Wronskians MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Wronskians - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jun 26, 2025
Latest Wronskians MCQ Objective Questions
Wronskians Question 1:
एक अवकल समीकरण y'' - tan x y' + y = 0 पर विचार करें। ϕ(x), और ψ(x) अवकल समीकरण के दो हल इस प्रकार हैं कि ϕ(0) = 1, ϕ'(0) = 1, ψ(0) = 1, ψ'(0) = 2 है। तब निम्नलिखित में से कौन सा x = π/4 पर व्रोंस्कीयन का मान है?
Answer (Detailed Solution Below)
Wronskians Question 1 Detailed Solution
संप्रत्यय:
मान लीजिए कि a0y'' + a1y'+a2y = R(x) एक द्वितीय कोटि अवकल समीकरण है, तब एबल के सूत्र द्वारा,
W(x) = \(ce^{-\int {a_1(x)\over a_0(x)}dx}\)
व्याख्या:
दिया गया ODE है
y'' - tan x y' + y = 0
तब एबल के सूत्र द्वारा
W(x) = \(ce^{\int \tan xdx}\) = c elog sec x = c sec x....(i)
अब, ϕ(x), ψ(x) अवकल समीकरण के दो हल इस प्रकार हैं कि ϕ(0) = 1, ϕ'(0) = 1, ψ(0) = 1, ψ'(0) = 2 है।
इसलिए, W(0) = \(\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}\) = 2 - 1 = 1
(1) में रखने पर हमें मिलता है,
1 = c sec 0 ⇒ c = 1
इसलिए, W(x) = sec x
W(π/4) = sec(π/4) = √2
विकल्प (3) सही है।
Wronskians Question 2:
माना कि W अवकल समीकरण 2y" + y' + t2y = 0; t ∈ R के दो रैखिक रूप से स्वतंत्र हलों का व्रोंस्कीयन है।
तब सभी t के लिए, एक अचर C ∈ R का अस्तित्व इस प्रकार है कि W(t) है
Answer (Detailed Solution Below)
Wronskians Question 2 Detailed Solution
दिया गया है:
दिया गया अवकल समीकरण है:
\(2y'' + y' + t^2 y = 0 \)
माना कि W इस अवकल समीकरण के दो रैखिक रूप से स्वतंत्र हलों का व्रोंस्कीयन है।
समस्या बताती है कि सभी t के लिए, एक अचर \(C \in \mathbb{R}\) का अस्तित्व इस प्रकार है कि W(t) एक दिया गया रूप है।
व्याख्या:
द्वितीय-कोटि रैखिक समघात अवकल समीकरण y'' + p(t)y' + q(t)y = 0 के दो हलों का व्रोंस्कीयन, W(t), एबेल की सर्वसमिका द्वारा नियंत्रित होता है, जो कहता है:
W(t) = \( W(t_0) \exp \left( -\int_{t_0}^{t} p(s) \, ds \right) \)
इस स्थिति में:
- अवकल समीकरण \( 2y'' + y' + t^2 y = 0 . \) है।
- 2 से भाग देने पर, हम इसे \(y'' + \frac{1}{2}y' + \frac{t^2}{2} y = 0 \) के रूप में फिर से लिखते हैं, इसलिए p(t) = \(\frac{1}{2} \) है।
एबेल की सर्वसमिका को लागू करने पर:
W(t) = \(C e^{-\int \frac{1}{2} \, dt} = C e^{-\frac{t}{2}} \)
इस प्रकार, सही उत्तर है:
W(t) = \( C e^{-\frac{t}{2}} \)
उत्तर \( C e^{-\frac{t}{2}} \) है।
इसलिए, विकल्प (2) सही उत्तर है।
Wronskians Question 3:
समीकरण y" (x) + a(x)y(x) = 0 पर विचार करें, जहां a(x) संतत फलन है जिसका आवर्तकाल T है। ϕ1(x) तथा ϕ2(x) को इन शर्तों को पूरा करने वाले हलों का आधार मानें ϕ1(0) = 1, ϕ'1(0) = 0, ϕ2(0) = 0, ϕ'2(0) = 1. W(ϕ1, ϕ2) यदि ϕ1 तथा ϕ2 का रौंस्कियन हो, तब
Answer (Detailed Solution Below)
Wronskians Question 3 Detailed Solution
Wronskians Question 4:
साधारण अवकल समीकरण y" + P(x)y' + Q(x)y = 0 पर विचार कीजिए जहाँ P और Q स्मूथ फलन हैं। मान लीजिए y1 और y2 ODE के कोई दो हल हैं। मान लीजिए W(x) संगत व्रोनस्कियन है। तो निम्नलिखित में से कौन-सा सदैव सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Wronskians Question 4 Detailed Solution
अवधारणा:
(i) यदि y1 और y2 रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, तो W(x) ≠ 0 ∀ x
(ii) यदि y1 और y2 रैखिक रूप से निर्भर हैं, तो W(x) = 0 ∀ x
व्याख्या:
प्रत्यक्ष परिणाम से, केवल (4) सही है।
Wronskians Question 5:
माना P, ℝ पर एक सतत फलन है और W, साधरण अवकल समीकरण के दो रैखिक रूप से स्वतंत्र हल y1 और y2 का रांसकियन है:
\(\rm \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\left(1+x^{2}\right) \frac{d y}{d x}\) + P(x) y = 0, x ∈ ℝ.
