Inverse Trigonometric Functions MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Inverse Trigonometric Functions - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

గణన:

$\text{ Let }T={\tan }^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}\right)$ అనుకుందాం

$\text{ Put }{x}^2=\cos 2\theta \Rightarrow \theta =\frac{1}{2}{\cos }^{-1}{x}^2$

∴ $\mathrm{T}={\tan }^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\cos 2\theta }+\sqrt{1-\cos 2\theta }}{\sqrt{1+\cos 2\theta }-\sqrt{1-\cos 2\theta }}\right)$

= ${\tan }^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}\cos \theta +\sqrt{2}\sin \theta }{\sqrt{2}\cos \theta -\sqrt{2}\sin \theta }\right)$

= ${\tan }^{-1}\left(\frac{\cos \theta +\sin \theta }{\cos \theta -\sin \theta }\right)$

= ${\tan }^{-1}\left(\frac{1+\tan \theta }{1-\tan \theta }\right)$

= ${\tan }^{-1}(\tan (\frac{\pi }{4}+\theta ))$

= $\frac{\pi }{4}+\theta$

= $\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}{\cos }^{-1}{x}^2$

∴ కావలసిన సమాధానం $\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}{\cos }^{-1}{x}^2$.

సరైన సమాధానం ఎంపిక 1.

ఉపయోగించిన భావన:-

tan 2θ విలువ తెలుసు,

$\tan 2x=\frac{2\tan x}{(1-{\tan }^{2}x)}$

అలాగే, sin 2θ విలువ,

$\sin 2x=\frac{2\tan x}{(1+{\tan }^{2}x)}$

వివరణ:-

అనుకుందాం,

$\begin{array}{rl}& u={\tan }^{-1}\frac{2x}{1-x^2}\\ & v={\sin }^{-1}\frac{2x}{1+x^2}\end{array}$

x దృష్ట్యా ఈ సమీకరణాలను అవకలనం చేయడం,

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow \frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}({\tan }^{-1}\frac{2x}{1-x^2})\\ & \Rightarrow \frac{dv}{dx}=\frac{d}{dx}({\sin }^{-1}\frac{2x}{1+x^2})\end{array}$

x=tan θ గా ఉంచడం ద్వారా,

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow \frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}({\tan }^{-1}\frac{2tan\theta }{1-(tan\theta {)}^2})=\frac{d}{dx}({\tan }^{-1}tan(2\theta ))\\ & \Rightarrow \frac{dv}{dx}=\frac{d}{dx}({\sin }^{-1}\frac{2tan\theta }{1+(tan\theta {)}^2})=\frac{d}{dx}({\sin }^{-1}sin(2\theta ))\end{array}$

లేదా,

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow \frac{du}{dx}=2\theta =2ta{n}^{-1}(x)\\ & \Rightarrow \frac{dv}{dx}=2\theta =2ta{n}^{-1}(x)\end{array}$

ఇప్పుడు, x దృష్ట్యా u యొక్క అవకలన గుణకం,

$\Rightarrow \frac{du}{dv}=1$

కాబట్టి, tan^-1($\frac{2x}{1-x^2}$) యొక్క అవకలన గుణకం sin^-1($\frac{2x}{1+x^2}$) దృష్ట్యా 1 కి సమానం.

సరైన ఎంపిక 4.

కాన్సెప్ట్:

sin-1 x + cos-1 x = $\frac{\pi }{2}$  

సాధన:

sin-1 x + sin-1 y = $\frac{3\pi }{4}$ 

⇒ $(\frac{\pi }{2}-\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{-1}\mathrm{x})+(\frac{\pi }{2}-\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{-1}\mathrm{y})=\frac{3\pi }{4}$ 

⇒ π - ( cos-1 x + cos-1 y ) = $\frac{3\pi }{4}$

⇒ cos-1 x + cos-1 y = $\frac{\pi }{4}$ 

సరైన ఎంపిక 2.

భావన:

sin (π - θ) = sin θ 

${\sin }^{-1}(sinx)=x$, x ∈ [$\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2}$]

లెక్కింపు:

${\sin }^{-1}(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{3\pi }{5})$

$={\sin }^{-1}[\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\pi -\frac{2\pi }{5})]$

$={\sin }^{-1}(sin\frac{2\pi }{5})$                                 (∵ sin (π - θ) = sin θ)

$=\frac{2\pi }{5}$

కావున, ఎంపిక 2  సరైన సమాధానం

వివరణ:

sinθ = x ⇒ θ = sin^-1x, θ ∈ [-π/2, π/2]

sin (sin^-1 x) =x -π/2 ≤ x ≤ π/2

మనకు, ${\sin }^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right)$

= sin^-1(sin($\frac{-\pi }{3}$)) ----- ఎందుకంటే $\frac{-\pi }{3}$ ∈ [$\frac{-\pi }{2}$, $\frac{\pi }{2}$]

కాబట్టి sin-1(sin($\frac{-\sqrt{3}}{2}$)) = $\frac{-\pi }{3}$

Additional Information విలోమ త్రికోణమితీయ ప్రమేయాల ప్రధాన విలువలు:

ఉపయోగించిన భావన:-

tan 2θ విలువ తెలుసు,

$\tan 2x=\frac{2\tan x}{(1-{\tan }^{2}x)}$

అలాగే, sin 2θ విలువ,

$\sin 2x=\frac{2\tan x}{(1+{\tan }^{2}x)}$

వివరణ:-

అనుకుందాం,

$\begin{array}{rl}& u={\tan }^{-1}\frac{2x}{1-x^2}\\ & v={\sin }^{-1}\frac{2x}{1+x^2}\end{array}$

x దృష్ట్యా ఈ సమీకరణాలను అవకలనం చేయడం,

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow \frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}({\tan }^{-1}\frac{2x}{1-x^2})\\ & \Rightarrow \frac{dv}{dx}=\frac{d}{dx}({\sin }^{-1}\frac{2x}{1+x^2})\end{array}$

x=tan θ గా ఉంచడం ద్వారా,

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow \frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}({\tan }^{-1}\frac{2tan\theta }{1-(tan\theta {)}^2})=\frac{d}{dx}({\tan }^{-1}tan(2\theta ))\\ & \Rightarrow \frac{dv}{dx}=\frac{d}{dx}({\sin }^{-1}\frac{2tan\theta }{1+(tan\theta {)}^2})=\frac{d}{dx}({\sin }^{-1}sin(2\theta ))\end{array}$

లేదా,

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow \frac{du}{dx}=2\theta =2ta{n}^{-1}(x)\\ & \Rightarrow \frac{dv}{dx}=2\theta =2ta{n}^{-1}(x)\end{array}$

ఇప్పుడు, x దృష్ట్యా u యొక్క అవకలన గుణకం,

$\Rightarrow \frac{du}{dv}=1$

కాబట్టి, tan^-1($\frac{2x}{1-x^2}$) యొక్క అవకలన గుణకం sin^-1($\frac{2x}{1+x^2}$) దృష్ట్యా 1 కి సమానం.

సరైన ఎంపిక 4.

కాన్సెప్ట్:

sin-1 x + cos-1 x = $\frac{\pi }{2}$  

సాధన:

sin-1 x + sin-1 y = $\frac{3\pi }{4}$ 

⇒ $(\frac{\pi }{2}-\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{-1}\mathrm{x})+(\frac{\pi }{2}-\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{-1}\mathrm{y})=\frac{3\pi }{4}$ 

⇒ π - ( cos-1 x + cos-1 y ) = $\frac{3\pi }{4}$

⇒ cos-1 x + cos-1 y = $\frac{\pi }{4}$ 

సరైన ఎంపిక 2.

భావన:

sin (π - θ) = sin θ 

${\sin }^{-1}(sinx)=x$, x ∈ [$\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2}$]

లెక్కింపు:

${\sin }^{-1}(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{3\pi }{5})$

$={\sin }^{-1}[\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\pi -\frac{2\pi }{5})]$

$={\sin }^{-1}(sin\frac{2\pi }{5})$                                 (∵ sin (π - θ) = sin θ)

$=\frac{2\pi }{5}$

కావున, ఎంపిక 2  సరైన సమాధానం

వివరణ:

sinθ = x ⇒ θ = sin^-1x, θ ∈ [-π/2, π/2]

sin (sin^-1 x) =x -π/2 ≤ x ≤ π/2

మనకు, ${\sin }^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right)$

= sin^-1(sin($\frac{-\pi }{3}$)) ----- ఎందుకంటే $\frac{-\pi }{3}$ ∈ [$\frac{-\pi }{2}$, $\frac{\pi }{2}$]

కాబట్టి sin-1(sin($\frac{-\sqrt{3}}{2}$)) = $\frac{-\pi }{3}$

Additional Information విలోమ త్రికోణమితీయ ప్రమేయాల ప్రధాన విలువలు:

భావన :

y = sin-1 x ప్రమేయం ఉనికిలో ఉండాలంటే,

⇒ |x| ≤ 1

గణన:

${\sin }^{-1}(2\sin \frac{\pi }{2})$ ఉనికిలో ఉండాలంటే,

$\Rightarrow -1\le 2\sin \frac{\pi }{2}\le 1$

⇒ -1 ≤ 2 ≤ 1 ⇒ సాధ్యం కాదు

⇒ ${\sin }^{-1}(2\sin \frac{\pi }{2})$ విలువ ఉండదు.

కాబట్టి సరైన సమాధానం 4వ ఎంపిక.

ఉపయోగించిన భావన:-

tan 2θ విలువ తెలుసు,

$\tan 2x=\frac{2\tan x}{(1-{\tan }^{2}x)}$

అలాగే, sin 2θ విలువ,

$\sin 2x=\frac{2\tan x}{(1+{\tan }^{2}x)}$

వివరణ:-

అనుకుందాం,

$\begin{array}{rl}& u={\tan }^{-1}\frac{2x}{1-x^2}\\ & v={\sin }^{-1}\frac{2x}{1+x^2}\end{array}$

x దృష్ట్యా ఈ సమీకరణాలను అవకలనం చేయడం,

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow \frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}({\tan }^{-1}\frac{2x}{1-x^2})\\ & \Rightarrow \frac{dv}{dx}=\frac{d}{dx}({\sin }^{-1}\frac{2x}{1+x^2})\end{array}$

x=tan θ గా ఉంచడం ద్వారా,

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow \frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}({\tan }^{-1}\frac{2tan\theta }{1-(tan\theta {)}^2})=\frac{d}{dx}({\tan }^{-1}tan(2\theta ))\\ & \Rightarrow \frac{dv}{dx}=\frac{d}{dx}({\sin }^{-1}\frac{2tan\theta }{1+(tan\theta {)}^2})=\frac{d}{dx}({\sin }^{-1}sin(2\theta ))\end{array}$

లేదా,

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow \frac{du}{dx}=2\theta =2ta{n}^{-1}(x)\\ & \Rightarrow \frac{dv}{dx}=2\theta =2ta{n}^{-1}(x)\end{array}$

ఇప్పుడు, x దృష్ట్యా u యొక్క అవకలన గుణకం,

$\Rightarrow \frac{du}{dv}=1$

కాబట్టి, tan^-1($\frac{2x}{1-x^2}$) యొక్క అవకలన గుణకం sin^-1($\frac{2x}{1+x^2}$) దృష్ట్యా 1 కి సమానం.

సరైన ఎంపిక 4.