Initial Value Problem MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Initial Value Problem - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jun 26, 2025
Latest Initial Value Problem MCQ Objective Questions
Initial Value Problem Question 1:
प्रारंभिक मान समस्या y' = √y, y(0) = 0 के हल है:
Answer (Detailed Solution Below)
Initial Value Problem Question 1 Detailed Solution
संप्रत्यय:
व्याख्या:
y' = √y, y(0) = 0 ....(i)
उपरोक्त मूल समीकरण के साथ (i) की तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है,
a = 1 > 0
इसलिए, दिए गए अवकल समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
विकल्प (4) सही है।
Initial Value Problem Question 2:
प्रारंभिक मान समस्या (IVP) \(\rm y'(x)=\frac{\sin(y(x))}{1+y^4(x)}\), x ∈ ℝ, y(0) = y0 पर विचार करें।
फिर निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Initial Value Problem Question 2 Detailed Solution
संप्रत्यय:
हलों का अस्तित्व: दक्षिण पक्ष \(\frac{\sin(y(x))}{1 + y(x)^4}. \) सभी \(y \in \mathbb{R}\) के लिए चिकना और सुव्यवस्थित है।
यह किसी भी प्रारंभिक स्थिति \( y_0 \in \mathbb{R}\) के लिए एक वैश्विक हल के अस्तित्व को सुनिश्चित करता है, और हल सभी \(x \in \mathbb{R}\) के लिए मौजूद है।
व्याख्या:
हमें प्रारंभिक मान समस्या (IVP) दी गई है
\(y'(x) = \frac{\sin(y(x))}{1 + y(x)^4}, \quad x \in \mathbb{R}, \quad y(0) = y_0.\)
अवकल समीकरण का दक्षिण पक्ष है:
\(\frac{\sin(y(x))}{1 + y(x)^4}. \)
जहाँ अंश y(x) के सभी मानों के लिए -1 और 1 के बीच परिबद्ध है।
हर \(1 + y(x)^4\) तेजी से बढ़ता है क्योंकि |y(x)| बढ़ता है, जिसका अर्थ है कि दक्षिण पक्ष \(\frac{\sin(y(x))}{1 + y(x)^4}. \) 0 के पास पहुँचता है जैसे |\(y(x)| \to \infty\)। इसलिए, y(x) की वृद्धि दर हर द्वारा नियंत्रित होती है,
और अवकल समीकरण इंगित करता है कि y(x) के बड़े मान तेजी से नहीं बढ़ेंगे क्योंकि दक्षिण पक्ष छोटा हो जाता है क्योंकि |y(x)| बढ़ता है।
यह देखते हुए कि दक्षिण पक्ष बड़े |y(x)| के लिए शून्य की ओर जाता है, यह सुझाव देता है कि सभी प्रारंभिक स्थितियों \(y_0\) के लिए समाधान परिबद्ध होंगे। भले ही y(x) एक बड़े मान से शुरू होता है, छोटा दक्षिण पक्ष का अर्थ है कि y(x) अनिश्चित काल तक नहीं बढ़ेगा।
धनात्मक और ऋणात्मक दोनों प्रारंभिक मानों \(y_0\) के लिए, फलन y'(x) परिबद्ध होगा क्योंकि अंश \(\sin(y(x))\) परिबद्ध है और हर \(1 + y(x)^4\) बड़े |y(x)| के लिए तेजी से बढ़ता है। इसलिए, सभी प्रारंभिक मान \(y_0\) के लिए सभी हल परिबद्ध हैं।
कोई प्रारंभिक मान \(y_0\) नहीं है जो अपरिबद्ध हल की ओर ले जाता है।
चूँकि दक्षिण पक्ष पर फलन \(\frac{\sin(y(x))}{1 + y(x)^4}. \) सभी \(y \in \mathbb{R}\) के लिए चिकना और सुव्यवस्थित है, किसी भी प्रारंभिक स्थिति \(y_0 \in \mathbb{R}\) के लिए IVP का एक अद्वितीय हल है, और हल सभी \(x \in \mathbb{R}\) के लिए मौजूद है।
विकल्प 1: एक धनात्मक \(y_0\) है जिसके लिए IVP का हल अपरिबद्ध है। असत्य - सभी हल परिबद्ध हैं, चाहे प्रारंभिक मान \(y_0\) कुछ भी हो।
