Laplace Transform MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Laplace Transform - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

प्रारंभिक मान प्रमेय के अनुसार दिया गया है:

\(\rm x(0^+) = \displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} sX(s)\)

गणना:

प्रारंभिक मान प्रमेय का उपयोग करने पर,

\(\rm x(0^+) = \displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} sX(s)\)

\(\Rightarrow \rm x(0^+) = \displaystyle\lim_{s \rightarrow \infty} s. \frac{(2s + 3)}{(s + 1)(s \ + \ 3)}\)

\(\Rightarrow \rm x(0^+) = \displaystyle\lim_{s \rightarrow \infty} s^2. \frac{(2 + \frac{3}{s})}{s^2(1 + \frac{1}{s})(1 \ + \ \frac{3}{s})}\)

\(\Rightarrow \rm x(0^+) = \displaystyle\lim_{s \rightarrow \infty} . \frac{(2 + \frac{3}{s})}{(1 + \frac{1}{s})(1 \ + \ \frac{3}{s})}\)

∴ x(0+) = 2

गणना: sinh(at) का लाप्लास रूपांतरण ज्ञात करने के लिए, हम लाप्लास रूपांतरण की परिभाषा का उपयोग करते हैं: \[ \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt \] दिया गया है \( f(t) = \sinh(at) \), हमारे पास है: \[ \mathcal{L}\{\sinh(at)\} = \int_0^\infty e^{-st} \sinh(at) \, dt \] याद रखें कि \( \sinh(at) = \frac{e^{at} - e^{-at}}{2} \), इसलिए: \[ \mathcal{L}\{\sinh(at)\} = \int_0^\infty e^{-st} \left( \frac{e^{at} - e^{-at}}{2} \right) \, dt \] इसे दो समाकलों में विभाजित किया जा सकता है: \[ \mathcal{L}\{\sinh(at)\} = \frac{1}{2} \left( \int_0^\infty e^{-st} e^{at} \, dt - \int_0^\infty e^{-st} e^{-at} \, dt \right) \] घातांकों को सरल करते हुए, हमें मिलता है: \[ \mathcal{L}\{\sinh(at)\} = \frac{1}{2} \left( \int_0^\infty e^{-(s-a)t} \, dt - \int_0^\infty e^{-(s+a)t} \, dt \right) \] प्रत्येक समाकल का मूल्यांकन करते हुए, हम पाते हैं: \[ \int_0^\infty e^{-(s-a)t} \, dt = \frac{1}{s-a} \quad \text{के लिए} \quad s > a \] \[ \int_0^\infty e^{-(s+a)t} \, dt = \frac{1}{s+a} \quad \text{के लिए} \quad s > -a \] इसलिए, हमारे पास है: \[ \mathcal{L}\{\sinh(at)\} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{s-a} - \frac{1}{s+a} \right) \] भिन्नों को मिलाते हुए: \[ \mathcal{L}\{\sinh(at)\} = \frac{1}{2} \left( \frac{(s+a) - (s-a)}{(s-a)(s+a)} \right) \] अंश को सरल करते हुए: \[ \mathcal{L}\{\sinh(at)\} = \frac{1}{2} \left( \frac{2a}{s^2 - a^2} \right) \] इसलिए: \[ \mathcal{L}\{\sinh(at)\} = \frac{a}{s^2 - a^2} \] अंतिम उत्तर: \( \sinh(at) \) का लाप्लास रूपांतरण \( \frac{a}{s^2 - a^2} \) है। सही उत्तर विकल्प 3 है।

अवधारणा

किसी भी समय क्षेत्र सिग्नल f(t) का लाप्लास रूपांतरण इस प्रकार गणना किया जाता है:

\(F(s)={\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-st}dt }\)

आवधिक वर्ग तरंग का लाप्लास रूपांतरण

उपरोक्त तरंग का लाप्लास रूपांतरण है:

\(L{[f(t)]}={\int_{0}^{a}f(t)e^{-st}dt \over 1-e^{-sT}}\)

\(F(s)={A\over 1-e^{-sT}}{\int_{0}^{a}e^{-st}dt }\)

\(F(s)={A\over s}({1-e^{-sT}\over 1-e^{-2sT}})\)

