बीजगणित MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Algebra - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया:

(a + b)2

प्रयुक्त सूत्र:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

स्पष्टीकरण:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

⇒ (a + b) × (a + b)

⇒ a2 + ab + ba + b2

⇒ a2 + 2ab + b2

∴ (a + b) ² = a ² + 2ab + b ²

दिया गया है:

बहुपद व्यंजक: (x² - x + 4) और (x³ - 2x² + 3x + 1)

प्रयुक्त अवधारणा:

दो बहुपदों के गुणनफल में x⁴ और x² के गुणांकों का योग ज्ञात करने के लिए, हमें प्रत्येक बहुपद में संगत पदों को गुणा करना होता है और फिर गुणांकों का योग करना होता है।

गणना:

अब, दो बहुपदों को गुणा करते हैं:

⇒ (x² - x + 4) * (x³ - 2x² + 3x + 1)

⇒ x² * x³ + x² * (-2x²) + x² * 3x + x² * 1 - x * x³ - x * (-2x²) + x * 3x + x * 1 + 4 * x³ + 4 * (-2x²) + 4 * 3x + 4 * 1

⇒ x⁵ - 2x⁴ + 3x³ + x² - x⁴ + 2x³ - 3x² + x + 4x³ - 8x² + 12x + 4

⇒ x⁵ - 3x⁴ + 9x³ - 10x² + 13x + 4

x⁴ का गुणांक -3 है, और x² का गुणांक -10 है।

इसलिए, x⁴ और x² के गुणांकों का योग -3 + (-10) = -13 है।

अतः सही उत्तर -13 है।

दिया गया है:

$\mathrm{p}=\frac{1}{2}{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}$ और q = 3xy - 5x3y4

गणना:

pq + 2x3y2 

⇒ $[\frac{1}{2}{x}^{2}y\times (3xy-5x^3{y}^4)]+2x^3{y}^2$

⇒ $[\frac{3}{2}{x}^3{y}^2-\frac{5}{2}{x}^5{y}^5]+2x^3{y}^2$

⇒ $\frac{7}{2}{x}^3{y}^2-\frac{5}{2}{x}^5{y}^5$

∴ सही उत्तर $\frac{7}{2}{\mathrm{x}}^3{\mathrm{y}}^2-\frac{5}{2}{\mathrm{x}}^5{\mathrm{y}}^5$ है। 

गणना:

दिए गए व्यंजकों का योग करने पर:

(5x - 7y + 2) + (3y - 4x + 2xy) + ( 2x - 3xy - 5)

⇒ (5x - 4x + 2x) + (- 7y + 3y) + (2xy - 3xy) + (2 - 5)

⇒  3x - 4y - xy - 3

यहाँ, x, y और xy के गुणांक क्रमशः 3, - 4, - 1 हैं, इसलिए p = 3, q ​​= - 4 और r = - 1 है।

तब, p + q - r का मान = 3 + (-4) - (-1) = 3 - 4 + 1 = 0

∴ सही उत्तर 0 है।

दिया गया है:

2 मेजों और 3 कुर्सियों का मूल्य 540 रुपये है।

2 मेजों और 1 कुर्सी का मूल्य 470 रुपये है।

प्रयुक्त सूत्र:

मान लीजिए कि एक मेज का मूल्य T और एक कुर्सी का मूल्य C है।

गणना:

2T + 3C = 540 ......(1)

2T + 1C = 470 ......(2)

समीकरण (2) को समीकरण (1) से घटाएँ:

⇒ (2T + 3C) - (2T + 1C) = 540 - 470

⇒ 2C = 70 ⇒ C = 35

C का मान समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करें:

⇒ 2T + 35 = 470

⇒ 2T = 470 - 35

⇒ T = 217.5

अब, 2 मेजों और 2 कुर्सियों के मूल्य की गणना करें:

⇒ 2T + 2C = 2 × 217.5 + 2 × 35

⇒ 2T + 2C = 435 + 70

⇒ 2T + 2C = 505

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

दिया गया है:

x - 1/x = 3

प्रयुक्त अवधारणा:

a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)

गणना:

x3 - 1/x3 = (x - 1/x)3 + 3 × x × 1/x × (x - 1/x)

⇒ (x - 1/x)3 + 3(x - 1/x)

⇒ (3)3 + 3 × (3)

⇒ 27 + 9 = 36

∴ x³ - 1/x³ का मान 36 है।

Alternate Methodयदि x - 1/x = a है, तब x3 - 1/x3 = a3 + 3a

यहाँ a = 3

x - 1/x3 = 33 + 3 × 3

= 27 + 9

= 36

दिया गया है:

x = √10 + 3

प्रयुक्त सूत्र: 

a² - b² = (a + b)(a - b)

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

गणना:

$\begin{array}{l}\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{10}+3}\\ =\frac{\sqrt{10}-3}{\left(\sqrt{10}+3\right)\left(\sqrt{10}-3\right)}\\ =\frac{\sqrt{10}-3}{{\left(\sqrt{10}\right)}^2-{\left(3\right)}^2}\end{array}$

⇒ 1/x = √10 - 3

$\Rightarrow x-\frac{1}{x}=\sqrt{1}0+3-\sqrt{1}0+3=6$     ----(1)

(1) के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

$\Rightarrow (x-\frac{1}{x}{)}^2=(6{)}^2$

$\Rightarrow x^2-2x\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=36$

$\Rightarrow x^2-2+\frac{1}{x^2}=36$

$\Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=38$    -----(2)

$\therefore x^3-\frac{1}{x^3}=\left(x-\frac{1}{x}\right)\left(x^2+x\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)$

$\Rightarrow x^3-\frac{1}{x^3}=\left(x-\frac{1}{x}\right)\left(x^2+\frac{1}{x^2}+1\right)$

