Quantum Mechanics MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Quantum Mechanics - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

Eₙ = (n² h² π²) / (2m L'²)

• एक-विमीय अनंत विभव बॉक्स में एक कण के लिए ऊर्जा आइगेन मान इस प्रकार दिए गए हैं:
• यहाँ, L' बॉक्स की प्रभावी लंबाई है।
• दिए गए तरंग फलन से, हम इसकी तुलना सामान्य हल से करते हैं और क्वांटम संख्या **n** निर्धारित करते हैं।

गणना:

द्रव्यमान m का एक कण एक-विमीय बॉक्स में सीमित है जो x = -2L से x = +2L तक विस्तृत है।

तरंग फलन: ψ(x) = ψ₀ cos(πx / 4L)

⇒ दिया गया ψ(x) = ψ₀ cos(πx / 4L), कोसाइन पद सुझाता है:

nπ / L' = π / 4L

⇒ तुलना करने पर, हमें n = 1 और प्रभावी बॉक्स लंबाई L' = 4L प्राप्त होती है।

⇒ निम्नतम अवस्था ऊर्जा के लिए सूत्र का उपयोग करने पर:

E₁ = (h² π²) / (2m L'²)

⇒ E₁ = (h² π²) / (2m (4L)²)

⇒ E₁ = (h² π²) / (32mL²)

∴ ऊर्जा आइगेन मान h² π² / (32mL²) है।

व्याख्या:

श्रोडिंगर के तरंग यांत्रिकी में, इलेक्ट्रॉनों जैसे कणों को तरंग फलनों द्वारा वर्णित किया जाता है, और इन तरंग फलनों की व्याख्या "तरंग पैकेट" के रूप में की जा सकती है — जो विभिन्न तरंगदैर्ध्य वाली कई तरंगों का एक अध्यारोपण है। यह तरंग पैकेट एक कण की स्थिति या संवेग के प्रायिकता बंटन को दर्शाता है।

इस प्रकार, विकल्प '2' सही है।

व्याख्या:

लिसाजू आकृतियाँ वक्र हैं जो एक बिंदु द्वारा बनाई जाती हैं जो दो लंबवत आवर्ती दोलनों से गुजरता है, जिन्हें इस प्रकार वर्णित किया गया है:

$x=A\sin ({\omega }_{x}t+{\varphi }_x),y=B\sin ({\omega }_{y}t+{\varphi }_y)$

जहाँ;

• A और B आयाम हैं,
• ${\omega }_x$ और ${\omega }_y$ कोणीय आवृत्तियाँ हैं, और
• ${\varphi }_x\text{और }{\varphi }_y$ कला कोण हैं।
• अब, आइए प्रत्येक विकल्प का विस्तार से मूल्यांकन करें:

विकल्प 1: वे एकल आवर्ती दोलक के प्रक्षेप पथ का प्रतिनिधित्व करते हैं:

लिसाजू आकृतियाँ दो आवर्ती दोलकों के संयोजन से उत्पन्न होती हैं जो एक दूसरे के समकोण पर दोलन करते हैं, न कि एकल दोलक से। आकृतियाँ इन दो दोलनों के बीच सापेक्ष गति का प्रतिनिधित्व हैं।

विकल्प 2: आकृति केवल दोलनों के आयामों पर निर्भर करती है।

आकृति न केवल आयामों (A और B) पर निर्भर करती है, बल्कि आवृत्तियों (${\omega }_x\text{और }{\omega }_y$) और कलांतर $(\Delta \varphi ={\varphi }_x-{\varphi }_y)$ पर भी निर्भर करती है। ये कारक सामूहिक रूप से आकृति की ज्यामिति को निर्धारित करते हैं।

विकल्प 3: वृत्ताकार लिसाजू आकृतियाँ तब उत्पन्न होती हैं जब आवृत्तियाँ असंगत होती हैं।

