बीजगणित MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Algebra - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना-

यदि α और β बहुपद f(x) = ax2 + bx + c के मूल हैं तो

मूलों का योग = -b/a

मूलों का गुणनफल = c/a

स्पष्टीकरण -

अब हमारे पास है -

यदि α और β बहुपद f(x) = x² + x + 1 के मूल हैं। 

तब α + β = -1 .....(i)

और α.β = 1...... (ii)

अब हम Q का मान ज्ञात करना चाहते हैं

= \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha.\beta}\)

अब समीकरण (i) और (ii) का मान रखने पर, हमें मिलता है -

= -1/1 = -1

अतः विकल्प (3) सही है।

दिया गया है:

दो विद्यार्थी एक परीक्षा में बैठे।

उनमें से एक ने दूसरे से 9 अंक अधिक प्राप्त किये।

उसके अंक उनके अंकों के योग का 56% है।

प्रयुक्त अवधारणा:

दी गई स्थितियों को दर्शाने के लिए बीजीय समीकरणों का उपयोग करते हैं और अज्ञात को हल करते हैं।

गणना:

माना कि कम अंक पाने वाले विद्यार्थी के अंक x हैं।

इसलिए, अधिक अंक पाने वाले विद्यार्थी के अंक x + 9 हैं।

उनके अंकों का योग = x + (x + 9) = 2x + 9

प्रश्नानुसार, अधिक अंक पाने वाले विद्यार्थी के अंक, उनके अंकों के योग का 56% हैं।

⇒ x + 9 = 56/100 × (2x + 9)

⇒ x + 9 = 0.56(2x + 9)

⇒ x + 9 = 1.12x + 5.04

⇒ x + 9 - 1.12x = 5.04

⇒ -0.12x + 9 = 5.04

⇒ -0.12x = 5.04 - 9

⇒ -0.12x = -3.96

⇒ x = -3.96 / -0.12

⇒ x = 33

कम अंक पाने वाले विद्यार्थी के अंक = 33

अधिक अंक पाने वाले विद्यार्थी के अंक = 33 + 9 = 42

∴ विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त अंक 33 और 42 हैं।

दिया गया है

दिया गया व्यंजक:  (234)100 + (234)101 

उपयोग की गई संकल्पना

इकाई अंक 4 वाली किसी प्राकृत संख्या के लिए,

यदि घात सम संख्या है अर्थात 2, 4, 6,...

तब इकाई का अंक 6 होगा

और यदि घात विषम संख्या है अर्थात 1, 3, 5,...

तब इकाई का अंक 4 होगा

गणना

दिया गया व्यंजक (234)100 + (234)101 है  

⇒ (234)100[1 + 234]

⇒ (234)100 × 235

यहाँ घात 100 (सम) है और संख्या 234 है (इकाई का अंक 4 है)

⇒ इकाई का अंक 6 होगा

अब, 6 × 5 = 30 (इकाई का अंक 0 है)

∴ सही उत्तर 0 है।

दिया गया है:

यदि x + 1/x = √7, तो x³ + 1/x³ का मान ज्ञात कीजिए।

प्रयुक्त सूत्र:

यदि x + 1/x = a, तो x³ + 1/x³ = a³ - 3a है। 

गणना:

यहाँ, a = √7

⇒ x³ + 1/x³ = (√7)³ - 3(√7)

⇒ x³ + 1/x³ = (7√7) - 3√7

⇒ x³ + 1/x³ = 4√7

∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।

दिया गया है:

\(\rm 8\left(\frac{0.2\times 0.2\times 0.2+0.04\times 0.04\times 0.04}{0.4\times 0.4\times 0.4+0.08\times 0.08\times 0.08}\right)+9\)

प्रयुक्त सूत्र:

\(\rm a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)

गणना:

माना, a = 0.2 और b = 0.04

अंश = \(\rm (0.2)^3 + (0.04)^3 = a^3 + b^3\)

हर के पद: 0.4 = 2a, 0.08 = 2b

हर = \(\rm (0.4)^3 + (0.08)^3 = (2a)^3 + (2b)^3 = 8a^3 + 8b^3 = 8(a^3 + b^3)\)

भिन्न = \(\rm \frac{a^3 + b^3}{8(a^3 + b^3)} = \frac{1}{8}\)

व्यंजक = \(\rm 8 \times \frac{1}{8} + 9\)