\(F(s)={A\over s}({1-e^{-sT}\over 1-e^{-2sT}})\)

\(F(s)={A\over s}{1-e^{-sT}\over (1-e^{-sT})(1+e^{-sT})}\)

\(F(s)=\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{s}}\left(\frac{1-\mathrm{e}^{-\mathrm{s} \mathrm{T}}}{1+\mathrm{e}^{-\mathrm{sT}}}\right)\)

व्याख्या:

अवकल समीकरणों को हल करने के लिए लाप्लास रूपांतरण का गुण

परिचय: लाप्लास रूपांतरण एक शक्तिशाली गणितीय उपकरण है जिसका उपयोग इंजीनियरिंग और भौतिकी में व्यापक रूप से अवकल समीकरणों को बीजीय समीकरणों में बदलने के लिए किया जाता है, जो हेरफेर करने और हल करने में आसान होते हैं। यह रूपांतरण रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणालियों को हल करने के लिए विशेष रूप से उपयोगी है, जिसमें विद्युत परिपथ, नियंत्रण प्रणाली और यांत्रिक प्रणाली शामिल हैं। लाप्लास रूपांतरण के विभिन्न गुणों में से, वह गुण जो अवकल समीकरणों को हल करने के लिए विशेष रूप से उपयोगी है, वह है रैखिकता गुण।

रैखिकता गुण: लाप्लास रूपांतरण का रैखिकता गुण बताता है कि कार्यों के एक रैखिक संयोजन का रूपांतरण उनके रूपांतरणों के समान रैखिक संयोजन के बराबर होता है। गणितीय रूप से, यदि \( f(t) \) और \( g(t) \) लाप्लास रूपांतरण \( F(s) \) और \( G(s) \) वाले फलन हैं, और \( a \) और \( b \) स्थिरांक हैं, तो:

L\{a \cdot f(t) + b \cdot g(t)\} = a \cdot L\{f(t)\} + b \cdot L\{g(t)\}

यह गुण हमें एक अवकल समीकरण, जो आमतौर पर कार्यों और उनके व्युत्पन्नों का एक रैखिक संयोजन होता है, को लाप्लास डोमेन में एक बीजीय समीकरण में बदलने की अनुमति देता है।

अवकल समीकरणों को हल करना: लाप्लास रूपांतरण का उपयोग करके अवकल समीकरण को हल करने के लिए, इन चरणों का पालन करें:

• चरण 1: अवकल समीकरण के दोनों पक्षों का लाप्लास रूपांतरण लें। प्रत्येक पद को अलग से बदलने के लिए रैखिकता गुण का उपयोग करें।
• चरण 2: यदि दिए गए हैं तो समस्या की प्रारंभिक स्थितियों को लागू करें।
• चरण 3: अज्ञात फलन के लाप्लास रूपांतरण के लिए परिणामी बीजीय समीकरण को हल करें।
• चरण 4: समय डोमेन में समाधान खोजने के लिए व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण लें।

उदाहरण: निम्नलिखित प्रथम-क्रम रैखिक अवकल समीकरण पर विचार करें:

\(\frac{dy(t)}{dt} + y(t) = u(t)\)

प्रारंभिक स्थिति \( y(0) = y_0 \) के साथ। लाप्लास रूपांतरण का उपयोग करके इसे हल करने के लिए:

1. दोनों पक्षों का लाप्लास रूपांतरण लें:

L\{\frac{dy(t)}{dt} + y(t)\} = L\{u(t)\}

2. रैखिकता गुण और व्युत्पन्न के लिए लाप्लास रूपांतरण के गुणों का उपयोग करके, हमें मिलता है:

sY(s) - y(0) + Y(s) = U(s)

3. प्रारंभिक स्थिति \( y(0) = y_0 \) को प्रतिस्थापित करें:

sY(s) - y_0 + Y(s) = U(s)

4. \( Y(s) \) को हल करने के लिए समान पदों को मिलाएं:

Y(s)(s + 1) = U(s) + y_0

5. \( Y(s) \) को अलग करें:

Y(s) = \frac{U(s) + y_0}{s + 1}

6. \( y(t) \) खोजने के लिए व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण लें:

y(t) = L^{-1}\{\frac{U(s) + y_0}{s + 1}\}

7. फिर से रैखिकता गुण का उपयोग करके, हमें मिलता है:

y(t) = L^{-1}\{\frac{U(s)}{s + 1}\} + y_0 \cdot L^{-1}\{\frac{1}{s + 1}\}

8. अंत में, व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण लागू करें:

y(t) = u(t) * e^{-t} + y_0 \cdot e^{-t}

इस प्रकार, हमने लाप्लास रूपांतरण के रैखिकता गुण का उपयोग करके अवकल समीकरण को हल किया है।

महत्वपूर्ण जानकारी

अब, यह समझने के लिए कि वे सही विकल्प क्यों नहीं हैं, अन्य विकल्पों का विश्लेषण करते हैं:

विकल्प 2: आवृत्ति स्थानांतरण

आवृत्ति स्थानांतरण गुण बताता है कि समय डोमेन में एक फलन को एक घातीय पद से गुणा करने से s-डोमेन में एक शिफ्ट होता है। विशेष रूप से, यदि \( f(t) \) का लाप्लास रूपांतरण \( F(s) \) है, तो:

L\{e^{at} f(t)\} = F(s - a)\}

यह गुण घातीय इनपुट वाली प्रणालियों का विश्लेषण करने के लिए उपयोगी है लेकिन सीधे अवकल समीकरणों को हल करने के लिए उपयोग किया जाने वाला प्राथमिक गुण नहीं है।

विकल्प 3: समय स्थानांतरण

समय स्थानांतरण गुण बताता है कि समय में एक फलन को स्थानांतरित करने से उसके लाप्लास रूपांतरण को एक घातीय पद से गुणा किया जाता है। यदि \( f(t) \) का लाप्लास रूपांतरण \( F(s) \) है, तो:

L\{f(t - a)u(t - a)\} = e^{-as} F(s)\}

यह गुण विलंबित प्रणालियों का विश्लेषण करने के लिए उपयोगी है लेकिन सीधे अवकल समीकरणों को हल करने के लिए उपयोग किया जाने वाला प्राथमिक गुण नहीं है।

विकल्प 4: प्रारंभिक मान

प्रारंभिक मान प्रमेय बताता है कि एक फलन का प्रारंभिक मान उसके लाप्लास रूपांतरण से निर्धारित किया जा सकता है। यदि \( f(t) \) का लाप्लास रूपांतरण \( F(s) \) है, तो:

\lim_{{t \to 0^+}} f(t) = \lim_{{s \to \infty}} sF(s)

यह प्रमेय प्रारंभिक स्थितियों को निर्धारित करने के लिए उपयोगी है लेकिन सीधे अवकल समीकरणों को हल करने के लिए उपयोग किया जाने वाला प्राथमिक गुण नहीं है।

निष्कर्ष:

लाप्लास रूपांतरण का रैखिकता गुण अवकल समीकरणों को हल करने के लिए उपयोग किया जाने वाला प्रमुख गुण है। अवकल समीकरण के प्रत्येक पद को व्यक्तिगत रूप से बदलकर और फिर परिणामी बीजीय समीकरण को हल करके, हम जटिल अवकल समीकरणों के समाधान प्रभावी ढंग से पा सकते हैं। रैखिकता गुण को समझना और लागू करना इंजीनियरिंग और भौतिकी में लाप्लास रूपांतरण की शक्ति का लाभ उठाने के लिए मौलिक है।

अवधारणा:

द्विपक्षीय लाप्लास रूपांतर:

\(L\left[ {x\left( t \right)} \right] = x\left( s \right) = \;\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty x\left( t \right){e^{ - st}}dt\)

एकपक्षीय लाप्लास रूपांतर:

\(L\left[ {x\left( t \right)} \right] = x\left( s \right) = \;\mathop \smallint \limits_0^\infty x\left( t \right){e^{ - st}}dt\)

