वह संख्या ज्ञात कीजिए जिसे क्रमिक रूप से 3, 5 और 7 से विभाजित करने पर शेषफल क्रमशः 2, 1 और 3 बचता है तथा अंतिम भागफल 3 है।

Shortcut Trick

क्रमिक विभाजन = 3, 5, और 7

क्रमिक शेषफल = 2, 1, और 3

मान लीजिए कि अंतिम भागफल = x

तब संख्या निम्नानुसार होगी

3 [5 {7x + 3} + 1] + 2

⇒ 3 [35x + 15 + 1] + 2

⇒ 105x + 45 + 3 + 2

⇒ 105x + 50

⇒ 5[21x + 10]

चूँकि प्राप्त संख्या 5 का गुणज है, इसलिए विकल्प के अनुसार 360 या 365 सही उत्तर होगा।

अब, यदि संख्या = 365

105x + 50 = 365

⇒ 105x = 315

⇒ x = 3

यहाँ, हमें x का पूर्णांक मान प्राप्त होता है, इसलिए सही संख्या 365 होगी।

∴ सही उत्तर विकल्प (3) है।

Alternate Method

दिया गया है:

किसी संख्या को जब क्रमिक रूप से 3, 5 और 7 से विभाजित किया जाता है तो शेषफल क्रमशः 2, 1, और 3 बचता है तथा अंतिम भागफल 3 होता है।

प्रयुक्त सूत्र:

चीनी शेषफल प्रमेय

गणना:

अब संख्या को (N) से निरूपित करते हैं।

प्रश्न के अनुसार, जब (N) को क्रमिक रूप से 3, 5 और 7 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल क्रमशः 2, 1 और 3 बचता है, जिसमें अंतिम भागफल 3 होता है।

हम इसे चरण-दर-चरण प्रक्रिया में विभाजित कर सकते हैं।

अब क्रमिक विभाजन पर विचार करते हैं:

3 से प्रथम विभाजन: (N) को 3 से विभाजित करने पर शेषफल 2 बचता है। इस प्रकार, किसी पूर्णांक k के लिए N = 3k + 2।

5 से दूसरा भाग: पहले भाग से प्राप्त भागफल (k) को 5 से विभाजित करने पर शेषफल 1 बचता है। इस प्रकार, किसी पूर्णांक m के लिए k = 5m + 1.

समीकरण में (N) को पुनः प्रतिस्थापित करने पर: N = 3(5m + 1) + 2 = 15m + 3 + 2 = 15m + 5.

7 से तीसरा भाग: दूसरे भाग से प्राप्त भागफल (m) को 7 से भाग देने पर शेषफल 3 बचता है। इस प्रकार, किसी पूर्णांक n के लिए m = 7n + 3।

समीकरण में (N) को पुनः प्रतिस्थापित करने पर: N = 15(7n + 3) + 5 = 105n + 45 + 5 = 105n + 50.

अंतिम भागफल: यह दिया गया है कि तीसरे भाग से अंतिम भागफल 3 है।

अतः, n = 3. N के समीकरण में (n = 3) प्रतिस्थापित करने पर: N = 105(3) + 50 = 315 + 50 = 365.

इस प्रकार, वह संख्या (N) जो सभी शर्तों को संतुष्ट करती है, 365 है।