Systems of Linear Equations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Systems of Linear Equations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

$व्याख्या:$

दिया गया रैखिक समीकरणों का निकाय है:

2x + 2y + z = 1

4x + ky + 2z = 2

kx + 4y + z = 1

संवर्धित आव्यूह निरूपण है:

\(\begin{bmatrix} 2 & 2 & 1 & |1 \\ 4 & k & 2 & |2 \\ k & 4 & 1 & |1 \end{bmatrix} \)

गुणांक आव्यूह है:

\(A = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 4 & k & 2 \\ k & 4 & 1 \end{bmatrix} \)

\({det}(A) = \begin{vmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 4 & k & 2 \\ k & 4 & 1 \end{vmatrix} \)

पहली पंक्ति के अनुदिश प्रसार

det(A) \(= 2 \begin{vmatrix} k & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ k & 1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 4 & k \\ k & 4 \end{vmatrix} \)

इस प्रकार, det(A) = 2(k - 8) - 2(4 - 2k) + (16 - k²)

\(det(A) = 2k - 16 - 8 + 4k + 16 - k^2 = 6k - k^2 - 8 \\ = -(k^2 - 6k + 8) = -(k - 4)(k - 2) \)

विभिन्न k मानों के लिए:

यदि det(A) ≠ 0 , तो निकाय का एक अद्वितीय हल होता है।

यदि det(A) = 0 , तो निकाय या तो आश्रित (अपरिमित रूप से अनेक हल) या असंगत है।

det(A) = 0 सेट करने पर: (k - 4)(k - 2) = 0

इसलिए, k = 4 या k = 2 ⇒ det(A) = 0 ,

⇒ निकाय में या तो अपरिमित रूप से अनेक हल हैं या यह असंगत है।

विकल्पों की जाँच:

(A) सत्य है, क्योंकि जब k ≠ 4 और k ≠ 2 , det(A) ≠ 0 , जिसका अर्थ है कि निकाय का एक अद्वितीय हल है। 

(B) असत्य है, क्योंकि k के अधिकांश मानों के लिए, निकाय संगत है। 

(C) सत्य है, क्योंकि यदि k = 4 , तो सारणिक शून्य है, और संवर्धित आव्यूह के रैंक की जाँच करने पर अनंत रूप से कई हल की पुष्टि होगी। 

(D) सत्य है, क्योंकि यदि k = 2 , तो सारणिक भी शून्य है, जिससे अपरिमित रूप से अनेक हल प्राप्त होते हैं।

अंतिम उत्तर: (A), (C), और (D) है। 

⇒ विकल्प 3 सही है। 

गणना:

दिया गया है,

11x + y + λz = -5

2x + 3y + 5z = 3

8x - 19y - 39z = µ

अब, अनंत हल के लिए D = 0

⇒ \( \mathrm{D}=\left|\begin{array}{ccc} 11 & 1 & \lambda \\ 2 & 3 & 5 \\ 8 & -19 & -39 \end{array}\right|=0\)

⇒ 11(-117 + 95) -1(-78 - 40) + λ(-38 - 24)

⇒ 11(-22) + 118 - λ(62) = 0

⇒ 62λ = 118 - 242

⇒ λ = \(\frac{-124}{62}=-2 \)

इसके अलावा, \(\mathrm{D}_1=\left|\begin{array}{ccc} -5 & 1 & -2 \\ 3 & 3 & 5 \\ \mu & -19 & -39 \end{array}\right|=0\)

⇒ -5(-117 + 95) -1(-117 - 5μ) -2(-57 - 3μ) = 0

⇒ -5(-22) + 117 + 5μ + 114 + 6μ = 0

⇒ 11μ = -110 - 231 = -341

⇒ μ = - 31

∴ λ⁴ - μ = (- 2)⁴ - (- 31)

= 16 + 31 = 47

∴ λ4 - µ का मान 49 है।

सही उत्तर विकल्प 3 है।

दिया गया है:

दिए गए समीकरण हैं:

kx + 2y = 5

3x + y = 1

प्रयुक्त अवधारणा:

