Green’s Function MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Green’s Function - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

ग्रीन फलन: ग्रीन फलन \(G(x, \xi)\) सीमा शर्तों के साथ रैखिक अवकल समीकरणों को हल करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है।

यह एक मध्यवर्ती फलन के रूप में कार्य करता है, जब \(y(x) = \int_0^{\ln 2} G(x, \xi) f(\xi) \, d\xi.\) स्रोत फलन f(x) के साथ एकीकृत होता है, तो BVP का हल प्रदान करता है।

व्याख्या:

\((e^{-5x}y')' + 6e^{-5x}y = -f(x), \quad 0 < x < \ln 2\) सीमा शर्तों के साथ:

\(y(0) = 0, \quad y(\ln 2) = 0.\)

ग्रीन फलन \(G(x, \xi) \) दिया गया है, और लक्ष्य स्थिरांक B, C और D के मान निर्धारित करना है जैसे कि

\(\int_0^{\ln 2} G(x, \xi) f(\xi) d\xi\) BVP का हल है।

दिया गया ग्रीन फलन है

\(G(x, \xi) = \begin{cases} (e^{3x} + Be^{2x})(Ce^{2\xi} + De^{3\xi}), & 0 \leq \xi \leq x, \\ (e^{3\xi} + Be^{2\xi})(Ce^{2x} + De^{3x}), & x \leq \xi \leq \ln 2. \end{cases}\)

हमें उन स्थिरांकों B, C और D को खोजने की आवश्यकता है जो सीमा शर्तों को संतुष्ट करते हैं।

\(x = 0 \) और \(x = \ln 2\) पर सीमा शर्तों को लागू करें

ग्रीन फलन को \(x = 0 \) और \(x = \ln 2\) पर सीमा शर्तों को संतुष्ट करने के लिए, हमें यह सुनिश्चित करना होगा कि निम्नलिखित धारण करते हैं

\(G(0, \xi) = 0\) सभी \( \xi\) के लिए,

\(G(\ln 2, \xi) = 0\) सभी \( \xi\) के लिए।

\(x = 0 \) पर सीमा शर्त:

ग्रीन फलन में \(x = 0 \) प्रतिस्थापित करें

\(G(0, \xi) = (e^{0} + Be^{0})(Ce^{2\xi} + De^{3\xi}) = (1 + B)(Ce^{2\xi} + De^{3\xi}).\)

\(G(0, \xi) = 0\) के लिए, हमारे पास होना चाहिए:

\(1 + B = 0 \implies B = -1.\)

\(x = \ln 2\) पर सीमा शर्त:

ग्रीन फलन में \(x = \ln 2\) प्रतिस्थापित करें:

\(G(\ln 2, \xi) = (e^{3\ln 2} + Be^{2\ln 2})(Ce^{2\xi} + De^{3\xi}) = (8 + 4B)(Ce^{2\xi} + De^{3\xi}).\)

\(G(\ln 2, \xi) = 0\) के लिए, हमारे पास होना चाहिए,

\(8 + 4B = 0 \implies B = -2.\)

अब हमारे पास B = -2 है, और हमें C और D को निर्धारित करने की आवश्यकता है। इस बिंदु पर, आइए ग्रीन फलन अभिव्यक्ति में शर्तों के मिलान और सीमा शर्तों के साथ संगति के लिए दिए गए विकल्पों का परीक्षण करने का प्रयास करें।

सीमा शर्तों के साथ ग्रीन फलन के व्यवहार का विश्लेषण करने और विकल्पों का परीक्षण करने के बाद,

B, C और D के सही मान हैं:

\(B = -2, \quad C = 1, \quad D = -1.\)

इस प्रकार, विकल्प 2 सही है।

दिया गया है -

मान लीजिए G : [0, 1] × [0, 1] → ℝ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

\(G(t, x)=\left\{\begin{array}{l} t(1-x) \text { if } t ≤ x ≤ 1 \\ x(1-t) \text { if } x ≤ t ≤ 1 \end{array}\right.\) .

[0, 1] पर एक संतत फलन f के लिए, परिभाषित करें

I[f] = \(\rm\int_0^1 \int_0^1 G(t, x) f(t) f(x) d t\ d x\) .

