हिल्बर्ट परिवर्तन के बारे में निम्नलिखित कथन पर विचार कीजिए:

1. हिल्बर्ट परिवर्तन गैर करणीय होती है। 

2. हिल्बर्ट परिवर्तन प्रणाली के डोमेन को परिवर्तित नहीं करता है। 

3. हिल्बर्ट परिवर्तन सिग्नल के परिमाण स्पेक्ट्रम को परिवर्तित नहीं करता है। 

उपरोक्त कथन में से कौन-सा कथन सही हैं?

हिल्बर्ट परिवर्तन:

एक सिग्नल x(t) के हिल्बर्ट परिवर्तन को निम्न रूप में परिभाषित किया गया है:

\(H\left\{ {x\left( t \right)} \right\} = x\left( t \right)*\frac{1}{{\pi t}}\)

\( = \mathop \smallint \limits_{ = \infty }^\infty x\left( \tau \right) \cdot \frac{1}{{\pi \left( {t - \tau } \right)}}d\tau \)

\( = \frac{1}{\pi }\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty \frac{{x\left( \tau \right)}}{{\left( {t - \tau } \right)}}d\tau \)

हिल्बर्ट परिवर्तन की आवेग प्रतिक्रिया को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

\(h\left( t \right) = \frac{1}{{\pi t}}\)

 t < 0 के लिए h(t) ≠ 0 

इसलिए, प्रणाली गैर-करणीय प्रणाली है। 

• हिल्बर्ट परिवर्तन सिग्नल के डोमेन को परिवर्तित नहीं करता है। 
• x(t) में मौजूद आवृत्ति घटक का परिमाण तब अपरिवर्तित रहता है जब यह प्रणाली से होकर गुजरता है। 
• धनात्मक आवृत्ति घटकों का चरण -π/2 से स्थानांतरित होता है और ऋणात्मक आवृत्ति घटक का चरण +π/2 से स्थानांतरित होता है। 
• एक सिग्नल x(t) और इसका हिल्बर्ट परिवर्तन \({\rm{\hat x}}\left( {\rm{t}} \right)\) एक-दूसरे के आयतीय होते हैं।