Trigonometric Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Trigonometric Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Jul 8, 2025

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Latest Trigonometric Functions MCQ Objective Questions

Trigonometric Functions Question 1:

यदि \(\theta \in\left[-\frac{7 \pi}{6}, \frac{4 \pi}{3}\right],\) है, तो \(\sqrt{3} \operatorname{cosec}^{2} \theta-2(\sqrt{3}-1) \operatorname{cosec} \theta-4=0\) के हलों की संख्या बराबर है

  1. 8
  2. 6
  3. 7
  4. 10

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 6

Trigonometric Functions Question 1 Detailed Solution

व्याख्या
\(\sqrt{3} \operatorname{cosec}^{2} \theta-2(\sqrt{3}-1) \operatorname{cosec} \theta-4=0 \)
\(\operatorname{cosec} \theta=\frac{2(\sqrt{3}-1) \pm \sqrt{4(\sqrt{3}-1)^{2}+16 \sqrt{3}}}{2 \sqrt{3}} \)
\(=\frac{2(\sqrt{3}-1) \pm 2 \sqrt{4-2 \sqrt{3}+4 \sqrt{3}}}{2 \sqrt{3}} \)
\(=\frac{\sqrt{3}-1 \pm(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}}=2, \frac{-2}{\sqrt{3}}\)
\(\operatorname{cosec} \theta=2, \quad \operatorname{cosec} \theta=\frac{-2}{\sqrt{3}}\)
\(\sin \theta=\frac{1}{2} \quad \sin \theta=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\theta=\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}, \frac{-7 \pi}{6} \quad \theta=\frac{4 \pi}{3}, \frac{-\pi}{3}, \frac{-2 \pi}{3}\)
हलों की संख्या 6

Trigonometric Functions Question 2:

समीकरण \(\sin (\frac{\pi x }{3\sqrt{2}}) = x^2-4x+6 \) के हलों की संख्या है:

  1. शून्य
  2. केवल एक
  3. केवल दो
  4. 2 से अधिक

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : शून्य

Trigonometric Functions Question 2 Detailed Solution

अवधारणा:

  • ज्या फलन का परिसर: ज्या फलन का आउटपुट हमेशा −1 और 1 के बीच होता है, अर्थात्, सभी वास्तविक θ के लिए sin(θ) ∈ [−1, 1]
  • द्विघात फलन: ax2 + bx + c के रूप का द्विघात फलन एक परवलय का प्रतिनिधित्व करता है। यदि a > 0, तो परवलय ऊपर की ओर खुलता है, और इसका न्यूनतम मान x = −b / 2a पर होता है।
  • मुख्य विचार: यह पता लगाने के लिए कि sin(व्यंजक) = द्विघात के लिए कितने हल मौजूद हैं, हम यह निर्धारित करते हैं कि x के कितने मान द्विघात व्यंजक को [−1, 1] के भीतर रखते हैं।

 

गणना:

दिया गया है,

\(\sin (\frac{\pi x }{3\sqrt{2}}) = x^2-4x+6 \)

माना f(x) = x2 − 4x + 6

f(x) का न्यूनतम मान इस पर होता है:

x = 4 / 2 = 2

⇒ f(2) = (2)2 − 4x2 + 6 = 4 − 8 + 6 = 2

चूँकि परवलय ऊपर की ओर खुलता है, इसलिए f(x) का परिसर [2, ∞) है

लेकिन, sin(θ) ∈ [−1, 1]

⇒ समीकरण के हल तभी होंगे जब x2 − 4x + 6 ∈ [−1, 1]

लेकिन सभी x के लिए f(x) ≥ 2, और 2 > 1

⇒ x का कोई भी मान f(x) ∈ [−1, 1] को संतुष्ट नहीं करता है

∴ वास्तविक हलों की संख्या शून्य है।

Trigonometric Functions Question 3:

Comprehension:

मान लीजिए  \(x = \sec \theta - \cos \theta \text{ and } y = \sec^4 \theta - \cos^4 \theta \)  है। 

\(\left[ \frac{x^2+4}{y^2+4} \frac{dy}{dx} \left( x^2+4 \frac{d^2y}{dx^2} - 16y \right) \right] \) किसके बराबर है?