माना W(1) = a, W(2) = b और W(3) = c है, तब -
Answer (Detailed Solution Below)
Wronskians Question 5 Detailed Solution
अवधारणा:
माना, a0(x) y''+ a1(x) y'+ a2(x) y =0 के दो हल y1 और y2 हैं।
रांसकियन के लिए एबेल सूत्र, \(W(x)=Ae^{-\int {a_1(x)\over a_0(x)}dx }\)
i) यदि कुछ x0 के लिए W(x0) = 0 है, तब सभी x के लिए W(x) = 0
ii) यदि कुछ x0 के लिए W(x0) > 0 है, तब सभी x के लिए W(x) > 0
iii) यदि कुछ x0 के लिए W(x0) < 0 है, तब सभी x के लिए W(x0) < 0
iv) y1 और y2 रैखिक रूप से स्वतंत्र होंगे यदि और केवल यदि x0 इस प्रकार विद्यमान है कि W(x0) \(\neq\) 0
गणना:
विकल्प (1)
W(1) = a < 0 और W(2) = b > 0 मान्य नहीं है क्योंकि रांसकियन के अलग-अलग बिंदुओं पर अलग-अलग चिह्न नहीं हो सकते है।
विकल्प (2)
\(W=Ae^{\int-(1+x^2)dx}=Ae^{-(x+{x^3\over 3})}\)
हम जानते हैं कि, e-x ह्वासमान फलन है, इसलिए W एक ह्वासमान फलन है।
यदि A > 0 है, तब W ह्वासमान फलन है, इसलिए a > b >c
और यदि A < 0 है, तब W एक वर्धमान फलन है, इसलिए a < b विकल्प (3) W शून्य नहीं हो सकता क्योंकि हल रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। या तो W < 0 या W > 0 है। इस प्रकार a, b, c या तो सभी धनात्मक हैं या सभी ऋणात्मक हैं। इस प्रकार, \(\rm \frac{a}{|a|}=\frac{b}{|b|}=\frac{c}{|c|}=1\space or -1\) विकल्प (4) a < b > c मान्य नहीं है क्योंकि यह W के एकदिष्टता का विरोधाभास है। अतः विकल्प (2) सही है।
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Wronskians Question 6:
साधारण अवकल समीकरण y" + P(x)y' + Q(x)y = 0 पर विचार कीजिए जहाँ P और Q स्मूथ फलन हैं। मान लीजिए y1 और y2 ODE के कोई दो हल हैं। मान लीजिए W(x) संगत व्रोनस्कियन है। तो निम्नलिखित में से कौन-सा सदैव सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Wronskians Question 6 Detailed Solution
अवधारणा:
(i) यदि y1 और y2 रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, तो W(x) ≠ 0 ∀ x
(ii) यदि y1 और y2 रैखिक रूप से निर्भर हैं, तो W(x) = 0 ∀ x
व्याख्या:
प्रत्यक्ष परिणाम से, केवल (4) सही है।
Wronskians Question 7:
द्वितीय कोटि ODE \(\ddot{x}+p(t)\dot{x}+q(t)x=0\) विचार करें और x1 , x2 को [a, b] में इस ODE के दो हल मान लें। x1, x2 के व्रोनस्कियन W के लिए निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Wronskians Question 7 Detailed Solution
व्याख्या:
परिणाम: व्रोंस्कीयन, W(x1, x2) ≡ 0 ⇔ x1 और x2 रैखिक रूप से आश्रित हैं।
विकल्प (1) सही नहीं है
परिणाम: व्रोंस्कीयन या तो सख्ती से बढ़ रहा है या सख्ती से घट रहा है। इसका चिन्ह नहीं बदलता है।
विकल्प (2) सही नहीं है:
परिणाम: व्रोंस्कीयन, W या तो ≡ 0 या ≠ 0 ∀ x
विकल्प (3) सही है
एबेल के सूत्र द्वारा, दिए गए द्वितीय-कोटि ODE के लिए
\(\ddot{x}+p(t)\dot{x}+q(t)x=0\)
हमारे पास \(W(t) = W(t_0) e^{-\int p(t) dt}\)
इसलिए, ODE \(\ddot{x}+t\dot{x}+x=0\) के लिए, हमारे पास
\(W(t) = W(t_0) e^{-\int t dt}\)
अब, जब \(W(t_0) = 1\) , हमारे पास \(W(t) = 1. e^{-\frac{t^2}{2}} \neq 1\)
विकल्प (4) सही नहीं है
Wronskians Question 8:
एक अवकल समीकरण y'' - tan x y' + y = 0 पर विचार करें। ϕ(x), और ψ(x) अवकल समीकरण के दो हल इस प्रकार हैं कि ϕ(0) = 1, ϕ'(0) = 1, ψ(0) = 1, ψ'(0) = 2 है। तब निम्नलिखित में से कौन सा x = π/4 पर व्रोंस्कीयन का मान है?