विकल्प 2: एक ऋणात्मक \(y_0\) है जिसके लिए IVP का हल परिबद्ध है। सत्य - सभी हल परिबद्ध हैं, जिसमें ऋणात्मक प्रारंभिक मान वाले भी शामिल हैं।
विकल्प 3: प्रत्येक \(y_0 \in \mathbb{R}\) के लिए, IVP का प्रत्येक हल परिबद्ध है। सत्य - किसी भी प्रारंभिक मान \(y_0\) के लिए सभी हल परिबद्ध हैं।
विकल्प 4: प्रत्येक \(y_0 \in \mathbb{R}\) के लिए, सभी \( x \in \mathbb{R}\) के लिए IVP का एक हल है। सत्य - IVP में किसी भी प्रारंभिक स्थिति के लिए एक वैश्विक हल है क्योंकि दक्षिण पक्ष चिकना और सुव्यवस्थित है।
इसलिए, सही विकल्प 2), 3) और 4) हैं।
Initial Value Problem Question 3:
प्रारंभिक मान समस्या (IVP) पर विचार करें
\(\rm \left\{\begin{matrix}y'(x)=\sqrt{|y(x)+ε|}, & x ∈ R\\\ y(0)=y_0\end{matrix}\right.\)
निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
S1: एक ऐसा ε > 0 है जिसके लिए सभी y0 ∈ ℝ के लिए, IVP का एक से अधिक हल है।
S2: एक ऐसा \(y_0 \in \mathbb{R}\) है जिसके लिए सभी ε > 0 के लिए, IVP का एक से अधिक हल है।
तब
Answer (Detailed Solution Below)
Initial Value Problem Question 3 Detailed Solution
संप्रत्यय:
लिप्सचित्ज़ शर्त: एक फलन \(f(x, y)\) एक डोमेन में \(y\) के संबंध में लिप्सचित्ज़ शर्त को संतुष्ट करता है
\(D \subset \mathbb{R}^2 \) यदि एक स्थिरांक \(L > 0 \) मौजूद है जैसे कि किसी भी \((x, y_1) \) और \((x, y_2) \) के लिए D में, निम्नलिखित असमिका धारण करती है
\(|f(x, y_1) - f(x, y_2)| \leq L |y_1 - y_2|.\)
स्थिरांक \(L\) को लिप्सचित्ज़ स्थिरांक कहा जाता है।
व्याख्या:
\(y'(x) = \sqrt{|y(x)| + \epsilon}, \quad x \in \mathbb{R}\)
\(y(0) = y_0 \), जहाँ \(\epsilon > 0\) एक स्थिरांक है, और \(y_0 \in \mathbb{R}\)।
S1: एक ऐसा \(\epsilon > 0\) है जिसके लिए सभी \(y_0 \in \mathbb{R}\) के लिए, IVP का एक से अधिक हल है।
S2: एक ऐसा \(y_0 \in \mathbb{R}\) है जिसके लिए सभी \(\epsilon > 0\) के लिए, IVP का एक से अधिक हल है।
अवकल समीकरण \(y'(x) = \sqrt{|y(x)| + \epsilon}\) है। चूँकि \(\epsilon > 0\), समीकरण का दाहिना भाग हमेशा धनात्मक और किसी भी \(y_0 \in \mathbb{R}\) के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है।
सामान्य तौर पर, IVP के समाधानों की विशिष्टता को अक्सर लिप्सचित्ज़ शर्त द्वारा निर्धारित किया जा सकता है।
एक फलन \( f(y) = \sqrt{|y| + \epsilon}\) के लिए, हमें यह जांचने की आवश्यकता है कि क्या फलन y के संबंध में लिप्सचित्ज़ शर्त को संतुष्ट करता है।
\(f'(y) = \frac{1}{2\sqrt{|y| + \epsilon}}.\)
यह फलन सभी \(y_0 \in \mathbb{R}\) के लिए सतत और परिबद्ध है क्योंकि \(\epsilon > 0\) y = 0 पर कोई विलक्षणता सुनिश्चित करता है।
इसलिए, फलन लिप्सचित्ज़ शर्त को संतुष्ट करता है, यह सुनिश्चित करता है कि जब \(\epsilon > 0\) हो तो प्रत्येक \(y_0 \in \mathbb{R}\) के लिए IVP का एक अद्वितीय हल होता है।
S1: यह कथन दावा करता है कि कुछ \(\epsilon > 0\) है जिसके लिए सभी \(y_0 \in \mathbb{R}\) के लिए IVP का एक से अधिक हल है।