कुछ महत्वपूर्ण लाप्लास रूपांतर:

	f(t)	f(s)	ROC
1.	δ(t)	1	संपूर्ण s-तल
2.	e-at u(t)	\(\frac{1}{{s + a}}\)	s > - a
3.	e-at u(-t)	\(\frac{1}{{s + a}}\)	s < - a
4.	cos ω0 t u(t)	\(\frac{s}{{{s^2} + \omega _0^2}}\)	s > 0
5.	te-at u(t)	\(\frac{1}{{{{\left( {s + a} \right)}^2}}}\)	s > - a
6.	sin ω0t u(t)	\(\frac{{{\omega _0}}}{{{s^2} + \omega _0^2}}\)	s > 0
7.	u(t)	11/s	s > 0

 

गणना:

\(\sin \omega t. u(t)\leftrightarrow \frac{\omega }{{{s^2} + {\omega ^2}}}\)

आवृत्ति अवकल गुण लागू करके,

\({e^{ - at}}\sin \omega t. u(t) \leftrightarrow \frac{\omega }{{{{\left( {s + a} \right)}^2} + {\omega ^2}}}\)

संकल्पना:

अंतिम मान प्रमेय:

एक अंतिम मान वाला प्रमेय समय डोमेन व्यवहार को आवृत्ति डोमेन समीकरण की सीमा को लेकर प्रत्यक्ष रूप से गणना करने की अनुमति प्रदान करता है। 

अंतिम मान वाला प्रमेय बताता है कि किसी प्रणाली के अंतिम मान की गणना निम्न द्वारा की जा सकती है 

\(x\left( \infty \right) = \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} sX\left( s \right)\)

जहाँ X(s) फलन का लाप्लास रूपांतरण है। 

अंतिम मान वाले प्रमेय को लागू करने के लिए प्रणाली को स्थिर-अवस्था में संतुलित होना चाहिए और इसके लिए ध्रुवों के वास्तविक भाग को s तल के बाएँ पक्ष में होना चाहिए। 

प्रारंभिक मान प्रमेय:

\(x\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} x\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{s \to \infty } sX\left( s \right)\)

यह केवल तब लागू होता है जब X(s) के ध्रुवों की संख्या X(s) के शून्यों की संख्या से अधिक होती है। 

गणना:

दिया गया है कि, \(X\left( s \right) = \frac{{4s + 1}}{{{s^2} + 6s + 3}}\)

प्रारंभिक मान,

 \(x\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{s \to \infty } s\frac{{4s + 1}}{{{s^2} + 6s + 3}}\\=\mathop {\lim }\limits_{\frac{1}{s} \to 0 } \frac{{4 + \frac{1}{s}}}{{{1} + \frac{6}{s} + \frac{3}{s^2}}} = 4\)

संकल्पना:

 

प्रारंभिक मान प्रमेय:

प्रारंभिक मान प्रमेय लाप्लास रूपांतर के मूल गुणों में से एक है जिसका उपयोग लाप्लास डोमेन में प्रारंभिक अवस्था (t = 0) पर प्रणाली की प्रतिक्रिया को खोजने के लिए किया जाता है। गणितीय रूप से यह निम्न द्वारा दिया गया है

\({\bf{f}}\left( {{0^ + }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} {\bf{f}}\left( {\bf{t}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{s \to \infty \;} s\;F\left( s \right)\)

जहाँ

f(t) प्रणाली फलन है

F(s) प्रणाली फलन f(t) का लाप्लास रूपांतर है

f(0+) प्रणाली का प्रारंभिक मान है

सूचना:

• लागू किये जाने वाले अंतिम प्रमेय के लिए प्रणाली को स्थिर-अवस्था में संतुलित होना चाहिए और इसके लिए ध्रुवों का वास्तविक भाग s तल के बाएँ पक्ष पर होना चाहिए।
• दिए गए प्रश्न में ठीक अंतिम प्रमेय को लागू नहीं किया गया है लेकिन केवल X(0+) की गणना की गयी है।​

गणना:

दिया गया है कि,

\(X(s) = \frac{{3{s} + 5}}{{{s^2} + 10s + 21}}\)

\({\bf{x}}\left( {{0^ + }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\bf{x}}\left( {\bf{t}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{s \to \infty \;} s\;X\left( s \right)\)

\({\bf{x}}\left( {{0^ + }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\bf{f}}\left( {\bf{t}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{s \to \infty \;} s.\;\frac{{3{s} + 5}}{{{s^2} + 10s + 21}}\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{s \to \infty \;} \;\frac{{3{s^2} + 5s}}{{{s^2} + 10s + 21}}\)

