$

$H\left(z\right)=\frac{b_0+b_1{z}^{-1}+\dots +b_M{z}^{-m}}{1+a_1{z}^{-1}+\dots +a_N{z}^{-N}}$

अवधारणा:

N-बिंदु FFT के लिए सम्मिश्र गुणकों की कुल संख्या निम्न द्वारा दी गई है:

$\frac{N}{2}lo{g}_{2}N$

गणना :

दिया है कि,

आवश्यक गुणकों की कुल संख्या = 80

⇒ $\frac{N}{2}lo{g}_{2}N$ = 80

⇒ $lo{g}_{2}N=\frac{160}{N}$

⇒ $N=2^{\frac{160}{N}}$    ----- (1)

विकल्प सत्यापन के लिए N = 32 पर विचार करें

$32=2^{\frac{160}{35}}$

$32=2^5$

∴ N के लिए आवश्यक मान = 32

द्विरेखीय रूपांतर का उपयोग करके एनालॉग फ़िल्टर को IIR डिजिटल फ़िल्टर में परिवर्तित करने के लिए स्थिती है

$s=\frac{2}{T}\left(\frac{z-1}{z+1}\right)$

${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{r}}=\frac{2}{T}\tan \left(\frac{{\omega }_r}{2}\right)$

ω_r अनुनादी आवृत्ति है।

फ़िल्टर के अधिकतम परिमाण पर (जो ध्रुवों पर होता है)

ध्रुव: (s + 0.1)² + 16 = 0

⇒ s = -0.1 ± j4 = σ ± jΩ

⇒ Ω = 4

$\Rightarrow 4=\frac{2}{T}\tan \left(\frac{\frac{\pi }{2}}{2}\right)$

⇒ T = 0.5

$H\left(s\right)=\frac{s+0.1}{{\left(s+0.1\right)}^2+16}$

अब s को $s=\frac{2}{0.4}\left(\frac{z-1}{z+1}\right)=4\left(\frac{z-1}{z+1}\right)$ के साथ बदलें

$H\left(z\right)=\frac{4\left(\frac{z-1}{z+1}\right)+0.1}{{\left(4\left(\frac{z-1}{z+1}\right)+0.1\right)}^2+16}$

$\Rightarrow H\left(z\right)=\frac{0.128+0.006z^{-1}-0.122z^{-2}}{1+0.0006z^{-1}+0.975z^{-2}}$

संकल्पना:

ट्विडल कारक निम्न द्वारा दिया जाता है:

$W_N=e^{-j\frac{2\pi }{N}}$

$W_N^K=e^{-j{\frac{2\pi }{N}}^{\left(K\right)}}$

N = 4 के लिए

$W_4^K=e^{-j\left(\frac{\pi }{2}\right)K}$

N बिंदु DFT निम्न द्वारा दिया जाता है

$X\left(K\right)=\underset{n=0}{\sum ^{N-1}}x\left(n\right)W_N^{Kn}$

4 बिंदु DFT के लिए 

$X\left(K\right)=\underset{n=0}{\sum ^3}x\left(n\right)W_4^{Kn}$

गणना:

K = 0 के लिए 

$X{\left(0\right)}^{}=\underset{n=0}{\sum ^3}x\left(n\right)W_4^0$

X(0) = x(0) + x(1) + x(2) + x(3)

K = 1 के लिए 

$X\left(1\right)=\underset{n=0}{\sum ^3}x\left(n\right)W_4^n$

$X\left(1\right)=x\left(0\right)W_4^0+x\left(1\right)W_4^1+x\left(2\right)W_4^2+x\left(3\right)W_4^3$

$X\left(1\right)=x\left(0\right)+x\left(1\right)e^{-j\pi /2}+x\left(2\right)e^{-j\pi }+x\left(3\right)e^{-j\left(\frac{3\pi }{2}\right)}$

= x(0) -jx(1) - x(2) + jx(3)

दिए गए DFT से तुलना करना

स्थिति I:

F(0) = X(0)

F(0) = x(0) + ax(2) + b[x(1) + x(3)]        …1)

X(0) = x(0) + x(1) + x(2) + x(3)        …2)

तुलना 1) = 2)

a = b = 1

a = 1 = W⁰₂

 b = 1 = W⁰₄        …3)

स्थिति II:

F(1) = X(1)

F(1) = [x(0) - x(2)] + c[x(1) - x(3)]

X(1) = [x(0) - x(2)] - j[x(1) - x(3)]

तुलना करने पर

c = -j = W¹₄        …4)

3 और 4 से

a = W⁰₂

b = W⁰₄