Trigonometric Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Trigonometric Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

दिया गया है:

⇒ \(\rm \frac{x}{\cos θ}=\frac{y}{\cos \left(\frac{2\pi}{3}-θ\right)}=\frac{z}{\cos\left(\frac{2\pi}{3}+θ\right)}\) = k (मान लीजिये)

⇒ x = kcosθ

⇒ y = k \(cos\frac{2\pi }{3} -θ \)

⇒ z = k \(cos\frac{2\pi }{3} +θ \)

अब, x + y + z = k [cosθ + cos \((\frac{2\pi }{3} -θ) + cos(\frac{2\pi }{3} +θ)\)]

= k [cosθ + 2cos\(\frac{2\pi }{3}cosθ \)]

= k[cosθ + 2 (\(-\frac{1}{2}) cosθ \)]

= k[cosθ- cosθ ] =0

⇒ x + y + z =0

∴ विकल्प (b) सही है।

व्याख्या:

⇒ \(\frac{cos17°- sin17°}{cos17°+ sin17°} = \frac{cos17°(1-\frac{sin 17°}{Cos17°})}{cos17°(1+\frac{sin 17°}{Cos17°})}\)

= \(\frac{1-\tan17°}{1+\tan17°}\)

= \(\frac{\tan45°-\tan17°}{1+\tan45°\tan17°}\) = tan(45° - 17°) = tan 28° = cot 62°

∴ सही उत्तर विकल्प 4 है।

व्याख्या:

दिया गया है

cot2x. cot3x = 1

⇒ cos2x. cos3x - sin2x.sin3x= 0

⇒ cos(2x+3x) = cos5x = 0 0 < x < π

इसलिए 5x = \(\frac{\pi }{2}, \frac{3\pi }{2}, \frac{5\pi }{2}, \frac{7\pi }{2}, \frac{9\pi }{2}\)

⇒ x = \(\frac{\pi }{10}, \frac{3\pi }{10}, \frac{5\pi }{10}, \frac{7\pi }{10}, \frac{9\pi }{10}\)

इस प्रकार, केवल पाँच हल संभव हैं

∴ सही उत्तर विकल्प C है

दिया गया है:

cotθ + tanθ = 2 का सामान्य हल

प्रयुक्त सूत्र:

cotθ + tanθ = 2

गणना:

दिए गए समीकरण से शुरुआत करते हैं:

cotθ + tanθ = 2

हम जानते हैं कि:

\(cot\theta = \frac{1}{tan\theta}\)

इसलिए, समीकरण बन जाता है:

\( \frac{1}{tan\theta} + tan\theta = 2 \)

मान लीजिए \( tan\theta = x \)

तब:

\( \frac{1}{x} + x = 2 \)

दोनों ओर x से गुणा कीजिए:

\( 1 + x^2 = 2x \)

समीकरण को पुनर्व्यवस्थित कीजिए:

\( x^2 - 2x + 1 = 0 \)

\( (x - 1)^2 = 0 \)

इसलिए, x = 1:

\( tan\theta = 1 \)

इसलिए:

\( \theta = n\pi + \frac{\pi}{4} \)

आवर्तता को ध्यान में रखते हुए:

\( \theta = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4} \)

सही उत्तर विकल्प 3 है।

अवधारणा: 

जहां फलन को परिभाषित किया जाता है, उसे प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का परिसर कहा जाता है और हमें जो मान प्राप्त होते हैं उन्हें प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का प्रांत कहा जाता है।

हल  -

इसलिए अंतिम उत्तर [-1,1] है अतः विकल्प 2 सही है।

Alternate Method

माना \(sin^{-1}x=A \Rightarrow x = sinA\) 

और हम सभी जानते हैं कि ज्या फलन एक पूर्ण वास्तविक रेखा पर परिभाषित होता है, इसलिए दिए गए फलन का परिसर \(\mathbb{R}\) है। और पूर्ण वास्तविक रेखा के लिए ज्या फलन के मान [-1,1] के बीच में हैं क्योंकि ज्या फलन आवर्ती है और पूर्ण वास्तविक रेखा पर 1 और -1 के बीच दोलन करता है।

