Tangents and Normals MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Tangents and Normals - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है, x = 2t² - 4t + 3 और y = t³ - 4t² + 6

∴ $\frac{dx}{dt}$ = 4t - 4

⇒ $\frac{dx}{dt}{|}_{t=2}$ = 4(2) - 4 = 4

साथ ही, $\frac{dy}{dt}$ = 3t² - 8t

⇒ $\frac{dy}{dt}{|}_{t=2}$ = 3(2)² - 8(2) = - 4

∴ $\frac{dy}{dx}$ = $\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$ = - 4/4 = - 1

∴ वक्र x = 2t² - 4t + 3 और y = t³ - 4t² + 6 के लिए t = 2 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता - 1 है।

सही उत्तर विकल्प 3 है।

संकल्पना:

1) किसी बिंदु P(x1, y1) पर वक्र y = f(x) की प्रवणता का अर्थ P(x₁, y₁) पर वक्र की स्पर्शरेखा की प्रवणता है।

प्रवणता को m के रुप में दिया गया है,जहाँ (x1, y1) पर$\mathrm{m}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$  

2) किसी फलन का क्रांतिक बिंदु वह बिंदु है जहां उसका पहला अवकलज 0 है।

3) किसी फलन का स्थानीय उच्चिष्ठ होता है यदि किसी क्रांतिक बिंदु पर उसका दूसरा अवकलज 0 से कम हो।

गणना:

दिया गया है वक्र का समीकरण  y = –x3 + 3x2 + 9x – 27 है

∴ प्रवणता निम्न द्वारा दी जाती है y' = - 3x² + 6x + 9

माना कि y' को अन्य फलन S(x) के रुप में निरुपित किया जाता है।

⇒ S(x)  = - 3x2 + 6x + 9

अब हमें अधिकतम प्रवणता का पता लगाना है,अर्थात् S(x) का अधिकतम मान

S'(x) = - 6x + 6

क्रांतिक बिंदु के लिए, S'(x) = 0 रखें

⇒ - 6x + 6 = 0

⇒ x =  1.

S''(x) = - 6 < 0

इस प्रकार x =  1 पर S(x) का अधिकतम

⇒ S(1) = - 3 + 6 + 9 = 12

इस प्रकार दिए गए वक्र की अधिकतम प्रवणता 12 है।

सही उत्तर विकल्प 2 है।

अवधारणा:

यदि प्राचलिक समीकरण x = x(t) और y = y(t) है, तो बिंदु (xo, yo) पर स्पर्शरेखा की प्रवणता ज्ञात करने के लिए,

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$ का उपयोग करके फलन का अवकलज ज्ञात करें,

उपरोक्त अवकलज  में (xo, yo) को प्रतिस्थापित करके स्पर्शरेखा (m) की प्रवणता ज्ञात कीजिए।

गणना:

दिए गए वक्र का समीकरण है, x = t2 + 3t – 8, y = 2t2 – 2t – 5 

दिया गया बिंदु (2, -1) है। 

⇒ 2 = t2 + 3t – 8 और - 1 = 2t2 – 2t – 5 

⇒ t² + 3t - 10 = 0  और 2t2 – 2t – 4 = 0

⇒ (t + 5)(t - 2) = 0 और 2(t - 2)(t + 1) = 0

⇒ t = - 5 or t = 2 और t = 2 or t = -1

दोनों से हमें उभयनिष्ठ t = 2 प्राप्त होता है।

अब पृथक-पृथक $\frac{dx}{dt}$ और $\frac{dy}{dt}$ ज्ञात करने पर,  

⇒ $\frac{dx}{dt}$ = 2t + 3 और $\frac{dy}{dt}$ =  4t - 2

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$

⇒ $\frac{dy}{dx}$ = $\frac{4t-2}{2t+3}$

⇒t = 2  पर $\frac{dy}{dx}$ $\frac{4\times 2-2}{2\times 2+3}$ = $\frac{6}{7}$ है। 

बिंदु (2, -1) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता 6/7 है।

सही उत्तर विकल्प 2 है। 

अवधारणा:

1) किसी बिंदु P(x1, y1) पर वक्र y = f(x) की प्रवणता का अर्थ P(x1, y1) पर वक्र की स्पर्शरेखा की प्रवणता है।

प्रवणता को m के रूप में दिया गया है, जहाँ (x1, y1) पर $\mathrm{m}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ है। 

2) किसी बिंदु पर वक्र की लंबवत स्पर्शरेखा y-अक्ष के समानांतर होती है।

3) एक रेखा y-अक्ष के समानांतर होती है यदि इसकी प्रवणता अपरिभाषित है।

गणना:

दिया गया है: वक्र का समीकरण है, y = ${\mathrm{x}}^{\frac{1}{5}}$ 

x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

⇒ $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{5}{x}^{(\frac{1}{5}-1)}$