यदि (a1/a2) ≠ (b1/b2), तो समीकरणों की प्रणाली a1x + b1y + c1 = 0 और a2x + b2y + c2 = 0 में एक अद्वितीय हल है।

गणना:

kx + 2y - 5 = 0      ----(1)

a1 = k, b1 = 2, c1 = -5

3x + y - 1 = 0      ----(2)

a2 = 3, b2 = 1, c2 = -1

प्रश्न के अनुसार,

(a1/a2) ≠ (b1/b2)

⇒ (k/3) ≠ (2/1)

⇒ 6 ≠ k

⇒ k ≠ 6 का अर्थ है कि k का अन्य मान अद्वितीय हल होने की शर्त को संतुष्ट करता है। 

इसलिए, k = 0 भी सही है।  

∴निकाय का एक अद्वितीय हल होता है यदि k ≠ 6, k = 0 होता है। 

अतः सही विकल्प 'उपर्युक्त में से एक से अधिक' है। 

दिया गया है:

समीकरणों 3x + 2y - 6z = 1, 2x - 3y + 3z = -1, x - 4y + z = - 6 के निकाय

अवधारणा:

चरों के उन्मूलन की अवधारणा का प्रयोग कीजिए।

गणना:

समीकरणों का निकाय -

3x + 2y - 6z = 1

2x - 3y + 3z = -1

x - 4y + z = -6

3x + 2y - 6z = 1 के लिए x को अलग करें,

\(\rm x=\frac{1-2y+6z}{3}\)

अब अन्य समीकरणों में प्रतिस्थापित करें,

\(\rm 2\cdot \frac{1-2y+6z}{3}-3y+3z=-1\) और

\(\rm \frac{1-2y+6z}{3}-4y+z=-6\)

सरलीकरण के बाद,

\(\rm \frac{-13y+21z+2}{3}=-1\) और \(\rm \frac{-14y+9z+1}{3}=-6\)

अब, \(\rm \frac{-13y+21z+2}{3}=-1\) के लिए y को अलग करें,

\(\rm y=-\frac{-21z-5}{13}\)

अब अन्य समीकरण में प्रतिस्थापित करें,

\(\frac{-14(-\frac{-21z-5}{13})+9z+1}{3}=-6\) \(\rm \implies -\frac{59z+19}{13}=-6\)

⇒ z = 1

\(\rm y=-\frac{-21z-5}{13}\) के लिए,

z = 1 प्रतिस्थापित करने पर,

\(\rm y=-\frac{-21\cdot1-5}{13}\) ⇒ y = 2

\(\rm x=\frac{1-2y+6z}{3}\) के लिए,

z = 1, y = 2 प्रतिस्थापित करने पर,

\(\rm x=\frac{1-2\cdot2+6\cdot1}{3}\) ⇒ x = 1

समीकरणों के निकाय का हल हैं:

x = 1, y = 2, z = 1

अतः विकल्प (4) सही है।

अवधारणा:

माना दो समीकरण निम्न है:

a1x + b1y + c1 = 0

a2x + b2y + c2 = 0

तो,

• अद्वितीय हल के लिए, \(\frac{a_{1}}{a_{2}}≠ \frac{b_{1}}{b_{2}}\)
• अपरिमित रूप से अनेक हल के लिए, \(\frac{a_{1}}{a_{2}}= \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)

• कोई हल नहीं के लिए, \(\frac{a_{1}}{a_{2}}= \frac{b_{1}}{b_{2}}\neq\frac{c_{1}}{c_{2}}\)

प्रयुक्त सूत्र:

किसी भी द्विघात समीकरण के लिए, ax2 + bx + c = 0, द्विघात सूत्र है:

\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

गणना:

दिए गए समीकरण हैं:

kx + 3y - k + 3 = 0 and 12x + ky = k 

समीकरणों की तुलना ax + by + c = 0 से करने पर, हमें प्राप्त होता है

a1 = k, b1 = 3, c1 = -k + 3

a2 = 12, b2 = k, c2 = -k

इसलिए, अपरिमित रूप से अनेक हल के लिए,

\(\frac{a_{1}}{a_{2}}= \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)

\(⇒ \frac{k}{(12)}= \frac{3}{k}=\frac{-k+3}{-k}\)

हल करने पर, \(\frac{k}{12}=\frac{3}{k}\)

k2 = 36

⇒ k = 6

हल करने पर, \( \frac{3}{k}=\frac{-k+3}{-k}\)

⇒ -3k = -k2 + 3k

⇒ k2 - 6k = 0

⇒ k2 = 6k

k = 6

अत: k = 6.