हमारे विशिष्टता विश्लेषण (लिप्सचित्ज़ शर्त) से, IVP में वास्तव में सभी \(\epsilon > 0\) और \(y_0 \in \mathbb{R}\) के लिए एक अद्वितीय हल है।
इसलिए, S1 असत्य है।
S2: यह कथन दावा करता है कि कुछ \(y_0 \in \mathbb{R}\) और सभी \(\epsilon > 0\) के लिए, IVP का एक से अधिक हल है।
इसी तर्क (लिप्सचित्ज़ शर्त और व्युत्पन्न की निरंतरता) के आधार पर, समाधान सभी \(\epsilon > 0\) और किसी भी \( y_0\) के लिए अद्वितीय रहता है। इसलिए, S2 भी असत्य है।
दोनों कथन S1 और S2 असत्य हैं।
इस प्रकार, सही विकल्प 4) है।
Initial Value Problem Question 4:
निम्न समस्या पर विचार करें:
y' = (1 - y2)10 cos y, y(0) = 0
मान लीजिए J अस्तित्व का अधिकतम अंतराल है और K, उपरोक्त समस्या के हल का परिसर है। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Initial Value Problem Question 4 Detailed Solution
अवधारणा -
(1) यदि f, R पर परिबद्ध तथा सतत अवकलनीय है तो अस्तित्व का अधिकतम अंतराल R है।
स्पष्टीकरण -
हमारे पास है, y' = (1 - y2)10 cos y, y(0) = 0
अब f(x,y) = (1 - y2)10 cos y
स्पष्टतः f एक सतत एवं अवकलनीय फलन है।
अब |f| ≤ (1 - y 2 ) 10 ≤ M ∀ y ∈ R
अतः f भी परिबद्ध है।
इसलिए अस्तित्व का अधिकतम अंतराल R है।
अब फलन f = (1 - y2)10 cos y सम फलन है क्योंकि (1 - y2)10 सम है और cos y भी सम फलन है।
⇒ y' = सम
⇒ y = विषम
मान लीजिए y = x एक विषम फलन है।
अब 1 = (1 - x2)10 cos x
अब विकल्पों के अनुसार, हम x = 1 लेते हैं
तो समीकरण 1 ≠ 0 संतुष्ट नहीं होती है
अतः हल का परिसर (-1,1) है।
Initial Value Problem Question 5:
निम्नलिखित प्रारंभिक मान समस्या पर विचार करें
\(y^{\prime}=y+\frac{1}{2}|\sin \left(y^2)\right|,\) , x > 0, y(0) = -1
निम्नलिखित कथनों में से कौन सा सही हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Initial Value Problem Question 5 Detailed Solution
स्पष्टीकरण -
हमारे पास है \(y^{\prime}=y+\frac{1}{2}|\sin \left(y^2)\right|,\) , x > 0, y(0) = -1
यदि अवकल समीकरण के लिए एक हल अस्तित्व में है तो लिप्चिट्ज़ स्थिति संतुष्ट है।
अब \(y^{\prime}-y=\frac{1}{2}|\sin \left(y^2)\right| \le \frac{1}{2}\)
⇒ \(y^{\prime}-y= \frac{1}{2}\)
अब अवकल समीकरण का हल है -
C.F. = C1ex
PI = \(\frac{1}{D-1} .\frac{1}{2} = - \frac{1}{2}\)
अतः y = C 1 e x - 1/2
अब प्रारंभिक स्थिति y(0) = -1 ⇒ C 1 = -1/2 का उपयोग करने पर,
⇒ y = -1/2 e x - 1/2
⇒ y = -1/2 e x < 0
⇒ y एकदिष्ट ह्रास मान है।
अब \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow \alpha^{-}}|y(x)|=∞\) ⇒ 1/2 e x + 1/2 → ∞ ⇒ x → ∞
लेकिन वहाँ अस्तित्व में नहीं है क्योंकि α ∈ (0, ∞) है,
अब चूँकि x → ∞, y = -1/2 e x - 1/2 → - ∞ और y भी घट रहा है।
अतः स्पष्ट है कि यह नीचे से सीमित नहीं है, अपितु यह ऊपर से सीमित है।
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माना f ∶ ℝ2 → ℝ स्थानीयतः लिपशिट्ज फलन है। निम्न प्रारंभिक मान समस्या पर विचार कीजिए,
ẋ = f(t, x), x(t0) = x0