स्पष्टीकरण -

हमारे पास है I[f] = \(\rm\int_0^1 \int_0^1 G(t, x) f(t) f(x) d t\ d x\)

सबसे पहले, हमें फलन (G(t, x)) की प्रकृति को समझने की आवश्यकता है और यह कैसे समाकल (I[f]) को प्रभावित करता है जब इसे वर्ग ([0, 1] x [0, 1]) पर एक संतत फलन (f(t)f(x)) के गुणनफल के साथ समाकलित किया जाता है।

(G(t,x)) की खंडशः परिभाषा दी गई है:

\(G(t, x)=\left\{\begin{array}{l} t(1-x) \text { if } t ≤ x ≤ 1 \\ x(1-t) \text { if } x ≤ t ≤ 1 \end{array}\right.\)

हम ध्यान दें कि दोनों खंडों के लिए, (G(t, x)) ([0, 1]) में (t, x) के लिए ऋणेतर है क्योंकि (t(1-x)) और (x(1-t)) दोनों निर्दिष्ट अंतराल पर ऋणेतर पदों के गुणनफल हैं।

विकल्प (1) के लिए -

(I[f] > 0) यदि (f) समान रूप से शून्य नहीं है।

चूँकि (G(t, x) ≥ 0) है, और यह मानते हुए कि (f(t)f(x)) समान रूप से शून्य नहीं है और ([0,1]) पर संतत है, (f(t)f(x)) का ([0,1] x [0,1]) के कुछ उपसमुच्चय पर कुछ धनात्मक मान होना चाहिए क्योंकि (f) शून्य फलन नहीं है।

इसलिए, इस प्रांत पर (G(t,x)f(t)f(x)) का समाकल, कुछ ((t, x)) के लिए (f(t)f(x) > 0) दिया गया है, वास्तव में शून्य से अधिक होना चाहिए।

अतः विकल्प 1 सत्य है।

विकल्प (2) के लिए -

एक शून्येतर (f) का अस्तित्व इस प्रकार है कि (I[f] = 0) है।

दिया गया है कि (G(t, x)) और (f(t)f(x)) समाकल प्रांत पर ऋणेतर हैं और (f) समान रूप से शून्य नहीं है,

अतः दी गई शर्तों के लिए समाकल का योग शून्य होना संभव नहीं है।

अतः यह विकल्प गलत है।

विकल्प (3 ) के लिए -

(f) का अस्तित्व इस प्रकार है कि (I[f] < 0) है। 

चूँकि (G(t, x) ≥ 0) अपने प्रांत पर और (f(t)f(x)) स्वयं के साथ एक संतत फलन के गुणनफल के रूप में भी ऋणेतर रहेगा (क्योंकि (f ² ≥ 0))।

अतः इन परिस्थितियों में (I[f]) का ऋणात्मक होना असंभव है।

अतः यह विकल्प गलत है।

विकल्प (4 ) के लिए - I[sin(π x)] = 1

(f(t) = sin(π t)) और (f(x) = sin(π x)) को (I[f]) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

\([I[\sin(π x)] = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}G(t,x)\sin(π t)\sin(π x),dt,dx.]\)

(G(t,x)) की परिभाषा के अनुसार, समाकलन (G(t,x)) के भीतर की स्थितियों के आधार पर दो भागों में विभाजित होता है। इसलिए, हमारे पास दो समाकलन हैं, (G(t,x)) के प्रत्येक भाग के लिए एक, संबंधित प्रांत पर समाकलित किया गया है जहाँ स्थिति ((t ≤ x) या (x ≤ t)) सत्य है:

(t ≤ x) के लिए, (G(t,x) = t(1-x)),
(x ≤ t) के लिए, (G(t,x) = x(1-t)).

इस प्रकार समाकलन निम्न शर्तों के अनुसार दो द्वि समाकलन बन जाता है:

\(I[\sin(π x)] = \int_{0}^{1}\int_{t}^{1}t(1-x)\sin(π t)\sin(π x)dxdt\)

\( + \int_{0}^{1}\int_{x}^{1}x(1-t)\sin(π t)\sin(π x)dtdx\)

इस गणना में (G(t, x)) की ऋणेतरता से अधिक शामिल है और अतिरिक्त गणनाओं के बिना इसे आवश्यक रूप से 1 के बराबर नहीं माना जा सकता है।

अतः यदि आप समाकल को हल करें तो यह 1 के बराबर नहीं होगा।

अतः यह विकल्प गलत है।

स्पष्टीकरण:

समीकरण में x और s के संबंध में समरूपता है, इसलिए सभी x और s के लिए G(x, s) को G(s, x) के बराबर होना चाहिए, जो अवकल समीकरण और सीमा स्थितियों को हल करता है।

इसलिए सभी x और s के लिए, G(x, s) = G(s, x)

अतः (1) सही है। 

हल - ODE - P(x)y" + Q(x)y'+ r(x)y = f(x) के लिए ग्रीन फलन,

G(x,t) = \(\frac{-1}{P(t)} \frac{y_1(x)y_2(t)- y_1(t)y_2(x)}{y_1(t)y_2'(t)-y_2(t)y_1'(t)}\) द्वारा दिया जाता है। 

y1 और y2 समघात अवकल समीकरण के L.I हल हैं,

यहाँ समघात अवकल समीकरण है,

y"+5y'+6y=0 

\(m^2+5m+6= 0; (m+2)(m+3)= 0\)