Answer (Detailed Solution Below)
Wronskians Question 8 Detailed Solution
संप्रत्यय:
मान लीजिए कि a0y'' + a1y'+a2y = R(x) एक द्वितीय कोटि अवकल समीकरण है, तब एबल के सूत्र द्वारा,
W(x) = \(ce^{-\int {a_1(x)\over a_0(x)}dx}\)
व्याख्या:
दिया गया ODE है
y'' - tan x y' + y = 0
तब एबल के सूत्र द्वारा
W(x) = \(ce^{\int \tan xdx}\) = c elog sec x = c sec x....(i)
अब, ϕ(x), ψ(x) अवकल समीकरण के दो हल इस प्रकार हैं कि ϕ(0) = 1, ϕ'(0) = 1, ψ(0) = 1, ψ'(0) = 2 है।
इसलिए, W(0) = \(\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}\) = 2 - 1 = 1
(1) में रखने पर हमें मिलता है,
1 = c sec 0 ⇒ c = 1
इसलिए, W(x) = sec x
W(π/4) = sec(π/4) = √2
विकल्प (3) सही है।
Wronskians Question 9:
समीकरण y" (x) + a(x)y(x) = 0 पर विचार करें, जहां a(x) संतत फलन है जिसका आवर्तकाल T है। ϕ1(x) तथा ϕ2(x) को इन शर्तों को पूरा करने वाले हलों का आधार मानें ϕ1(0) = 1, ϕ'1(0) = 0, ϕ2(0) = 0, ϕ'2(0) = 1. W(ϕ1, ϕ2) यदि ϕ1 तथा ϕ2 का रौंस्कियन हो, तब
Answer (Detailed Solution Below)
Wronskians Question 9 Detailed Solution
Wronskians Question 10:
माना P, ℝ पर एक सतत फलन है और W, साधरण अवकल समीकरण के दो रैखिक रूप से स्वतंत्र हल y1 और y2 का रांसकियन है:
\(\rm \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\left(1+x^{2}\right) \frac{d y}{d x}\) + P(x) y = 0, x ∈ ℝ.
माना W(1) = a, W(2) = b और W(3) = c है, तब -
Answer (Detailed Solution Below)
Wronskians Question 10 Detailed Solution
अवधारणा:
माना, a0(x) y''+ a1(x) y'+ a2(x) y =0 के दो हल y1 और y2 हैं।
रांसकियन के लिए एबेल सूत्र, \(W(x)=Ae^{-\int {a_1(x)\over a_0(x)}dx }\)
i) यदि कुछ x0 के लिए W(x0) = 0 है, तब सभी x के लिए W(x) = 0
ii) यदि कुछ x0 के लिए W(x0) > 0 है, तब सभी x के लिए W(x) > 0
iii) यदि कुछ x0 के लिए W(x0) < 0 है, तब सभी x के लिए W(x0) < 0
iv) y1 और y2 रैखिक रूप से स्वतंत्र होंगे यदि और केवल यदि x0 इस प्रकार विद्यमान है कि W(x0) \(\neq\) 0
गणना:
विकल्प (1)
W(1) = a < 0 और W(2) = b > 0 मान्य नहीं है क्योंकि रांसकियन के अलग-अलग बिंदुओं पर अलग-अलग चिह्न नहीं हो सकते है।
विकल्प (2)
\(W=Ae^{\int-(1+x^2)dx}=Ae^{-(x+{x^3\over 3})}\)
हम जानते हैं कि, e-x ह्वासमान फलन है, इसलिए W एक ह्वासमान फलन है।
यदि A > 0 है, तब W ह्वासमान फलन है, इसलिए a > b >c
और यदि A < 0 है, तब W एक वर्धमान फलन है, इसलिए a < b विकल्प (3) W शून्य नहीं हो सकता क्योंकि हल रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। या तो W < 0 या W > 0 है। इस प्रकार a, b, c या तो सभी धनात्मक हैं या सभी ऋणात्मक हैं। इस प्रकार, \(\rm \frac{a}{|a|}=\frac{b}{|b|}=\frac{c}{|c|}=1\space or -1\) विकल्प (4) a < b > c मान्य नहीं है क्योंकि यह W के एकदिष्टता का विरोधाभास है। अतः विकल्प (2) सही है।