व्यंजक = 1 + 9

व्यंजक = 10

इसलिए, व्यंजक का सरलीकृत मान 10 है।

दिया गया है:

x - 1/x = 3

प्रयुक्त अवधारणा:

a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)

गणना:

x3 - 1/x3 = (x - 1/x)3 + 3 × x × 1/x × (x - 1/x)

⇒ (x - 1/x)3 + 3(x - 1/x)

⇒ (3)3 + 3 × (3)

⇒ 27 + 9 = 36

∴ x³ - 1/x³ का मान 36 है।

Alternate Methodयदि x - 1/x = a है, तब x3 - 1/x3 = a3 + 3a

यहाँ a = 3

x - 1/x3 = 33 + 3 × 3

= 27 + 9

= 36

दिया गया है:

x = √10 + 3

प्रयुक्त सूत्र: 

a² - b² = (a + b)(a - b)

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

गणना:

\(\begin{array}{l} \frac{1}{x} = \frac{1}{{\sqrt{10}{\rm{\;}} + {\rm{\;}}3}}\\ = {\rm{\;}}\frac{{\sqrt{10} {\rm{\;}} - {\rm{\;}}3}}{{\left( {\sqrt{10} + {\rm{\;}}3} \right)\left( {\sqrt{10} {\rm{\;}} - {\rm{\;}}3} \right)}}\\ = {\rm{\;}}\frac{{\sqrt{10} {\rm{\;}} - {\rm{\;}}3 }}{{{{\left( {\sqrt{10} } \right)}^2} - {{\left( {3} \right)}^2}}} \end{array}\)

⇒ 1/x = √10 - 3

\( \Rightarrow x - \;\frac{1}{x} = \;\sqrt 10 + 3\; -\sqrt10 + 3 = 6\)     ----(1)

(1) के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

\( \Rightarrow (x - \;\frac{1}{x})^2 = \;(6\;)^2\)

\(\Rightarrow {x^2} - 2x\frac{1}{x} + \;\frac{1}{{{x^2}}} = 36\)

\(\Rightarrow {x^2} - 2 + \;\frac{1}{{{x^2}}} = 36\)

\(\Rightarrow {x^2} + \;\frac{1}{{{x^2}}} = 38\)    -----(2)

\(∴ \;{x^3} - \;\frac{1}{{{x^3}}}\; = \left( {\;x - \;\frac{1}{x}\;} \right)\left( {\;{x^2} + x\frac{1}{x} + \;\frac{1}{{{x^2}}}\;} \right)\)

\(\Rightarrow \;{x^3} - \;\frac{1}{{{x^3}}}\; = \left( {\;x - \;\frac{1}{x}\;} \right)\left( {\;{x^2} + \;\frac{1}{{{x^2}}} + 1} \right)\)

\(\Rightarrow \;{x^3} - \;\frac{1}{{{x^3}}}\; = 6 \times (38 + 1)\)

\(x^3 - \frac{1}{x^3} = 234\)

∴ अभीष्ट मान 234 है

 Shortcut Trickदिया गया है:

x = √10 + 3
प्रयुक्त सूत्र:

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = a^3 + 3a\)

गणना:

x = √10 + 3

⇒ 1/x = √10 - 3

⇒ \(x -\frac{1}{x} = 6\) 

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = 6^3 + 3\times 6\)

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = 234\)

∴ अभीष्ट मान 234 है

दिया गया है:

p – 1/p = √7

सूत्र:

P³ – 1/p³ = (p – 1/p)³ + 3(p – 1/p)

गणना:

P³ – 1/p³ = (p – 1/p)³ + 3 (p – 1/p)

⇒ p³ – 1/p³ = (√7)³ + 3√7

⇒ p³ – 1/p³ = 7√7 + 3√7

⇒ p³ – 1/p³ = 10√7

Shortcut Trick

x - 1/x = a, तब x³ - 1/x³ = a³ + 3a

यहाँ, a = √7

अत:,

p³ – 1/p³ = (√7)³ + 3 × √7 = 7√7 + 3√7 = 10√7

दिया गया है:

a + b + c = 14, ab + bc + ca = 47 और abc = 15

प्रयुक्त अवधारणा:

a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c) × [(a + b + c)² - 3(ab + bc + ca)]

गणना:

a³ + b³ + c³ - 3abc = 14 × [(14)² - 3 × 47]

⇒ a³ + b³ + c³ – 3 × 15 = 14(196 – 141)

