Legendary Polynomial & Bessel Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Legendary Polynomial & Bessel Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on May 19, 2025
Latest Legendary Polynomial & Bessel Functions MCQ Objective Questions
Legendary Polynomial & Bessel Functions Question 1:
\(\rm \int_0^x J_0(t)J_1(x-t)dt\) बराबर है
Answer (Detailed Solution Below)
Legendary Polynomial & Bessel Functions Question 1 Detailed Solution
व्याख्या:
बेसेल फलनों की सर्वसमिका के अनुसार,
\(\rm \int_0^x J_0(t)J_1(x-t)dt\) = J0(x) - cos x
विकल्प (3) सही है।
Legendary Polynomial & Bessel Functions Question 2:
P5(x) Q3(x) - Q5(x) P3(x) बराबर है - (जहाँ Pn(x) तथा Qn(x) क्रमश: प्रथम व द्वितीय प्रकार के लेजेंड्रे बहुपद हैं)
Answer (Detailed Solution Below)
Legendary Polynomial & Bessel Functions Question 2 Detailed Solution
व्याख्या:
हम जानते हैं कि
Pn(x) Qn-2(x) - Qn(x) Pn-2(x) = \((2n-1)x\over n(n-1)\), जहाँ Pn(x) और Qn(x) क्रमशः प्रथम और द्वितीय प्रकार के लेजेंड्रे बहुपद हैं।
n = 5 रखने पर हमें मिलता है,
P5(x) Q3(x) - Q5(x) P3(x) = \(9x\over 5\times 4\) = \(\rm\frac{9}{20}x\)
अतः विकल्प (2) सही है।
Legendary Polynomial & Bessel Functions Question 3:
यदि Pn(x) लेजान्ड्रे बहुपद है, तब P'n(1) होगा-
Answer (Detailed Solution Below)
Legendary Polynomial & Bessel Functions Question 3 Detailed Solution
व्याख्या:
अवकल समीकरण में x = 1 रखने पर
(1 - x2)Pn''(x) - 2xPn'(x) + n(n + 1)Pn(x) = 0
हमें प्राप्त होता है
0 × Pn''(1) - 2Pn'(1) + n(n + 1)Pn(1) = 0
⇒ 2Pn'(1) = n(n + 1)Pn(1)
⇒ 2Pn'(1) = n(n + 1) (चूँकि Pn(1) = 1 है)
⇒ Pn'(1) = \(\rm \frac{n(n+1)}{2}\)
अतः विकल्प (3) सही है।
Legendary Polynomial & Bessel Functions Question 4:
∫ x2J1(x)dx का मान कितना होगा?
Answer (Detailed Solution Below)
Legendary Polynomial & Bessel Functions Question 4 Detailed Solution
इस्तेमाल किया गया सूत्र:
बेसेल के फलन का पुनरावर्ती संबंध:\(\frac{d}{dx}[x^nJ_n(x)]\ =\ x^nJ_{n-1}(x)\)
इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है
∫ xnJn-1(x)dx = xnJn(x)
गणना:
हम जानते हैं कि, पुनरावृत्ति संबंधों से
∫ xnJn-1(x)dx = xnJn(x)
n = 2 रखने पर
∫ x2J1(x)dx = x2J2(x) + C
अतिरिक्त जानकारी
बेसेल का समीकरण:
अवकल समीकरण, पुनरावृत्ति संबंध
\(x^2\frac{d^2y}{dx^2}\ +\ x\frac{dy}{dx}\ +\ (x^2\ -\ n^2)y\ =\ 0\)
बेसल की कोटि n के समीकरण के रूप में जाना जाता है और इसके विशेष समाधान बेसेल के फलन कहलाते हैं।
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Legendary Polynomial & Bessel Functions Question 5:
∫ x2J1(x)dx का मान कितना होगा?
Answer (Detailed Solution Below)
Legendary Polynomial & Bessel Functions Question 5 Detailed Solution
इस्तेमाल किया गया सूत्र:
बेसेल के फलन का पुनरावर्ती संबंध:\(\frac{d}{dx}[x^nJ_n(x)]\ =\ x^nJ_{n-1}(x)\)
इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है
∫ xnJn-1(x)dx = xnJn(x)
गणना:
हम जानते हैं कि, पुनरावृत्ति संबंधों से
∫ xnJn-1(x)dx = xnJn(x)
n = 2 रखने पर
∫ x2J1(x)dx = x2J2(x) + C
अतिरिक्त जानकारी
बेसेल का समीकरण:
अवकल समीकरण, पुनरावृत्ति संबंध
\(x^2\frac{d^2y}{dx^2}\ +\ x\frac{dy}{dx}\ +\ (x^2\ -\ n^2)y\ =\ 0\)
बेसल की कोटि n के समीकरण के रूप में जाना जाता है और इसके विशेष समाधान बेसेल के फलन कहलाते हैं।
Legendary Polynomial & Bessel Functions Question 6:
\(\rm \int_0^x J_0(t)J_1(x-t)dt\) बराबर है
Answer (Detailed Solution Below)
Legendary Polynomial & Bessel Functions Question 6 Detailed Solution
व्याख्या:
बेसेल फलनों की सर्वसमिका के अनुसार,
\(\rm \int_0^x J_0(t)J_1(x-t)dt\) = J0(x) - cos x
विकल्प (3) सही है।
Legendary Polynomial & Bessel Functions Question 7:
P5(x) Q3(x) - Q5(x) P3(x) बराबर है - (जहाँ Pn(x) तथा Qn(x) क्रमश: प्रथम व द्वितीय प्रकार के लेजेंड्रे बहुपद हैं)
Answer (Detailed Solution Below)
Legendary Polynomial & Bessel Functions Question 7 Detailed Solution
व्याख्या:
हम जानते हैं कि
Pn(x) Qn-2(x) - Qn(x) Pn-2(x) = \((2n-1)x\over n(n-1)\), जहाँ Pn(x) और Qn(x) क्रमशः प्रथम और द्वितीय प्रकार के लेजेंड्रे बहुपद हैं।
n = 5 रखने पर हमें मिलता है,
P5(x) Q3(x) - Q5(x) P3(x) = \(9x\over 5\times 4\) = \(\rm\frac{9}{20}x\)
अतः विकल्प (2) सही है।
Legendary Polynomial & Bessel Functions Question 8:
यदि Pn(x) लेजान्ड्रे बहुपद है, तब P'n(1) होगा-
Answer (Detailed Solution Below)
Legendary Polynomial & Bessel Functions Question 8 Detailed Solution
व्याख्या:
अवकल समीकरण में x = 1 रखने पर
(1 - x2)Pn''(x) - 2xPn'(x) + n(n + 1)Pn(x) = 0
हमें प्राप्त होता है
0 × Pn''(1) - 2Pn'(1) + n(n + 1)Pn(1) = 0
⇒ 2Pn'(1) = n(n + 1)Pn(1)
⇒ 2Pn'(1) = n(n + 1) (चूँकि Pn(1) = 1 है)
⇒ Pn'(1) = \(\rm \frac{n(n+1)}{2}\)
अतः विकल्प (3) सही है।