Wronskians Question 11:
माना कि W अवकल समीकरण 2y" + y' + t2y = 0; t ∈ R के दो रैखिक रूप से स्वतंत्र हलों का व्रोंस्कीयन है।
तब सभी t के लिए, एक अचर C ∈ R का अस्तित्व इस प्रकार है कि W(t) है
Answer (Detailed Solution Below)
Wronskians Question 11 Detailed Solution
दिया गया है:
दिया गया अवकल समीकरण है:
\(2y'' + y' + t^2 y = 0 \)
माना कि W इस अवकल समीकरण के दो रैखिक रूप से स्वतंत्र हलों का व्रोंस्कीयन है।
समस्या बताती है कि सभी t के लिए, एक अचर \(C \in \mathbb{R}\) का अस्तित्व इस प्रकार है कि W(t) एक दिया गया रूप है।
व्याख्या:
द्वितीय-कोटि रैखिक समघात अवकल समीकरण y'' + p(t)y' + q(t)y = 0 के दो हलों का व्रोंस्कीयन, W(t), एबेल की सर्वसमिका द्वारा नियंत्रित होता है, जो कहता है:
W(t) = \( W(t_0) \exp \left( -\int_{t_0}^{t} p(s) \, ds \right) \)
इस स्थिति में:
- अवकल समीकरण \( 2y'' + y' + t^2 y = 0 . \) है।
- 2 से भाग देने पर, हम इसे \(y'' + \frac{1}{2}y' + \frac{t^2}{2} y = 0 \) के रूप में फिर से लिखते हैं, इसलिए p(t) = \(\frac{1}{2} \) है।
एबेल की सर्वसमिका को लागू करने पर:
W(t) = \(C e^{-\int \frac{1}{2} \, dt} = C e^{-\frac{t}{2}} \)
इस प्रकार, सही उत्तर है:
W(t) = \( C e^{-\frac{t}{2}} \)
उत्तर \( C e^{-\frac{t}{2}} \) है।
इसलिए, विकल्प (2) सही उत्तर है।
Wronskians Question 12:
मान लीजिए Y1 और Y2 दूसरे कोटि के गैर-सजातीय समीकरण Y1 (0) = 0, Y'1 (0) = 1 और Y2 (0) = 1, Y'2 (0) = - 1 के दो हल हैं, यदि Y2(x) a और h(x)= Y1 (x)/Y2 (x) के लिए शून्येतर है, तो h(x) का मान क्या होगा?
Answer (Detailed Solution Below)
Wronskians Question 12 Detailed Solution
दिया गया है -
मान लीजिए Y1 और Y2 दूसरी कोटि के गैर-सजातीय समीकरण Y1 (0) = 0, Y'1 (0) = 1 और Y2 (0) = 1, Y'2 (0) = - 1 के दो हल हैं, यदि a और \( h(x)= \frac{Y_1(x)}{Y_2(x)},\) के लिए Y2(x) शून्येतर है।
अवधारणा -
यदि एक बिंदु पर \(W(Y_1,Y_2)>0\) को बढ़ाने के लिए व्रोन्स्कियन की अवधारणा का उपयोग करते हैं, तो यह सभी मानों और \(W(Y_1,Y_2)= Y_1Y'_2-Y_2Y'_1\)के लिए मान्य है।
स्पष्टीकरण -
अब प्रारंभिक बिंदु पर इसकी गणना करते हैं-
\(W(Y_1,Y_2)|_{0,0}= Y_1(0)Y'_2(0)-Y_2(0)Y'_1(0) =0+1=1\) > 0
इसलिए प्रत्येक x के लिए व्रोनस्कियन वर्धमान है।
अब, यदि h'(x) > 0 है, तो सभी x के लिए h(x) भी वर्धमान है।
\(h'(x) =\frac{W(Y_1,Y_2)}{Y^2_2}>0\) चूँकि \(W(Y_1,Y_2)>0\)
अतः विकल्प (iv) सही है।