⇒ $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{5x^{\frac{4}{5}}}$

(0, 0) पर $\frac{dy}{dx}$, $\frac{1}{0}$ के रूप में है। 

इसलिए प्रवणता अपरिभाषित है और वक्र में एक ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा (y-अक्ष के समानांतर) है।

सही उत्तर विकल्प 1 है।

संकल्पना:

प्रतिच्छेदी वक्र तब लांबिक होते हैं यदि वे समकोण पर एक-दूसरे से मिलते हैं। 

यदि वक्र लांबिक हैं, तो प्रतिच्छेदन के बिंदु पर स्पर्श रेखा (या लंब) के ढलानों का गुणनफल -1 के बराबर है। 

बिंदु (a, b) पर वक्र y = f(x) के स्पर्श रेखा के ढलान को m = ${\left(\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\right)}_{(\mathrm{a},\mathrm{b})}$ द्वारा ज्ञात किया गया है। 

गणना:

दिया गया वक्र ay + x2 = 7 और x3 = y हैं। 

ay + x2 = 7

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ a$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ + 2x = 0

⇒ $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{-2\mathrm{x}}{\mathrm{a}}$ = पहले वक्र का ढलान

अब, x3 = y

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ 3x2 = $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = दूसरे वक्र का ढलान 

दिया गया वक्र लम्बकोणतः रूप से (1, 1) पर एक-दूसरे को विच्छेदित करते हैं

इसलिए, (1, 1) पर दोनों वक्रों के स्पर्श रेखाओं की ढलानों का गुणनफल -1 होना चाहिए। 

⇒ ${\left(\frac{-2\mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right)}_{(1,1)}\times {\left(3{\mathrm{x}}^2\right)}_{(1,1)}=-1$

⇒ a = 6

संकल्पना:

एक बिंदु (a, b) पर वक्र y = f(x) की स्पर्शरेखा का समीकरण (y - b) = m(x - a) द्वारा दिया जाता है, जहाँ m = y'(b) = f'(a) [बिंदु (a, b) पर अवकलज का मूल्य]।

गणना:

y = f(x) = x3

संकल्पना:

वक्र के स्पर्श रेखा की ढलान = $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$

वक्र के लंब की ढलान = $\frac{-1}{(\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}})}$

बिंदु-ढलान सामान्य रूप: y - y₁ = m(x - x₁) है,

जहाँ m = ढलान है। 

गणना:

यहाँ, y = 2x²

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = 4x

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}{|}_{\mathrm{x}=1}=4$

वक्र के लंब की ढलान =$\frac{-1}{(\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}})}$ = -1/4

(1, 2) से होकर गुजरने वाले वक्र के लंब का समीकरण है

(y - 2) = (-1/4)(x - 1)  

⇒ 4y - 8 = -x + 1

⇒ x + 4y - 9 = 0 

अतः विकल्प (4) सही है। 

संकल्पना:

बिंदु p पर दिए गए वक्र y = f(x) के लिए स्पर्श रेखा का ढलान f’(x) दिया गया है। 

गणना:

दिया गया वक्र: y = x² - 4x + 3

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=2\mathrm{x}-4$

दिया गया है: स्पर्श रेखाएं x - अक्ष के समानांतर हैं। 

इसलिए, $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=0$

⇒ 2x - 4 = 0

∴ x = 2

x = 2 केवल वह बिंदु है जहाँ ढलान x - अक्ष के समानांतर है। 

अतः केवल 1 स्पर्श रेखा मौजूद है। 

संकल्पना:

ढलान m वाले बिंदु (x1 , y1) पर स्पर्श रेखा के समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

$(\mathrm{y}-{\mathrm{y}}_1)=\mathrm{m}(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_1)$

गणना:

दिया गया वक्र y = 2x sin x है। 

दोनों पक्षों में अवकलज लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}=2\mathrm{x}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}+2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}$

बिंदु $(\frac{\pi }{2},\pi )$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात करने के लिए x = ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$  रखने पर 

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}=2{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\displaystyle \frac{\pi }{2}}+2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}=2$

ढलान m वाले बिंदु (x₁ , y₁) पर स्पर्श रेखा के समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

$(\mathrm{y}-{\mathrm{y}}_1)=\mathrm{m}(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_1)$

$(\mathrm{y}-\pi )=2(\mathrm{x}-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

y = 2x

अतः बिंदु $(\frac{\pi }{2},\pi )$ पर वक्र y = 2x sin x के लिए स्पर्श रेखा का समीकरण 2x है। 

संकल्पना:

एक वक्र के स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात करने के लिए:

चरण 1) दिए गए वक्र का अवकलज ज्ञात कीजिए। 

चरण 2) दिए गए बिंदु पर स्पर्श रेखा के ढलान की गणना कीजिए। 

चरण 3) स्पर्श रेखा का समीकरण निर्धारित कीजिए। 

दिए गए बिंदु के स्पर्श रेखा के ढलान और निर्देशांकों को सीधे रेखा के समीकरण$(\mathrm{y}-{\mathrm{y}}_1)=\mathrm{m}(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_1)$ के ढलान-बिंदु रूप में रखिए। 

गणना:

दिए गए वक्र का समीकरण y = x2 + 4x + 1 है। 

अवधारणा:

1) किसी बिंदु पर वक्र f(x, y) = 0 की प्रवणता उस बिंदु पर  $\frac{dy}{dx}$ के बराबर होती है।   

2) बिंदु (h,k) और प्रवणता m से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है,

y - k = m(x - h)

गणना:

वक्र का दिया गया समीकरण है,  y = e2x.

वक्र की स्पर्श रेखा की ढाल है, ​$\frac{dy}{dx}$ = 2e^2x.

(0, 1) पर स्पर्श रेखा की ढाल  $\frac{dy}{dx}$ = 2e⁰ = 2

ढाल 2 वाली और (0, 1) से गुजरने वाली स्पर्शरेखा का समीकरण है:

y - 1 = 2 (x - 0)

y - 1 = 2x

x-अक्ष पर, y = 0 (∵ स्पर्श रेखा x-अक्ष से मिलती है।)

⇒ 2x = - 1

⇒ x = $-\frac{1}{2}$

∴ वह बिंदु, जहाँ रेखा x-अक्ष से मिलती ($-\frac{1}{2}$ , 0) है।  

सही उत्तर विकल्प 2 है।

संकल्पना:

सामान्य स्पर्शरेखा के लंबवत है, इस तरह  mt × mn = -1 है 

mt = dy/dx.

गणना:

माना फलन f(x) है, इस प्रकार  स्पर्शरेखा का ढलान  m_t  और सामान्य का ढलान  m_n है

अब, हम जानते हैं कि, सामान्य स्पर्शरेखा के लंबवत है, इस प्रकार   mt × mn = -1

mn × dy/dx = -1

⇒ m_n = - dx/dy

अब, प्रश्न के अनुसार, सामान्य x अक्ष के समांतर है, अतः सामान्य का ढलान x-अक्ष के ढलान के समान है (यानी शून्य) 

∴ mn = 0

⇒ - dx/dy = 0

⇒ dx/dy = 0

∴ किसी दिए गए वक्र का सामान्य x- अक्ष के समानांतर होता है यदि  dx/dy = 0 है 

संकल्पना:

सूत्र:

• cos-1 (cos x) = x
• sin^-1 (sin x) = x
• वक्र का ढलान = tan θ = $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$

गणना:

दिया गया है: ढलान = tan θ

y = sin-1 (cos x)

⇒ y = sin-1 (sin (π/2 -x))

⇒ y = π/2 – x                                        (∵ sin-1 (sin x) = x)

x के संबंध में दोनों पक्षों का अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = -1

चूँकि हम जानते हैं, ढलान = $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$

⇒ tan θ  = -1

∴ θ = 3π/4

संकल्पना:

वर्क के लिए स्पर्श रेखा का ढलान:

कुछ बिंदु P(x1, y1)  पर वक्र y = f(x) के ढलान का अर्थ P(x1, y1) पर वक्र के लिए स्पर्श रेखा का ढलान होता है। 

ढलान m के रूप में दिया गया है, जहाँ (x1, y1) पर $\mathrm{m}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ है। 

गणना:

दिया गया है 2x3 + 3y = 2y3 + 3x 

x के संबंध में अवकलन करने पर 

2(3x²) + 3$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = 2(3y² $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$) + 3(1)

6x² + 3$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = 6y² $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ + 3

एक पक्ष पर $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

6x² - 3 = (6y² - 3) $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{6{\mathrm{x}}^2-3}{6{\mathrm{y}}^2-3}$

संकल्पना:

वक्र का ढलान = dy/dx

गणना:

माना कि वक्र पर बिंदु (x, y) है। 

दिया गया है: वक्र का समीकरण y = x3 – 3x2 + 3x - 6    ---(1)

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=3{\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}+3$

चूँकि, स्पर्श रेखा अक्ष के समानांतर है,

$\therefore \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=0$

⇒ 3x2 – 6x + 3 = 0

⇒ 3 (x2 – 2x + 1) = 0

⇒ (x – 1)2 = 0

∴ x = 1

समीकरण 1 में x का मान रखने पर,

⇒ y = 1 – 3 + 3 – 6 = -5

अतः आवश्यक बिंदु (1, -5) है।