Greatest Integer Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Greatest Integer Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

फलन $f(x)=\sin (\lfloor x\rfloor )$ है, जहाँ $\lfloor x\rfloor$ महत्तम पूर्णांक फलन है, और g(x) = |x|, निरपेक्ष मान फलन है।

हमें यह ज्ञात करना है:

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}$

$g(x)=|x|$ के लिए, हम जानते हैं कि:

$\underset{x\to 0}{lim}g(x)=0$

$f(x)=\sin (\lfloor x\rfloor )$ के लिए, हम जानते हैं कि:

$x\to 0^{+}$ के लिए, $\lfloor x\rfloor =0$, इसलिए f(x) = sin(0) = 0

$x\to 0^{-}$ के लिए, $\lfloor x\rfloor =-1$, इसलिए $f(x)=\sin (-1)$, जो एक शून्येतर अचर है।

सीमा का मूल्यांकन:

$x\to 0^{+}$ के लिए, $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{0}{x}=0$

$x\to 0^{-}$ के लिए, $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\sin (-1)}{-x}$, जो अपरिभाषित हो जाता है क्योंकि $x\to 0^{-}$ क्योंकि हर 0 की ओर अग्रसर है, लेकिन अंश एक शून्येतर अचर रहता है।

∴ चूँकि बाएँ-पक्ष और दाएँ-पक्ष की सीमाएँ बराबर नहीं हैं, इसलिए सीमा का अस्तित्व नहीं है।

सही उत्तर विकल्प (4) है। 

गणना:

दिया गया है,

फलन है $f(x)=\sin (\lfloor x\rfloor )$, जहाँ $\lfloor x\rfloor$ महत्तम पूर्णांक फलन है, और g(x) = |x|, निरपेक्ष मान फलन है।

हमें ज्ञात करना है:

$\underset{x\to 0}{lim}f(x)g(x)$

$g(x)=|x|$ के लिए, हम जानते हैं कि:

$\underset{x\to 0}{lim}g(x)=0$

$f(x)=\sin (\lfloor x\rfloor )$ के लिए, हम जानते हैं कि:

$x\to 0^{+}$ के लिए, $\lfloor x\rfloor =0$, इसलिए f(x) = sin(0) = 0

$x\to 0^{-}$ के लिए, $\lfloor x\rfloor =-1$, इसलिए $f(x)=\sin (-1)$ है, जो कि एक शून्येतर अचर है।

सीमा का परिकलन:

$x\to 0^{+}$ के लिए,$f(x)g(x)=0\times x=0$

$x\to 0^{-}$ के लिए, $f(x)g(x)=\sin (-1)\times (-x)$, जो 0 की ओर अग्रसर है चूँकि $x\to 0^{-}.$.है। 

इसलिए, $\underset{x\to 0}{lim}f(x)g(x)$ का मान 0 है।

सही उत्तर विकल्प (2) है।

व्याख्या:

चूँकि, {x}+[x] = x

⇒x - [x] = {x}

⇒ 0≤ x - [x] < 1 (0 ≤ {x} < 1)

⇒ -1 ≤ [x] -x ≤ 0

परन्तु x धनात्मक और पूर्णांक नहीं है; तब

⇒ -1 < [x]-x < 0

⇒ -1 < y < 0

⇒ [y] = -1

∴ विकल्प (a) सही है।

व्याख्या:

फलन f(x) = [x] के असंततता बिंदु ज्ञात करने के लिए, फलन f(x) = [x] का आलेख बनाएँ।

महत्तम पूर्णांक फलन: (फ्लोर फलन)

फलन f (x) = [x] को महत्तम पूर्णांक फलन कहा जाता है और इसका अर्थ है x से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक अर्थात [x] ≤ x है। 

[x] का प्रांत R है और परिसर I है, जहाँ R वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है और I पूर्णांकों का समुच्चय है।

ग्राफ से, हम कह सकते हैं कि फलन प्रत्येक पूर्णांक पर असंतत है।

फलन f ( x )= [x], सिवाय x के पूर्णांक मानों के सभी x के लिए सतत है,।

∴ यह x = 3.6 पर सतत है, जो एक पूर्णांक नहीं है।

सही विकल्प 1 है।

अवधारणा:

महत्तम पूर्णाक फलन: (फ़्लोर फलन)

फलन f (x) = [x] को महत्तम पूर्णांक फलन कहा जाता है और इसका अर्थ है x से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक यानी [x] ≤ x। [x] का प्रांत R है और सीमा I है

गणना:

दिया गया है, f(x) = sin[π2]x + cos[-π2]x 

अब, π2 = 9.869

⇒ [π2] = [9.869] = 9

⇒ [- π2] = [- 9.869] = - 10

∴ f(x) = sin 9x + cos (-10x) = sin 9x + cos 10x

∴ $f\left(\frac{\pi }{4}\right)$ = sin $\frac{9\pi }{4}$ + cos $\frac{10\pi }{4}$

= sin $\frac{9\pi }{4}$ + cos $\frac{5\pi }{2}$

= $\frac{1}{\sqrt{2}}$ + 0

= $\frac{1}{\sqrt{2}}$

∴ $f\left(\frac{\pi }{4}\right)$ का मान $\frac{1}{\sqrt{2}}$ है। 

संकल्पना:

• किसी संख्या का महत्तम पूर्णांक फलन, संख्या को उस संख्या से कम पूर्णांक तक पूर्णांकित करता है
• प्रत्येक पूर्णांक x को x = [x] + {x} के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ [x] x का पूर्णांक भाग है और {x} x का भिन्नात्मक भाग है।
• 0 ≤ {x} < 1
• यदि x एक पूर्णांक है, तो {x} = 0

महत्तम पूर्णांक फलन की विशेषता:

• [-x] = -[x] , यदि x ∈ Z
•  [-x] = -[x] - 1, यदि x ∉ Z

गणना:

दिया गया है, z = [y] और y = [x] − x, जहाँ [.] महत्तम पूर्णांक फलन है।

यदि x एक पूर्णांक नहीं लेकिन धनात्मक है, 

⇒ x > 0 और x ∉ Z

⇒ y = [x] − x =  [x] − ([x] + {x})

⇒ y = -{x} 

अब दिया गया​ है z = [y] 

y का मान रखने पर,

⇒ z =[-{x}]

⇒ z = -[{x}] - 1   ({x} ∉ Z)

⇒ z = -0 - 1  (∵ 0 ≤ {x} < 1))

⇒ z = -1 

∴ सही विकल्प (1) है।

संकल्पना:

सबसे बड़ा पूर्णांक फलन:

• [x] = x, जहाँ x एक पूर्णांक है,
• [x + n] = [x] + n, जहाँ n ∈ Z
• [ - x] = - [x], यदि x ∈ Z
• [ - x] = - [x] - 1, यदि x ∉ Z
• यदि [ f(x)] ≥ Y, तब f(x) ≥ Y, जहाँ Z पूर्णांकों पर समुच्चय है। 

गणना:

दिया गया है, [x]2 – 5 [x] + 6 = 0

⇒ [x]2 - 3 [x] - 2[x] + 6 = 0

⇒ [×]([x] - 3) - 2([x] - 3) = 0

⇒ ([x] - 3)([x] - 2) = 0

⇒ [x] - 3 = 0 या [x] - 2 = 0

⇒ [x] = 3 या [x] = 2

⇒ [x] = 2, 3

[x] = 2 के लिए, x ∈ [2, 3)

[x] = 3 के लिए, x = [3 ,4)

∴ x का अभीष्ट मान ∈ [2, 3) ∪ [3,4)

⇒ x ∈ [2, 4)

∴ x ∈ [2, 4)

अवधारणा :

महत्तम पूर्णांक फलन: (तल फलन)

फलन f(x) = [x] को महत्तम पूर्णांक फलन कहा जाता है और इसका मतलब है कि x से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक यानी [x] ≤ x।

[x] का डोमेन R है और परिसर I है।

यदि f :A → B और g : C → D है तो (fog) (x) केवल तब मौजूद होगा यदि g का सह-डोमेन = f का डोमेन अर्थात् D = A है और (gof) (x) केवल तब मौजूद होगा यदि f का सह-डोमेन = g का डोमेन अर्थात् B = C है।

गणना :

दिया गया है: f(x) = 2^|x| और g(x) = [x] जहां [.] महत्तम पूर्णांक फलन दर्शाता है

यहाँ हमें f o g (- 3/2) का मान ज्ञात करना है

⇒ f o g (- 17/2) = f( g(- 17/2))

∵ g(x) = [x], इसलिए g(- 17/2) = [- 17/2] = - 9

⇒ f o g(- 17/2) = f(- 9)

∵ f(x) = 2|x| इसलिए f(- 9) = 2|- 9| = 29 = 512

अतः f o g (- 17/2) = 512

संकल्पना:

f (x) = [x], x ∈R द्वारा परिभाषित वास्तविक फलन f: R → R, x से कम या उसके बराबर सबसे बड़े पूर्णांक फलन का मान लेता है, उसे सबसे बड़ा पूर्णांक फलन कहा जाता है। 

इसलिए – 1 ≤ x < 0 के लिए  f (x) = [x] = – 1 

और 0 ≤ x < 1 के लिए f (x) = [x] = 0 है। 

1 ≤ x < 2 के लिए [x] = 1 है। 

2 ≤ x < 3 के लिए [x] = 2 और इसी तरह आगे भी

गणना:

दिया गया फलन f (x) = [1.2] p + [-2.23] p + p = 3[1.2] है। 

⇒ [1.2] = 1, [-2.23] = -3

∴ p – 3p + p = 3 × 1

वर्णन:

फलन f(x) = [x] की अनिरंतरता के बिंदु को ज्ञात करने के लिए फलन f(x) = [x] का आलेख बनाइए। 

सबसे बड़ा पूर्णांक फलन: (फ्लोर फलन)

फलन f(x) = [x] को सबसे बड़ा पूर्णांक फलन कहा जाता है और इसका अर्थ है कि सबसे बड़ा पूर्णांक x के कम या उसके बराबर अर्थात् [x] ≤ x है। 