  1. \(16x\)
  2. \(16y\)
  3. \(-16x\)
  4. \(-16y\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : \(16x\)

Trigonometric Functions Question 3 Detailed Solution

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गणना:

दिया गया,

\(x = \sec\theta - \cos\theta\)

\(y = \sec^4\theta - \cos^4\theta\)

हम पहले से जानते हैं:

\(\displaystyle \Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr)^{2} = \frac{16\,(y^{2}+4)}{\,x^{2}+4\,} \)

दोनों पक्षों को x के सापेक्ष अवकलन करते हैं:

\(\displaystyle \frac{d}{dx}\Bigl[(x^{2}+4)\bigl(\tfrac{dy}{dx}\bigr)^{2}\Bigr] = \frac{d}{dx}\bigl[16\,(y^{2}+4)\bigr] \)

इससे अवकलन संबंध प्राप्त होता है:

\(\displaystyle (x^{2}+4)\,\frac{d^{2}y}{dx^{2}} \;+\;x\,\frac{dy}{dx} \;-\;16\,y \;=\;0\)

आवश्यक अभिव्यक्ति है

\(\displaystyle \frac{x^{2}+4}{y^{2}+4}\,\frac{dy}{dx} \Bigl[(x^{2}+4)\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-16y\Bigr] \)

अवकलन संबंध से,

\(\displaystyle (x^{2}+4)\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-16y = -\,x\,\frac{dy}{dx} \)

तो व्यंजक बन जाता है

\(\displaystyle \frac{x^{2}+4}{y^{2}+4}\,\frac{dy}{dx}\, \bigl(-x\,\tfrac{dy}{dx}\bigr) = -\,x\,\frac{x^{2}+4}{y^{2}+4} \Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr)^{2} \)

\(\bigl(\tfrac{dy}{dx}\bigr)^{2} = \tfrac{16\,(y^{2}+4)}{x^{2}+4}\), -16x को छोड़कर सभी कारक रद्द हो जाते हैं।

∴ दिए गए व्यंजक का मान \(-16x\) है।

अतः, सही उत्तर विकल्प 3 है।

Trigonometric Functions Question 4:

Comprehension:

मान लीजिए  \(x = \sec \theta - \cos \theta \text{ and } y = \sec^4 \theta - \cos^4 \theta \)  है। 

 \((\frac{dy}{dx})^2\) किसके बराबर है?

  1. \(\frac{4(y^2+4)}{(x^2+4)}\)
  2. \(\frac{4(y^2-4)}{(x^2-4)}\)
  3. \(\frac{16(y^2+4)}{(x^2+4)}\)
  4. \(\frac{16(y^2-4)}{(x^2-4)}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : \(\frac{4(y^2+4)}{(x^2+4)}\)

Trigonometric Functions Question 4 Detailed Solution

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गणना:

दिया गया,

\(x = \sec\theta - \cos\theta \)

\(y = \sec^4\theta - \cos^4\theta\)

अवकलनों की गणना करते हैंθ" id="MathJax-Element-5-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">

Trigonometric Functions Question 5:

\(\left[ \frac{x^2+4}{y^2+4} \frac{dy}{dx} \left( x^2+4 \frac{d^2y}{dx^2} - 16y \right) \right]\) किसके बराबर है?

  1. \(16x \)
  2. \(16y\)
  3. \(-16x\)
  4. \(-16y\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : \(-16x\)

Trigonometric Functions Question 5 Detailed Solution

Top Trigonometric Functions MCQ Objective Questions

सरलीकृत कीजिए: \(\frac{{\left( {1 - {\rm{sinAcosA}}} \right)\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{\rm{A}} - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{\rm{A}}} \right)}}{{{\rm{cosA}}\left( {{\rm{secA}} - {\rm{cosecA}}} \right)\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^3}{\rm{A}} + {\rm{co}}{{\rm{s}}^3}{\rm{A}}} \right)}}\)

