Inverse Trigonometric Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Inverse Trigonometric Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

फलन है $y=3{\sin }^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)$, और हमें y का अवकलज, अर्थात $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करना है। 

${\sin }^{-1}(u)$ का सामान्य अवकलज है:

$\frac{d}{dx}{\sin }^{-1}(u)=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\cdot \frac{du}{dx}$, जहाँ $u=\frac{x}{3}$

$\frac{du}{dx}=\frac{1}{3}$

y का अवकलज ज्ञात करने के लिए श्रृंखला नियम लागू करने पर:

$\frac{dy}{dx}=3\times \frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{x}{3}\right)}^2}}\times \frac{1}{3}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}}=\frac{3}{\sqrt{9-x^2}}$

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

गणना:

दिया गया है,

फलन $y={\sin }^{-1}(x-\frac{4x^3}{27})$है, और हमें इसे सरल करना है।

$y={\sin }^{-1}(x-\frac{4x^3}{27})$

हम देखते हैं कि हम व्यंजक को इस प्रकार गुणनखंडित कर सकते हैं:

$x-\frac{4x^3}{27}=\left(\frac{x}{3}\right)(3-4{\left(\frac{x}{3}\right)}^3)$

इस प्रकार, फलन बन जाता है:

$y={\sin }^{-1}\left(\frac{x}{3}(3-4{\left(\frac{x}{3}\right)}^3)\right)$

यह देखते हुए कि यह प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के लिए एक ज्ञात सर्वसमिका के अनुरूप है:

${\sin }^{-1}(3x)=3{\sin }^{-1}\left(x\right)$

इस प्रकार, हम व्यंजक को सरल कर सकते हैं:

$y=3{\sin }^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)$

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

गणना:

दिया गया है,

${\tan }^{-1}(k)+{\tan }^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi }{4}$

व्युत्क्रम स्पर्शज्या के लिए निम्न योग सूत्र का प्रयोग करें:

${\tan }^{-1}(a)+{\tan }^{-1}(b)={\tan }^{-1}\left(\frac{a+b}{1-ab}\right)$

${\tan }^{-1}(k)+{\tan }^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ के लिए इसका उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

${\tan }^{-1}\left(\frac{k+\frac{1}{2}}{1-k\cdot \frac{1}{2}}\right)=\frac{\pi }{4}$

चूँकि $\tan \left(\frac{\pi }{4}\right)=1$है, हमारे पास है:

$\frac{k+\frac{1}{2}}{1-\frac{k}{2}}=1$

$k+\frac{1}{2}=1-\frac{k}{2}$

$2k+1=2-k$

$2k+k=2-1$

$3k=1$

$k=\frac{1}{3}$

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

संप्रत्यय:

• इस प्रश्न में tan^-1 और sin^-1 की प्रतिलोम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग किया गया है।
• समीकरण को सरल करने के लिए sin(2φ) की सर्वसमिका लागू की जाती है:
  • sin(2φ) = 2tanφ / (1 + tan²φ)
• φ के विभिन्न मामलों में (-π, π) के लिए डोमेन प्रतिबंधों का सावधानीपूर्वक विश्लेषण किया जाता है।

गणना:

मान लीजिये $\frac{\tan \theta }{3}$ = tan φ

⇒ 2tan θ / (1 + tan²θ) = sin 2φ

⇒ θ = tan^-1(2 tan θ) − ½ sin^-1(sin 2φ)

मान लीजिये 2φ ∈ $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$

⇒ φ ∈ $[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}]$

⇒ tan φ ∈ (−1, 1), tan θ ∈ (−3, 3)

स्थिति 1:

मान लीजिये 2φ = $\theta -\varphi$

⇒ tan θ = tan^-1(2 tan θ) − φ

⇒ tan 2τ = tan θ / 3

⇒ τ = tan^-1((1/3), 0, 1, −1)

⇒ tan θ = 0, 1, −1, 3/2

⇒ θ ∈ 0, 1, −1 और सभी डोमेन में हैं

स्थिति 2:

मान लीजिये 2φ ∈ $[\frac{\pi }{2},\pi ]$

⇒ θ = tan^-1(2 tan θ) − (π − 2φ)

⇒ tan 2τ = cot θ = 1 / tan θ

⇒ θ = tan^-1(3/2)

⇒ τ = tan^-1(3/2)

इसलिए, θ = tan^-1(3/2), −2π/3, −π/3 ∴ θ = 1 = φ

स्थिति 3:

मान लीजिये 2φ ∈ $[-\frac{\pi }{2},-\pi ]$

⇒ θ = tan^-1(2 tan θ) − (−π − 2φ)

⇒ इसी प्रकार अन्य स्थितियों में आगे बढ़ें।

∴ कुल मान्य θ मान 3 हैं।

गणना:

स्थिति I : x > 0

${\tan }^{-1}\frac{2x}{1-x^2}+{\tan }^{-1}\frac{2x}{1-x^2}=\frac{\pi }{3}$

x = 2 - √3

स्थिति II : x < 0

${\tan }^{-1}\frac{2x}{1-x^2}+{\tan }^{-1}\frac{2x}{1-x^2}+\pi =\frac{\pi }{3}$

$x=\frac{-1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \alpha =2$

अतः सही उत्तर 2 है।

संकल्पना:

$\cot \theta =\tan ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\theta )$​.

${\tan }^{-1}x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}-{\cot }^{-1}x$

गणना:

4 tan-1 x + cot‑1 x = π

$4{\tan }^{-1}x+({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-{\tan }^{-1}x)=\pi$

$3{\tan }^{-1}x=\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{2}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

${\tan }^{-1}x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$

$x=\tan {\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$.

अवधारणा:

• ${\tan }^{-1}\mathrm{x}+{\tan }^{-1}\mathrm{y}={\tan }^{-1}\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}}{1-\mathrm{x}\mathrm{y}}$
• $\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{t}}^{-1}\mathrm{x}=\frac{\pi }{2}-{\tan }^{-1}\mathrm{x}$
• $2\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}\mathrm{x}=\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}(\frac{2\mathrm{x}}{1-{\mathrm{x}}^2})$

गणना:

S = $\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{t}}^{-1}\frac{1}{3}-2{\tan }^{-1}\frac{2}{3}$

S = $[\frac{\pi }{2}-{\tan }^{-1}\frac{1}{3}]-{\tan }^{-1}\frac{2\times \frac{2}{3}}{1-(\frac{2}{3}{)}^2}$

S = $[\frac{\pi }{2}-{\tan }^{-1}\frac{1}{3}]-{\tan }^{-1}\frac{\frac{4}{3}}{1-\frac{4}{9}}$

S = $\frac{\pi }{2}-{\tan }^{-1}\frac{1}{3}-{\tan }^{-1}\frac{12}{5}$

S = $\frac{\pi }{2}-[{\tan }^{-1}\frac{12}{5}+{\tan }^{-1}\frac{1}{3}]$

S = $\frac{\pi }{2}-[{\tan }^{-1}\frac{\frac{12}{5}+\frac{1}{3}}{1-\frac{12}{5}\times \frac{1}{3}}]$

S = $\frac{\pi }{2}-[{\tan }^{-1}\frac{41}{3}]$

S = ${\cot }^{-1}\frac{41}{3}$

संकल्पना:

• एक फलन f(x) का डोमेन x के मानों का समुच्चय है जिसके लिए फलन को परिभाषित किया गया है।
• sin θ का मान हमेशा अंतराल [-1, 1] में रहता है।
• sin-1 (sin θ) = θ
• sin (sin-1 x) = x

गणना:

मान लें कि sin-1 4x = θ।

⇒ sin (sin-1 4x) = sin θ

⇒ sin θ = 4x

चूँकि -1 ≤ sin θ ≤ 1

⇒ -1 ≤ 4x ≤ 1

⇒ $-{\displaystyle \frac{1}{4}}\le \mathrm{x}\le {\displaystyle \frac{1}{4}}$

⇒ x ∈ $[-{\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{1}{4}}]$

∴ फलन का डोमेन बंद अंतराल $[-{\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{1}{4}}]$ ।

संकल्पना:

sin^-1 x + cos^-1 x = $\frac{\pi }{2}$  

गणना:

sin^-1 x + sin^-1 y = $\frac{3\pi }{4}$ 

⇒ $(\frac{\pi }{2}-\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{-1}\mathrm{x})+(\frac{\pi }{2}-\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{-1}\mathrm{y})=\frac{3\pi }{4}$ 

⇒ π - ( cos^-1 x + cos^-1 y ) = $\frac{3\pi }{4}$

⇒ cos^-1 x + cos^-1 y = $\frac{\pi }{4}$ 

सही विकल्प 2 है।

संकल्पना:

 यदि $x\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ है, तो ${\sin }^{-1}(sinx)=x$ है लेकिन यदि$x\notin \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ है, तो प्रमुख शाखा के अंदर x का मान लाने के लिए$\sin x=\sin \left(\pi -x\right)$ का प्रयोग कीजिए। 

हल:

${\sin }^{-1}\left(\sin \frac{4\pi }{5}\right)$ but $\frac{4\pi }{5}\notin \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$

इसलिए, संबंध का प्रयोग करने पर,

$\sin \frac{4\pi }{5}=\sin \left(\pi -\frac{4\pi }{5}\right)$

$=\sin \left(\frac{\pi }{5}\right)$

इसलिए,

${\sin }^{-1}\left(\sin \frac{4\pi }{5}\right)={\sin }^{-1}\left(\sin \frac{\pi }{5}\right)$

$=\frac{\pi }{5}$

धारणा:

sin-1 x + cos-1 x = π/2, x ∈ [-1, 1]

गणना:

दिया हुआ: 3 sin-1 x + cos-1 x = π 

 ⇒ 3 sin-1 x + cos-1 x = 2 sin-1 x + [sin-1 x + cos-1 x] = π 

जैसा कि हम जानते हैं कि, sin-1 x + cos-1 x = π/2, x ∈ [-1, 1]

⇒  2 sin-1 x + [π /2] = π

⇒ 2 sin-1 x = π - π/2

⇒ 2 sin-1 x = π/2

⇒ sin^-1 x = π/4

⇒ x = sin π/4 = 1/√2

दिया गया है:

$\tan x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$

संकल्पना:

त्रिकोणमितीय समीकरण के मुख्य समाधान वे समाधान होते हैं जो 0 और 2π के बीच होते हैं।

सूत्र:

tan(x) = tan(α) का सामान्य हल इस प्रकार दिया गया है;

x = nπ + α जहां α ∈ (-π/2 , π/2) और n ∈ Z है

गणना:

∵ $\tan x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$

⇒ tan(x) = tan(-π/6)

∴ α = -π/6

⇒ x = nπ + (-π/6) , n ∈ Z

n = 1 और 2 रखने पर हमें प्राप्त होता है -

x = 5π/6 और 11π/6

अवधारणा:

tan-1 x + cot-1 x = $\frac{\pi }{2}$

गणना:

ज्ञात करना है: cos (2tan-1 x + 2cot-1 x) का मान

cos (2tan-1 x + 2cot-1 x) = cos 2(tan-1 x + cot-1 x)

जैसा कि हम जानते हैं, tan-1 x + cot-1 x = $\frac{\pi }{2}$

cos (2tan-1 x + 2cot-1 x) = cos [2 × $\frac{\pi }{2}$ ]

= cos π 

= -1

दिया गया है:

AB = 20 सेमी

BC = 21 सेमी 

AC = 29 सेमी

प्रयुक्त अवधारणा:

पाइथागोरस प्रमेय कहती है कि "एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

गणना:

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,

AC² = AB² + BC²

⇒ 29² = 20² + 21²

ΔABC एक समकोण त्रिभुज है।

⇒ cot C = BC/AB = 21/20

⇒ cosec C = AC/AB = 29/20

⇒ tan A = BC/AB = 21/20

cot C + cosec C - 2tan A = 21/20 + 29/20 - 2 × 21/20

⇒ 8/20

⇒ 2/5

अतः cot C + cosec C - 2tan A का मान = 2/5

अवधारणा:

$\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}(\mathrm{x})+\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}(\mathrm{y})$ = $\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}}{1-\mathrm{x}\times \mathrm{y}}$

$\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{t}}^{-1}\mathrm{x}=$ $\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}(\frac{1}{\mathrm{x}})$

गणना:

दिया गया है, $\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}\mathrm{x}+\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{t}}^{-1}\mathrm{x}=\frac{\pi }{2}$

⇒ $\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}(\mathrm{x})+\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}(\frac{1}{\mathrm{x}})=\frac{\pi }{2}$

⇒ $\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}(\mathrm{x})+\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}(\frac{1}{\mathrm{x}})=\frac{\pi }{2}$

⇒ $\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}\frac{\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}}{1-\mathrm{x}\times \frac{1}{\mathrm{x}}}=\frac{\pi }{2}$

⇒ $\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}\frac{\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}}{0}=\frac{\pi }{2}$

⇒ $\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}\frac{\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}}{0}=\frac{\pi }{2}$

⇒ $\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}(\mathrm{\infty })=\frac{\pi }{2}$

यह सभी x ∈ R के लिए सत्य है