Question
Download Solution PDFप्रारंभिक मान समस्या (IVP) पर विचार करें
\(\rm \left\{\begin{matrix}y'(x)=\sqrt{|y(x)+ε|}, & x ∈ R\\\ y(0)=y_0\end{matrix}\right.\)
निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
S1: एक ε > 0 इस प्रकार है कि सभी y0 ∈ ℝ के लिए, IVP का एक से अधिक हल है।
S2: एक \(y_0 \in \mathbb{R}\) इस प्रकार है कि सभी ε > 0 के लिए, IVP का एक से अधिक हल है।
तब
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFसंप्रत्यय:
लिप्सचित्ज़ शर्त: एक फलन \(f(x, y)\) एक प्रांत \(D \subset \mathbb{R}^2 \) में \(y\) के संबंध में लिपशीट्ज-प्रतिबंध को संतुष्ट करता है। यदि एक अचर \(L > 0 \) इस प्रकार है कि किसी भी \((x, y_1) \) और \((x, y_2) \) के लिए D में, निम्नलिखित असमिका धारण करती है
\(|f(x, y_1) - f(x, y_2)| \leq L |y_1 - y_2|.\)
अचर \(L\) को लिपशीट्ज अचर कहा जाता है।
व्याख्या:
\(y'(x) = \sqrt{|y(x)| + \epsilon}, \quad x \in \mathbb{R}\)
\(y(0) = y_0 \), जहाँ \(\epsilon > 0\) एक अचर है, और \(y_0 \in \mathbb{R}\) है।
S1: एक \(\epsilon > 0\) इस प्रकार है कि सभी \(y_0 \in \mathbb{R}\) के लिए, IVP का एक से अधिक हल है।
S2: एक \(y_0 \in \mathbb{R}\) इस प्रकार है कि सभी \(\epsilon > 0\) के लिए, IVP का एक से अधिक हल है।
अवकल समीकरण \(y'(x) = \sqrt{|y(x)| + \epsilon}\) है। चूँकि \(\epsilon > 0\) है, समीकरण का दाहिना भाग हमेशा धनात्मक और किसी भी \(y_0 \in \mathbb{R}\) के लिए सुपरिभाषित है।
सामान्य तौर पर, IVP के हलों की विशिष्टता को अक्सर लिपशीट्ज प्रतिबंध द्वारा निर्धारित किया जा सकता है।
एक फलन \( f(y) = \sqrt{|y| + \epsilon}\) के लिए, हमें यह जाँचने की आवश्यकता है कि क्या फलन y के संबंध में लिपशीट्ज प्रतिबंध को संतुष्ट करता है।
\(f'(y) = \frac{1}{2\sqrt{|y| + \epsilon}}.\)
यह फलन सभी \(y_0 \in \mathbb{R}\) के लिए संतत और परिबद्ध है क्योंकि \(\epsilon > 0\) y = 0 पर कोई विचित्रता सुनिश्चित करता है।
इसलिए, फलन लिपशीट्ज प्रतिबंध को संतुष्ट करता है, यह सुनिश्चित करता है कि जब \(\epsilon > 0\) हो तो प्रत्येक \(y_0 \in \mathbb{R}\) के लिए IVP का एक विशिष्ट हल होता है।
S1: यह कथन दावा करता है कि कुछ \(\epsilon > 0\) है जिसके लिए सभी \(y_0 \in \mathbb{R}\) के लिए IVP का एक से अधिक हल है।
हमारे विशिष्टता विश्लेषण (लिपशीट्ज प्रतिबंध) से, IVP में वास्तव में सभी \(\epsilon > 0\) और \(y_0 \in \mathbb{R}\) के लिए एक विशिष्ट हल है।
इसलिए, S1 असत्य है।
S2: यह कथन दावा करता है कि कुछ \(y_0 \in \mathbb{R}\) और सभी \(\epsilon > 0\) के लिए, IVP का एक से अधिक हल है।
इसी तर्क (लिपशीट्ज प्रतिबंध और अवकलज का सांतत्य) के आधार पर, हल सभी \(\epsilon > 0\) और किसी भी \( y_0\) के लिए विशिष्ट रहता है। इसलिए, S2 भी असत्य है।
दोनों कथन S1 और S2 असत्य हैं।
इस प्रकार, सही विकल्प 4) है।
Last updated on Jun 23, 2025
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