एक द्वि-आयामी क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर का हैमिल्टोनियन \(H=\frac{p_x^2}{2 m}+\frac{p_y^2}{2 m}+\frac{1}{2} m ω^2 x^2+2 m ω^2 y^2\) है, जहाँ m और ω धनात्मक स्थिरांक हैं। ऊर्जा स्तर \(E=\frac{27}{2} \hbar \omega\) की अपभ्रष्टता है:

अवधारणा:

दिया गया हैमिल्टोनियन अनुरूप ऑसिलेटर के लिए है। हम दिए गए हैमिल्टोनियन की तुलना अनुरूप ऑसिलेटर के हैमिल्टोनियन के समीकरण से करेंगे।

• \(H=\frac{p_x^2}{2 m}+\frac{p_y^2}{2 m}+\frac{1}{2} m ω^2 x^2+2 m ω^2 y^2\)
• \(H=\frac{p_x^2}{2 m}+\frac{p_y^2}{2 m}+\frac{1}{2} m ω^2 x^2+\frac {1}{2}m (2ω)^2 y^2\)

व्याख्या:

• \(H=\frac{p_x^2}{2 m}+\frac{p_y^2}{2 m}+\frac{1}{2} m ω^2 x^2+2 m ω^2 y^2\)
• \(H=\frac{p_x^2}{2 m}+\frac{p_y^2}{2 m}+\frac{1}{2} m ω^2 x^2+\frac {1}{2}m (2ω)^2 y^2\)
• \(\omega_x=\omega\), \(\omega_y=2\omega\)
• \(E= (n_x+\frac{1}{2})\hbar\omega_x+(n_y+\frac{1}{2})\hbar\omega_y\)

यह दो आयामों में एक ऑसिलेटर में ऊर्जा का सूत्र है।

अब, \(E=\)\(\frac{27}{2} \hbar \omega\)(दिया गया है)

• \(\frac{27}{2} \hbar \omega\)\(= (n_x+\frac{1}{2})\hbar\omega_x+(n_y+\frac{1}{2})\hbar\omega_y\)
• \(\omega\) के पदों में \(\omega_x\) और \(\omega_y\) के मान प्रतिस्थापित कीजिए
• \(\frac{27}{2} \hbar \omega\)\(= (n_x+\frac{1}{2})\hbar\omega+2(n_y+\frac{1}{2})\hbar\omega\)
• \(\frac {27}{2}=n_x+\frac{1} {2}+2n_y+1\)
• \(12=n_x+2n_y\)
• समीकरण को संतुष्ट करने के लिए \(n_x\) सम होना चाहिए।
• \(n_x\)\(=0,2,4,6,8,10,12\) ; \(n_y=6,5,4,3,2,1,0\)
• \((n_x,n_y)=(0,6),(2,5),(4,4), (6,3), (8,2),(10,1), (12,0)\)
• इसलिए, ऊर्जा स्तर \(E=\)\(\frac{27}{2} \hbar \omega\) की अपभ्रष्टता 7 है।

इसलिए, सही उत्तर 7 है।