जो (t0, x0) ∈ ℝ2 के लिए है। मानें कि J(t0, x0) प्रारंभिक मान समस्या के लिए अधिकतम अस्तित्व अंतराल है। निम्न वक्तव्यों में से कौन सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Initial Value Problem Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFव्याख्या:
माना f ∶ ℝ2 → ℝ स्थानीयतः लिपशिट्ज फलन है। प्रारंभिक मान समस्या पर विचार करने पर,
ẋ = f(t, x), x(t0) = x0
(t0, x0) ∈ ℝ2 के लिए,
पिकार्ड के प्रमेय का प्रयोग करने पर, हम जानते हैं कि हल अंतराल
\(|x-x_o|< a ; |t-t_o|< b \) में निहित हैं।
जो एक विवृत्त अंतराल है।
इसलिए, विकल्प (2) सही विकल्प है।
मानें कि y0 > 0, z0 > 0 तथा α > 1
निम्न दो अवकलन समीकरणों पर विचार करें:
\(\begin{aligned} &(*)\left\{\begin{array}{l} \frac{d y}{d t}=y^\alpha \quad \text { for } t>0, \\ y(0)=y_0 \end{array}\right. \\ &(* *)\left\{\begin{array}{l} \frac{d z}{d t}=-z^\alpha \quad \text { for } t>0, \\ z(0)=z_0 \end{array}\right. \end{aligned}\)
हमारा कहना है कि अवकल समीकरण का हल सार्वत्रिक होगा यदि यह सभी t > 0 के लिए अस्तित्व में है।
निम्न कथनों में से कौन-सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Initial Value Problem Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFप्रारंभिक मान समस्या (IVP) पर विचार करें
\(\rm \left\{\begin{matrix}y'(x)=\sqrt{|y(x)+ε|}, & x ∈ R\\\ y(0)=y_0\end{matrix}\right.\)
निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
S1: एक ऐसा ε > 0 है जिसके लिए सभी y0 ∈ ℝ के लिए, IVP का एक से अधिक हल है।
S2: एक ऐसा \(y_0 \in \mathbb{R}\) है जिसके लिए सभी ε > 0 के लिए, IVP का एक से अधिक हल है।
तब
Answer (Detailed Solution Below)
Initial Value Problem Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFसंप्रत्यय:
लिप्सचित्ज़ शर्त: एक फलन \(f(x, y)\) एक डोमेन में \(y\) के संबंध में लिप्सचित्ज़ शर्त को संतुष्ट करता है
\(D \subset \mathbb{R}^2 \) यदि एक स्थिरांक \(L > 0 \) मौजूद है जैसे कि किसी भी \((x, y_1) \) और \((x, y_2) \) के लिए D में, निम्नलिखित असमिका धारण करती है
\(|f(x, y_1) - f(x, y_2)| \leq L |y_1 - y_2|.\)
स्थिरांक \(L\) को लिप्सचित्ज़ स्थिरांक कहा जाता है।
व्याख्या:
\(y'(x) = \sqrt{|y(x)| + \epsilon}, \quad x \in \mathbb{R}\)
\(y(0) = y_0 \), जहाँ \(\epsilon > 0\) एक स्थिरांक है, और \(y_0 \in \mathbb{R}\)।
S1: एक ऐसा \(\epsilon > 0\) है जिसके लिए सभी \(y_0 \in \mathbb{R}\) के लिए, IVP का एक से अधिक हल है।
S2: एक ऐसा \(y_0 \in \mathbb{R}\) है जिसके लिए सभी \(\epsilon > 0\) के लिए, IVP का एक से अधिक हल है।
अवकल समीकरण \(y'(x) = \sqrt{|y(x)| + \epsilon}\) है। चूँकि \(\epsilon > 0\), समीकरण का दाहिना भाग हमेशा धनात्मक और किसी भी \(y_0 \in \mathbb{R}\) के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है।
सामान्य तौर पर, IVP के समाधानों की विशिष्टता को अक्सर लिप्सचित्ज़ शर्त द्वारा निर्धारित किया जा सकता है।
एक फलन \( f(y) = \sqrt{|y| + \epsilon}\) के लिए, हमें यह जांचने की आवश्यकता है कि क्या फलन y के संबंध में लिप्सचित्ज़ शर्त को संतुष्ट करता है।
