Trigonometric Identities MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Trigonometric Identities - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

$tan(A+B)=\frac{tanA+tanB}{1-tanA.tanB}$

हल:

दिया गया है:

यदि x, y, और z एक त्रिभुज के कोण हैं और z = 135°

⇒ x + y + z = 180^o

⇒ x + y = 180^o - 135^o

⇒ x + y = 45o

⇒ tan (x + y) = tan (45o)

⇒ $\frac{tanx+tany}{1-tanx.tany}=1$

⇒ tan x + tan y = 1 - tan x tan y

दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर,

⇒ 1 + tan x + tan y = 1 - tan x tan y + 1

⇒ 1 + tan x + tan y + tan x tan y = 2

⇒ 1 + tan x + tan y(1 + tan x) = 2

⇒ (1 + tan x) (1+ tan y) = 2

∴ (1 + tan x) (1 + tan y) का मान 2 है। 

गणना:

$\sin z+\cos z=\sin \frac{3\pi }{4}+\cos \frac{3\pi }{4}$

हम पदों को इस प्रकार फिर से लिख सकते हैं:

$\sin \frac{3\pi }{4}=\sin (\pi -\frac{\pi }{4})$ और $\cos \frac{3\pi }{4}=\cos (\pi -\frac{\pi }{4})$

मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin (\pi -\theta )=\sin \theta$ और $\cos (\pi -\theta )=-\cos \theta$ का उपयोग करके, हमें प्राप्त होता है:

$\sin \frac{3\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}$ और $\cos \frac{3\pi }{4}=-\cos \frac{\pi }{4}$

अब, मान प्रतिस्थापित करने पर:

$\sin \frac{\pi }{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos \frac{\pi }{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

इस प्रकार, हमें प्राप्त होता है:

$\sin z+\cos z=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}=0$

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

व्याख्या:

दिया गया है:

p tan (θ - 30°) = q tan (θ + 120°)

⇒ p/q = $\frac{tan(\theta +120°)}{tan(\theta -30°)}$

= $\frac{sin(\theta +120)cos(\theta -30)}{cos(\theta +120)sin(\theta -30)}$

⇒ $\frac{p+q}{p-q}=$$\frac{sin(\theta +120)cos(\theta -30)+cos(\theta +120)sin(\theta -30)}{sin(\theta +120)cos(\theta -30)-cos(\theta +120)sin(\theta -30)}$

= $\frac{sin[(\theta +120)+(\theta -30)]}{sin[(\theta +120)-(\theta -30)]}$

= $\frac{sin(90+2\theta )}{sin150}$

⇒ $\frac{p+q}{p-q}=\frac{sin(90+2\theta )}{\frac{1}{2}}$

= 2 cos 2θ

इसलिए, विकल्प (d) सही है

व्याख्या:

(I) मान लीजिए tan 22.5° = tan 45/2 = t

⇒ tan45° = $tan(2\times \frac{45}{2})$

= $\frac{2tan\frac{45}{2}}{1-ta{n}^2\frac{45}{2}}$

⇒ 1 = $\frac{2t}{1-t^2}$ ⇒ t² + 2t -1 = 0

⇒ t = $\frac{-2\pm \surd 4+4}{2}=-1\pm \surd 2$

⇒ tan $\frac{45}{2}=-1\pm \surd 2=-1+\surd 2$ (प्रथम चतुर्थांश में tan धनात्मक है)

यह एक अपरिमेय संख्या है।

(II) cot22.5° = $\frac{1}{tan22.5}=\frac{1}{-1+\surd 2}=1+\surd 2$

यह भी एक अपरिमेय संख्या है

(III) tan22.5° - cot22.5° = -1+ √2 -(1 +√ 2)

= -2

यह एक अपरिमेय संख्या नहीं है

∴ विकल्प (ग) सही है।

अवधारणा:

गुणनफल-से-योग सूत्र:

• गुणनफल-से-योग सूत्र साइन और कोसाइन के गुणनफल को योग के रूप में व्यक्त करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।
• साइन के लिए, सूत्र निम्नवत है:

  $\sin A\sin B=\frac{1}{2}[\cos (A-B)-\cos (A+B)]$

गणना:

⇒ sin12° . sin48° = $\frac{2(sin12°.sin48°)}{2}$

= $\frac{1}{2}[Cos36°-Cos60°]$

= $\frac{1}{2}[\frac{\sqrt{5}+1}{4}-\frac{1}{2}]=\frac{\sqrt{5}-1}{8}$

∴ विकल्प (c) सही है। 

धारणा:

cosec² x – cot² x = 1

गणना:

दिया हुआ: p = cosec θ – cot θ और q = (cosec θ + cot θ)^-1

⇒ cosec θ + cot θ = 1/q

जैसा कि हम जानते हैं कि,, cosec² x – cot² x = 1

⇒ (cosec θ + cot θ) × (cosec θ – cot θ) = 1

$\frac{1}{q}\times p=1$

धारणा:

sin² x + cos² x = 1

गणना:

दिया हुआ: sin θ + cos θ = 7/5 

उपर्युक्त समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हमें मिलता है

⇒ (sin θ + cos θ)² = 49/25

⇒ sin² θ + cos² θ+ 2sin θ.cos θ = 49/25

जैसा कि हम जानते हैं कि, sin2 x + cos2 x = 1

⇒ 1 + 2sin θcos θ = 49/25

⇒ 2sin θcos θ = 24/25

अवधारणा:

I. sec² θ – tan² θ = 1

II. a² – b² = (a - b) (a + b)

गणना:

दिया गया है:

tan θ + sec θ = 4     ...(1)

जैसा कि हम जानते हैं कि, sec² θ – tan² θ = 1

⇒ sec² θ – tan² θ = 1

⇒ (sec θ – tan θ) (sec θ + tan θ) = 1

उपरोक्त समीकरण में tan θ + sec θ = 4 का मान रखने पर हमे प्राप्त होगा

⇒ sec θ – tan θ = 1/4     ... (2)

समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर हमे प्राप्त होगा-

⇒ 2 sec θ = 17/4

⇒ sec θ = 17/8 ⇒ cos θ = 8/17

Mistake Points

यह tan θ है जो 15/8 के बराबर है। उपरोक्त दो समीकरण जिन्हें हमने हल किया था:

tan θ + sec θ = 4

sec θ – tan θ = 1/4

संकल्पना:

a2 - b2 = (a - b) (a + b)

sec2 x - tan2 x = 1

गणना:

sec4 x - tan4 x

=(sec2 x - tan2 x) (sec2 x + tan2 x)          (∵ a2 - b2 = (a - b) (a + b))

= 1 × (1 + tan2 x + tan2 x)                                          (∵ sec2 x - tan2 x = 1)

= 1 + 2tan² x

प्रयुक्त सूत्र

sin2A + cos2A = 1

1/sin A = cosec A

1/cos A = sec A

गणना

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{A}(1+\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{A}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{A}})+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{A}(1+\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{A}}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{A}})?$

⇒ sin A (cos A + sin A)/cos A + cos A(sin A + cos A)/sin A

⇒ (sin A + cos A) [(sin A/cos A) + (cos A/sin A)]

⇒ (sin A + cos A) [(sin²A + cos²A)/(cos A. sin A)]

⇒ (sin A + cos A) [1/(cos A. sin A)]

⇒  $\frac{sinA}{(cosA.sinA)}+\frac{cosA}{(cosA.sinA)}$

⇒ 1/sin A + 1/cos A

⇒ sec A + Cosec A

उत्तर sec A + Cosec A है।

संकल्पना:

त्रिकोणमितीय सूत्र

sec² θ = 1 + tan² θ

cosec2 θ = 1 + cot2 θ

cot θ = $\frac{1}{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta }$

sec θ = $\frac{1}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta }$

cosec θ = $\frac{1}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta }$

गणना:

$\frac{1+\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^2\theta }{1+\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{t}}^2\theta }-{\left(\frac{1-\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta }{1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\theta }\right)}^2$

$=\frac{se{c}^2\theta }{cose{c}^2\theta }-{\left(\frac{1-tan\theta }{1-\frac{1}{tan\theta }}\right)}^2$

