Exponential Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Exponential Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना

दोनों पक्षों का आधार 5 पर लघुगणक लेने पर,

$(16{({\log }_{5}x)}^3-68({\log }_{5}x))({\log }_{5}x)=-16$

मान लीजिए, $({\log }_{5}x)=t$

$16t^4-68t^2+16=0$

या $4t^4-16t^2-t^2+4=0$

या $(4t^2-1)(t^2-4)=0$

या $t=\pm \frac{1}{2},\pm 2$

अतः ${\log }_{5}x=\pm \frac{1}{2}\mathrm{OR}\pm 2$

$\Rightarrow x=5^{\frac{1}{2}},5^{\frac{-1}{2}},5^2,5^{-2}$

x के सभी धनात्मक वास्तविक मानों का गुणनफल 1 है। 

$\Rightarrow {\log }_5(16-x^2)-{\log }_5(2x+5)\le {\log }_{5}5[\because {\log }_{1/a}b=-{\log }_{a}b\text{\&}{\log }_{a}a=1]$

$\therefore \frac{16-x^2}{2x+5}\le 5or(16-x^2)\le 10x+25[\because \log a-\log b=\log {\displaystyle \frac{a}{b}}]$

$x^2+10x+9\ge 0$

$(x+9)(x+1)\ge 0$

$\therefore x\le -9$ या $x\ge -1$ ...(1)

अब $\log$ की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास,

$2x+5>0$ , अर्थात, $x>-{\displaystyle \frac{5}{2}}$ होना चाहिए। 

और $16-x^2>0$ या $x^2-16<0$

या $(x+4)(x-4)<0$

$\therefore -4<x<4$ तथा $x>-{\displaystyle \frac{5}{2}}$ ...(2)

अतः (1) और (2) से, $x\ge -1$ और $x<4$ है। 

$\therefore x\in [-1,4)$ है। 

उत्तर: B

स्पष्टीकरण:

चरघातांकीय वृद्धि का आलेख इस प्रकार है:

अर्थात चरघातांकीय वृद्धि में प्राप्त वक्र J आकार का वक्र होता है।

अतः विकल्प (2) सत्य है।

संकल्पना:

आधार नियम:

यदि xवें घांत तक संवर्धित b, yवें घांत तक संवर्धित b के बराबर है, तो इसका अर्थ है कि x = y है।"

${\mathrm{b}}^{\mathrm{x}}={\mathrm{b}}^{\mathrm{y}}$ ⇒ x = y

गणना:

दिया गया समीकरण 4x - 3(2x + 3) + 128 = 0 है। 

⇒ $(2^2{)}^{\mathrm{x}}-3(2^{\mathrm{x}}{.2}^3)+128=0$

⇒ $(2^{\mathrm{x}}{)}^2-24(2^{\mathrm{x}})+128=0$

⇒ $(2^{\mathrm{x}}{)}^2-16(2^{\mathrm{x}})-8(2^{\mathrm{x}})+128=0$

⇒ $(2^{\mathrm{x}}-16)(2^{\mathrm{x}}-8)=0$

⇒ $2^{\mathrm{x}}=16\text{or}{2}^{\mathrm{x}}=8$

⇒ $2^{\mathrm{x}}=2^4\text{or}{2}^{\mathrm{x}}=2^3$

⇒ x = 4 या x = 3

समीकरण 4x - 3(2x + 3) + 128 = 0 के मूल 4 और 3 हैं। 

इसका योग = 4 + 3 = 7

संकल्पना:

घातांकीय फलन एक निर्दिष्ट आधार b के लिए रूप f(x) = b^x का फलन हैं जो कोई भी धनात्मक वातविक संख्या है। 

एक घातांकीय फलन का व्युत्क्रम लघुगणकीय फलन है। 

गणना:

दिया गया घातांकीय फलन y = q^x है, साथ ही x = 4 और y = 1296

∴ 1296 = q⁴

संकल्पना:

लघुतम पूर्णांक फलन: (सीलिंग फलन)

फलन f (x) = [x] को लघुतम पूर्णांक फलन कहा जाता है और इसका अर्थ है कि लघुतम पूर्णांक x से अधिक या उसके बराबर है अर्थात् [x) ≥ x है। 

यदि f :A → B और g : C → D है

तो (fog) (x) केवल तब मौजूद होगा यदि g का सह-डोमेन = f का डोमेन

अर्थात् D = A है और (gof) (x) केवल तब मौजूद होगा यदि f का सह-डोमेन = g का डोमेन अर्थात् B = C है। 

