Determinants MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Determinants - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

एक त्रिभुज जिसके शीर्ष (x1, y1), (x2, y2) और (x3, y3) हैं, का क्षेत्रफल निम्न प्रकार है:

क्षेत्रफल = $=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& 1\\ y_1& y_2& 1\\ z_1& z_2& 1\end{array}\right|$

गणना:

दिया गया है, A(–1, 1) और B(2, 3) दो बिंदु हैं और P एक चर बिंदु है।

मान लीजिए P के निर्देशांक (h, k) हैं।

प्रश्न के अनुसार, ΔPAB का क्षेत्रफल 10 है

⇒ $\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll}\mathrm{h}& \mathrm{k}& 1\\ -1& 1& 1\\ 2& 3& 1\end{array}\right|=10$

⇒ – 2x + 3y = 25

⇒ $-\frac{6}{5}$ x + $\frac{9}{5}$ y = 15

⇒ a = $-\frac{6}{5}$ और b = $\frac{9}{5}$

⇒ 5a + 2b = – 6 + $\frac{18}{5}$ = $-\frac{12}{5}$

∴ 5a + 2b का मान $-\frac{12}{5}$ है।

सही उत्तर विकल्प 1 है।

दिया गया है:

$A=\left[\begin{array}{ccc}8& x& 0\\ 4& 0& 2\\ 12& 6& 0\end{array}\right]$ और A अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है।

संकल्पना:

यदि A एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है, तब |A| = 0

गणना:

$A=\left[\begin{array}{ccc}8& x& 0\\ 4& 0& 2\\ 12& 6& 0\end{array}\right]$

A एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है, तब |A| = 0

तब

8(0 - 12) - x(0 - 24) = 0

24x = 96

x = 4

अतः विकल्प (2) सही है।

व्याख्या​:

$\left|\begin{array}{ccc}1& x& y\\ 0& \cos x& \sin y\\ 0& \sin x& \cos y\end{array}\right|$

= 1(cos x × cos y - sin x × sin y)

= cos x cos y - sin x sin y

= cos(x + y)

अतः विकल्प (3) सही है। 

गणना:

(i) एक आव्यूह A को व्युत्क्रमणीय कहा जाता है, यदि  |A| ≠ 0, अर्थात आव्यूह B इस प्रकार विद्यमान है कि AB = I, जहाँ I तत्समक आव्यूह है।

स्पष्टीकरण:

BA + B2 = I - BA2 

⇒ BA + B2 + BA2 = I

⇒ B(A + B + A2) = I

इसलिए, हमें एक आव्यूह इस प्रकार प्राप्त होता है कि B(B(A + B + A2) = I

इसलिए, B व्युत्क्रमणीय है। 

अतः विकल्प (2) सही है। 

प्रतिउदाहरण:

A = 0 के लिए , B = I 

BA + B2 = I - BA2 संतुष्ट करता है। 

लेकिन A और AB दोनों अव्युत्क्रमणीय हैं। 

अतः विकल्प (1) और (4) सही नहीं है। 

A = - I के लिए, B = I 

BA + B2 = I - BA2 संतुष्ट करता है। 

लेकिन A + B = 0, इसलिए A + B अव्युत्क्रमणीय है। 

अतः विकल्प (3) सही नहीं है। 

संकल्पना:

आव्यूह के सारणिक के गुण:

• यदि एक सारणिक की किसी पंक्ति या स्तंभ में प्रत्येक प्रविष्टि 0 है, तो सारणिक का मान शून्य है।
• किसी वर्ग आव्यूह अर्थात् A के लिए, |A| = |AT|
• यदि हम एक आव्यूह की किसी दो पंक्तियों (स्तंभों) को एक-दूसरे से परिवर्तित करते हैं, तो सारणिक को -1 से गुणा किया जाता है। 
• यदि एक आव्यूह की कोई दो पंक्तियाँ (स्तंभ) समान हैं, तो सारणिक का मान शून्य है। 

गणना:

$\left|\begin{array}{ccc}1& a& b+c\\ 1& b& c+a\\ 1& c& a+b\end{array}\right|$

C2 → C2 + C₃ लागू करने पर

$=\left|\begin{array}{ccc}1& a+b+c& b+c\\ 1& a+b+c& c+a\\ 1& a+b+c& a+b\end{array}\right|$

C₂ से (a + b + c) उभयनिष्ठ लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

$=\left(a+b+c\right)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& b+c\\ 1& 1& c+a\\ 1& 1& a+b\end{array}\right|$

चूँकि हम देख सकते हैं कि दिए गए आव्यूह की पहली और दूसरी स्तंभ बराबर हैं। 

हम जानते हैं कि, यदि एक आव्यूह की कोई दो पंक्तियाँ (स्तंभ) समान हैं, तो सारणिक का मान शून्य है।

∴ $\left|\begin{array}{ccc}1& a& b+c\\ 1& b& c+a\\ 1& c& a+b\end{array}\right|$= 0

$\left|\begin{array}{ccc}1& l& l^2\\ 1& m& m^2\\ 1& n& n^2\end{array}\right|$

R2 → R2 – R1 लागू करने पर

$\left|\begin{array}{ccc}1& l& l^2\\ 0& m-l& m^2-l^2\\ 1& n& n^2\end{array}\right|$

R3 → R3 – R1 लागू करने पर

$\left|\begin{array}{ccc}1& l& l^2\\ 0& m-l& m^2-l^2\\ 0& n-l& n^2-l^2\end{array}\right|$

$\left|\begin{array}{ccc}1& l& l^2\\ 0& m-l& \left(m-l\right)\left(m+l\right)\\ 0& n-l& \left(n-l\right)\left(n+l\right)\end{array}\right|$

$\left(m-l\right)\left(n-l\right)\left|\begin{array}{ccc}1& l& l^2\\ 0& 1& \left(m+l\right)\\ 0& 1& \left(n+l\right)\end{array}\right|$

अब, a11 से विस्तार करने पर

$\left(m-l\right)\left(n-l\right).1.\left[\begin{array}{cc}1& m+l\\ 1& n+l\end{array}\right]$

= (m - l)(n - l)(n + l - m - l)

= (m - l)(n - l)(n - m)

धारणा:

एक वर्ग आव्यूह व्युत्क्रमणीय है यदि इसका सारणिक गैरशून्य है।

यदि $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{a}}_{11}& {\mathrm{a}}_{12}\\ {\mathrm{a}}_{21}& {\mathrm{a}}_{22}\end{array}\right]$ तो A का सारणिक निम्न द्वारा दिया जाता है:

|A| = (a­11 × a22) – (a12 × a21).

${\mathrm{A}}^{-1}=\frac{\mathrm{A}\mathrm{d}\mathrm{j}\left(\mathrm{A}\right)}{\left|\mathrm{A}\right|}$
टिप्पणी:

2 × 2 आव्यूह के लिए

माना कि A = $\left[\begin{array}{cc}\mathrm{a}& \mathrm{b}\\ \mathrm{c}& \mathrm{d}\end{array}\right]$ फिर,

Adj A = $\left[\begin{array}{cc}\mathrm{d}& -\mathrm{b}\\ -\mathrm{c}& \mathrm{a}\end{array}\right]$ 

टिप्पणी: विकर्ण अवयवों को परस्पर बदलें और शेष तत्वों के चिह्न को बदलें।

गणना:

माना कि $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right]$ और

$\mathrm{B}=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right]$

अब,

$\mathrm{A}+\mathrm{B}=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 3\end{array}\right]$

$\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right]$

⇒ det A = (2 – 1) = 1

$\mathrm{B}=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right]$

⇒ det B = (4 – 1) = 3

det A + det B = 1 + 3 = 4

$\mathrm{A}+\mathrm{B}=\left[\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 3\end{array}\right]$