= 3

गणना:

f(t) का दिया गया लाप्लास परिवर्तन \(F\left( s \right)=\frac{5s+3}{s\left( s+1 \right)}\) है 

आंशिक भिन्न करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है,

\(\Rightarrow \frac{5s+3}{s\left( s+1 \right)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}\)

⇒ 5s + 3 = A(s + 1) + B(s)

⇒ s = 0 रखने पर 

5(0) + 3 = A

A = 3

s = -1 रखने पर 

⇒ 5(-1) + 3 = -B

-2 = -B

B = 2

अब F(s) को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:

\(F\left( s \right)=\frac{3}{s}+\frac{2}{s+1}\)

अब व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन निम्न है;

3u(t) + 2e^-tu(t)

Concept:

\(\rm x(0^+) = \displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} sX(s)\)

Calculation:

Using initial value theorem,

\(\rm x(0^+) = \displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} sX(s)\)

\(\Rightarrow \rm x(0^+) = \displaystyle\lim_{s \rightarrow \infty} s. \frac{(3s + 5)}{(s^2 + 10s + 21)}\)

\(\Rightarrow \rm x(0^+) = \displaystyle\lim_{s \rightarrow \infty} \frac{s^2( 3 + \frac{5}{s})}{s^2 \left( 1 + \frac{10}{S} + \frac{21}{S^2} \right)}\)

\(\Rightarrow \rm x(0^+) = \displaystyle\lim_{s \rightarrow \infty} \frac{3 + \frac{5}{S}}{1 + \frac{10}{S} + \frac{21}{S^2}}\)

∴ x(0+) = 3

Alternate method:

using Inverse Laplace Transform method,

we have,

\(\rm X(s) = \frac{3S + 5}{S^2 + 10S + 21} = \frac{3S + 5}{S^2 + 10 S + 21 + 4 - 4}\)

\(\rm X(s) = \frac{3S + 5}{(S + 5)^2 - 2^2} = \frac{3S + 15 - 10}{(S + 5)^2 - 2^2}\)

\(\rm X(S) = \frac{3(S + 5)}{(S + 5)^2 - 2^2} - \frac{10}{(S + 5)^2 - 2^2}\)

Taking inverse Laplace transform

x(t) = 3e-5t cosh2t - 5e-5t sinh2t

x(t) = e-5t(3 cosh2t - 5 sinh2t)

At t = 0+,

x(0+) = e0(3cosh 0 - 5 sinh0)

x(0+) = 1(3 - 0)

x(0+) = 3

संकल्पना:

माना कि f(t) के फलन का लाप्लास परिवर्तन L [f(t)] = F (s) है

पहले स्थानांतरण नियम का उपयोग करने पर 

यदि L [f(t)] = F (s) है, तो 

L [e^at f(t)] = F (s – a)

\(L\left( t^n \right)=~\frac{n!}{\left( {{s}^{n+1}} \right)}\)

\(L\left( \cos at \right)=~\frac{s}{\left( {{s}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}\)

गणना:

y(t) का लाप्लास परिवर्तन = 3 t4

L [y(t)] = L (3 t4)

\(L\left( \ 3 t^4 \right)=~\frac{3\times4!}{\left( {{s}^{4+1}} \right)} = \frac{3\times(4\times3\times2\times1)}{\left( {{s}^{5}} \right)}\)

\(L\left( \ 3 t^4 \right)=~\frac{72}{\left( {{s}^{5}} \right)}\)

Important Points

कुछ सामान्य लाप्लास रूपांतर निम्नवत हैं:

f(t)	F(s)	ROC
δ (t)	1	All s
u(t)	\(\frac{1}{s}\)	Re (s) > 0
t	\(\frac{1}{{{s^2}}}\)	Re (s) > 0
tn	\(\frac{{n!}}{{{s^{n + 1}}}}\)	Re (s) > 0
e-at	\(\frac{1}{{s + a}}\)	Re (s) > -a
t e-at	\(\frac{1}{{{{\left( {s + a} \right)}^2}}}\)	Re (s) > -a
tn e-at	\(\frac{{n!}}{{{{\left( {s + a} \right)}^n}}}\)	Re (s) > -a
Sin at	\(\frac{a}{{{s^2} + {a^2}}}\)	Re (s) > 0
Cos at	\(\frac{s}{{{s^2} + {a^2}}}\)	Re (s) > 0