$=\frac{\frac{1}{\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^2\theta }}{\frac{1}{\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^2\theta }}-{\left(\frac{1-\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta }{\frac{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta -1}{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta }}\right)}^2$

$=\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^2\theta }{\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^2\theta }-{\left(\frac{1-\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta }{\frac{-(1-\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta )}{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta }}\right)}^2$

= tan² θ - (-tan θ)²

= tan2 θ - tan2 θ 

= 0

दिया गया है:

$\frac{co{t}^3\theta }{cose{c}^2\theta }+\frac{ta{n}^3\theta }{se{c}^2\theta }$ + 2sinθ cosθ 

सूत्र:

(a + b)² = a² + b² + 2ab

sin²θ + cos²θ = 1

गणना:

$\frac{co{t}^3\theta }{cose{c}^2\theta }+\frac{ta{n}^3\theta }{se{c}^2\theta }$ + 2sinθ cosθ 

⇒ $\frac{co{s}^3\theta }{si{n}^3\theta }$ × sin²θ + $\frac{si{n}^3\theta }{co{s}^3\theta }$ × cos²θ + 2sinθ cosθ 

⇒ $\frac{co{s}^3\theta }{sin\theta }$ + $\frac{si{n}^3\theta }{cos\theta }$ + 2sinθ cosθ

⇒ $\frac{si{n}^4\theta +co{s}^4\theta +2si{n}^2\theta co{s}^2\theta }{sin\theta cos\theta }$ 

⇒ $\frac{(si{n}^2\theta +co{s}^2\theta {)}^2}{sin\theta cos\theta }$ = $\frac{1}{sin\theta cos\theta }$

⇒ $\frac{1}{sin\theta }\times \frac{1}{cos\theta }$ = cosecθ secθ ($\frac{1}{sin\theta }$ = cosecθ, $\frac{1}{cos\theta }$ = secθ) 

∴ $\frac{co{t}^3\theta }{cose{c}^2\theta }+\frac{ta{n}^3\theta }{se{c}^2\theta }$ + 2sinθ cosθ = cosecθ.secθ

अवधारणा:

• cosec x = 1/sin x
• cot x = cos x/ sin x
• cos² x + sin²x= 1

गणना:

यहाँ, हमें $\frac{\sqrt{1+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}+\sqrt{1-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}}{\sqrt{1+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}-\sqrt{1-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}}$ का मूल्य ज्ञात करना है

अभिव्यक्ति $\frac{\sqrt{1+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}+\sqrt{1-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}}{\sqrt{1+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}-\sqrt{1-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}}$ का परिमेयीकरण करके हमें मिलता है

$=\frac{\sqrt{1+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}+\sqrt{1-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}}{\sqrt{1+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}-\sqrt{1-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}}\times \frac{\sqrt{1+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}+\sqrt{1-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}}{\sqrt{1+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}+\sqrt{1-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}}$

$=\frac{[\left(1+sinx+1-sinx\right)+2\sqrt{1-si{n}^{2}x}}{\left(1+sinx-1+sinx\right)}$

$=\frac{2+2\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}}{2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}$

∴ cosec x + cot x

संकल्पना:

sec2 x - tan2 x = 1

गणना:

दिया गया है sec x + tan x = 2     ....(i)

∵ sec² x - tan² x = 1

(sec x + tan x)(sec x - tan x) = 1

2(sec x - tan x) = 1

sec x - tan x = $\frac{1}{2}$              ....(ii)

समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर 

2 sec x = 2 + $\frac{1}{2}$

$\frac{2}{\cos \mathrm{x}}=\frac{5}{2}$

cos x = $\frac{4}{5}$

दिया गया है:

√3 - 3√3tan2 A = 3tan A - tan3 A

प्रयुक्त सूत्र:

tan 3A = (3tan A - tan3A)/(1 - 3tan²A)

गणना:

√3 - 3√3tan2A = 3tan A - tan3A

⇒ √3(1 - 3tan2A) = 3tan A - tan3A

⇒ √3 = (3tan A - tan3A)/(1 - 3tan2A)

⇒ √3 = tan 3A 

⇒ tan 60° = tan 3A

⇒ 3A = 60° 

⇒ A = 60°/3 = 20° 

∴  A का मान 20° है।​