वृत्ताकार लिसाजू आकृतियाँ तब उत्पन्न होती हैं जब आवृत्तियाँ समान होती हैं (${\omega }_x={\omega }_y$) और कलांतर $\pm \frac{\pi }{2}$ होता है। असंगत आवृत्तियाँ (जो एक परिमेय अनुपात से संबंधित नहीं हैं) जटिल, गैर-पुनरावर्ती वक्र उत्पन्न करती हैं, वृत्त नहीं।

विकल्प 4: लिसाजू आकृतियाँ कलांतर से प्रभावित नहीं होती हैं।

कलांतर $(\Delta \varphi )$ लिसाजू आकृति के आकार को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करता है। उदाहरण के लिए:

$\Delta \varphi =0:$ एक सरल रेखा।

$\Delta \varphi =\pi /2:$एक दीर्घवृत्त (जो (A=B) होने पर वृत्ताकार हो जाता है)

$\Delta \varphi :$ के अन्य मान: अधिक जटिल आकृतियाँ।

इस प्रकार, विकल्प '3' सही है।

व्याख्या:

प्रश्न का विश्लेषण करने के लिए, आइए दे-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य सूत्र पर विचार करें:

$\lambda =\frac{h}{p}$

जहाँ;

$\lambda$ डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य है,

h प्लांक नियतांक है,

p कण का संवेग है।

(A) समान वेग से गति करते हैं:

यदि दो कण समान वेग से गति करते हैं, तो भारी कण का संवेग  $p=mv$ अधिक होगा। चूँकि $\lambda \propto \frac{1}{p}$ भारी कण की छोटी दे-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य होगी।

(B) समान संवेग से गति करते हैं:

यदि दो कणों का संवेग ($p=mv$) समान है तो दे-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda =\frac{h}{p}$ दोनों कणों के लिए समान है, चाहे उनका द्रव्यमान कुछ भी हो।

(C) समान गतिज ऊर्जा से गति करते हैं:

गतिज ऊर्जा $K=\frac{1}{2}m{v}^2$ द्वारा दी जाती है, समान गतिज ऊर्जा के लिए, हल्के कण का वेग अधिक होता है। संवेग $p=mv$ है इसलिए भारी कण का अधिक संवेग होगा। चूँकि $\lambda \propto \frac{1}{p}$ भारी कण की छोटी दे-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य होगी।

(D) समान ऊँचाई से गिरते हैं:

समान ऊँचाई से गिरने पर, दोनों कण समान मात्रा में स्थितिज ऊर्जा प्राप्त करेंगे, जो गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। (C) की तरह, समान गतिज ऊर्जा के लिए, भारी कण की दे-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य छोटी होती है।

A, C, और D शर्त को संतुष्ट करते हैं।

इस प्रकार, विकल्प '4' सही है।

व्याख्या:

एक क्वांटम आवर्ती दोलक की शून्य-बिंदु ऊर्जा वह ऊर्जा है जो इसकी निम्नतम ऊर्जा अवस्था (न्यूनतम ऊर्जा अवस्था) में होती है। यह सूत्र द्वारा दिया गया है:

$E=(n+\frac{1}{2})\hslash \omega$

न्यूनतम अवस्था के लिए n=0 है। इसलिए,

$E=(\frac{1}{2})\hslash \omega$

इस प्रकार, विकल्प '2' सही है।

अवधारणा:

संवेग संचालक दिया गया है:

p = - ih $\frac{\partial }{\partial x}$

जहाँ, h प्लांक नियतांक है।

परिकलन:

e^{$\frac{iaP}{h}$} |x>

= [$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}(\frac{iaP}{h}{)}^n$ ]|x>

= $[\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}(\frac{iaP}{h}{)}^n{]}^h$|x>

= |x> - a∇|x> + $\frac{1}{2!}$ (a∇)²|x> ... = |x-a>

X|x-a> = (x-a)|x-a>

सही उत्तर विकल्प (3) है।