अतः अंतिम उत्तर [-1,1] है अतः विकल्प 2 सही है।

अवधारणा :

a2 - b2 = (a - b) (a + b)

sec x = 1/cos x and cosec x = 1/sin x

a3 + b3 = (a + b) (a2 + b2 - ab)

गणना :

\(\frac{{\left( {1 - {\rm{sinAcosA}}} \right)\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{\rm{A}} - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{\rm{A}}} \right)}}{{{\rm{cosA}}\left( {{\rm{secA}} - {\rm{cosecA}}} \right)\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^3}{\rm{A}} + {\rm{co}}{{\rm{s}}^3}{\rm{A}}} \right)}}\)

⇒ \( \frac{{\left( {{\rm{1}} - {\rm{sinAcosA}}} \right)\left( {{\rm{sinA}} + {\rm{cosA}}} \right)\left( {{\rm{sinA}} - {\rm{cosA}}} \right)}}{{{\rm{cosA}}\left[ {\frac{1}{{{\rm{cosA}}}} - \frac{1}{{{\rm{sinA}}}}} \right]\left( {{\rm{sinA}} + {\rm{cosA}}} \right)\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{\rm{A}} + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{\rm{A}} - {\rm{sinAcosA}}} \right)}}\)

⇒ \( \frac{{\left( {1 - {\rm{sinAcosA}}} \right)\left( {{\rm{sinA}} + {\rm{cosA}}} \right)\left( {{\rm{sinA}} - {\rm{cosA}}} \right)}}{{{\rm{cosA}}\left[ {\frac{{{\rm{sinA}} - {\rm{cosA}}}}{{{\rm{sinA}}.{\rm{cosA}}}}} \right]\left( {{\rm{sinA}} + {\rm{cosA}}} \right)\left( {1 - {\rm{sinAcosA}}} \right)}}\)

⇒ \(\frac{sinA - cosA}{cosA[\frac{sinA - cosA}{sinA.cosA}]}\)

⇒ \(\frac{(sinA - cosA)\times sinA.cosA}{cosA[sinA - cosA]}\)

⇒ \(\frac{ sinA.cosA}{cosA}\)

⇒ sin A

∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।

धारणा:

cos 2x = cos² x – sin² x = 2 cos² x - 1 = 1 – 2 sin² x

गणना:

cos 4x

= cos 2(2x)

= 2 cos² 2x – 1                                         (∵cos 2x = 2 cos² x – 1)

= 2 (1 – 2 sin² x)² – 1                              (∵ cos 2x = 1 – 2 sin² x)

= 2 [1 – 4 sin² x + 4 sin⁴ x] – 1               [∵ (a – b)² = a² – 2ab + b²]

= 2 - 8 sin² x + 8 sin⁴ x – 1

= 1 - 8 sin² x + 8 sin⁴ x

संकल्पना:

यदि sin θ = sin α  है, तो θ = nπ + (- 1)ⁿ α, α ∈ [-π/2, π/2], n ∈ Z है। 

गणना:

दिया गया है: 4 sin 3x = 2

⇒ sin 3x = ½

चूँकि हम जानते हैं कि, sin (π/6) = ½

⇒ sin 3x = sin (π/6)

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि sin θ = sin α है, तो

θ = nπ + (- 1)ⁿ α, α ∈ [-π/2, π/2], n ∈ Z 

⇒ 3x = nπ + (- 1)ⁿ × (π/6), जहाँ n ∈ Z

संकल्पना:

कुछ मानक त्रिकोणमितीय समीकरणों का सामान्य हल:

गणना:

दिया गया है: cos x = 1

⇒ cos x = cos 0

चूँकि हम जानते हैं, यदि cos θ = cos α है, तो θ = 2nπ ± α है। 

इसलिए, x = 2nπ ± 0 = 2nπ 

अतः cos x = 1 का सामान्य हल x = 2nπ, n ∈ Z है। 

संकल्पना:

sin2x + cos2x = 1

गणना:

दिया गया है, 4sin2x -  2 cos2x = 2

⇒2sin2x -  cos2x = 1

⇒ 2sin2x -  cos2x = sin2x + cos2x

⇒ sin2x = 2 cos2x

⇒tan2 x = 2

⇒ tan x = √2

अवधारणा:

\(\rm \sin \theta = \frac{Perpendicular}{Hypotenuse}\)

\(\rm \cos \theta = \frac{Base}{Hypotenuse} \)

sin2 θ + cos2 θ = 1 

गणना:

7 sinθ + 24 cosθ = 25

दोनों तरफ से 25 को विभाजित करके, हम प्राप्त करते हैं

\(\rm \frac{7}{25}\)sinθ + \(\rm \frac{24}{25}\)cosθ = 1      ....(i)

हम जानते हैं कि,

sin² θ + cos² θ = 1  

sin θ.sin θ + cos θ.cos θ = 1      ....(ii)

समीकरण (i) और (ii) तुलना करने पर

sin θ = \(\rm \frac{7}{25}\) 

cos θ = \(\rm \frac{24}{25}\)

अब, (sinθ + cosθ) 

= \(\rm \frac{7}{25}\)+ \(\rm \frac{24}{25}\)

= \(\rm \frac{31}{25}\)

अवधारणा:

\(\rm cot (A + B) = \frac{cot A cot B - 1}{cot A + cot B}\)

गणना:

(cot 2x ∙ cot 4x) - (cot 4x ∙ cot 6x) - (cot 6x ∙ cot 2x)

⇒ (cot 2x ∙ cot 4x) - cot 6x [cot 4x + cot 2x]

⇒ (cot 2x ∙ cot 4x) - cot (2x + 4x) [cot 4x + cot 2x]

⇒ (cot 2x ∙ cot 4x) -  \((\rm \dfrac{cot 2x .cot 4x - 1}{cot 2x + cot 4x})\)× [cot 4x + cot 2x]

⇒ (cot 2x ∙ cot 4x) - (cot 2x ∙ cot 4 x - 1)

⇒ (cot 2x ∙ cot 4x) - (cot 2x ∙ cot 4x) + 1

⇒ 1

संकल्पना:

यदि tan θ = tan α है, तो θ = nπ + α, α ∈ (-π/2, π/2), n ∈ Z.

गणना:

दिया गया है: 8 tan(2x) – 5 = 3

⇒ 8 tan(2x) = 8

⇒ tan 2x = 1

चूँकि हम जानते हैं कि, tan (π/4) = 1

⇒ tan 2x = tan (π/4)

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि tan θ = tan α है, तो θ = nπ + α, α ∈ (-π/2, π/2), n ∈ Z

⇒ 2x = nπ + (π/4), जहाँ n ∈ Z

संकल्पना:

cos (A + B) = cosA. cosB - sinA. sin B

गणना:

दिया गया है: cos 2B = 3 sin² A   .... (1)

और 3sin 2A = 2 sin 2B     .... (2)

(1) को (2) से विभाजित करने पर,

हम जानते हैं कि,

sin 2A = 2 sin A∙ cos A

इसलिए, समीकरण (3) निम्न बन जाता है,

\(\frac{cos(2B)}{2sin(2B)}=\frac{sin^2(A)}{2sin(A)cos(A)}\)

⇒ \(\frac{cos(2B)}{sin(2B)}=\frac{sin(A)}{cos(A)}\)

⇒ cos (2B) cos (A) = sin (2B) sin (A)

⇒ cos (2B) cos (A) - sin (2B) sin (A) = 0

उपरोक्त अवधारणा से,

cos (A + 2B) = 0

⇒ (A + 2B) = cos-1 (0)

⇒ (A + 2B) =  π/2

संकल्पना:

2sinx cos x = sin 2x

sin (90° + x) = cos x

गणना:

दिया गया है, 2 sin 75° cos 75°

= sin [2 (75°)]

= sin (150°)

= sin (90° + 60°)

= cos 60°

= \(\rm \dfrac 1 2\)

अतः 2 sin 75° cos 75° का मान \(\rm \dfrac 1 2\) है।