संकल्पना:

यदि 3 × 3 सजातीय आव्यूह की रैंक 3 से कम है तो संबंधित समीकरणों में गैर-नगण्य समाधान होगा

स्पष्टीकरण:

गैर-नगण्य समाधान के लिए

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} p&q&r\\ q&r&p\\ r&p&q \end{array}} \right| = 0\)

R1 = R1 + R2 + R3

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {p + q + r}&{\;q + r + p}&{r + p + q}\\ q&r&p\\ r&p&q \end{array}} \right| = 0\)

\(\left( {p + q + r} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\;1}&1\\ q&r&p\\ r&p&q \end{array}} \right| = 0\)

∴ p + q + r = 0

या

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\;1}&1\\ q&r&p\\ r&p&q \end{array}} \right| = 0\)

अवधारणा:

माना दो समीकरण निम्न है:

a1x + b1y + c1 = 0

a2x + b2y + c2 = 0

तो,

• अद्वितीय हल के लिए, \(\frac{a_{1}}{a_{2}}≠ \frac{b_{1}}{b_{2}}\)
• अपरिमित रूप से अनेक हल के लिए, \(\frac{a_{1}}{a_{2}}= \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)

• कोई हल नहीं के लिए, \(\frac{a_{1}}{a_{2}}= \frac{b_{1}}{b_{2}}\neq\frac{c_{1}}{c_{2}}\)

प्रयुक्त सूत्र:

किसी भी द्विघात समीकरण के लिए, ax2 + bx + c = 0, द्विघात सूत्र है:

\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

गणना:

दिए गए समीकरण हैं:

kx + 3y - k + 3 = 0 and 12x + ky = k 

समीकरणों की तुलना ax + by + c = 0 से करने पर, हमें प्राप्त होता है

a1 = k, b1 = 3, c1 = -k + 3

a2 = 12, b2 = k, c2 = -k

इसलिए, अपरिमित रूप से अनेक हल के लिए,

\(\frac{a_{1}}{a_{2}}= \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)

\(⇒ \frac{k}{(12)}= \frac{3}{k}=\frac{-k+3}{-k}\)

हल करने पर, \(\frac{k}{12}=\frac{3}{k}\)

k2 = 36

⇒ k = 6

हल करने पर, \( \frac{3}{k}=\frac{-k+3}{-k}\)

⇒ -3k = -k2 + 3k

⇒ k2 - 6k = 0

⇒ k2 = 6k

k = 6

अत: k = 6.

अवधारणा:

अद्वितीय हल के लिए:

A का सारणिक, |A|≠ 0

जहाँ A कोई आव्यूह है

गणना:

\(D = \begin{vmatrix} 1 &1 &1 \\ 1&2&3 \\ 1 &4 &k \end{vmatrix}\)

|A| ≠ 0

⇒ 1 (2k - 12) - (k - 3) + 1 (4 - 2) = 0

⇒ k - 7 = 0

⇒ k = 7

तो, निम्नलिखित युगपत समीकरणों में k बराबर 7 के लिए एक अद्वितीय हल नहीं होगा

संकल्पना:

m रैखिक समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें

a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = 0

a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = 0

…

am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = 0

उपरोक्त समीकरणों में n अज्ञात x1, x2,…, xn है। यह निर्धारित करने के लिए कि समीकरणों की उपरोक्त प्रणाली सुसंगत है या नहीं हमें निम्नलिखित आव्यूह की रैंक खोजने की आवश्यकता है।