  1. sin A
  2. cos A
  3. sec A
  4. cosec A

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : sin A

Trigonometric Functions Question 6 Detailed Solution

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अवधारणा :

a2 - b2 = (a - b) (a + b)

sec x = 1/cos x and cosec x = 1/sin x

a3 + b3 = (a + b) (a2 + b2 - ab)

गणना :

\(\frac{{\left( {1 - {\rm{sinAcosA}}} \right)\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{\rm{A}} - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{\rm{A}}} \right)}}{{{\rm{cosA}}\left( {{\rm{secA}} - {\rm{cosecA}}} \right)\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^3}{\rm{A}} + {\rm{co}}{{\rm{s}}^3}{\rm{A}}} \right)}}\)

\( \frac{{\left( {{\rm{1}} - {\rm{sinAcosA}}} \right)\left( {{\rm{sinA}} + {\rm{cosA}}} \right)\left( {{\rm{sinA}} - {\rm{cosA}}} \right)}}{{{\rm{cosA}}\left[ {\frac{1}{{{\rm{cosA}}}} - \frac{1}{{{\rm{sinA}}}}} \right]\left( {{\rm{sinA}} + {\rm{cosA}}} \right)\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{\rm{A}} + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{\rm{A}} - {\rm{sinAcosA}}} \right)}}\)

\( \frac{{\left( {1 - {\rm{sinAcosA}}} \right)\left( {{\rm{sinA}} + {\rm{cosA}}} \right)\left( {{\rm{sinA}} - {\rm{cosA}}} \right)}}{{{\rm{cosA}}\left[ {\frac{{{\rm{sinA}} - {\rm{cosA}}}}{{{\rm{sinA}}.{\rm{cosA}}}}} \right]\left( {{\rm{sinA}} + {\rm{cosA}}} \right)\left( {1 - {\rm{sinAcosA}}} \right)}}\)

\(\frac{sinA - cosA}{cosA[\frac{sinA - cosA}{sinA.cosA}]}\)

\(\frac{(sinA - cosA)\times sinA.cosA}{cosA[sinA - cosA]}\)

\(\frac{ sinA.cosA}{cosA}\)

⇒ sin A

∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।

cos 4x का मान ज्ञात करें।

  1. 1 + 8 sin2 x + 8 sin4 x
  2. 1 - 8 sin2 x + 8 sin4 x
  3. 8 sin2 x + 8 sin4 x - 1
  4. इनमें से कोई भी नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 1 - 8 sin2 x + 8 sin4 x

Trigonometric Functions Question 7 Detailed Solution

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धारणा:

cos 2x = cos2 x – sin2 x = 2 cos2 x - 1 = 1 – 2 sin2 x

गणना:

cos 4x

= cos 2(2x)

= 2 cos2 2x – 1                                         (∵cos 2x = 2 cos2 x – 1)

= 2 (1 – 2 sin2 x)2 – 1                              (∵ cos 2x = 1 – 2 sin2 x)

= 2 [1 – 4 sin2 x + 4 sin4 x] – 1               [∵ (a – b)2 = a2 – 2ab + b2]

= 2 - 8 sin2 x + 8 sin4 x – 1

= 1 - 8 sin2 x + 8 sin4 x

समीकरण 4 sin 3x = 2 का सामान्य हल ज्ञात कीजिए। 

  1. n × (π/3) + (- 1)n × (π/18), जहाँ n ∈ Z
  2. n × (- π/3) + (- 1)n × (π/18), जहाँ n ∈ Z
  3. n × (π/3) + (- 1)n × (5π/18), जहाँ n ∈ Z
  4. इनमें से कोई नहीं 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : n × (π/3) + (- 1)n × (π/18), जहाँ n ∈ Z

Trigonometric Functions Question 8 Detailed Solution

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संकल्पना:

यदि sin θ = sin α  है, तो θ = nπ + (- 1)n α, α ∈ [-π/2, π/2], n ∈ Z है। 

T-अनुपात 

30°

45°

60°

90°

Sin

0

1/2

1/√2

√3/2

1

Cos

1

√3/2

1/√2

1/2

0

Tan

0

1/√3

1

√3

परिभाषित नहीं है

 

गणना:

दिया गया है: 4 sin 3x = 2

⇒ sin 3x = ½

चूँकि हम जानते हैं कि, sin (π/6) = ½

⇒ sin 3x = sin (π/6)

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि sin θ = sin α है, तो

θ = nπ + (- 1)n α, α ∈ [-π/2, π/2], n ∈ Z 

⇒ 3x = nπ + (- 1)n × (π/6), जहाँ n ∈ Z

⇒ x = n × (π/3) + (- 1)n × (π/18), जहाँ n ∈ Z

cos x = 1 का सामान्य हल ज्ञात कीजिए। 

  1. x = 2nπ, n ∈ Z
  2. x = 2nπ - 1, n ∈ Z
  3. x = 2nπ + 1, n ∈ Z
  4. उपरोक्त में से कोई नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : x = 2nπ, n ∈ Z

Trigonometric Functions Question 9 Detailed Solution

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संकल्पना:

कुछ मानक त्रिकोणमितीय समीकरणों का सामान्य हल:

समीकरण

हल 

शर्त

 sin θ = sin α

 θ = nπ + (-1)n α

 α ∈ [-π/2, π/2] और  n ∈ z

 cos θ = cos α

 θ = 2nπ ± α

 α ∈ [0, π] और n ∈ z 

 tan θ = tan α

 θ = nπ + α

 α ∈ (-π/2, π/2) और n ∈ z

 

गणना:

दिया गया है: cos x = 1

⇒ cos x = cos 0

चूँकि हम जानते हैं, यदि cos θ = cos α है, तो θ = 2nπ ± α है। 

इसलिए, x = 2nπ ± 0 = 2nπ 

अतः cos x = 1 का सामान्य हल x = 2nπ, n ∈ Z है। 

यदि 4sin2x -  2 cos2x = 2 है तो tan x का मान ज्ञात कीजिए। 

  1. √3
  2. √2
  3. इनमें से कोई नहीं 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : √2

Trigonometric Functions Question 10 Detailed Solution

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संकल्पना:

sin2x + cos2x = 1

गणना:

दिया गया है, 4sin2x -  2 cos2x = 2

⇒2sin2x -  cos2x = 1

⇒ 2sin2x -  cos2x = sin2x + cos2x

⇒ sin2x = 2 cos2x

⇒tan2 x = 2

⇒ tan x = √2

cot 2x cot 4x - cot 4x cot 6x - cot 6x cot 2x किसके बराबर है?

  1. -1
  2. 0
  3. 1
  4. 2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 1

Trigonometric Functions Question 11 Detailed Solution

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अवधारणा:

\(\rm cot (A + B) = \frac{cot A cot B - 1}{cot A + cot B}\)

गणना:

(cot 2x ∙ cot 4x) - (cot 4x  cot 6x) - (cot 6x  cot 2x)

⇒ (cot 2x  cot 4x) - cot 6x [cot 4x + cot 2x]

⇒ (cot 2x  cot 4x) - cot (2x + 4x) [cot 4x + cot 2x]

⇒ (cot 2x  cot 4x) -  \((\rm \dfrac{cot 2x .cot 4x - 1}{cot 2x + cot 4x})\)× [cot 4x + cot 2x]

⇒ (cot 2x  cot 4x) - (cot 2x  cot 4 x - 1)

⇒ (cot 2x  cot 4x) - (cot 2x  cot 4x) + 1

⇒ 1

यदि 7 sinθ + 24 cosθ = 25 तो (sin θ + cos θ) का मूल्य क्या है?