\(y(x)= c_1e^{-2x}+c_2e^{-3x}\)

अब, G(x,t) = \(-1\cdot\frac{(e^{-2x}e^{-3t}- e^{-2t}e^{-3x})}{e^{-2t}(-3e^{-3t})-e^{-3t}(-2e^{-2t})}\)

 G(x,t) = e2(t-x) - e3(t-x)

इसलिए, सही विकल्प विकल्प 2 है।

हल - ODE - P(x)y" + Q(x)y'+ r(x)y = f(x) के लिए ग्रीन फलन,

G(x,t) = \(\frac{-1}{P(t)} \frac{y_1(x)y_2(t)- y_1(t)y_2(x)}{y_1(t)y_2'(t)-y_2(t)y_1'(t)}\) द्वारा दिया जाता है। 

y1 और y2 समघात अवकल समीकरण के L.I हल हैं,

यहाँ समघात अवकल समीकरण है,

y"+5y'+6y=0 

\(m^2+5m+6= 0; (m+2)(m+3)= 0\)

\(y(x)= c_1e^{-2x}+c_2e^{-3x}\)

अब, G(x,t) = \(-1\cdot\frac{(e^{-2x}e^{-3t}- e^{-2t}e^{-3x})}{e^{-2t}(-3e^{-3t})-e^{-3t}(-2e^{-2t})}\)

 G(x,t) = e2(t-x) - e3(t-x)

इसलिए, सही विकल्प विकल्प 2 है।

स्पष्टीकरण:

y(x) = v sec(x) ⇒ y' = v' sec x + v sec x tan x

⇒ y'' = v'' sec x + v' sec x tan x + v' sec x tan x + v sec x tan2 x + v sec3 x

दिए गए अवकल समीकरण में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, 

y'' - (2tan x)y' + 5y = 0

⇒ v'' sec x + v' sec x tan x + v' sec x tan x + v sec x tan2 x + v sec3 x - 2 v' sec x tan x - 2 v sec x tan2 x + 5v sec(x) = 0

⇒ v'' sec x + v sec3 x - v sec x tan2 x + 5v sec(x) = 0  

⇒ v'' sec x + v sec x(sec2 x - tan2 x + 5) = 0

⇒ v'' sec x + 6v sec x = 0 (∵ sec2 x - tan2 x = 1)

⇒ v'' + 6v = 0

⇒ v = c1 cos(√6 x) + c2 sin(√6 x) ...(i)

दिया गया है: y(0) = 0 और y'(0) = √6 ⇒ v(0) = 0 और v'(0) = √6

प्रारंभिक शर्तों को प्रतिस्थापित करने पर, 

 v(0) = 0  ⇒ c1 = 0

So v = c2 sin(√6 x)

v' = c2 √6 cos(√6 x)

v'(0) = √6 ⇒ c2 √6 = √6 ⇒ c2 = 1

अतः v = sin(√6 x)

∴ v(\(\frac{\pi}{6\sqrt6}\)) =  sin(√6 \(\frac{\pi}{6\sqrt6}\)) = sin(\(\frac{\pi}{6}\)) = 0.5

∴ विकल्प (3) सही है। 

व्याख्या​:

\(\frac{d^2y}{dx^2}\) + y  = 0 ⇒ m² + 1 = 0 ⇒ m = 0 ± i

y₁(x) = sin x(at), \(y'_1\)(x) = cos x

y₂(x) = cos x \(\left(\text { at } \frac{\pi}{2}\right), y_2^{\prime}(x)=-\sin x\)

\(\rm A=\left\{P\left(x^{\prime}\right)\left[y_2^{\prime}\left(x^{\prime}\right) y_1\left(x_1^{\prime}\right)-y_1^{\prime}\left(x^{\prime}\right)\right] y_2\left(x^{\prime}\right)\right\}\)

⇒ A = {-sin x' sin x' - cos' cos x'} ∵ P(x) = 1 ⇒ A = -1

इस प्रकार G(x, x') = \(\rm \left\{\begin{array}{ll} A y_1(x) y_2\left(x^{\prime}\right), & xx^{\prime} \end{array}= \begin{cases}-\sin x \cos x^{\prime}, & 0

अतः विकल्प (2) सही विकल्प है।

स्पष्टीकरण:

समीकरण में x और s के संबंध में समरूपता है, इसलिए सभी x और s के लिए G(x, s) को G(s, x) के बराबर होना चाहिए, जो अवकल समीकरण और सीमा स्थितियों को हल करता है।

इसलिए सभी x और s के लिए, G(x, s) = G(s, x)

अतः (1) सही है।