⇒ a³ + b³ + c³ = 14(55) + 45

⇒ 770 + 45

⇒ 815

∴ विकल्प 1 सही विकल्प है।

प्रयुक्त सूत्र:

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

गणना:

⇒ x^2/3 + x^1/3 = 2

⇒ (x^2/3 + x^1/3)³ = 2³

⇒ x² + x + 3x(x^2/3 + x^1/3) = 8

⇒ x² + 7x - 8 = 0

⇒ x² + 8x - x - 8 = 0

⇒ x (x + 8) - 1 (x + 8) = 0

⇒ x = - 8 या x = 1

दिया गया है:

3x² – ax + 6 = ax² + 2x + 2

⇒ 3x² – ax² – ax – 2x + 6 – 2 = 0

⇒ (3 – a)x² – (a + 2)x + 4 = 0

प्रयुक्त अवधारणा:

यदि एक द्विघात समीकरण (ax2 + bx + c = 0) के मूल बराबर हैं, तब विविक्तकर शून्य होना चाहिए अर्थात् b2 – 4ac = 0

गणना:

⇒ (a + 2)² – 4(3 – a)4 = 0

⇒ a² + 4a + 4 – 48 + 16a = 0

⇒ a² + 20a – 44 = 0

⇒ a² + 22a – 2a – 44 = 0

⇒ a(a + 22) – 2(a + 22) = 0

⇒ a = 2, -22

प्रयुक्त सूत्र:

a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)

गणना:

a + b + c = 0

a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)

⇒ a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 × (a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = 0

⇒ a3 + b3 + c3 - 3abc = 0

⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc 

अब, (a3 + b3 + c3)2 = (3abc)2 = 9a2b2c2 

दिया गया है

2x⁵ + 2x³y³ + 4y⁴ + 5

अवधारणा

एक बहुपद की डिग्री गैर-शून्य गुणांकों के लिए इसके प्रत्येक पदों की उच्चतम डिग्री है।

गणना 

2x⁵ में बहुपद की डिग्री = 5 

2x³y³ में बहुपद की डिग्री = 6 

4y⁴ में बहुपद की डिग्री = 4

5 में बहुपद की डिग्री = 0

इसलिए, उच्चतम डिग्री 6 है।

∴ बहुपद की डिग्री = 6

कोई x5 होने की वजह से 5 को सही विकल्प के रूप में चुन सकता है लेकिन यहाँ सही उत्तर 6 होगा क्योंकि 2x3y3 की उच्चतम घात 6 है।

Important Points

एक बहुपद की डिग्री गैर-शून्य गुणांकों के लिए इसके प्रत्येक पदों की उच्चतम डिग्री है। यहाँ एक विशिष्ट मान के लिए जब x y के बराबर होगा तब समीकरण होगा:

2x5 + 2x3y3 + 4y4 + 5

= 2x5 + 2x6 + 4x4 + 5

∴ बहुपद की डिग्री 6 होगी

माना मेरी वर्तमान आयु = x वर्ष और मेरे कजिन की आयु = y वर्ष

मेरी वर्तमान आयु का तीन-पांचवां भाग, मेरे एक कजिन के पांच-छठे भाग के समान है,

⇒ 3x/5 = 5y/6

⇒ 18x = 25y

दस वर्ष पहले मेरी आयु, चार वर्ष बाद उसकी आयु के बराबर होगी,

⇒ x – 10 = y + 4

⇒ y = x – 14,

⇒ 18x = 25(x – 14)

⇒ 18x = 25x – 350

⇒ 7x = 350

दिया हुआ:

x² - x - 1 = 0

उपयोग किया गया सूत्र:

यदि दिए गए समीकरण ax² + bx + c = 0 है

फिर मूलों का योग = -b/a

मूलों का गुणनफल = c/a

गणना:

चूंकि समीकरण x² – x – 1 = 0 के मूल α और β हैं, तब

⇒ α + β = -(-1) = 1

⇒ αβ = -1

अब, यदि (α/β) और (β/α) मूल हैं तब,

⇒ मूलों का योग = (α/β) + (β/α)

⇒ मूलों का योग = (α² + β²)/αβ

⇒ मूलों का योग = {(α + β)² – 2αβ}/αβ

⇒ मूलों का योग = {(1)² – 2(-1)}/(-1) = -3

⇒ मूलों का गुणनफल = (α/β) × (β/α) = 1

अब, समीकरण है,

⇒ x² – (मूलों का योग)x + मूलों का गुणनफल = 0

⇒ x² – (-3)x + (1) = 0