एक कण एक आयाम में \(\frac{-L}{2} \leq x \leq \frac{L}{2}\) के बीच एक अनंत विभव कुएँ में है। एक विक्षोभ \(ϵ \cos \left(\frac{\pi x}{L}\right)\) के लिए जहाँ ϵ एक छोटा स्थिरांक है, ϵ में प्रथम क्रम तक, मूल अवस्था की ऊर्जा में परिवर्तन है

संप्रत्यय:

प्रथम विक्षोभ में ऊर्जा दी जाती है

• \(E_1^{(1)}=<\psi|H^\prime|\psi>\)
• हम जानते हैं कि, एक अनंत विभव कुएँ के लिए, \(\psi=\sqrt{\frac {2} {L}}cos\frac {\pi x} {L}\)

व्याख्या:

दिया गया-

• \(H^{\prime}=ϵ \cos \left(\frac{\pi x}{L}\right)\) सीमाएँ \(\frac {-L} {2}\) से \(\frac {+L} {2}\) तक

हम जानते हैं कि, एक अनंत विभव कुएँ के लिए, \(\psi=\sqrt{\frac {2} {L}}cos\frac {\pi x} {L}\)

• \(E_1^{(1)}=<\psi|H^\prime|\psi>\)
• \(E_1^{(1)}=\int\limits_\frac{-L} {2}^\frac{+L}{2} |\psi|^2 H^{\prime}dx\)

अब, \(\psi=\sqrt{\frac {2} {L}}cos\frac {\pi x} {L}\) और \(H^{\prime}=ϵ \cos \left(\frac{\pi x}{L}\right)\), प्रथम क्रम ऊर्जा विक्षोभ समीकरण में ये मान रखें, हमें प्राप्त होता है,

• \(E_1^{(1)}=\int\limits_\frac{-L} {2}^\frac{+L}{2} [\sqrt {\frac{2} {L}}cos\frac{\pi x}{L}]^2 .\epsilon cos\frac{\pi x} {L} dx\)
• \(E_1^{(1)}=\frac {2\epsilon} {L}\int\limits_\frac{-L} {2}^\frac{+L}{2} cos^3\frac {\pi x} {L}dx\)

अब सीमा को (\(\frac{-L} {2}\) से \(\frac {+L} {2}\)) से (\(0\) से \(\frac {+L} {2}\)) में बदलने के लिए

• \(E_1^{(1)}=\frac {2\epsilon} {L}\times 2\int\limits_0^\frac {+L}{2}\cos^3\frac {\pi x} {L}dx\)

\(cos^3\frac {\pi x} {L}\) के लिए त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करते हुए,

• \(cos^3\frac{\pi x }{L}=\frac{[cos(\frac{3\pi x}{L})+3cos(\frac {\pi x}{L})]} {4}\)
• इस मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है,
• \(E_1^{(1)}=\frac {4\epsilon} {L}\int\limits_0^\frac {+L}{2}\frac{[cos(\frac{3\pi x}{L})+3cos(\frac {\pi x}{L})]} {4}\)
• \(E_1^{(1)}=\frac {\epsilon} {L} [(\frac {Sin\frac {3\pi x}{L}} {3\pi/L})|_0^{L/2} + 3(\frac {Sin\frac{\pi x}{L}} {\pi/L})|_0^{L/2}\)

• \(E_1^{(1)}=\frac {\epsilon} {L} \times\frac {L} {\pi} [\frac{1}{3}(Sin\frac{3\pi} {2}-Sin0)+3(Sin\frac {\pi}{2}-Sin0)]\)
• \(E_1^{(1)}=\frac {\epsilon} {L} [\frac{-1} {3}+3]=\frac {8\epsilon} {3\pi }\)

इसलिए, सही उत्तर \(\frac{8 \epsilon}{3 \pi}\) है।