गणना:

दिया गया है: 

f(x) = ex और g(x) = ⌈x) जहाँ ⌈.⌉ सबसे छोटे पूर्णांक फलन को दर्शाता है

यहाँ, हमें f o g(9/2) का मान ज्ञात करना है। 

⇒ f o g(9/2) = f(g(9/2))

चूँकि g(x) = [x]

⇒ g(9/2) = [4.5) = 5

⇒ f o g(9/2) = f(5)

चूँकि, f(x) = ex 

⇒ f(5) = e5

अतः f o g(9/2) = e5

संकल्पना:

आधार नियम:

यदि xवें घांत तक संवर्धित b, yवें घांत तक संवर्धित b के बराबर है, तो इसका अर्थ है कि x = y है।"

${\mathrm{b}}^{\mathrm{x}}={\mathrm{b}}^{\mathrm{y}}$ ⇒ x = y

गणना:

दिया गया समीकरण 4x - 3(2x + 3) + 128 = 0 है। 

⇒ $(2^2{)}^{\mathrm{x}}-3(2^{\mathrm{x}}{.2}^3)+128=0$

⇒ $(2^{\mathrm{x}}{)}^2-24(2^{\mathrm{x}})+128=0$

⇒ $(2^{\mathrm{x}}{)}^2-16(2^{\mathrm{x}})-8(2^{\mathrm{x}})+128=0$

⇒ $(2^{\mathrm{x}}-16)(2^{\mathrm{x}}-8)=0$

⇒ $2^{\mathrm{x}}=16\text{or}{2}^{\mathrm{x}}=8$

⇒ $2^{\mathrm{x}}=2^4\text{or}{2}^{\mathrm{x}}=2^3$

⇒ x = 4 या x = 3

समीकरण 4x - 3(2x + 3) + 128 = 0 के मूल 4 और 3 हैं। 

इसका योग = 4 + 3 = 7

Mistake Points

कृपया ध्यान दें कि, यहां ⌈⌉ सबसे छोटे पूर्णांक फलन का प्रतिनिधित्व करता है, न कि सबसे बड़े पूर्णांक फलन का।

संकल्पना:

न्यूनतम पूर्णांक फलन (सीलिंग फलन):

यह एक फलन है जो (−∞,∞) सभी मान लेता है और केवल पूर्णांक भाग यानी सबसे

छोटे पूर्णांक की श्रेणी देता है, फलन Z (सभी पूर्णांक) है।

उदाहरण, [5.1] = 6, [- 5.1] = - 5

समग्र फलन:

यदि f :A → B और g : C → D है। तो (fog) (x) केवल तब मौजूद होगा यदि g का सह-डोमेन = f का डोमेन अर्थात् D = A है और (gof) (x) केवल तब मौजूद होगा यदि f का सह-डोमेन = g का डोमेन अर्थात् B = C है। 

गणना:

दिया गया है: f(x) = ⌈x⌉,

जहाँ [ ] सबसे छोटे पूर्णांक फलन को दर्शाता है और g(x) = 5x है। 

यहाँ, हमें g o f(1/2) का मान ज्ञात करना है। 

⇒ g o f(1/2) = g( f(1/2))

चूँकि, f(x) = ⌈x]

⇒ f(1/2) = ⌈1/2⌉ =⌈0.5⌉

⇒ f(1/2) = 1

⇒ g o f(1/2) = g(1)

अतः, g o f(1/2) = 5

Confusion Pointsउच्चतम पूर्णांक फलन (फ़्लोर फलन):

उच्चतम पूर्णांक फलन वह फलन है जो दी गई संख्या से छोटा या बराबर उच्चतम पूर्णांक देता है। ​दी गई संख्या x से छोटा या उसके बराबर उच्चतम पूर्णांक को ⌊x⌋ के रूप में दर्शाया जाता है।

उदाहरण [5.1] = 5 और [-5.1] = - 6 

सबसे बड़ा पूर्णांक फलन: (फ्लोर फलन)

फलन f (x) = [x] को सबसे बड़ा पूर्णांक फलन कहा जाता है और जिसका अर्थ है कि सबसे बड़ा पूर्णांक x से कम या उसके बराबर है अर्थात् [x] ≤ x है। 