⇒ det (A + B) = (12 – 4) = 8

∴ det (A+ B) ≠ det A + det B

कथन 1 गलत है।

हम जानते हैं कि 2 × 2 आव्यूह के लिए विकर्ण अवयवों को परस्पर बदलें और शेष तत्वों के चिह्न को बदलना आव्यूह के समायोजन को प्रदान करता है।

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}\left(\mathrm{A}\right)=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right]$

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}\left(\mathrm{B}\right)=\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right]$

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}\left(\mathrm{A}+\mathrm{B}\right)=\left[\begin{array}{cc}3& -2\\ -2& 4\end{array}\right]$

हम जानते हैं कि, ${\mathrm{A}}^{-1}=\frac{\mathrm{A}\mathrm{d}\mathrm{j}\left(\mathrm{A}\right)}{\left|\mathrm{A}\right|}$

$\Rightarrow {\mathrm{A}}^{-1}=\frac{\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right]}{1}=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right]$

$\Rightarrow {\mathrm{B}}^{-1}=\frac{\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right]}{3}=\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{3}& -\frac{1}{3}\\ -\frac{1}{3}& \frac{2}{3}\end{array}\right]$

अब,

${\mathrm{A}}^{-1}+{\mathrm{B}}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{3}& -\frac{1}{3}\\ -\frac{1}{3}& \frac{2}{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{5}{3}& -\frac{4}{3}\\ -\frac{4}{3}& \frac{8}{3}\end{array}\right]$

${\left(\mathrm{A}+\mathrm{B}\right)}^{-1}=\frac{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}\left(\mathrm{A}+\mathrm{B}\right)}{det\left(\mathrm{A}+\mathrm{B}\right)}=\frac{\left[\begin{array}{cc}3& -2\\ -2& 4\end{array}\right]}{8}=\left[\begin{array}{cc}\frac{3}{8}& \frac{-2}{8}\\ \frac{-2}{8}& \frac{4}{8}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{3}{8}& \frac{-1}{4}\\ \frac{-1}{4}& \frac{1}{2}\end{array}\right]$

∴ (A + B)^-1 ≠ A^-1 + B^-1

कथन 2 गलत है।

अवधारणा:

यदि ω एकत्व का घनमूल है यानी ω³ = 1

तो 1 + ω + ω² = 0

ω⁴ = ω³ω = ω [∵ ω³ =1]

गणना:

दिया हुआ:

$\left|\begin{array}{ccc}x+1& \omega & {\omega }^2\\ \omega & x+{\omega }^2& 1\\ {\omega }^2& 1& x+\omega \end{array}\right|=0$

C'₁ = C₁ + C₂

$\left|\begin{array}{ccc}x+1+\omega +{\omega }^2& \omega & {\omega }^2\\ x+1+\omega +{\omega }^2& x+{\omega }^2& 1\\ x+1+\omega +{\omega }^2& 1& x+\omega \end{array}\right|=0$

$\left|\begin{array}{ccc}x& \omega & {\omega }^2\\ x& x+{\omega }^2& 1\\ x& 1& x+\omega \end{array}\right|=0(\because 1+\omega +{\omega }^2=0)$

R'₂ = R₂ - R₁ और R'₃ = R₃ - R₁

$\left|\begin{array}{ccc}x& \omega & {\omega }^2\\ 0& x+{\omega }^2-\omega & 1-{\omega }^2\\ 0& 1-\omega & x+\omega -{\omega }^2\end{array}\right|=0$

पहले स्तंभ के साथ विस्तार:

∴ x[(x + ω² - ω)(x + ω - ω²) - (1 - ω)(1 - ω²)]

∴ x[x² + ωx - ω²x + ω²x + ω³ - ω⁴ - ωx - ω² + ω³ - 1 + ω² + ω - ω³]

∴ x³ = 0      (∵ ω³ = 1 और ω⁴ = ω³ω ⇒ ω)

∴ x = 0

संकल्पना:

यदि एक आव्यूह अव्युत्क्रमणीय है तो इसका सारणिक शून्य है ($\left|A\right|=0$)

गणना:

दिया हुआ:

आव्यूह अव्युत्क्रमणीय है

$\left|\begin{array}{ccc}1& 3& \lambda +2\\ 2& 4& 8\\ 3& 5& 10\end{array}\right|=0$

1 (40 - 40) - 3(20 - 24) + (λ + 2)(10 - 12) = 0

-3(-4) + (λ + 2)(-2) = 0

12 - 2λ - 4 = 0

8 = 2λ 

∴ λ = 4

स्पष्टीकरण:

det (A + B) = det(A) + det(B) सही नहीं है।

एक उदाहरण लेने पर:

 A = I को ध्यान में रखते हुए (I क्रम 2 × 2 का एक तत्समक आव्यूह है)

माना B = -A

इसलिए, B  = -I

∴ det(A + B)  = 0

लेकिन, det(A) + det(B) = 2

Additional Information सारणिकों के गुण:

• पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलने पर एक सारणिक का मान नहीं बदलता है। अर्थात $\left|A^T\right|=\left|A\right|$
• यदि आव्यूह A की कोई पंक्ति या स्तंभ पूर्ण रूप से शून्य है, तो $\left|A\right|=0$, ऐसी पंक्ति या स्तंभ को शून्य पंक्तियाँ या स्तंभ कहा जाता है।
• साथ ही यदि आव्यूह A की दो पंक्तियाँ या स्तंभ समान हों तब$\left|A\right|=0$
• यदि सारणिक की किन्हीं दो पंक्तियों या दो स्तंभों को आपस में बदल दिया जाता है, तो सारणिक का मान -1 से गुणा हो जाता है।
• यदि सारणिक की एक पंक्ति (या एक स्तंभ) के सभी अवयवों को एक ही संख्या k से गुणा किया जाता है, तो सारणिक का मान दिए गए सारणिक के मान का k गुना होता है।
• यदि A एक n-पंक्ति वाला वर्ग पंक्ति आव्यूह है, और k कोई अदिश राशि है, तब $\left|kA\right|=k^n\left|A\right|$
• एक सारणिक में, किसी भी पंक्ति (या स्तंभ) के अवयवों के गुणनफलों का योग किसी भी पंक्ति या स्तंभ के संगत अवयवों के सहखंडों के साथ, सारणिक मान के बराबर होता है।
• एक सारणिक में, किसी पंक्ति (या स्तंभ) के अवयवों के गुणनफलों का योग किसी अन्य पंक्ति या स्तंभ के सहखंडों के साथ शून्य होता है।

उदाहरण:

Δ = $\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3\end{array}\right|$

तब,

$a_1{A}_1+b_1{B}_1+c_1{C}_1=\mathrm{\Delta }$

$a_1{A}_2+b_1{B}_2+c_1{C}_2=0$

$a_1{A}_3+b_1{B}_3+c_1{C}_3=0$

$a_2{A}_2+b_2{B}_2+c_2{C}_2=\mathrm{\Delta }$

$a_2{A}_1+b_2{B}_1+c_2{C}_1=0$

जहां A₁, B₁,और C₁, D में अवयवों a1, b1, और c1 के सहखण्ड हैं। 

• यदि एक सारणिक की पंक्ति या स्तंभ के अवयवों को दूसरी पंक्ति या स्तंभ के संगत अवयवों से m बार जोड़ा जाता है, तो इस प्रकार प्राप्त सारणिक का मान मूल सारणिक के मान के बराबर होता है:

अर्थात $A\stackrel{R_i+m{R}_j}{\to }Bthen\left|A\right|=\left|B\right|$

और $A\stackrel{C_i+m{C}_j}{\to }Bthen\left|A\right|=\left|B\right|$

• $\left|AB\right|=\left|A\right|\times \left|B\right|$ और इसके आधार पर हम निम्नलिखित को सिद्ध कर सकते हैं:

(a). $\left|A^n\right|=(\left|A\right|{)}^n$

(b). $\left|A^{-1}\right|=\frac{1}{\left|A\right|}$

• इस तथ्य का उपयोग करने पर, कि $A.AdjA=\left|A\right|.I$ ,  An × n के लिए निम्नलिखित प्राप्त किया जा सकता है। 

