Increasing and Decreasing Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Increasing and Decreasing Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

प्रयुक्त अवधारणा:

यदि किसी फलन का अवकलज धनात्मक है, तो वह फलन वर्धमान होता है।

गणना

माना कि f(x) = tan^-1(sin x + cos x)

\(f'(x) = \frac{1}{1 + (\sin x + \cos x)^2} \cdot (\cos x - \sin x)\)

हर को सरल करने पर:

1 + (sin x + cos x)² = 1 + sin² x + cos² x + 2 sin x cos x

= 1 + 1 + 2 sin x cos x

= 2 + 2 sin x cos x

= 2(1 + sin x cos x)

इसलिए, f'(x) = \(\frac{\cos x - \sin x}{2(1 + \sin x \cos x)}\) = \(\frac{\sqrt{2} \cos(x + \frac{\pi}{4})}{1 + (\sin x + \cos x)^2}\)

f(x) के वर्धमान होने के लिए, f'(x) > 0

f(x) वर्धमान है यदि \(-\frac{\pi}{2} < x + \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} \Rightarrow -\frac{3\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4}\)

∴ फलन f(x) = tan^-1(sin x + cos x), (-π/2, π/4) में एक वर्धमान फलन है।

इसलिए, विकल्प 3 सही है। 

संप्रत्यय:

फलन की एकदिष्टता:

• कोई फलन किसी अंतराल में निरंतर ह्रासमान होता है यदि उस अंतराल में उसका प्रथम अवकलज ऋणात्मक है।
• दिया गया फलन f(x) = |3/x + x/3| है।
• यह एक परिमेय व्यंजक और एक निरपेक्ष मान फलन का संयोजन है।
• निरंतर ह्रासमान अंतराल ज्ञात करने के लिए, हमें चाहिए:
  • मॉड्यूलस को हटाएँ और आंतरिक फलन g(x) = 3/x + x/3 का विश्लेषण करें।
  • g(x) का अवकलज ज्ञात करें और g'(x) के चिह्न का अध्ययन करें।
  • मॉड्यूलस के प्रभाव पर विचार करें: यदि g(x) ऋणात्मक है, तो f(x) = -g(x) है। 
  • फिर हम g(x) के चिह्न के आधार पर f(x) का अवकलज इसी प्रकार ज्ञात करते हैं।

प्रयुक्त नियम:

• 1/x का अवकलज = -1/x²
• x का अवकलज = 1

गणना:

माना कि f(x) = |g(x)| जहाँ g(x) = 3/x + x/3

⇒ g'(x) = -3/x² + 1/3

घुमाव बिंदु ज्ञात करने के लिए g'(x) = 0 रखें:

⇒ -3/x² + 1/3 = 0

⇒ 1/3 = 3/x²

⇒ x² = 9

⇒ x = ±3

x = -3, 0, 3 के निकट g'(x) के चिह्न की जाँच करें:

⇒ x < -3: x = -4 ⇒ g'(x) = -3/16 + 1/3 > 0

⇒ -3 < x < 0: x = -2 ⇒ g'(x) = -3/4 + 1/3 = -5/12 < 0

⇒ 0 < x < 3: x = 2 ⇒ g'(x) = -3/4 + 1/3 = -5/12 < 0

⇒ x > 3: x = 4 ⇒ g'(x) = -3/16 + 1/3 > 0

इसलिए, g(x) (-3, 0) ∪ (0, 3) में ह्रासमान है। 

अब (-3, 0) और (0, 3) में g(x) के चिह्न का विश्लेषण करें:

दोनों अंतरालों में, g(x) < 0

⇒ f(x) = -g(x)

⇒ f'(x) = -g'(x) = 3/x² - 1/3

ह्रासमान के लिए f'(x) < 0 रखें:

⇒ 3/x² - 1/3 < 0

⇒ 3/x² < 1/3 ⇒ x² > 9 ⇒ |x| > 3

लेकिन यह x ∈ (-3, 0) ∪ (0, 3) का खंडन करता है। 

अब (-3, 0) ∪ (0, 3) में f(x) = -g(x) के लिए अवकलज का पुनः परीक्षण करें

इस अंतराल में, 3/x² - 1/3 ह्रासमान है जब x² < 9 है,

इसलिए, f'(x) < 0 है, जब x² < 9 है,

⇒ x ∈ (-3, 0) ∪ (0, 3)

