विभाज्यता और शेषफल MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Divisibility and Remainder - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

दो संख्याओं का अंतर = 1365

जब बड़ी संख्या को छोटी संख्या से विभाजित किया जाता है, तो भागफल = 6

जब बड़ी संख्या को छोटी संख्या से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल = 15

प्रयुक्त सूत्र:

बड़ी संख्या = छोटी संख्या × भागफल + शेषफल

अंतर = बड़ी संख्या - छोटी संख्या

गणना:

मान लीजिए कि छोटी संख्या x है।

बड़ी संख्या = 6x + 15

दिया गया है, अंतर = 1365

⇒ 6x + 15 - x = 1365

⇒ 5x + 15 = 1365

⇒ 5x = 1365 - 15

⇒ 5x = 1350

⇒ x = 1350 / 5

⇒ x = 270

छोटी संख्या 270 है।

दिया गया:

9-अंकीय संख्या: 5x79856y6

यह संख्या 36 से विभाज्य है।

x और y प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

प्रयुक्त सूत्र:

एक संख्या 36 से विभाज्य होगी यदि वह 4 और 9 दोनों से विभाज्य हो।

1. 4 से विभाज्यता के लिए, अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य संख्या बनाने चाहिए।

2. 9 से विभाज्यता के लिए, सभी अंकों का योग 9 से विभाज्य होना चाहिए।

गणना:

अंतिम दो अंक 6y6 हैं, अतः 4 से विभाज्यता के लिए:

y6 4 से विभाज्य होना चाहिए.

y के संभावित मान: 1, 3, 5, 7, 9 (प्राकृतिक संख्याएँ)

अंकों का योग: 5 + x + 7 + 9 + 8 + 5 + 6 + y + 6 = 46 + x + y

9 से विभाज्यता के लिए, (46 + x + y) 9 से विभाज्य होना चाहिए।

y = 9 (सबसे बड़ा संभावित मान) मानते हुए:

46 + एक्स + 9 = 55 + एक्स

55 + x, 9 से विभाज्य होना चाहिए।

x = 8 के लिए संभावित मान (क्योंकि 55 + 8 = 63)

अतः x = 8 और y = 9

अब,

√(2x + y) का ऋणात्मक मान = √(2 × 8 + 9) = √25 = - 5

सही उत्तर विकल्प 4 है।

दिया गया है:

यदि n एक प्राकृत संख्या है, तो 9²ⁿ - 4²ⁿ हमेशा किससे विभाज्य है:

विकल्प:

1) 5

2) 13

3) दोनों (A) और (B)

4) न तो (A) और न ही (B)

प्रयुक्त सूत्र:

विभाज्यता नियमों के लिए, हम जाँचते हैं कि क्या व्यंजक दी गई संख्याओं के लिए मापांकित शर्तों को पूरा करता है।

9² ≡ -3 (mod 5), 4² ≡ 2 (mod 5)

9² ≡ 1 (mod 13), 4² ≡ 3 (mod 13)

गणनाएँ:

चरण 1: मॉड्यूलो 5 जाँच

9²ⁿ ≡ (-3)ⁿ (mod 5), 4²ⁿ ≡ 2ⁿ (mod 5)

⇒ 9²ⁿ - 4²ⁿ ≡ (-3)ⁿ - 2ⁿ (mod 5)

सभी n के लिए, (-3)ⁿ ≡ 2ⁿ (mod 5), इसलिए 5 से विभाज्य है।

चरण 2: मॉड्यूलो 13 जाँच करते हैं

9²ⁿ ≡ 1ⁿ (mod 13), 4²ⁿ ≡ 3ⁿ (mod 13)

⇒ 9²ⁿ - 4²ⁿ ≡ 1ⁿ - 3ⁿ (mod 13)

सभी n के लिए, 1ⁿ - 3ⁿ ≡ 0 (mod 13), इसलिए 13 से विभाज्य है।

चरण 3: परिणामों को मिलाते हैं 

चूँकि 9²ⁿ - 4²ⁿ 5 और 13 दोनों से विभाज्य है, यह दोनों से विभाज्य है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प (3) है।

दिया गया है:

भाज्य = 2200

शेषफल = 13

भाजक = भागफल का एक-तिहाई

प्रयुक्त सूत्र:

भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल

भाजक = भागफल ÷ 3

गणना:

2200 = भाजक × भागफल + 13

⇒ 2200 - 13 = भाजक × भागफल

⇒ 2187 = भाजक × भागफल

भाजक = भागफल ÷ 3

⇒ 2187 = (भागफल ÷ 3) × भागफल

⇒ 2187 = भागफल² ÷ 3

⇒ भागफल² = 2187 × 3

⇒ भागफल² = 6561

⇒ भागफल = √6561

⇒ भागफल = 81

भाजक = भागफल ÷ 3

⇒ भाजक = 81 ÷ 3

⇒ भाजक = 27

∴ सही उत्तर विकल्प (2) है।

दिया गया है:

चार अंकों की संख्या 'abcd' के अंकों का योग उस संख्या में से घटाया जाता है।

हमें वह संख्या ज्ञात करनी है जिससे परिणाम सदैव विभाज्य होता है।

प्रयुक्त सूत्र:

मान लीजिए कि संख्या को इस प्रकार दर्शाया गया है: (1000a + 100b + 10c + d)

अंकों का योग = (a + b + c + d)

घटाने के बाद परिणाम = (1000a + 100b + 10c + d) - (a + b + c + d)

गणना:

परिणाम = (1000a + 100b + 10c + d) - (a + b + c + d)

⇒ (1000a - a) + (100b - b) + (10c - c) + (d - d)

⇒ (999a + 99b + 9c)

सार्व गुणनखंड लेने पर:

⇒ (9 × (111a + 11b + c))

यह दर्शाता है कि परिणाम हमेशा 9 से विभाज्य होता है।

∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।

दिया गया है:

$({49}^{15}-1)$

​प्रयुक्त अवधारणा:

an​​​​​​ - bn, (a + b) से विभाज्य है जब n एक सम धनात्मक पूर्णांक है।

यहां, a और b अभाज्य संख्या होनी चाहिए।

गणना:

$({49}^{15}-1)$

⇒ $({(7^2)}^{15}-1)$

⇒ $(7^{30}-1)$

यहाँ, 30 एक धनात्मक पूर्णांक है।

अवधारणा के अनुसार,

$(7^{30}-1)$, (7 + 1) अर्थात् 8 से विभाज्य है।

∴ 8, $({49}^{15}-1)$ का भाजक है।

दिया गया है:

676xy, 3, 7 और 11 से विभाज्य है। 

अवधारणा:

जब 676xy, 3, 7 और 11 से विभाज्य है, तो यह 3, 7 और 11 के लघुत्तम समापवर्त्य से भी विभाज्य होगा। 

भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल 

गणना:

(3, 7, 11) लघुत्तम समापवर्त्य = 231

5 अंकों की सबसे बड़ी संख्या 67699 लेकर उसे 231 से भाग देने पर।

∵ 67699 = 231 × 293 + 16

⇒ 67699 = 67683 + 16 

⇒ 67699 - 16 = 67683 (231 से पूर्णतः विभाज्य)

∴ 67683 = 676xy (जहाँ x = 8, y = 3)

(3x - 5y) = 3 × 8 - 5 × 3

⇒ 24 - 15 = 9 

∴ अभीष्ट परिणाम = 9

x² + ax + b को x - 5 से विभाजित करने पर शेषफल 34 प्राप्त होता है,

⇒ 5² + 5a + b = 34

⇒ 5a + b = 9      ----(1)

पुनः,

x² + bx + a को x - 5 से विभाजित करने पर शेषफल 52 प्राप्त होता है।

⇒ 5² + 5b + a = 52

⇒ 5b + a = 27      ----(2)

समीकरण (1) + (2) से हमें प्राप्त होता है,

⇒ 6a + 6b = 36

गणना:

संख्याएँ 8, 12 और 16 हैं जो संख्याओं को 400 और 500 के बीच विभाजित करती हैं और शेष 5 प्राप्त करती हैं।

विभिन्न संख्याओं के गुणज ज्ञात करने के लिए, हमें लघुतम समापवर्त्य का पता लगाना होगा।

8, 12, 16 का लघुतम समापवर्त्य

8 = 2³, 12 = 2² × 3, 16 = 2⁴

लघुतम समापवर्त्य = 2⁴ × 3 = 48

संख्या का स्वरूप = 48k + 5 (शेषफल)

400 और 500 के बीच की संख्या

सबसे छोटी संख्या = 48 × 9 + 5 = 437

सबसे बड़ी संख्या = 48 × 10 + 5 = 485

इसलिए,

संख्याओं का योग = 437 + 485

⇒ 922

∴ सही चुनाव विकल्प 1 है।

दिया गया है:

संख्याएँ 500 से 650 तक हैं जो न तो 3 से विभाज्य हैं और न ही 7 से विभाज्य हैं।

गणना:

3 से विभाज्य 500 तक की कुल संख्याएँ = 500/3 → 166 (भागफल)

7 से विभाज्य 500 तक की कुल संख्याएँ = 500/7 → 71 (भागफल)

21 से विभाज्य 500 तक की कुल संख्याएँ = 500/21 → 23 (भागफल)

3 से विभाज्य 650 तक की कुल संख्याएँ = 650/3 → 216 (भागफल)