 [x] का डोमेन R है और सीमा I है, जहाँ R वास्तविक संख्याओं का समूह है और I पूर्णांकों का समूह है। 

आलेख से हम कह सकते हैं कि फलन प्रत्येक पूर्णांक पर अनिरंतर है। 

फलन f (x)= [x], x के समाकल मानों को छोड़कर सभी x के लिए निरंतर है। 

∴ यह x = 1.5 पर निरंतर है, जो एक पूर्णांक नहीं है। 

सही विकल्प 4 है।

अवधारणा :

महत्तम पूर्णांक फलन: (तल फलन)

फलन f(x) = [x] को महत्तम पूर्णांक फलन कहा जाता है और इसका अर्थ है कि x के कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक अर्थात् [x] ≤ x। 

[x] का प्रांत R है और परास I है।

नोट:

कोई भी फलन तभी अवकलनीय होता है जब वह सतत हो।

तल फलन f(x) = ⌊x⌋ किसी भी पूर्णांक n के लिए पूर्णांकों के बीच प्रत्येक खुले अंतराल समाकल (n, n + 1) में अवकलनीय है।

गणना :

दिया गया है,

y = [x + 1], -4 < x < -3

हमें y = [x + 1] पर x = -3.5 पर अवकलज ज्ञात करना है

हम जानते हैं कि तल फलन पूर्णांक बिंदुओं को छोड़कर सभी बिंदुओं पर अवकलनीय है।

अत: y = [x + 1] x = -3.5 पर अवकलनीय है

⇒ y = [-3.5 + 1] = [-2.5] = -3

⇒ dy/dx = 0

∴ x = -3.5 पर x के संबंध में y का अवकलज 0 है।

गणना:-

[x] फलन निम्न रूप में खींचा जा सकता है

आइए सतत की जांच करें

f(x), x + 1 = 0 पर

∴ फलन सतत नहीं है, जो कि ग्राफ से भी स्पष्ट होता है।

∴ चूंकि, फलन सतत  नहीं है,

∴ यह अवकलनीय भी नहीं होगा।

संकल्पना:

f (x) = [x], x ∈R द्वारा परिभाषित वास्तविक फलन f: R → R, x से कम या उसके बराबर सबसे बड़े पूर्णांक फलन का मान लेता है, उसे सबसे बड़ा पूर्णांक फलन कहा जाता है। 

इसलिए – 1 ≤ x < 0 के लिए  f (x) = [x] = – 1 

और 0 ≤ x < 1 के लिए f (x) = [x] = 0 है। 

1 ≤ x < 2 के लिए [x] = 1 है। 

2 ≤ x < 3 के लिए [x] = 2 और इसी तरह आगे भी

गणना:

दिया गया फलन $f\left(x\right)=\frac{2.3}{\sqrt{x-\left[x\right]}}$ है। 

चूँकि हम जानते हैं कि $0⩽x-\left[x\right]<1,x\in R$

x ∈ Z के लिए, x – [x] = 0

संकल्पना:

सबसे बड़ा पूर्णांक फलन: (फ्लोर फलन)

फलन f (x) = [x] को सबसे बड़ा पूर्णांक फलन कहा जाता है और जिसका अर्थ है कि सबसे बड़ा पूर्णांक x से कम या उसके बराबर है अर्थात् [x] ≤ x है। 

[x] का डोमेन R है और सीमा I है। 

यदि f :A → B और g : C → D है। तो (fog) (x) केवल तब मौजूद होगा यदि g का सह-डोमेन = f का डोमेन अर्थात् D = A है और (gof) (x) केवल तब मौजूद होगा यदि f का सह-डोमेन = g का डोमेन अर्थात् B = C है। 

गणना:

दिया गया है: f(x) = [x] एक सबसे बड़ा पूर्णांक फलन है और  g(x) = x2 है। 

यहाँ, हमें g o f(- 1.3) का मान ज्ञात करना है। 

⇒ g o f(- 1.3) = g( f (- 1.3))

∵ f(x) = [x] इसलिए, f(- 1. 3) = [- 1.3] = - 2

⇒ g o f(- 1.3) = g(- 2)

∵ g(x) = x2 इसलिए, g(- 2) = 4

अतः g o f(- 1.3) = 4

संकल्पना:

सबसे बड़ा पूर्णांक फलन: (फ्लोर फलन)

फलन f (x) = [x] को सबसे बड़ा पूर्णांक फलन कहा जाता है और जिसका अर्थ है कि सबसे बड़ा पूर्णांक x से कम या उसके बराबर है अर्थात् [x] ≤ x है। 

[x] का डोमेन R है और सीमा I है। 

गणना:

दिया गया है: f(x) = (x)[x] है,

जहाँ [.] सबसे बड़े पूर्णांक फलन को दर्शाता है। 

यहाँ, हमें f(5/2) का मान ज्ञात करना है। 

⇒ f(5/2) = (5/2)[5/2]

चूँकि हम जानते हैं कि, [5/2] = 2

⇒ f(5/2) = (5/2)² = 25/4

∴ f(5/2) का मान 25/4 है।