∴ फलन (-3, 0) ∪ (0, 3) अंतराल में निरंतर ह्रासमान है। 

गणना

f(x) = 2 loge (x - 2) - x2 + ax + 1

\(f^{\prime}(x)=\frac{2}{x-2}-2 x+a \geq 0\)

\(\mathrm{f}^{′ ′}(\mathrm{x})=\frac{-2}{(\mathrm{x}-2)^{2}}-2<0\)

f′ (x) घट रहा है और f′ (3) ≥ 0

⇒ 2 - 6 + a ≥ 0

⇒ a ≥ 4

⇒ a_min = 4

g(x) निरंतर ह्रासमान है

g(x) = (x - 1)³ (x + 2 - a)²

g(x) = (x - 1)³ (x - 2)²

g′ (x) = (x - 1)³ 2(x - 2) + (x - 2)² 3(x - 1)²

= (x - 1)² (x - 2) (2x - 2 + 3x - 6)

= (x - 1)² (x - 2) (5x - 8) < 0

\(x \in\left(\frac{8}{5}, 2\right)\)

⇒ b = \(\frac{8}{5}\) , c = 2

\(100(a+b-c)=100\left(4+\frac{8}{5}-2\right)=360\)

इसलिए विकल्प 2 सही है

प्रयुक्त अवधारणा:

जब किसी फलन का अवकलज 0 से अधिक होता है, तो वह फलन वर्धमान होता है।

गणना:

y = x2e-x

⇒ \(\frac{dy}{dx} = 2xe^{-x} + x^2(-e^{-x}) = e^{-x}(2x - x^2)\)

फलन के वर्धमान होने के लिए, \(\frac{dy}{dx} > 0\)

⇒ \(e^{-x}(2x - x^2) > 0\)

चूँकि \(e^{-x}\) हमेशा धनात्मक होता है, हमें यह ज्ञात करना है कि \(2x - x^2 > 0\) कहाँ स्थित है।

⇒ \(x(2-x) > 0\)

⇒ 0 < x < 2.

फलन अंतराल (0, 2) में वर्धमान है।

इसलिए, विकल्प 1 सही है। 

गणना:

चूँकि, f(x) = tan⁻¹(sinx + cosx)

∴ \(f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+(\sin x+\cos x)^{2}}(\cos x-\sin x)\)

= \(\frac{\sqrt{2} \cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)}{1+(\sin x+\cos x)^{2}}\)

f(x) वर्धमान है, यदि f(x) > 0 ⇒ \(\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)>0\)

⇒ \(-\frac{\pi}{2}

अतः विकल्प 2 सही है। 

संकल्पना:

यदि प्रत्येक बिंदु पर f′(x) > 0 एक अंतराल में है तो फलन को निरंतर वर्धमान फलन कहा जाता है।

गणना:

दिया गया है, f(x) = x2 - 2x 

अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

f'(x) = 2x - 2

f(x) निरंतर वर्धमान फलन है। 

∴ f'(x) > 0

⇒ 2x - 2> 0

⇒ x > 1

∴ x ∈ (1, ∞)

संकल्पना:

• यदि f′(x) > 0 है तो फलन को निरंतर वर्धमान फलन कहा जाता है। 
• यदि f′(x) < 0 है तो फलन को घटता हुआ फलन कहा जाता है। 

गणना:

दिया गया है: f(x) = 1 - x - x3

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ f'(x) = 0 - 1 - 3x2

⇒ f'(x) =  - 1 - 3x2

घटते हुए फलन के लिए, f'(x) < 0 

⇒ -1 - 3x2 < 0

⇒ -(1 + 3x2) < 0

जैसा कि हम जानते हैं, असमिका के प्रत्येक पक्ष को ऋणात्मक संख्या से गुणा/भाग करना असमिका के चिह्न की दिशा को उलट देता है।

⇒ (1 + 3x2)  > 0

चूँकि हम जानते हैं, x2 ≥ 0,  x ∈ R

इसलिए, 1 + 3x2 > 0, x ∈ R

अतः फलन x के सभी मानों के लिए घटता हुआ फलन है। 

संकल्पना:

• यदि f′(x) > 0 है, तो फलन को निरंतर वर्धमान फलन कहा जाता है। 
• यदि f′(x) < 0 है, तो फलन को घटता हुआ फलन कहा जाता है। 