(a). $\left|AdjA\right|={\left|A\right|}^{n-1}$

(b). $|Adj(Adj(A))|={\left|A\right|}^{(n-1{)}^2}$

अवधारणा:

3 × 3 आव्यूहों का अभिलक्षणिक समीकरण निम्न द्वारा दिया जाता है:

λ³ - tr(A)λ² + $\frac{1}{2}$ [ tr(A)² - tr (A²)]λ - det(A) = 0

3 × 3 के लिए, सम्मिश्र मूल हमेशा युग्म में होते हैं।

यदि 2 + 3i एक मूल है, तो 2 - 3i दूसरा मूल होगा।

गणना:

दिया गया है, s = 2

λ = 2 ± 3i

(λ - 2)(λ - 2 - 3i)(λ - 2 + 3i) = 0

(λ - 2)[ (λ - 2)² - (3i)² ] = 0

λ3 - 6λ2 + 21λ - 26 = 0

अभिलक्षणिक समीकरण के साथ तुलना करने पर:

det(A) = 26

अवधारणा:

प्रिंसिपल डायगोनल (principle diagonal) के साथ तत्वों का योग = ट्रेस = ∑ आइगेन मान

आइगेन मानों का गुणनफल = सारणिक = det (A)

एक आव्यूह अव्युत्क्रमणीय होता है जब आव्यूह का सारणिक 0 होता है।

विश्लेषण:

एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह दिया गया है, इसलिए सारणिक = 0

आइगेन मानों का गुणनफल = आव्यूह का सारणिक = 0

∴ आव्यूह का आइगेन मान शून्य है।

अवधारणा:

• एक गैर - अव्युत्क्रमणीय आव्यूह एक वर्ग आव्यूह है जिसका सारणिक शून्य नहीं है।
• एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह एक वर्ग आव्यूह है जिसका सारणिक शून्य है।

• किसी भी वर्ग आव्यूह का सारणिक किसी दिए गए आव्यूह के अभिलाक्षणिक मान का गुणन है।

गणना:

यह दिया गया है कि A एक गैर अव्युत्क्रमणीय विकर्णीय आव्यूह है जिसमें अभिलाक्षणिक मान , λ1, λ2, λ3 है।

⇒  A-1 = λ1 × λ2 × λ3       ---(1)

चूंकि A गैर-अव्युत्क्रमणीय है ,

⇒ A-1 ≠ 0      ---(2)

समीकरण (1) और (2) से, हम प्राप्त करते हैं,

∴  λ1, λ2, λ3 शून्य नहीं हो सकता।

अतः, विकल्पों में से केवल λ1 = 2, λ2 = 1 और λ3 = 3 उपरोक्त शर्त को पूरा करते हैं।

इसलिए, λ1 = 2, λ2 = 1, λ3 = 3

व्याख्या:

एक सारणिक का उपसारणिक

• एक उपसारणिक को एक वर्ग आव्यूह के सारणिक से गणना किए गए मान के रूप में परिभाषित किया जाता है जो विचाराधीन अवयव के अनुरूप एक पंक्ति और एक स्तंभ को क्राॅस करने के बाद प्राप्त होता है।
• किसी सारणिक का अवयव aij वह सारणिक होता है जो उसकी ith पंक्ति और jth वें स्तंभ को हटाकर प्राप्त किया जाता है जिसमें अवयव aij स्थित होता है।
• तत्व aij के उपसारणिक को Mij द्वारा निरूपित किया जाता है ।

Additional Information 

एक सारणिक का सहखंड

• सहखंड को चिन्हित उपसारणिक के रूप में परिभाषित किया गया है।
• एक अवयव aij का सहखंड , जिसे Aij द्वारा निरूपित किया जाता है , A = (-1) i+j Mij द्वारा परिभाषित किया जाता है , जहाँ Mij , a_ij का उपसारणिक है।