[x] का डोमेन R है और सीमा I है। 

यदि f :A → B और g : C → D है। तो (fog) (x) केवल तब मौजूद होगा यदि g का सह-डोमेन = f का डोमेन अर्थात् D = A है और (gof) (x) केवल तब मौजूद होगा यदि f का सह-डोमेन = g का डोमेन अर्थात् B = C है। 

गणना:

दिया गया है: f(x) = ex और g(x) = [x] जहाँ [.] सबसे बड़े पूर्णांक फलन को दर्शाता है। 

यहाँ, हमें f o g(- 5/2) का मान ज्ञात करना है। 

⇒ f o g(- 5/2) = f( g(-5/2))

∵ g(x) = [x] इसलिए, g(-5/2) = - 3

⇒ f o g(- 5/2) = f(- 3)

∵ f(x) = ex इसलिए, f(- 3) = e^{- 3}

अतः f o g(- 5/2) = e^{- 3}

संकल्पना:

सबसे बड़ा पूर्णांक फलन: (फ्लोर फलन)

फलन f (x) = [x] को सबसे बड़ा पूर्णांक फलन कहा जाता है और जिसका अर्थ है कि सबसे बड़ा पूर्णांक x से कम या उसके बराबर है अर्थात् [x] ≤ x है। 

[x] का डोमेन R है और सीमा I है। 

यदि f :A → B और g : C → D है। तो (fog) (x) केवल तब मौजूद होगा यदि g का सह-डोमेन = f का डोमेन अर्थात् D = A है और (gof) (x) केवल तब मौजूद होगा यदि f का सह-डोमेन = g का डोमेन अर्थात् B = C है। 

गणना:

दिया गया है: f(x) = [x] जहाँ [.] सबसे बड़े पूर्णांक फलन को दर्शाता है और g(x) = 2x है। 

यहाँ, हमें g o f(- 3/2) का मान ज्ञात करना है। 

⇒ g o f(- 3/2) = g( f(- 3/2))

∵ f(x) = [x], इसलिए f(- 3/2) = [- 3/2] = - 2

⇒ g o f(- 3/2) = g(- 2)

∵ g(x) = 2^x इसलिए, g(- 2) = 1/4

अतः g o f(- 3/2) = 1/4

संकल्पना:

घातांकीय फलन एक निर्दिष्ट आधार b के लिए रूप f(x) = b^x का फलन हैं जो कोई भी धनात्मक वातविक संख्या है। 

एक घातांकीय फलन का व्युत्क्रम लघुगणकीय फलन है। 

गणना:

दिया गया घातांकीय फलन y = q^x है, साथ ही x = 4 और y = 1296

∴ 1296 = q⁴

संकल्पना:

सबसे बड़ा पूर्णांक फलन: (फ्लोर फलन)

फलन f (x) = [x] को सबसे बड़ा पूर्णांक फलन कहा जाता है और जिसका अर्थ है कि सबसे बड़ा पूर्णांक x से कम या उसके बराबर है अर्थात् [x] ≤ x है। 

[x] का डोमेन R है और सीमा I है। 

यदि f :A → B और g : C → D है। तो (fog) (x) केवल तब मौजूद होगा यदि g का सह-डोमेन = f का डोमेन अर्थात् D = A है और (gof) (x) केवल तब मौजूद होगा यदि f का सह-डोमेन = g का डोमेन अर्थात् B = C है। 

गणना:

दिया गया है: f(x) = [x] जहाँ [.] सबसे बड़े पूर्णांक फलन को दर्शाता है और g(x) = 2x है। 

यहाँ, हमें g o f(- 3/2) + g o f(5/2) का मान ज्ञात करना है। 

सर्वप्रथम हम g o f(- 3/2) का मान ज्ञात करते हैं

⇒ g o f(- 3/2) = g( f(- 3/2))

∵ f(x) = [x], इसलिए f(- 3/2) = [- 3/2] = - 2

⇒ g o f(- 3/2) = g(- 2)

∵ g(x) = 2x इसलिए, g(- 2) = 1/4

⇒ g o f(- 3/2) = 1/4----------(1)

उसीप्रकार, g o f(5/2) का मान ज्ञात करते हैं

⇒ g o f(5/2) = g( f(5/2))

∵ f(x) = [x], इसलिए f(5/2) = [5/2] = 2

⇒ g o f(5/2) = g(2)

∵ g(x) = 2x इसलिए, g(2) = 4

⇒ g o f(5/2) = 4---------(2)

अब, (1) और (2) से हमें निम्न प्राप्त होता है,

⇒ g o f(- 3/2) + g o f(5/2) = 4 + 1/4 = 17/4

संकल्पना:

सबसे छोटा पूर्णांक फलन: (सीलिंग फलन)

फलन f (x) = [x] को सबसे छोटे पूर्णांक फलन कहा जाता है और इसका अर्थ है कि सबसे छोटा पूर्णांक x से अधिक या उसके बराबर है अर्थात् [x] ≥ x है। 

यदि f :A → B और g : C → D है। तो (fog) (x) केवल तब मौजूद होगा यदि g का सह-डोमेन = f का डोमेन अर्थात् D = A है और (gof) (x) केवल तब मौजूद होगा यदि f का सह-डोमेन = g का डोमेन अर्थात् B = C है। 

गणना:

दिया गया है: f(x) = [x], जहाँ [.] सबसे छोटे पूर्णांक फलन को दर्शाता है और g(x) = 5x  है। 

यहाँ, हमें g o f(1/2) + g o f(- 3/2) का मान ज्ञात करना है। 

सर्वप्रथम हम g o f(1/2) का मान ज्ञात करते हैं

⇒ g o f(1/2) = g( f(1/2))

∵ f(x) = [x] इसलिए, f(1/2) = [1/2] = 1

⇒ g o f(1/2) = g(1)

∵ g(x) = 5x इसलिए, g(1) = 5

इसलिए, g o f(1/2) = 5-----------(1)

उसीप्रकार, g o f(- 3/2) का मान ज्ञात करते हैं

⇒ g o f(- 3/2) = g( f(- 3/2))

∵ f(x) = [x] इसलिए, f(- 3/2) = [- 3/2] = - 1

⇒ g o f(- 3/2) = g(- 1)

∵ g(x) = 5x इसलिए, g(- 1) = 1/5

इसलिए, g o f(1/2) = 1/5-----------(2)

अब, (1) और (2) से हमें निम्न प्राप्त होता है, 

⇒ g o f(1/2) + g o f(- 3/2) = 5 + 1/5 = 26/5

संकल्पना:

लघुतम पूर्णांक फलन: (सीलिंग फलन)

फलन f (x) = [x] को लघुतम पूर्णांक फलन कहा जाता है और इसका अर्थ है कि लघुतम पूर्णांक x से अधिक या उसके बराबर है अर्थात् [x) ≥ x है। 

यदि f :A → B और g : C → D है

तो (fog) (x) केवल तब मौजूद होगा यदि g का सह-डोमेन = f का डोमेन

अर्थात् D = A है और (gof) (x) केवल तब मौजूद होगा यदि f का सह-डोमेन = g का डोमेन अर्थात् B = C है। 

गणना:

दिया गया है: 

f(x) = ex और g(x) = ⌈x) जहाँ ⌈.⌉ सबसे छोटे पूर्णांक फलन को दर्शाता है

यहाँ, हमें f o g(9/2) का मान ज्ञात करना है। 

⇒ f o g(9/2) = f(g(9/2))

चूँकि g(x) = [x]

⇒ g(9/2) = [4.5) = 5

⇒ f o g(9/2) = f(5)

चूँकि, f(x) = ex 

⇒ f(5) = e5

अतः f o g(9/2) = e5

संकल्पना:

आधार नियम:

यदि xवें घांत तक संवर्धित b, yवें घांत तक संवर्धित b के बराबर है, तो इसका अर्थ है कि x = y है।"

${\mathrm{b}}^{\mathrm{x}}={\mathrm{b}}^{\mathrm{y}}$ ⇒ x = y

गणना:

दिया गया समीकरण 4x - 3(2x + 3) + 128 = 0 है। 

⇒ $(2^2{)}^{\mathrm{x}}-3(2^{\mathrm{x}}{.2}^3)+128=0$

⇒ $(2^{\mathrm{x}}{)}^2-24(2^{\mathrm{x}})+128=0$

⇒ $(2^{\mathrm{x}}{)}^2-16(2^{\mathrm{x}})-8(2^{\mathrm{x}})+128=0$

⇒ $(2^{\mathrm{x}}-16)(2^{\mathrm{x}}-8)=0$

⇒ $2^{\mathrm{x}}=16\text{or}{2}^{\mathrm{x}}=8$

⇒ $2^{\mathrm{x}}=2^4\text{or}{2}^{\mathrm{x}}=2^3$

⇒ x = 4 या x = 3

समीकरण 4x - 3(2x + 3) + 128 = 0 के मूल 4 और 3 हैं। 

इसका योग = 4 + 3 = 7