गणना:

दिया गया है: f(x) = 1 + x2 + x4

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ f'(x) = 0 + 2x + 4x³

⇒ f'(x) = 2x + 4x3

निरंतर वर्धमान फलन के लिए, f'(x) > 0 

⇒ 2x + 4x³ > 0

⇒ 2x(1 + 2x²) > 0

चूँकि हम जानते हैं, x2 ≥ 0,  x ∈ R

इसलिए, 1 + 2x2 > 0, x ∈ R

अब, 2x > 0

⇒ x > 0

अतः फलन x > 0 के लिए निरंतर वर्धमान फलन है।

संकल्पना:

यदि प्रत्येक बिंदु पर f′(x) > 0 एक अंतराल में है तो फलन को निरंतर वर्धमान फलन कहा जाता है।
 

गणना:

दिया गया है कि , f(x) = 2x2 - 3x 

अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

f'(x) = 4x - 3

f(x) निरंतर वर्धमान फलन है

∴ f'(x) > 0

⇒ 4x - 3 > 0

⇒ 4x > 3 

⇒ x > \(\rm\frac{3}{4}\)

∴ x ∈ (\(\rm\frac{3}{4}\), ∞)

अवधारणा:

• यदि f′(x) > 0 तो फलन को दृढ़ता से बढ़ता हुआ कहा जाता है।
• यदि f′(x) < 0 तो फलन को घटता हुआ कहा जाता है।

गणना:

दिया गया: f(x) = 2 - x3 - x5

x के संबंध में अवकलन करके हमें मिलता है

⇒ f'(x) = 0 - 3x2 - 5x4

⇒ f'(x) =  - 3x2 - 5x4

घटते हुए फलन के लिए, f'(x) < 0

⇒- 3x2 - 5x4 < 0

⇒ -[x2(3 + 5x2)] < 0

जैसा कि हम जानते हैं, असमिका के प्रत्येक पक्ष को ऋणात्मक संख्या से गुणा / भाग करना असमिका के चिह्न की दिशा को उलट देता है ।

⇒ x2(3 + 5x2) > 0

जैसा कि हम जानते हैं, x2 ≥ 0,  x ∈ R

तो, 3 + 5x2 > 0, x ∈ R

इसलिए x के सभी मानों के लिए फलन घटता हुआ है

संकल्पना:

यदि प्रत्येक बिंदु पर f′(x) > 0 एक अंतराल में है तो फलन को निरंतर वर्धमान फलन कहा जाता है।

गणना:

दिया गया है, f(x) = x2 - 4x 

अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

f'(x) = 2x - 4

f(x) निरंतर वर्धमान फलन है। 

∴ f'(x) > 0

⇒ 2x - 4 > 0

⇒ x > 2

∴ x ∈ (2, ∞)

Mistake Points

यदि a, b ∈ R और a < b है, तो निम्न खुले और बंद अंतराल का एक निरूपण है:

• खुले अंतराल को (a, b) = {x : a < y < b} द्वारा दर्शाया गया है, अर्थात् 'a' और 'b' शामिल नहीं हैं।
• बंद अंतराल को [a, b] = {x : a ≤ x ≤ b} द्वारा दर्शाया गया है, अर्थात् 'a' और 'b' शामिल हैं।
• [a, b) = {x : a ≤ x < b} a से b तक का एक खुला अंतराल है, जिसमें 'a' शामिल है लेकिन 'b' को छोड़कर।
• (a, b ] = { x : a < x ≤ b } 'b' सहित a से b तक का एक खुला अंतराल है लेकिन 'a' को छोड़कर।

चूँकि '2' यहाँ शामिल नहीं है, इसलिए विकल्प (1) सही नहीं होगा।

धारणा:

• यदि f′(x) > 0 तो कहा जाता है कि फलन बढ़ता हुआ है।
• यदि f′(x) < 0 तो कहा जाता है कि फलन घटता हुआ है।

गणना:

दिया हुआ:

f(x) = x - e^x

x के संबंध में अवकलन करके हमें मिलता है

⇒ f’(x) = 1 - e^x

बढ़ते हुए फलन के लिए,

f'(x) > 0

⇒ 1 – e^x > 0

⇒ e^x < 1

⇒ e^x < e⁰

∴ x < 0

इसलिए, x ∈ (-∞, 0) 