 

दिया गया है कि,

ध्रुव = (2, -1) और (-2, 1)

शून्य = (2, 1), (-2, -1)

अब, ध्रुवों और शून्यों को वास्तविक और काल्पनिक अक्ष पर खींचना-

अंतरण फलन निम्न के रूप में लिखा जा सकता है

\(H\left( s \right) = \frac{{\left[ {s - \left( {2 + j} \right)} \right]\left[ {s - \left( { - 2 - j} \right)} \right]}}{{\left[ {s - \left( {2 + j} \right)} \right]\left[ {s - \left( { - 2 + j} \right)} \right]}}\)

\(H\left( s \right) = \frac{{{s^2} - 3 - 4j}}{{{s^2} - 3 + 4j}}\)

अवलोकन:

• H(jω) = 1 का परिमाण। इसलिए, दी गई प्रणाली एक सभी-पास फिल्टर है।
• चूंकि RHS पर एक ध्रुव है, प्रणाली अस्थिर है।
• चूंकि ध्रुव में जटिल संयुग्म ध्रुव और शून्य मौजूद नहीं हैं, इसलिए प्रणाली जटिल है।

संकल्पना:

कुछ सामान्य लाप्लास परिवर्तन नीचे दर्शाया गया है:

सिग्नल	परिवर्तन	ROC
δ(t)	1	All s
u(t)	1/s	Re (s) > 0
cos ω0t u(t)	\(\frac{s}{{{s^2} + \omega _0^2}}\)	Re (s) > 0
sin ω0t u(t)	\(\frac{{{\omega _0}}}{{{s^2} + \omega _0^2}}\)	Re (s) > 0

संकल्पना

एक डोमेन में फलन का गुणन दूसरे डोमेन में अवकलन से मेल खाता है

यदि f(t) में लाप्लास परिवर्तन F(s) है तो t ⋅ f(t) निम्न के रूप में परिवर्तन होगा

f(t) ↔\( - \frac{{dF\left( s \right)}}{{ds}}\)

गणना:

दिया गया फलन f(t) है। और g(t) = t ⋅ f(t)

g(t) का लाप्लास रूपांतर निम्न है:

\(L[g(t)] = - \frac{d}{{ds}}\left( {\frac{1}{{{s^2}s + 1}}} \right)\)

\( = - \frac{{\frac{{d\left( 1 \right)}}{{ds}}\left( {{s^2} + s + 1} \right) - 1 \times \frac{{d\left( {{S^2} + S + 1} \right)}}{{ds}}}}{{{{\left( {{S^2} + S + 1} \right)}^2}}}\)

\( = - \left( {\frac{{0 - 1\left( {2s + 1} \right)}}{{{{\left( {{s^2} + s + 1} \right)}^2}}}} \right)\)

\( = \frac{{2s + 1}}{{{{\left( {{s^2} + s + 1} \right)}^2}}}\)

संकल्पना:

फ़लन f(t) का लाप्लास रूपांतर F(s) निम्न द्वारा परिभाषित किया गया है:

\(L\text{(}f\left( t \right)\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }=F\left( s \right)=\underset{0}{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,{{e}^{-st}}f\left( t \right)dt\)

लाप्लास रूपांतर के समय-स्थानांतरण गुण से:

\(L\left\{ f\left( t-a \right) \right\}={{e}^{-as}}F\left( s \right)\)

गणना​:

दिए गए नेटवर्क के लिए लाप्लास समकक्ष नेटवर्क है,

धारा I(s) को निम्न द्वारा दिया गया है

\(I\left( s \right) = V\left( s \right) \times \frac{1}{{s + 1}}\)

\( = \frac{{{e^{ - 5s}}}}{s} \times \frac{1}{{s + 1}}\)

\( = {e^{ - 5s}}\left[ {\frac{1}{s} - \frac{1}{{s + 1}}} \right]\)

व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतर को लागू करके,

⇒ i(t) = [1 – e-(t - 5)]u(t - 5)