\(f'(y) = \frac{1}{2\sqrt{|y| + \epsilon}}.\)
यह फलन सभी \(y_0 \in \mathbb{R}\) के लिए सतत और परिबद्ध है क्योंकि \(\epsilon > 0\) y = 0 पर कोई विलक्षणता सुनिश्चित करता है।
इसलिए, फलन लिप्सचित्ज़ शर्त को संतुष्ट करता है, यह सुनिश्चित करता है कि जब \(\epsilon > 0\) हो तो प्रत्येक \(y_0 \in \mathbb{R}\) के लिए IVP का एक अद्वितीय हल होता है।
S1: यह कथन दावा करता है कि कुछ \(\epsilon > 0\) है जिसके लिए सभी \(y_0 \in \mathbb{R}\) के लिए IVP का एक से अधिक हल है।
हमारे विशिष्टता विश्लेषण (लिप्सचित्ज़ शर्त) से, IVP में वास्तव में सभी \(\epsilon > 0\) और \(y_0 \in \mathbb{R}\) के लिए एक अद्वितीय हल है।
इसलिए, S1 असत्य है।
S2: यह कथन दावा करता है कि कुछ \(y_0 \in \mathbb{R}\) और सभी \(\epsilon > 0\) के लिए, IVP का एक से अधिक हल है।
इसी तर्क (लिप्सचित्ज़ शर्त और व्युत्पन्न की निरंतरता) के आधार पर, समाधान सभी \(\epsilon > 0\) और किसी भी \( y_0\) के लिए अद्वितीय रहता है। इसलिए, S2 भी असत्य है।
दोनों कथन S1 और S2 असत्य हैं।
इस प्रकार, सही विकल्प 4) है।
मान लें कि k एक धनात्मक पूर्णांक है। निम्न अवकलन समीकरण पर विचार करें
\(\left\{\begin{aligned} \frac{d y}{d t} &=y^{\frac{5 k}{5 k+2}} \text { for } t>0, \\ y(0) &=0 \end{aligned}\right.\)
निम्न कथनों में से कौन-सा सच है?
Answer (Detailed Solution Below)
Initial Value Problem Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFInitial Value Problem Question 10:
प्रारंभिक मान समस्या, \(\rm x \frac{d y}{d x}=y\), y(0) = 0, x > 0
Answer (Detailed Solution Below)
Initial Value Problem Question 10 Detailed Solution
अवधारणा:
चर पृथक्करण अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\) प्रकार की प्रथम-कोटि की साधारण अवकल समीकरण है, जहां f(x) और g(y), x और y के सापेक्ष फलन हैं।
स्पष्टीकरण:
\(\rm x \frac{d y}{d x}=y\), y(0) = 0, x > 0
⇒ \(\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}\)
⇒ \(\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}\)
अब, दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
logy = logx + logc
⇒ y=cx
(0,0) से गुजरता है
⇒ 0=0
⇒ अनन्त हल
Initial Value Problem Question 11:
निम्नलिखित दो प्रारंभिक मान ODEs पर विचार करें:
(A) \(\frac{dx}{dt}=x^3,x(0)=1;\)
(B) \(\frac{dx}{dt}=x\sin x^2,x(0)=2.\)
इन ODEs से संबंधित निम्नलिखित अभिकथन हैं:
I. (A) का हल परिमित समय में बढ़ जाता है।
II. (B) का हल परिमित समय में बढ़ जाता है।
निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Initial Value Problem Question 11 Detailed Solution
Initial Value Problem Question 12:
प्रारंभिक मान समस्या पर विचार करें
\(\frac{dy}{dx}+\alpha y=0\),
y(0) = 1,
जहाँ α ∈ ℝ है। तब
Answer (Detailed Solution Below)
Initial Value Problem Question 12 Detailed Solution
हल:
दिया गया अवकल समीकरण
\(\frac{dy}{dx}+α y\) = 0, y(0) = 1 जहाँ \(α \in R\)
\(\frac{dy}{dx} = -α y \)
पृथक्करणीय चर विधि का उपयोग करके
\(\frac{dy}{y} = -α dx \)