संकल्पना:

एकदिष्ट फलन: यदि एक फलन अंतराल (a, b) में अवकलनीय है और यदि फलन वर्धमान है/निरंतर वर्धमान फलन है या ह्रासमान/निरंतर ह्रासमान फलन है, तो फलन को एकदिष्ट फलन कहा जाता है।

प्रथम अवकलज परिक्षण:

• यदि (a, b) में सभी x के लिए \(\frac{{{\rm{df}}\left( {\rm{x}} \right)}}{{{\rm{dx}}}} \ge 0\) है तो, f(x), (a, b) में एक वर्धमान फलन है।
• यदि (a, b) में सभी x के लिए \(\frac{{{\rm{df}}\left( {\rm{x}} \right)}}{{{\rm{dx}}}} \le 0\) है तो, f(x), (a, b) में एक ह्रासमान फलन है।

निरंतर वर्धमान या ह्रासमान फलन है:

• निरंतर वर्धमान के लिए \(\frac{{{\rm{df}}\left( {\rm{x}} \right)}}{{{\rm{dx}}}} > 0\)
• निरंतर ह्रासमान फलन के लिए \(\frac{{{\rm{df}}\left( {\rm{x}} \right)}}{{{\rm{dx}}}} < 0\)

गणना:

दिया गया है कि: \({\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = {\rm{x}} + \frac{1}{{\rm{x}}}\)

x के संबंध में अवकलज करने पर

\(\Rightarrow {\rm{f'}}\left( {\rm{x}} \right) = 1 - \frac{1}{{{{\rm{x}}^2}}}\)

\(\Rightarrow {\rm{f'}}\left( {\rm{x}} \right) =\rm \frac{x^2 -1}{x^2}= \rm \frac{(x -1)(x+1)}{x^2}\)

इसलिए x ∈ (0, 1), के लिए f'(x) < 0

अतः f(x), x ∈ (0, 1) के लिए घटता है।

अवधारणा:

फलन f(x):

•  f'(x) > 0 होने के x मानों के लिए बढ़ता है
• f'(x) < 0 होने के x मानों के लिए घटता है

गणना:

दिया गया फलन f(x) = sin x है

∴ f'(x) = cos x

x ∈ (0, \(π\over2\)), cos x > 0 और x ∈ ( \(π\over2\) , π), cos x <0 के लिए

∴ x ∈ (0, π) के लिए, f (x) अधिकतम \(π\over2\) तक बढ़ जाता है और फिर π पर घटाता है।

x ∈ \(\left(\dfrac{5\pi}{2},3\pi\right)\), cos x < 0 के लिए 

∴ f(x) x ∈ \(\left(\dfrac{5\pi}{2},3\pi\right)\) के लिए कम हो जाती है

statement 2 is correct Only.

संकल्पना:

माना कि f(x) अंतराल (a, b) पर परिभाषित एक फलन है, इस फलन को पूर्ण रूप से एक बढ़ता हुआ फलन कहा जाता है:

• यदि x1 < x2 तो f(x1) < f(x2) ∀ x1, x2 ∈ (a, b)
• यहाँ, \(\frac{{dy}}{{dx}} > 0\;or\;f'\left( x \right) > 0\)

उसीप्रकार, f(x) को एक घटता हुआ फलन कहा जाता है:

• यदि x1 < x2 तो f(x1) > f(x2) ∀ x1, x2 ∈ (a, b)
• यहाँ, \(\frac{{dy}}{{dx}} < 0\;or\;f'\left( x \right) < 0\)

गणना:

दिया हुआ: f(x) = 2x3 - 24x + 5

यहां हमें उस अंतराल को खोजना होगा जिसमें f(x) बढ़ता हुआ है।

पहले f(x) की गणना करें

⇒ f'(x) = 6x² - 24

जैसा कि हम जानते हैं कि बढ़ते हुए फलन f(x) के लिए हमारे पास f'(x) > 0 है

⇒ 6x2 - 24 > 0

⇒ x² ≥ 4

⇒ x ∈ (- ∞, - 2) ∪ (2, ∞)

इसलिए जिस अंतराल में फलन बढ़ता हुआ है वह (- ∞, - 2) ∪ (2, ∞) है