7 से विभाज्य 650 तक की कुल संख्याएँ = 650/7 → 92 (भागफल)

21 से विभाज्य 650 तक की कुल संख्याएँ = 650/21 → 30 (भागफल)

⇒ 500 और 650 के बीच 3 से विभाज्य कुल संख्याएं = 216 - 166 = 50

⇒ 500 और 650 के बीच 7 से विभाज्य कुल संख्याएं = 92 - 71 = 21

⇒ 500 और 650 के बीच 21 से विभाज्य कुल संख्याएं = 30 - 23 = 7

500 और 650 के बीच कुल संख्याएं = 150 + 1 = 151

∴ अभीष्ट संख्या = 151 - (50 + 21 - 7) = 151 - 64 = 87

∴ 500 से 650 तक (दोनों को मिलाकर) ऐसी 87 संख्याएँ हैं जो न तो 3 से और न ही 7 से विभाज्य हैं। 

दिया है:

2384 को 17 से विभाजित किया गया है।

गणना:

2³⁸⁴ = 2^{(4 × 96)} = 16⁹⁶

हम जानते हैं कि जब 16 को 17 से विभाजित किया जाता है तो शेषफल -1 प्राप्त होता है

जब 16⁹⁶ को 17 से विभाजित किया जाता है तब शेषफल = (-1)⁹⁶ = 1

प्रयुक्त अवधारणा:

यदि किसी संख्या के अंतिम 2 अंक 4 से विभाज्य हैं, तो वह संख्या 4 से विभाज्य होगी

गणना:

प्रश्न के अनुसार, संख्याएँ हैं

2332, 2552, 4664, 2772, 6776, 4884, 2992, और 6996

तो, abba के रूप में 8 ऐसी संख्याएँ हैं, जो 4 से विभाज्य हैं

∴ सही उत्तर 8 है

गलती अंक

यदि आप 20 पर समाप्त होने वाले उदाहरण पर विचार कर रहे हैं,

तो, 'abba' '0220' होगा, और 0220 चार अंकों की संख्या नहीं है।  

इसी प्रकार 40,60,80 पर समाप्त होने वाले उदाहरण के मामले में भी यही बात लागू होती है।

दिया गया है:

पाँच अंकों की संख्या 750PQ, 3, 7 और 11 से विभाज्य है।

प्रयुक्त अवधारणा:

लघुत्तम समापवर्त्य की अवधारणा

गणना:

3, 7 और 11 का लघुत्तम समापवर्त्य 231 है।

5 अंकों की सबसे बड़ी संख्या 75099 लेकर उसमें 231 से भाग करने पर,

यदि हम 75099 को 231 से भाग करें तो हमें भागफल 325 और शेषफल 24 प्राप्त होता है।

तो, पाँच अंकों की संख्या 75099 - 24 = 75075

संख्या = 75075 और P = 7, Q = 5

अब,

P + 2Q = 7 + 10 = 17

∴ P + 2Q का मान 17 है।

दिया गया है:

यदि पांच अंकों की संख्या 247xy 3, 7 और 11 से विभाज्य है

गणना:

3, 7, 11 का लघुत्तम समापवर्त्य 231 है

प्रश्न के अनुसार

247xy का महत्तम संभावित मान 24799 है

जब हम 24799 को 231 से विभाजित करते हैं तो हमें 82 शेषफल प्राप्त होता है

संख्या = 24799 – 82

⇒ 24717

अब x = 1 और y = 7

(2y – 8x) = (2 × 7 – 8 × 1)

⇒ (14 – 8)

⇒ 6

∴ अभीष्ट मान 6 है

दिया गया है:

4 अंकों की सबसे छोटी संख्या को 16, 19 और 38 से विभाजित किया जाता है और शेष प्रत्येक स्थिति में 6 है।

गणना:

16, 19 और 38 का लघुत्तम समापवर्त्य,

⇒ 16 = 2 x 2 x 2 x 2

⇒ 19 = 19 x 1

⇒ 38 = 2 x 19 x 1

⇒ लघुत्तम समापवर्त्य = 2 x 2 x 2 x 2 x 19 = 304

हम जानते हैं कि चार अंकों की सबसे छोटी संख्या = 1,000 

जब 1,000 को 304 से विभाजित किया जाता है तो शेषफल 88 होता है।

तो, चार अंकों की सबसे छोटी संख्या जिसे 304 से विभाजित किया जाता है = 1000 + (304 - 88)

⇒ 1216

अब अभीष्ट संख्या में शेषफल 6 है,

इसलिए, अभीष्ट संख्या = 1216 + 6

⇒ 1222

1222 के अंकों का योग = 1 + 2 + 2 + 2

⇒ 7

∴ अभीष्ट योग 7 है।