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \ldots &{{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2n}}}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ {{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}& \ldots &{{a_{mn}}} \end{array}} \right]\)

A समीकरणों की दी गई प्रणाली का गुणांक आव्यूह है।

हम समीकरणों की दी गई प्रणाली की संगति निम्नानुसार पा सकते हैं:

(i) यदि आव्यूह A की रैंक अज्ञातों की संख्या के बराबर है तो प्रणाली में केवल एक नगण्य शून्य समाधान है।

A की रैंक = n

(ii) यदि आव्यूह A की रैंक अज्ञातों की संख्या से कम है तो प्रणाली में अनंत संख्या में समाधान हैं।

A की रैंक < n

गणना:

दिया हुआ:

समीकरणों की दी गई प्रणाली को नीचे दिखाए गए अनुसार आव्यूह रूप में दर्शाया जा सकता है।

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ 2}&{ 1}\\ { 1}&0&{ -1}\\ { 1}&{ 1}&0 \end{array}} \right],\;X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right],\;B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ 0 \end{array}} \right]\)

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ 2}&{ 1}\\ { 1}&0&{ - 1}\\ { 1}&{ 1}&0 \end{array}} \right]\)

C1 → C1 + C3,

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&2&1\\ 0&0&{ - 1}\\ 1&1&0 \end{array}} \right]\)

C1 = C2, अतः |A|3× 3 = 0, रैंक ≠ 3

आव्यूह कोटि का सारणिक 2 ≠ 0, इसलिए आव्यूह A की रैंक = 2

आव्यूह की रैंक A = 2 < n = 3

चूंकि आव्यूह की रैंक चरों (n) से कम है। इसलिए रैखिक समीकरणों की दी गई प्रणाली में असीम रूप से कई समाधान हैं।

कथन I:

यदि m < n तो ऐसी सभी प्रणालियों का एक समाधान है [गलत]

मान लीजिए कि m = 2, n = 3

x + y + z = 3

x + y + z = 5

यहाँ, यह कोई समाधान नहीं देगा। क्योंकि, जब हमारे पास 3 चरों के साथ 2 समीकरण होते हैं, तो हम इसके लिए समाधान नहीं ढूंढ सकते हैं।

कथन II:

यदि m > n है तो इनमें से किसी भी प्रणाली का कोई समाधान नहीं है [गलत]

मान लीजिए कि m = 3, n = 2

समीकरण की प्रणाली इस प्रकार होगी:

x + 2y = 2

x + y = 1

2x + 5y = 5

लेकिन यहां हम आसानी से x और y का मान पा सकते हैं।

कथन III:

यदि m = n तो एक प्रणाली मौजूद है जिसका एक समाधान है [सही]

मान लीजिए कि m = 2, n = 2

समीकरण की प्रणाली इस प्रकार होगी:

x + 2y = 3

2x + 4y = 4

दिया गया है:

2x - y - z = 2,

x - 2y + z = -4,

x + y + λz = 4

अवधारणा:

m रैखिक समीकरणों की प्रणाली पर विचार करने पर

a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2

…

am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm

उपरोक्त समीकरणों में n अज्ञात x1, x2, …, xn हैं। यह निर्धारित करने के लिए कि समीकरणों की उपरोक्त प्रणाली सुसंगत है या नहीं, हमें निम्नलिखित आव्यूहों का क्रमांक ज्ञात करना होगा।

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \ldots &{{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2n}}}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ {{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}& \ldots &{{a_{mn}}} \end{array}} \right]\) and  \(\left[ {A{\rm{|}}B} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \ldots &{{a_{1n}}}&{{b_1}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2n}}}&{{b_2}}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ {{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}& \ldots &{{a_{mn}}}&{{b_m}} \end{array}} \right]\)

A एक गुणांक आव्यूह है और [A|B] को दिये गए समीकरणों की प्रणाली का संवर्धित आव्यूह कहा जाता है।

यदि आव्यूह A का क्रमांक संवर्धित आव्यूह के क्रमांक के बराबर नहीं है, तो प्रणाली असंगत है और इसका कोई हल नहीं है।