  1. 1
  2. \(\dfrac{26}{25}\)
  3. \(\dfrac{6}{5}\)
  4. \(\dfrac{31}{25}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : \(\dfrac{31}{25}\)

Trigonometric Functions Question 12 Detailed Solution

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अवधारणा:

\(\rm \sin \theta = \frac{Perpendicular}{Hypotenuse}\)

\(\rm \cos \theta = \frac{Base}{Hypotenuse} \)

sinθ + cosθ = 1 

गणना:

7 sinθ + 24 cosθ = 25

दोनों तरफ से 25 को विभाजित करके, हम प्राप्त करते हैं

\(\rm \frac{7}{25}\)sinθ + \(\rm \frac{24}{25}\)cosθ = 1      ....(i)

हम जानते हैं कि,

sin2 θ + cosθ = 1  

sin θ.sin θ + cos θ.cos θ = 1      ....(ii)

समीकरण (i) और (ii) तुलना करने पर

sin θ = \(\rm \frac{7}{25}\) 

cos θ = \(\rm \frac{24}{25}\)

अब, (sinθ + cosθ) 

\(\rm \frac{7}{25}\)\(\rm \frac{24}{25}\)

\(\rm \frac{31}{25}\)

A और B धनात्मक न्यून कोण इस प्रकार हैं जिससे cos 2B = 3 sin2 A और 3 sin 2A = 2 sin 2B हैं। तो (A + 2B) का मान क्या है?

  1. π / 6
  2. π / 4
  3. π / 3
  4. π / 2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : π / 2

Trigonometric Functions Question 13 Detailed Solution

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संकल्पना:

cos (A + B) = cosA. cosB - sinA. sin B

गणना:

दिया गया है: cos 2B = 3 sin2 A   .... (1)

और 3sin 2A = 2 sin 2B     .... (2)

(1) को (2) से विभाजित करने पर,

हम जानते हैं कि,

sin 2A = 2 sin A∙ cos A

इसलिए, समीकरण (3) निम्न बन जाता है,

\(\frac{cos(2B)}{2sin(2B)}=\frac{sin^2(A)}{2sin(A)cos(A)}\)

⇒ \(\frac{cos(2B)}{sin(2B)}=\frac{sin(A)}{cos(A)}\)

⇒ cos (2B) cos (A) = sin (2B) sin (A)

⇒ cos (2B) cos (A) - sin (2B) sin (A) = 0

उपरोक्त अवधारणा से,

cos (A + 2B) = 0

⇒ (A + 2B) = cos-1 (0)

⇒ (A + 2B) =  π/2

समीकरण 8 tan(2x) – 5 = 3 का सामान्य हल ज्ञात कीजिए। 

  1. nπ + (π/8), जहाँ n ∈ Z
  2. n (π/4) + (π/8), जहाँ n ∈ Z
  3. n (π/2) + (π/8), जहाँ n ∈ Z
  4. इनमें से कोई नहीं 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : n (π/2) + (π/8), जहाँ n ∈ Z

Trigonometric Functions Question 14 Detailed Solution

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संकल्पना:

यदि tan θ = tan α है, तो θ = nπ + α, α ∈ (-π/2, π/2), n ∈ Z.

T-अनुपात 

30°

45°

60°

90°

Sin

0

1/2

1/√2

√3/2

1

Cos

1

√3/2

1/√2

½

0

Tan

0

1/√3

1

√3

परिभाषित नहीं है

 

गणना:

दिया गया है: 8 tan(2x) – 5 = 3

⇒ 8 tan(2x) = 8

⇒ tan 2x = 1

चूँकि हम जानते हैं कि, tan (π/4) = 1

⇒ tan 2x = tan (π/4)

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि tan θ = tan α है, तो θ = nπ + α, α ∈ (-π/2, π/2), n ∈ Z

⇒ 2x = nπ + (π/4), जहाँ n ∈ Z

⇒ x = n (π/2) + (π/8), जहाँ n ∈ Z

2 sin 75° cos 75° का मान क्या है?

  1. \(\frac 12\)
  2. \(\frac 1 {\sqrt 2}\)
  3. \(\frac {\sqrt 3}2\)
  4. इनमें से कोई नहीं 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : \(\frac 12\)

Trigonometric Functions Question 15 Detailed Solution

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संकल्पना:

2sinx cos x = sin 2x

sin (90° + x) = cos x

गणना:

दिया गया है, 2 sin 75° cos 75°

= sin [2 (75°)]

= sin (150°)

= sin (90° + 60°)

= cos 60°

\(\rm \dfrac 1 2\)

अतः 2 sin 75° cos 75° का मान \(\rm \dfrac 1 2\) है। 

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