$\Rightarrow x^3-\frac{1}{x^3}=6\times (38+1)$

$x^3-\frac{1}{x^3}=234$

∴ अभीष्ट मान 234 है

 Shortcut Trickदिया गया है:

x = √10 + 3
प्रयुक्त सूत्र:

⇒ $x^3-\frac{1}{x^3}=a^3+3a$

गणना:

x = √10 + 3

⇒ 1/x = √10 - 3

⇒ $x-\frac{1}{x}=6$ 

⇒ $x^3-\frac{1}{x^3}=6^3+3\times 6$

⇒ $x^3-\frac{1}{x^3}=234$

∴ अभीष्ट मान 234 है

दिया गया है:

p – 1/p = √7

सूत्र:

P³ – 1/p³ = (p – 1/p)³ + 3(p – 1/p)

गणना:

P³ – 1/p³ = (p – 1/p)³ + 3 (p – 1/p)

⇒ p³ – 1/p³ = (√7)³ + 3√7

⇒ p³ – 1/p³ = 7√7 + 3√7

⇒ p³ – 1/p³ = 10√7

Shortcut Trick

x - 1/x = a, तब x³ - 1/x³ = a³ + 3a

यहाँ, a = √7

अत:,

p³ – 1/p³ = (√7)³ + 3 × √7 = 7√7 + 3√7 = 10√7

दिया गया है:

a + b + c = 14, ab + bc + ca = 47 और abc = 15

प्रयुक्त अवधारणा:

a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c) × [(a + b + c)² - 3(ab + bc + ca)]

गणना:

a³ + b³ + c³ - 3abc = 14 × [(14)² - 3 × 47]

⇒ a³ + b³ + c³ – 3 × 15 = 14(196 – 141)

⇒ a³ + b³ + c³ = 14(55) + 45

⇒ 770 + 45

⇒ 815

∴ विकल्प 1 सही विकल्प है।

प्रयुक्त सूत्र:

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

गणना:

⇒ x^2/3 + x^1/3 = 2

⇒ (x^2/3 + x^1/3)³ = 2³

⇒ x² + x + 3x(x^2/3 + x^1/3) = 8

⇒ x² + 7x - 8 = 0

⇒ x² + 8x - x - 8 = 0

⇒ x (x + 8) - 1 (x + 8) = 0

⇒ x = - 8 या x = 1

माना कि भिन्न x है।

व्युत्क्रम = 1/x

तब,

x + 3/x = 73/20

⇒ x² + 3 = 73x/20

⇒ 20x² – 73x + 60 = 0

⇒ x = {- (-73) + √ (5329 – 4800)}/40     या        x = {- (-73) - √ (5329 – 4800)}/40

⇒ x = 96/40 = 12/5                                या        x = 50/40 = 5/4

दिया गया है:

3x² – ax + 6 = ax² + 2x + 2

⇒ 3x² – ax² – ax – 2x + 6 – 2 = 0

⇒ (3 – a)x² – (a + 2)x + 4 = 0

प्रयुक्त अवधारणा:

यदि एक द्विघात समीकरण (ax2 + bx + c = 0) के मूल बराबर हैं, तब विविक्तकर शून्य होना चाहिए अर्थात् b2 – 4ac = 0

गणना:

⇒ (a + 2)² – 4(3 – a)4 = 0

⇒ a² + 4a + 4 – 48 + 16a = 0

⇒ a² + 20a – 44 = 0

⇒ a² + 22a – 2a – 44 = 0

⇒ a(a + 22) – 2(a + 22) = 0

⇒ a = 2, -22

प्रयुक्त सूत्र:

a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)

गणना:

a + b + c = 0

a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)

⇒ a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 × (a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = 0

⇒ a3 + b3 + c3 - 3abc = 0

⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc 

अब, (a3 + b3 + c3)2 = (3abc)2 = 9a2b2c2 

दिया गया है

2x⁵ + 2x³y³ + 4y⁴ + 5

अवधारणा

एक बहुपद की डिग्री गैर-शून्य गुणांकों के लिए इसके प्रत्येक पदों की उच्चतम डिग्री है।

गणना 

2x⁵ में बहुपद की डिग्री = 5 

2x³y³ में बहुपद की डिग्री = 6 

4y⁴ में बहुपद की डिग्री = 4

5 में बहुपद की डिग्री = 0

इसलिए, उच्चतम डिग्री 6 है।

∴ बहुपद की डिग्री = 6

कोई x5 होने की वजह से 5 को सही विकल्प के रूप में चुन सकता है लेकिन यहाँ सही उत्तर 6 होगा क्योंकि 2x3y3 की उच्चतम घात 6 है।

Important Points

एक बहुपद की डिग्री गैर-शून्य गुणांकों के लिए इसके प्रत्येक पदों की उच्चतम डिग्री है। यहाँ एक विशिष्ट मान के लिए जब x y के बराबर होगा तब समीकरण होगा:

2x5 + 2x3y3 + 4y4 + 5

= 2x5 + 2x6 + 4x4 + 5

∴ बहुपद की डिग्री 6 होगी

माना मेरी वर्तमान आयु = x वर्ष और मेरे कजिन की आयु = y वर्ष

मेरी वर्तमान आयु का तीन-पांचवां भाग, मेरे एक कजिन के पांच-छठे भाग के समान है,

⇒ 3x/5 = 5y/6

⇒ 18x = 25y

दस वर्ष पहले मेरी आयु, चार वर्ष बाद उसकी आयु के बराबर होगी,

⇒ x – 10 = y + 4

⇒ y = x – 14,

⇒ 18x = 25(x – 14)

⇒ 18x = 25x – 350

⇒ 7x = 350