A का क्रमांक ≠ संवर्धित आव्यूह का क्रमांक

इस प्रकार यदि सारणीक (A) = 0 प्रणाली असंगत है। (कोई हल नहीं है)

गणना:

\( A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&{ - 1}\\ 1&{ - 2}&1\\ 1&1&λ \end{array}} \right]\;\;B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right]\;C = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ { - 4}\\ 4 \end{array}} \right] \)

अतः, 'कोई हल नहीं' के लिए, |A| = 0

\( ⇒ \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&{ - 1}\\ 1&{ - 2}&1\\ 1&1&λ \end{array}} \right|\; = 0 \)

⇒ 2(-2λ - 1) + 1(λ - 1) - 1(1 + 2) = 0

⇒ -4λ - 2 + λ - 1 - 3 = 0

⇒ -3λ = 6

⇒ λ  = - 2

Additional Information

• यदि आव्यूह A का क्रमांक एक संवर्धित आव्यूह के क्रमांक के बराबर है और यह अज्ञात पदों की संख्या के बराबर है, तो प्रणाली सुसंगत है और एक अनूठा हल है।
• A का क्रमांक = संवर्धित आव्यूह का क्रमांक = n
• यदि आव्यूह A का क्रमांक एक संवर्धित आव्यूह के क्रमांक के बराबर है और यह अज्ञात पदों की संख्या से कम है, तो प्रणाली सुसंगत है और अनंत संख्या में हल हैं।
• A का क्रमांक = संवर्धित आव्यूह का क्रमांक < n

दिया गया है:

दो चरों में रैखिक समीकरणों का समुच्चय:

6x − 9y = 12

8 − 4x + 6y = 0

संकल्पना:

दो चर में रैखिक समीकरणों के निकाय के लिए निम्नानुसार है:

a₁x + b₁y +c₁ = 0
a₂x + b₂y +c₂ = 0

• a₁/a₂ ≠  b₁/b₂

तब निकाय को सुसंगत कहा जाता है और इसका एक अद्वितीय हल  होता है।

• a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ 

तब निकाय को सुसंगत कहा जाता है और इसके अनंत हल होते हैं।

• a₁/a₂ = b₁/b₂ \(≠\) c₁/c₂

तब निकाय को असंगत कहा जाता है और इसका कोई हल नहीं होता है।

हल:

प्रश्न के अनुसार,

6x − 9y = 12 ⇔ 6x - 9y - 12 = 0

⇒ 8 − 4x + 6y = 0 ⇔ 4x - 6y - 8 = 0

⇒ a₁ = 6, b₁ = -9, c₁ = -12

⇒ a₂ = 4, b₂ = -6, c₂ = -8

⇒ a1/a2 = 6/4 = 3/2

⇒ b1/b2 = -9/-6 = 3/2

⇒ c₁/c₂ = -12/-8 = 3/2

स्पष्ट रूप से, a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 = 3/2 

निकाय सुसंगत है और इसके अनंत हल हैं।​

संकल्पना:

समरूप प्रणाली के लिए, AX = O 

[A] गुणांक आव्यूह है।

[A/O] संवर्धित आव्यूह है।

[O] रिक्त आव्यूह है और

n = चरों की कुल संख्या

स्थिति 1: ρ(A) = ρ(A/O) = n

इस स्थिति में प्रणाली में केवल शून्य हल (या नगण्य हल) अर्थात् विशिष्ट हल हैं।

स्थिति 2: ρ(A) = ρ(A/O) < n

इस स्थिति में प्रणाली में गैर-शून्य हलों (या गैर-नगण्य हल) की अनंत संख्या है।

स्थिति 3: ρ(A) = ρ(A/O)

इसलिए, भिन्नता उत्पन्न नहीं होती है, हालाँकि शून्य हल सदैव इसके लिए हल होता है।

दिया गया है:

गणना:

2x1 + x2 + x3 = 0

x2 – x3 = 0

x1 + x2 = 0

यहाँ n = 3

अब, हम जानते हैं कि

समरूप प्रणाली के लिए, AX = O

संवर्धित आव्यूह निम्न है:

\(\left[ {A/O} \right] = \left[ {\left. {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1&1\\ 0&1&-1\\ 1&{ 1}&0 \end{array}} \right|\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ 0 \end{array}} \right]\)

R₃ → R₃ - (R₁/2)

\(\left[ {\left. {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1&1\\ 0&1&{ - 1}\\ 0&{1/2}&{-1/2} \end{array}} \right|\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ 0 \end{array}} \right]\)

R3 → R3 - (R₂/2)

\(\left[ {\left. {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1&1\\ 0&1&{ - 1}\\ 0&0&0 \end{array}} \right|\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ 0 \end{array}} \right]\)

चूँकि, ρ(A) = ρ(A/O) = 2 < 3

∴ प्रणाली संगत है और इसमें हलों की अनंत संख्या होगी।

गणना:

दिया गया है,

11x + y + λz = -5

2x + 3y + 5z = 3

8x - 19y - 39z = µ

अब, अनंत हल के लिए D = 0

⇒ \( \mathrm{D}=\left|\begin{array}{ccc} 11 & 1 & \lambda \\ 2 & 3 & 5 \\ 8 & -19 & -39 \end{array}\right|=0\)

⇒ 11(-117 + 95) -1(-78 - 40) + λ(-38 - 24)

⇒ 11(-22) + 118 - λ(62) = 0

⇒ 62λ = 118 - 242

⇒ λ = \(\frac{-124}{62}=-2 \)

इसके अलावा, \(\mathrm{D}_1=\left|\begin{array}{ccc} -5 & 1 & -2 \\ 3 & 3 & 5 \\ \mu & -19 & -39 \end{array}\right|=0\)

⇒ -5(-117 + 95) -1(-117 - 5μ) -2(-57 - 3μ) = 0

⇒ -5(-22) + 117 + 5μ + 114 + 6μ = 0

⇒ 11μ = -110 - 231 = -341

⇒ μ = - 31

∴ λ⁴ - μ = (- 2)⁴ - (- 31)

= 16 + 31 = 47

∴ λ4 - µ का मान 49 है।

सही उत्तर विकल्प 3 है।

दिया गया है:

समीकरणों 3x + 2y - 6z = 1, 2x - 3y + 3z = -1, x - 4y + z = - 6 के निकाय

अवधारणा:

चरों के उन्मूलन की अवधारणा का प्रयोग कीजिए।

गणना:

समीकरणों का निकाय -

3x + 2y - 6z = 1

2x - 3y + 3z = -1

x - 4y + z = -6

3x + 2y - 6z = 1 के लिए x को अलग करें,

\(\rm x=\frac{1-2y+6z}{3}\)

अब अन्य समीकरणों में प्रतिस्थापित करें,

\(\rm 2\cdot \frac{1-2y+6z}{3}-3y+3z=-1\) और

\(\rm \frac{1-2y+6z}{3}-4y+z=-6\)

सरलीकरण के बाद,

\(\rm \frac{-13y+21z+2}{3}=-1\) और \(\rm \frac{-14y+9z+1}{3}=-6\)

अब, \(\rm \frac{-13y+21z+2}{3}=-1\) के लिए y को अलग करें,

\(\rm y=-\frac{-21z-5}{13}\)

अब अन्य समीकरण में प्रतिस्थापित करें,

\(\frac{-14(-\frac{-21z-5}{13})+9z+1}{3}=-6\) \(\rm \implies -\frac{59z+19}{13}=-6\)

⇒ z = 1

\(\rm y=-\frac{-21z-5}{13}\) के लिए,

z = 1 प्रतिस्थापित करने पर,

\(\rm y=-\frac{-21\cdot1-5}{13}\) ⇒ y = 2

\(\rm x=\frac{1-2y+6z}{3}\) के लिए,

z = 1, y = 2 प्रतिस्थापित करने पर,

\(\rm x=\frac{1-2\cdot2+6\cdot1}{3}\) ⇒ x = 1

समीकरणों के निकाय का हल हैं:

x = 1, y = 2, z = 1

अतः विकल्प (4) सही है।