दोनों पक्षों का समाकलन करें
log y = - αx + log c1
y = \(c_1e^{-α x}\)
दिया गया प्रारंभिक प्रतिबंध y(1) = 0 है तब, \(c_1 = 1\)
इसलिए, हल है
y = \(e^{-α x}\)
(1): y(1) = \(e^{-α}\) ≠ 0 किसी भी α के लिए
इसलिए, एक α का अस्तित्व इस प्रकार नहीं है कि y(1) = 0 है।
(1) गलत है।
(2): \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty}\)y(x) = \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty}\)\(e^{-α x}\) = 0 सभी α > 0 के लिए
इसलिए, कोई अद्वितीय α इस प्रकार नहीं है कि \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty}\) y(x) = 0 है।
(2) गलत है।
(3): y(2) = 1
⇒ \(e^{-2α}\) = 1 ⇒ α = 0
एक α इस प्रकार है कि y(2) = 1 है।
(3) गलत है।
(4): y(1) = 2
⇒ \(e^{-α}\) = 2 ⇒ - α = log(2) ⇒ α = - log(2)
इसलिए, एक अद्वितीय α इस प्रकार है कि y(1) = 2 है।
(4) सही है।
Initial Value Problem Question 13:
निम्न दो प्रारंभिक मान समस्याओं पर बिचार करें
(P) \(\left\{\begin{array}{l} \rm x^{\prime}(t)=\sqrt{x(t)}, t>0, \\ \rm x(0)=0,\end{array}\right.\)
तथा
(Q) \(\left\{\begin{array}{l} \rm y^{\prime}(t)=-\sqrt{y(t)}, t>0, \\ \rm y(0)=0 .\end{array}\right.\)
निम्न वक्तव्यों में से कौन-से सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Initial Value Problem Question 13 Detailed Solution
अवधारणा:
अवकल समीकरण y' = kyα, y(a) = 0 जहाँ α ∈ (0, 1) और a ∈ \(\mathbb R\) है
(i) अद्वितीय हल होगा यदि k < 0 और
(ii) अनंत हल होंगे यदि k > 0
व्याख्या:
(P) \(\left\{\begin{array}{l} \rm x^{\prime}(t)=\sqrt{x(t)}, t>0 \\ \rm x(0)=0\end{array}\right.\) तो x'(t) = x1/2, x(0) = 0
यहाँ α = 1/2 ∈ (0, 1) और k = 1 > 0
इसलिए (P) का [0, ∞) में अनंत हल होंगे।
विकल्प (3) सही है
(Q) \(\left\{\begin{array}{l} \rm y^{\prime}(t)=-\sqrt{y(t)}, t>0 \\ \rm y(0)=0\end{array}\right.\) तो y'(t) = y1/2, y(0) = 0
यहाँ α = 1/2 ∈ (0, 1) और k = - 1 < 0
इसलिए (Q) का [0, ∞) में एक अद्वितीय हल होगा।
विकल्प (2) सही है।
Initial Value Problem Question 14:
माना f ∶ ℝ2 → ℝ स्थानीयतः लिपशिट्ज फलन है। निम्न प्रारंभिक मान समस्या पर विचार कीजिए,
ẋ = f(t, x), x(t0) = x0
जो (t0, x0) ∈ ℝ2 के लिए है। मानें कि J(t0, x0) प्रारंभिक मान समस्या के लिए अधिकतम अस्तित्व अंतराल है। निम्न वक्तव्यों में से कौन सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Initial Value Problem Question 14 Detailed Solution
व्याख्या:
माना f ∶ ℝ2 → ℝ स्थानीयतः लिपशिट्ज फलन है। प्रारंभिक मान समस्या पर विचार करने पर,
ẋ = f(t, x), x(t0) = x0
(t0, x0) ∈ ℝ2 के लिए,
पिकार्ड के प्रमेय का प्रयोग करने पर, हम जानते हैं कि हल अंतराल
\(|x-x_o|< a ; |t-t_o|< b \) में निहित हैं।
जो एक विवृत्त अंतराल है।
इसलिए, विकल्प (2) सही विकल्प है।
Initial Value Problem Question 15:
मानें कि f : ℝ2 → ℝ सतत है तथा
f(t, x) < 0 यदि tx > 0,
f(t, x) > 0 यदि tx < 0.
निम्न को हल करने की समस्या पर विचार कीजिए
\(\rm \dot{x}\) = f(t, x), x(0) = 0
निम्न में से कौन सा सत्य है ?